Đề khảo sát chất lượng HSG năm học: 2014-2015 môn thi: Toán 7 - THCS

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
 LỚP: 7A
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG
Năm học: 2014-2015
Môn thi: Toán 7 - THCS
 (Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3đ) Tìm x sao cho
a) 
b) 
Bài 2 (4đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) thỏa mãn
a) 
b)
Bài 3 (4đ) 
a) Cho x, y, z, t là 4 số khác 0 và thỏa mãn các điều kiện sau: và . Chứng minh rằng:.
b) Cho: x+y – z = a – b, x - y + z = b – c và - x+y + z = c – a. 
Chứng minh : x + y + z = 0
Bài 4 (4đ) 
a) Cho đa thức 
Tính giá trị của đa thức tại x=1999
b) Cho đa thức .
Chứng tỏ rằng: nếu 
Bài 5 (5đ)
1. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD, ACE 
a) Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại K. Chứng minh CD vuông góc với BK 
b) Chứng minh ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy.
2. Cho 2 điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB=CD. Lấy điểm M tùy ý trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: 
Bài 6 (2 điểm): Tìm cặp số nguyên (x; y) biết: x + y = x.y 
Bài 7 (4 điểm)
a/ Tìm đa thức bậc hai f(x) biết rằng : f(0)=10; f(1)=20 và f(3)=58
b/ Chứng minh rằng nếu với m,n là các số tự nhiên thì m, n chia hết cho 3.
- HẾT -
ĐÁP ÁN
Bài 1 (3đ)
a, - Chỉ rõ được 	 (0.25đ)
- Chỉ rõ từng trường hợp và kết luận đúng 
 	 (0.75đ)
b, Lý luận để có (0.25đ)
Xét đủ 2 trường hợp 
- Trường hợp có 1 số âm tính được 	(0.75đ)
- Trường hợp có 3 số âm tính được 	(0.75đ)
- Kết luận đúng (0.25đ)
Bài 2: Ta có 
Lý luận tìm được 	 	(0.5đ)
b, Biến đổi được 	 (1đ)
Xác định được tích 2 số nguyên bằng 4 (6 trường hợp)	 (0.75đ)
Kết luận được: 	 (0.25đ)
Bài 3: Từ giả thiết suy ra 	(0.5đ)
Lập phương các tỉ số trên và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để có 
	(0.5đ)
Mặt khác ta có
	(0.75đ)
Suy được điều cần chứng minh	(0.25đ)
b, Cộng vế với vế suy được điều cần chứng minh	(2đ)
Bài 4 (0.75đ)
Thay 1999=x ta được
 (0.75đ)
Tính được kết quả và kết luận f(1999) = 1998	(0.5đ)
b, Tính 	(0.5đ)
	(0.5đ)
	(0.5đ)
 (0.5đ)
Bài 5 (5đ)
a, (2đ)
1, Vẽ hình và chứng minh đúng đến hết 	 (1đ)
2, Chỉ ra được AH, BE, CD là 3 đường cao của (1đ)
b, (3đ)
Xét 2 trường hợp
* Trường hợp điểm thì ta có
	 	 (1đ)
* Trường hợp 
	- Gọi I là trung điểm của BC	 (0.75đ)
	- Trên tia đối của tia IM lấy điểm N sao cho IM=IN (0.5đ)
 Vì 
	 (0.25đ)	
* Chứng minh được 	 (0.25đ)
- Điểm C nằm trong chứng minh được (0.5đ)
- Chứng minh 	 (0.25đ)
- Suy ra 	
Bài 6
2,0đ
x + y = x.y 
vì , 
do đó y - 1 = 1 hoặc y = 0 
Nếu y = 2 thì x = 2
Nếu y = 0 thì x = 0
Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0,0) và (2;2)
0,5
0,5
Bài 7
a
2,0đ
Gọi đa thức bậc hai là với 
Ta có : 
 (1)
Từ (1) và (2) 
Vậy đa thức cần tìm là 
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
b
2,0đ
Ta có : (1)
Vì 
Kết hợp với (1) 
 Vì 3 là số nguyên tố nên từ (2) và (3) suy ra m và n đều chia hết cho 3. 
Suy ra đpcm
0,5
0,5
0,5
0,5
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
 LỚP: 7A
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG
Năm học: 2014-2015
Môn thi: Toán 7 - THCS
 (Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3đ): Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh BC, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=BD. Các đường thẳng vuông góc với BC tại D và E lần lượt cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại M, N. Gọi I là giao điểm của MN với BC.
a/ Chứng minh rằng I là trung điểm của MN.
b/ Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2:(4 điểm):
a) Cho: . Biết rằng: P(1) = P(-1) và P(2) = P(-2)
Chứng minh rằng: P(x) = P(-x) với mọi x.
b) Cho . Chứng minh rằng : 
Bài 3:(4 điểm):
a, Tìm số nguyên x,y biết: 
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : với x là số nguyên,
Bài 4 : (5 điểm):
Cho tam giác ABC nhọn, AD vuông góc với BC tại D. Xác địng I , J sao cho AB là trung trực của DI , AC là trung trực của DJ, IJ cắt AB, AC lần lượt ở L và K. Chứng minh rằng:
a) Tam giác AIJ cân
b) DA là tia phân giác của góc 
c) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC. Chứng minh rằng góc IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất.
Bài 5: (6 điểm): 
a) 
Chứng tỏ rằng : 
b) Cho tổng: 
với giá trị nào của n thì S chia hết cho a + 1 ( )
c) Cho . Chứng minh rằng: 
--- Hết---
ĐÁP ÁN
Bài 1
6,0 điểm
a
3,0
Chứng minh 
 DM = EN
 Chứng minh 
 IM = IN
Hay I là trung điểm của MN
1,0
0,25
1,25
0,5
b
3,0
Gọi O là giao điểm của đường trung trực của BC với đường thẳng vuông góc với MN tại I.
Vì AB = AC AO là đường trung trực của BC OB=OC
Vì I là trung điểm của MN OI là đường trung trực của MN
 OM = ON
Vì BM = CN
Xét và có
OB = OC, OM = ON, BM = CN
= (C.C.C)
 (1)
Vì AO là đường trung trực của BC (2)
Từ (1) và (2) 
Vì vậy O là giao điểm của đường trung trực của cạnh BC với đường thẳng vuông góc với AC tại C nên điểm O cố định
Suy ra điều phải chứng minh
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
Bài 2: 
(4đ)
a, Từ: P(1)=P(-1) b+d=-b-d (1)
 P(2)=P(-2) 8b+2d=-8b-2d (2)
Từ (1) và (2) suy ra b=d=0
Vậy 
b, Từ: 
Từ (1) và (2) suy ra: 
0.5đ
0.5đ
1đ
0.5đ
0.5đ
1đ
Bài 3:
(4đ)
a, Từ 
 x (1-2y) = 40
Mà (1-2y) là số lẻ uớc lẻ của 40
Lập bảng: 
1-2y
-5
-1
1
5
x
-8
-40
40
8
y
3
1
0
-2
Vậy ta có các cặp giá trị (x,y) là: (8,-3) ; (-40,1) ;(40,0) ; (8,-2)
b, 
Để Q có GTLN khi có GTLN
Xét x>12 thì 
Xét x<12 thì 
 có GTLN khi và chỉ khi 
Vậy Q có GTLN là 5 khi x=11
1đ
0.5đ
0.5đ
1đ
0.5đ
0.5đ
Bài 4:
(5đ)
a, Do ID; DJ là trung trực của AB
 cân tại A 
b, 
c, CM được (không đổi)
cân tại A có không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nếu cạnh bên AI nhỏ nhất
Ta có AI=ADAH (AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC)
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi DH
Vậy khi D là chân đường vuông góc hạ tự A xuống BC thì IJ nhỏ nhất. 
0,5đ
1,5đ
1,5đ
1,5đ
Bài 7:
a, 
Ta có : 
Cộng từng vế ta có: 
b, Nếu n là số lẻ thì
Nếu n là số chẵn thì:
 chia hết cho (1+a)
Vậy nếu n là số tự nhiên chẵn thì S chia hết cho (a+1)
c, Ta có: 
0,5đ
1đ
0.5đ
1đ
1đ
2đ