Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán 8 năm học 2012 - 2013

UBND HUYỆN NINH GIANG
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GD&ĐT
MÔN TOÁN 8
Năm học 2012 - 2013
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài : 90 phút không kể giao đề.
Ngày thi : 04 – 04 - 2013
Câu 1 ( 2,0 điểm ) . 
	Tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn đẳng thức : 2(y+z) = x(yz -1) . 
Câu 2 ( 2,5 điểm ). Giải các phương trình sau : 
	a) 	b) 
Câu 3 ( 1,5 điểm ) . Cho biểu thức :
M = .
a) Rút gọn M.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M .
Câu 4 ( 2,5 điểm )
Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm BC. Kẻ MH vuông AC, gọi F là trung điểm MH. Chứng minh : AF BH.
Câu 5 ( 1,5 điểm ) . Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . 
Chứng minh rằng : a3 + b3 + ab 
-----------------------------------------Hết------------------------------------------
	Chữ ký giám thị 1 : ....................................Chữ ký giám thị 2 :............................
Họ tên thí sinh :................................................................Số báo danh :...............
HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI KHẢO SÁT HSG MÔN TOÁN 8
Năm học 2012 - 2013
Câu
Đáp án
Thang điểm
1
2,0đ
Theo đề : 2(y+z) = x(yz-1) nên 2 (y+z) (yz -1)
=> yz - 1 2(y+z) vì y,z nguyên dương.
=> 2(y+z) - yz + 1 0
Đặt M = 2(y+z) - yz + 1 0
Do y,z có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử 
y z .
M = 2(y+z) - yz + 1 = 5 - ( y-2)(z-2) 0
Rõ ràng với y 5 thì M < 0.
* Nếu y = 4 thì 5 - 2(z-2) 0 => z 4 => z = 4 => x lẻ => loại
* Nếu y = 3 thì 5 - z + 2 0 => z 7 .
Ta có bảng : 
z
3
4
5
6
7
y
3
3
3
3
3
x
lẻ
lẻ
lẻ
lẻ
1
* Nếu y = 2 thì => x = 2
* Nếu y = 1 thì 
Vậy (x;y;z) = {(1;3;7) ; (1;7;3); (2;2;3) ; (2;3;2) ; (4;1;2); (4;2;1); ( 2;1;4) ; (2;4;1)}
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2
2,5đ
a) ĐKXĐ : 
 PT 
=> x =1 ; x = 2 ; x = 
Cả 3 giá trị trên đều thỏa mãn ĐKXĐ .
Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = 
b) (*) 
Đặt t = x2 + 4
t = 2x => x2 + 4 = 2x => PT vô nghiệm
5t + 9x = 0 => 5x2 + 20 + 9x = 0 => PT vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
3
1,5đ
0,75đ
b) Biến đổi : M = 1 - . M nhỏ nhất khi lớn nhất x2+1 nhỏ nhất => x2 = 0 x = 0 . Vậy M nhỏ nhất = -2 khi x = 0
0,75đ
4
2,5đ
0,25đ
Dễ có ( g-g)
Lại có : ( cùng phụ ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ( c-g-c)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
=> ( góc tương ứng )
Gọi E là giao điểm của AM và BH . Do tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm BC nên AM vuông góc BC tại M.
Ta có : 
Vậy AF BH.
0,25đ
0,5đ
5
1,5đ
 Ta có : a3 + b3 + ab a3 + b3 + ab - 0
 (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 0
 a2 + b2 - 0 . Vì a + b = 1
 2a2 + 2b2 - 1 0
 2a2 + 2(1-a)2 - 1 0 ( vì b = a -1 )
 4a2 - 4a + 1 0
 ( 2a - 1 )2 0
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a3 + b3 + ab 
 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Thí sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa. 
Hình vẽ sai không chấm bài hình.
Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm.