Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD & ĐT Nho Quan (Có đáp án)

UBND HUYỆN NHO QUAN 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI 
Năm học 2013 – 2014 
MÔN: TOÁN 8 
 (Thời gian làm bài 150 phút) 
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang 
Gv: Trịnh Phong Quang 
Câu 1 (4,5 điểm). 
 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 a) 3 ( 2) 5 10x x x   . b) 3 25 8 4x x x   . 
 2. Cho biểu thức 
2 210 1 6
Q : 2
3 5 10 2 24
x x
x
x x xx x
   
       
        
, với 0x  và 2x   . 
a) Rút gọn biểu thức Q. 
b) Tính giá trị của Q biết 
1
2
x  . c) Tìm x để Q > 0. 
Câu 2 (3,0 điểm). 
 1. Chứng minh rằng số có dạng 4 3 26 11 6A n n n n    chia hết cho 24 với mọi 
số tự nhiên n. 
2. Đa thức f(x) khi chia cho 1x dư 4, khi chia cho 2 1x  dư 2 3x . Tìm phần dư 
khi chia f(x) cho 2( 1)( 1).x x  
Câu 3 (4,0 điểm). 
 1. Giải các phương trình sau: 
 a) 
1 2 3 2012
... 2012
2013 2012 2011 2
x x x x   
     . 
 b) 2 2 2( 4 ) 2( 2) 43x x x    . 
2. Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2012 2013 2014 0x xy x y     . 
Câu 4 (6,0 điểm). 
 Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh BC (M khác B và 
C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường 
thẳng DC tại K. 
1. Chứng minh KM vuông góc với DB. 
2. Chứng minh rằng: KC.KD = KH.KB. 
3. Ký hiệu ,ABM DCMS S lần lượt là diện tích các tam giác ABM và DCM. 
 a) Chứng minh tổng ( )ABM DCMS S không đổi. 
 b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để 2 2( )ABM DCMS S đạt giá trị nhỏ 
nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a. 
Câu 5 (2,5 điểm). 
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 2 22 3 1 9P x x x     . 
2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
3 3 2
5
a c a b a
a b a c b c
 
  
  
. 
 Đẳng thức xảy ra khi nào? 
---------------Hết--------------- 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
UBND HUYỆN NHO QUAN 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI 
Môn: Toán 8 
Năm học 2013 - 2014 
Câu Đáp án Điểm 
Câu 1 
(4,5điểm) 
1. (2,0 điểm) 
a) 3 ( 2) 5 10x x x   = 3 ( 2) 5( 2)x x x   = ( 2)(3 5)x x  0,5 
b) Ta có 3 25 8 4x x x   = 3 2 2( 4 4 ) ( 4 4)x x x x x     0,5 
= 2 2( 2) ( 2)x x x   0,75 
= 2( 1)( 2)x x  0,25 
2. (2,5 điểm) 
a) Với 0; 2,x x   ta có: 
2 210 1 6
: 2
( 2)( 2) 5( 2) 2 2
x x
Q x
x x x x x x
   
       
       
0,5 
2( 2) ( 2) 2 6 2 3
( 2)( 2) 2 ( 2)( 2) 2
x x x x
x x x x x x x
      
       
       
 0,75 
b) 
1 1
2 2
x x    0,25 
Khi 
1 6
ì
2 5
x th Q  0,25 
Khi 
1
ì 2
2
x th Q   0,25 
c) Q > 0 
3
0 2 0 2
2
x x
x
       

 0,25 
Kết hợp với ĐKXĐ ta có 2; 0; 2x x x    là giá trị cần tìm. 0,25 
Câu 2 
(3 điểm) 
1. (1,5 điểm) 
4 3 26 11 6A n n n n    = ( 1)( 2)( 3)n n n n   0,5 
Vì ; 1; 2n n n  là ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 3. Do 
đó ( 1)( 2) 3n n n  
0,25 
Vì ; 1; 2; 3n n n n   là bốn số tự nhiên liên tiếp nên có 2 số chẵn liên tiếp, 
trong 2 số chẵn liên tiếp có 1 số chia hết cho 2, số kia chia hết cho 4. 
Vậy ( 1)( 2)( 3)n n n n   8 
0,5 
Vì ƯCLN(3;8) =1 nên 4 3 26 11 6A n n n n    chia hết cho 24. 0,25 
2. (1,5 điểm) 
Ta có: f(x) chia 1x dư 4 => f(-1) = 4. 0,25 
Do bậc của đa thức chia là 3 nên đa thức dư có dạng 2ax bx c  . 0,25 
Theo định nghĩa phép chia còn dư, ta có : 
2 2
2 2
2 2
 f(x) = (x + 1)(x + 1).q(x) + ax + bx + c
 = (x + 1)(x + 1).q(x) + ax + a - a + bx + c
 = (x + 1)(x + 1).q(x) + a(x + 1) + bx + c - a
 = [(x + 1) 2.q(x) + a].(x + 1) + bx + c - a
 0,25 
Mà f(x) chia cho 2 1x  dư 2 3.x Do đó, ta có: 
2
2 2
9
3 3
2
4 6
3
2
b
b b
c a c a c
a b c a c
a

 
   
  
        
        

0,5 
Vậy đa thức dư cần tìm có dạng: 2
3 9
2
2 2
x x  0,25 
Câu 3 
(4,0 điểm) 
Câu 4 
(6,0 điểm) 
1a) (1,0 điểm) 
PT 
1 2 3 2012
1 1 1 ... 1 0
2013 2012 2011 2
x x x x   
         0,25 
2014 2014 2014 2014
... 0
2013 2012 2011 2
x x x x   
     0,25 
 (x – 2014)( 
1 1 1
...
2013 2012 2
   ) = 0 0,25 
 x = 2014 0,25 
1b) (1,5 điểm) 
    432.24 222  xxx      ;434424 222  xxxx 
Đặt x2- 4x = t. ĐK t  - 4 
0,5 
Khi đó ta có được phương trình: t2 + 2t - 35 = 0  (t + 7)(t – 5) = 0 0,25 
 t = -7 (loại) hoặc t = 5 0,25 
Với t = 5, khi đó x2 - 4x - 5 = 0  (x +1)(x – 5) = 0  x = 5 hoặc x = -1 0,25 
Vậy tập nghiệm phương trình là S = {-1; 5} 0,25 
1c) (1,5 điểm) 
2 2012 2013 2014 0x xy x y     2 2013 2013 2013 1x xy x x y       0,25 
 ( 1) 2013( 1) 1x x y x y       ( 2013)( 1) 1x x y    0,25 
  2013 11 1xx y    hoặc  2013 11 1xx y    0,5 
  20142014xy  hoặc  20122014xy 0,25 
Vậy pt đã cho có nghiệm nguyên là (2014 ;-2014), (2012 ; -2014). 0,25 
M
K
H
CD
BA
1. (1,0 điểm) 
Vì ,BM DK DM BK  nên M là trực tâm BDK do đó KM DB 1,0 
2. (1,5 điểm) 
Xét à KHD v KCB  có K chung và 090KHD KCB  0,5 
( ) . .
KH KD
KHD KCB gg KC KD KH KB
KC KB
      1,0 
3a) (1,5 điểm) 
1 1 1 1
. . . .
2 2 2 2
AB BM CD CM a BM a CMS S
ABM DCM
    1,0 
21 1( )
2 2
a BM CM a   0,25 
Vậy S S
ABM DCM
 không đổi 0,25 
3b) (2,0 điểm) 
Với hai số thực x , y bất kỳ ta có 2 2 2 2 22( ) ( ) ( ) ( )x y x y x y x y       0,25 
2 2 21 ( )
2
x y x y    . 0,25 
Dấu bằng xảy ra khi x = y 0,25 
Áp dụng ta có 
4
2 2 21 ( )
2 8
ABM CDM ABM DCM
a
S S S S    0,5 
Đẳng thức xảy ra khi ABM DCMS S BM CM M    là trung điểm của BC 0,5 
Vậy min
4
2 2( )
8
ABM CDM
a
S S  Khi M là trung điểm của BC 0,25 
Câu 5 
(2,5điểm) 
1. (1,0 điểm) 
Ta có 4 2 22 3 1 9P x x x     = 2 2 2( 1) 3 1 10x x    0,25 
2 23 49 49( 1 )
2 4 4
x      0,25 
Đẳng thức xảy ra khi 2
3 10
1 0
2 2
x x      0,25 
Vậy Min P = 
49 10
4 2
khi x   0,25 
2. (1,5 điểm) 
a c a b a b c
VT 2
a b a c b c a c a b
   
   
   
 
    
    
 0,25 
Áp dụng bđt côsi ta có: 
a c a b
2
a b a c
 
 
 
 0,25 
a b c 1 1 1 9 3
(a b c) 3 (a b c) 3
b c a c a b b c a c a b 2.(a b c) 2
 
             
        
 0,5 
a 3c a 3b 2a
a b a c b c
3
2 2. 5
2
 
 
  
    Đẳng thức xảy ra khi a = b = c 0,5 
Lưu ý khi chấm bài: 
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. 
Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương 
ứng. 
- Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.