Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán 11 năm học 2015 – 2016

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN 
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG TOÁN 11 
NĂM HỌC : 2015 – 2016 
Thời gian làm bài : 180 phút 
Câu 1. (1.5 điểm) Giải phương trình :  
2
cos2 cos4 6 2sin3x x x   
Câu 2. (1.5 điểm) Cho tam giác ABC và 5 đường thẳng song song với AB, 6 đường thẳng 
song song với BC, 7 đường thẳng song song với CA. Hỏi có bao nhiêu hình thang tạo bởi 
các đường thẳng đã cho. 
Câu 3. (1.5 điểm) Cho dãy số  nx xác định như sau 
1
*
1
3
3 2 ,n n
x
x x n N
 

  
Chứng minh  nx có giới hạn và tính giới hạn đó. 
Câu 4. (1.5 điểm) Giải hệ phương trình : 
  
    
24 4 9 3
4 2 2 3 3
x x x y xy y
x x y x
     

   
Câu 5. (1.0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD ngoại tiếp đường tròn 
tâm O, bán kính bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Tính góc tạo bới hai đường thẳng 
AG và SD. 
Câu 6. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm 
8
;0
3
G
 
 
 
 nội tiếp 
đường tròn (C) tâm I. Biết    0;1 , 4;1M N lần lượt là điểm đối xứng với với I qua các đường 
thẳng AB, AC; đường thẳng BC đi qua  2; 1K  . Viết phương trình đường tròn (C). 
Câu 7. (1.0 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng :
2 2 2
1
OA OB OC
bc ca ab
   , với , ,a BC b AC c AB   . 
Câu 8. (1.0 điểm) Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn 1x y z   . 
Chứng minh rằng : 1
x y z
P
x x yz y y zx z z xy
   
     
 . 
------------------ HẾT ------------------ 
THÁNG 03 NĂM 2016 
ĐÁP ÁN KHẢO SÁT HSG TOÁN 11 
THÁNG 03 NĂM 2016 
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 
Câu 1 Giải phương trình :  
2
cos2 cos4 6 2sin3x x x   
 2 24sin 3 .sin 6 2sin3 *pt x x x   
 
 
 
2
2
sin 3 1
* 4
* sin 1
* 4
sin3 1
sin3 1
2 ,
cos 0 2
x
VT
x
VP
x
x
x k k Z
x


 
 
   
  


    

1.5 
Câu 2 Cho tam giác ABC và 5 đường thẳng song song với AB, 6 đường thẳng 
song song với BC, 7 đường thẳng song song với CA. Hỏi có bao nhiêu 
hình thang tạo bởi các đường thẳng đã cho. 
* Hình thang có 2 cạnh song song AB, 1 cạnh song song BC, 1 cạnh 
song song CA : Có 2 1 15 6 7. . 420C C C  hình 
* Hình thang có 2 cạnh song song BC, 1 cạnh song song CA, 1 cạnh 
song song AB : Có 2 1 16 7 5. . 525C C C  hình 
* Hình thang có 2 cạnh song song CA, 1 cạnh song song AB, 1 cạnh 
song song BC : Có 2 1 17 5 6. . 630C C C  hình 
* Hình thang có 2 cạnh song song AB, 2 cạnh song song BC : Có 
2 2
5 6. 150C C  hình 
* Hình thang có 2 cạnh song song BC, 2 cạnh song song CA : Có 
2 2
6 7. 315C C  hình 
* Hình thang có 2 cạnh song song AB, 2 cạnh song song BC : Có 
2 2
7 5. 210C C  hình 
Vậy tất cả có : 420 525 630 150 315 210 2250      hình 
1.5 
Câu 3 
Cho dãy số  nx xác định như sau 
1
*
1
3
3 2 ,n n
x
x x n N
 

  
* Chứng minh 1n nx x  bằng qui nạp  nx tăng 
 Chứng minh 3nx  bằng qui nạp  nx bị chặn trên 
Vậy  nx có giới hạn 
* Giả sử    lim 3 3nx a a   , ta có 3 2 3a a a    
Vậy  lim 3nx  
1.5 
Câu 4 
Giải hệ phương trình : 
    
      
24 4 9 3 1
4 2 2 3 3 2
x x x y xy y
x x y x
     

   
ĐK : 
  2
0, 0
4 4 9 0
x y
x x x y
 

   
    
  
  
 
2
2
1 4 4 9 2 0
8 4 9
0
4 4 9 2
x x x y y xy y
x y x y y x y
xy yx x x y y
       
   
  
   
  
 
2
0
8 4 9
0 3
4 4 9 2
x y
x y y
xy yx x x y y
 
     
    
      
 
 
 
 
 
 
2
2
2 2
9 3
2 16 2 2 9 3 8 4
4 2
3 9 1
8 4 9 9 1 0 0
4 2 4 2
x
x x y x x y
x
x x
x y x
x x

       

  
         
   
Suy ra (3) vô nghiệm 
Với y x thay vào (2) được : 
    24 3 2 3 3 13 14 27 1x x x x x x        
Vậy hệ có nghiệm duy nhất    ; 1;1x y  
1.5 
Câu 5 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD ngoại tiếp đường tròn 
tâm O, bán kính bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Tính góc tạo 
bới hai đường thẳng AG và SD. 
1.0 
G
J
I
NM O
A
D
B C
S
 Từ giả thiết suy ra  ,SO ABCD ABCD là hình vuông cạnh 2a 
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD 
Do     
0
0
0
60
, 60
120
MSN
SAB SCD
MSN
 
  
 
Gọi I là trung điểm của BC, J là giao của ID và AC 
Ta có 
1
3
IG IJ
IS ID
   GJ song song SD    , ,AG SD AG GJ  
TH1 : 060MSN  
2 21 1 5 3 3 2, , 5
3 3 3 4 2
a a
GJ SD SN ND AJ AC AI a       
SAI cân tại A có 5, 2AI AS a SI a   . 
Tính được 
37
3
a
AG  
 
2 2 2 3 3
cos , arccos
2 . 4 185 4 185
AG GJ AJ
AGJ AG SD
AGGJ
 
    
TH2 : 0120MSN  
2 21 1 21 3 3 2;
3 3 9 4 2
a a
GJ SD SO OD AJ AC      
2 2 2
2
2 2 2
1
cos
2. . 7
103
2 . .cos
27
SA SI AI
ASI
SA AI
a
AG SA SG AS SG ASI
 
  
   
 
2 2 2 23
cos
2 . 4 2163
23
cos , arcos
4 2163
AG GJ AJ
AGI
AGGJ
AG SD
 
  
 
Câu 6 
Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm 
8
;0
3
G
 
 
 
 nội tiếp 
đường tròn (C) tâm I. Biết    0;1 , 4;1M N lần lượt là điểm đối xứng với 
với I qua các đường thẳng AB, AC; đường thẳng BC đi qua  2; 1K  . Viết 
phương trình đường tròn (C). 
1.0 
Gọi H, E lần lượt là trung điểm của MN và BC  2;1H 
Từ giả thiết ,IAMB IANC là các hình thoi ,AMN IBC là các 
tam giác cân bằng nhau AHEI là hình bình hành 
G cũng là trọng tâm tam giác HEI 
HG cắt IE tại trung điểm F của IE 
Ta có BC song song MN và BC qua K : 1 0pt BC y   
Theo hệ thức Ơ-le 
3 1
3;
2 2
HF HG F
 
   
 
   : 3 0 3; 1 3;0EF BC pt EF x E I       
Bán kính của  C : 5R IA HE   
Vậy phương trình    
2 2: 3 5C x y   
Câu 7 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng :
2 2 2
1
OA OB OC
bc ca ab
   , với , ,a BC b AC c AB   . 
1.0 
Gọi M, N, P lần lượt là các tiếp điểm của  O với AB, AC, BC 
Ta có ,AM AN OM ON  nên 
G
F
E
H
I
C
NM
B
A
B
O
A
C
M
N
P
 
2 2
2 2 2
1 1
.sin sin
2 2
1 1
.sin .sin
2 2
AMONS AM A OM MON
AM OM A OA A
 
  
Tương tự : 2 2
1 1
sin ; sin
2 2
BPOM CPONS OB B S OC C  
Khi đó : 
2 2 2 2 2 2.sin .sin .sin
.sin .sin .sin
OA OB OC OA A OB B OC C
bc ca ab bc A ca B ab C
     
 2 2
1
2 2
AMON BPOM CPON ABC
ABC ABC
S S S S
S S

 
 
   
Câu 8 Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn 1x y z   . 
Chứng minh rằng : 1
x y z
P
x x yz y y zx z z xy
   
     
 . 
   2
2 2
2
x yz x x y z yz x x y z yz
x x yz yz x yz
x x
x x yz x yz
        
    
 
  
Tương tự : ;
2 2
y y z z
y y zx y zx z z xy z xy
 
     
Suy ra 
2 2 2
x y z
P
x yz y zx z xy
  
  
Mặt khác : 
1 1 2 1 1
1 . .
2 2 2 22 2 2 2
yzx x yz
x yz x yz x yz x yz yz
 
          
Dẫn đến 
1.0 
 
 
 
2
2
2
1 1 1
2 2 22 2 2
1
2 2 2 2
1
.
2 2 2 2
1 1
.
2 2
x y z
x yz y zx z xy
yz zx xy
x yz yz y zx zx z xy xy
yz zx xy
x yz yz y zx zx z xy xy
yz zx xy
yz zx xy
    
  
 
       
 

    
 
 
 
Vậy 
3 1
1
2 2
P P    , dấu = xảy ra khi 
1
3
x y z  