Đề khảo sát chất lượng HSG năm học: 2014-2015 môn thi: Toán 7 - THCS (Đề 1)

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
 LỚP: 7A
Thầy Ngọc
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG
Năm học: 2014-2015
Mụn thi: Toỏn 7 - THCS
Cõu 1: Thực hiện phộp tớnh
1) (– 81)(– 81)(– 81). . .(– 81)
2) S = 
Gợi ý: 1. Trong dóy số cú – 81 = – 81 = 81 – 81 = 0. Do đú tớch bằng 0.
2.	2S – S = .
Cõu 2: Tỡm x biết:
a. ; b. 
c. d. 
Gợi ý: a. 
b. 
c. Nhận xột: x2 - 7 < x2 - 5 < x2 - 3 < x2 - 1 và tớch của 4 thừa số õm khi cú một hoặc ba thừa số õm.
d. 
Cõu 3: 1) Cho và . Tớnh M = 
 2) Cho tỉ lệ thức với . Chứng minh:
 3) Chứng minh rằng: Nếu 2(x + y) = 5(y + z) = 3(z + x) thỡ 
Gợi ý: 1) ; 
ị:=:
2) Cho tỉ lệ thức với . 
Chứng minh: 
Ta cú: (1)
Mà: (2)
Từ (1) và (2) (đpcm)
Cõu 4: Tỡm nghiệm của đa thức: 
a) b) 
c) Chứng minh rằng đa thức :f(x) = – 4x4 + 3x3 – 2x2 + x – 1 khụng cú nghiệm nguyờn .
d) Chứng minh rằng đa thức f(x) = khụng cú nghiệm.
Gợi ý: a) x = 2, x = 3.
b, d) Xột từng khoảng	
+ Xột x 0 lập luận dẫn đến dẫn đến f(x) 1 > 0
+ Xột 0 0
+ Xột x 1 lập luận dẫn đến f (x) > 0
 Trong cả ba khoảng trờn đều cú f(x) 0 nờn đa thức f(x) khụng cú nghiệm.
c) Nếu đa thứcf(x) = –4x4 + 3x3 – 2x2 + x – 1 cú nghiệm thỡ nghiệm đú là ước của -1.
Ta cú : f(-1) = -11 0; f(1) = -3 0
Vậy đa thức đó cho khụng cú nghiệm nguyờn.
Cõu 5: Cho cỏc số nguyờn dương a, b, c, d, e, f biết: và af – be = 1.
Gợi ý:	Chứng minh: d ≥ b + f
Gợi ý: Vỡ af – be = 1.
 d = d( af – be) = adf – bed = (adf – bcf) + (bcf – bed )= f(ad – bc) + b(cf – ed)
 Từ ad > bc, cf >ed và a, b, c, d nguyờn dương nờn ad – bc 1 , cf – ed 1
 d f.1 + b.1 = f + b
Cõu 6: 1) Cho hàm số y = f(x) = 
a. Vẽ đồ thị của hàm số trên b)Tính f(x2 + 2) = ?
2) Tìm công thức của hàm số g(x) biết rằng g (1+ ) = 
Gợi ý: 1) b) Ta có f(x2 + 2) = + (x2 + 2) + 1 = 2x2 + 3
Vậy f(x2 + 2) = 2x2 + 3 
2) Cách 1: Đặt 1 + = = y 
Khi đó g (1+ ) = g (y) = = +1 - 1 = -1 = = ()2 - 1 = y2 - 1 
Hay g(y ) = y2 - 1 ị g(x) = x2 - 1 
Cách 2: Đặt 1 + = y Thế thì x = 
Thay vào công thức hàm số ta có: g(y) = = y2 - 1 ị g(x) = x2 - 1
Cõu 7: Cho 	x = by + cz ; y = ax + cz ; z = ax + by
CMR : P = + + = 2
Gợi ý: Từ giả thiết ta suy ra : x + y + z = 2 ( ax + by + cz ) (1) 
Từ biểu thức x = by + cz ị ax + x = ax + by + cz ị x ( a + 1) = ax + by + cz
ị a + 1 = ị = (1đ)
Hoàn toàn tương tự: 
Từ biểu thức y = ax + cz ị b + 1 = ị = 
Từ biểu thức z = ax + byị c + 1 = ị = 
Suy ra P = + + = ++=(2) 
Từ (1) và (2) ta suy ra P = = 2 
Cõu 8: a) Chứng minh rằng : > 0 với mọi x, yQ
 b) So sỏnh hai biểu thức sau: , 
Gợi ý: b) Ta cú: 
Cõu 9: 
1) Cho ba số a, b, c thừa món: và a + b + c = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của c.
2) Cho a, b ,c là cỏc số thuộc đoạn (–1a, b, c 2) thỏa món a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 6
Gợi ý: 1) Vỡ: nờn 0 
(vỡ a + b + c = 1)
Hay 3c .
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của c là: - khi đú a + b = 
2. Ta cú: (a + 1)0, (a + 2) 0, suy ra (a + 1)(a – 2) 0
 Suy ra: a2 – 2 – a 0, suy ra a2 2 + a . Tương tự, cộng vế với vế suy ra đpcm
Cõu 10: Cho a > b > 0. So sỏnh A và B biết:
	A = và B = 
Gợi ý: Ta cú: 
Do a > b > 0 nờn A > B.
Cõu 11: Cho a, b, c thảo món điều kiện: a + b + c = 0. 
Chứng minh rằng: 
Gợi ý: Khai triển  Suy ra đpcm.
Cõu 12: Cho a, b, c thoả món a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0 và abc > 0. Chứng minh rằng a, b, c là cỏc số dương.
Gợi ý: Vỡ abc > 0 nờn ớt nhất phải cú 1 số dương. Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử a > 0.
 Mà: abc > 0 bc > 0
	 Nếu: b, c < 0 b + c < 0
	 Từ: a + b + c > 0 b + c > - a (b + c)2 < – a(b + c) 
 b2 + 2bc + c2 < – ab – ac ab + bc + ca < – b2 – c2 – bc < 0, vụ lý
	Vậy: b, c > 0 a, b, c > 0.
Cõu 13: Cho x, y z là cỏc số dương. Chứng minh rằng: 
Gợi ý: 
Ta có: 
Áp dụng BĐT Cụ-si ta cú: 
 (*)
 (**)
Lấy (*) nhõn (**) ta được: 
Suy ra: P , dấu “=” xảy ra khi x = x = z.
Cõu 14: Tỡm tổng hệ số của cỏc đa thức sau khi được khai triển:
Gợi ý: 
Cõu 15: 
1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Gợi ý: 1. 
 Ta cú: 
 Mà: 
 Dấu bằng sảy ra
 Vậy GTNN của A =2 khi 
Cõu 17: a) Cho hai sú tư nhiờn a và b, với a > b và thỏa món: 3(a + b) = 5(a – b). Tỡm thương của hai số a và b
 b) Tỡm cỏc số nguyờn dương a, b, c biết rằng:
 a3 – b3 – c3 = 3abc và a2 = 2(b + c)
Gợi ý: a) a : b = 4
b) Cỏch 1: a3 - b3 - c3 = 3abc (1); a2 = 2(b + c) (2)
Từ (2) suy ra a2 chẵn a chẵn .
Từ (1) suy ra a > b; a > c 2a > b + c 4a > 2(b + c) kết hợp với (2) a2 < 4a a < 4 a = 2 thay vào (2) được: b + c = 2 b = c =1 (vỡ b, c nguyờn dương).
Thử lại thấy đỳng vậy a = 2; b = c = 1.
Cỏch 1: Dựng hằng đẳng thức
Cõu 18: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc và chu vi 2p = a + b + c.
	Chứng minh rằng: 
Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi tam giỏc cú đặc điểm gỡ?
Gợi ý: Áp dụng BĐT , với x, y dương.
Cõu 19: Tỡm x, biết:
	a) (2x – 1)(3 – x)(5x – 3) < 0 b) 
	c) (x – 1)2(1 – 2x)(x + 5) 
Câu 20: Cho góc xOy = 90o, tia phân giác Oz. Trên tia Oz lấy điểm A. Từ A kẻ AB ^Ox; AC ^Oy (B ẻ Ox; C ẻ Oy). D là điểm tuỳ ý trên đoạn thẳng OB. Nối AD. Tia phân giác góc CAD cắt Oy tại E. Chứng minh rằng AD = CE + BD.
Gợi ý: Trên Ox lấy điểm F sao cho BF = CE ị CE + DB = BF + DB = DF 
dễ chứng minh được Dvuông ACE = Dvuông ABF ( c.g.c)
ị CEA = BFA.(1) 
Mặt khác CEA = EAB (2)( Hai góc so le trong)
Lại có CAE = EAD ( do AE là tia phân giác )
 CAE = BAF ( Do D vuông ACE = D vuông ABF )
ị EAD = BAF ị EAB = DAF (3)( cùng cộng với DAB) 
Từ (1); (2); (3) ta có DAF = BFA ị D DAF cân tại D 
ị	AD = DF = CE + DB ( đccm)	
Câu 21: Cho tam giỏc nhọn ABC, cú BC = a, CA = b, AB = c . Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giỏc. Hạ MH,MK,MP lần lượt vuụng gúc với BC, CA, AB.
 a/ Chứng minh : AP2 + BH2 + CK2 = BP2 + CH2 + AK2.
 b/ Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của: AP2 + BH2 + CK2 (tớnh theo a,b,c)
Gợi ý:
a) Ta cú: AP2 + BH2 + CK2 = AM2 - MP2 + MB2 - MH2 + MC2 - MK2
= AM2 - MK2 + MC2 - MH2 + MB2 - MP2 = AK2 + CH2 + BP2 (đpcm)
b) Từ cõu a suy ra: 2( AP2 + BH2 + CK2 ) = (AP2 + BP2) + (KA2 + KC2) + (CH2 + BH2 )
= 
Vậy GTNN của AP2 +BH2 +CK2 là M là giao điểm ba đường trung trực của tam giỏc.
Câu 22: Cho tam giỏc đều ABC,đường cao AH. Trờn tia HC lấy điểm D sao cho AH = DH. Trờn nửa mặt phẳng khụng chứa A cú bờ là BD vẽ tia Dx sao cho gúc BDx cú số đo bằng 150. Dx cắt tia AB tại E. Chứng minh: EH = DH
Gợi ý:
Ta cú ; 
- Giả sử =, vụ lý
- Giả sử =, vụ lý
Vậy nờn tam giỏc AHE cõn, 
suy ra: EH = HE = HD
Cõu 23: Gọi O là điểm nằm trong tam giỏc ABC sao cho . Vẽ OH ^ AB, OK ^ AC. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng 
b) MH = MK.
Gợi ý: a) Cỏc tam giỏc vuụng OHB và OKC cú HE và KF là cỏc đường tẻung tuyến ứng với cạnh huyền nờn , do đú (1).
b) Từ (1) suy ra . Từ đú (c.g.c) nờn MH = MK.
Cõu 24: ABC cõn tại A, đường cao AD. Kẻ DH vuụng gúc với AC. Gọi I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng AI ^ BH.
Gợi ý: Gọi M là trung điểm của CH thỡ DM//DH. Ta sẽ chứng minh AI^DM. 
	MI là đường trung bỡnh của HDC nờn MI//DC. Do đú MI ^ AD.
	ADM cú I là trực tõm nờn AI ^ DM. Do đú AI ^ BH.
 Hết