Đề huyện Kinh Môn năm 2015 - 2016 môn Toán

ĐỀ HUYỆN KINH MÔN NĂM 2015 - 2016 Câu 1: (2đ). 
1) Cho 3 3x 17 12 2 17 12 2    . Tính giá trị của biểu thức: 
 A = x6 – 6x4 + 4x3 + 9x2 – 12x + 724. 
2) Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn: a3 + b3 – c3 + 3abc = 0. 
 Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2a b a c aM 2. 3. 5.c b c b                   
Câu 2: (2đ). 
1) Giải phương trình: 2 2x 12 17 9x x 5     
2) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – 1 chia hết cho 24. 
Câu 3: (2đ). 
1) Tìm các số nguyên x, y sao cho 2x2 – 4x + 3y2 + 6y – 5xy – 7 = 0. 
2) Cho đa thức P(x) thỏa mãn: Khi chia cho x – 3 dư 17; khi chia cho x – 1 dư 3. 
Tìm dư của phép chia P(x) cho x2 – 4x + 3. 
Câu 4: (3đ). 
Cho ABC. M là điểm thuộc cạnh BC. Qua M kẻ các đường thẳng song song 
với AC, AB. Chúng cắt AB, AC thứ tự tại N và P. 
1) Gọi O là trung điểm của NP. Chứng minh A, O, M thẳng hàng. 
2) Giả sử đường thẳng NP cắt đường thẳng BC tại Q và MB 1MC 2 . 
Tính QB/QC. 
3) Tìm vị trí của M để diện tích MNP có giá trị lớn nhất. 
Câu 5: (1đ). 
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
 8 8 84 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2a b cM (a b ).(a b ) (b c ).(b c ) (c a ).(c a )        
Gợi ý 
Câu 1: (2đ). 
1) Cho 3 3x 17 12 2 17 12 2    . Tính giá trị của biểu thức: 
 A = x6 – 6x4 + 4x3 + 9x2 – 12x + 724. 
Từ 3 3x 17 12 2 17 12 2     lập phương 2 vế, chuyển vế ta được: 
x3 – 3x – 34 = 0. 
 A = x3(x3 – 3x – 34) – 3x(x3 – 3x – 34) + 38(x3 – 3x – 34) + 2016 = 2016. 
2) Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn: a3 + b3 – c3 + 3abc = 0. 
 Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2a b a c aM 2. 3. 5.c b c b                   
a3 + b3 – c3 + 3abc = 0  (a + b)3 – 3ab(a + b) – c3 + 3abc = 0 
 (a + b – c).(a2 + 2ab + b2 + ac + bc + c2) – 3ab(a + b – c) = 0 
 (a + b – c)(a2 – ab + ac + bc + b2 + c2) = 0 
 (a + b – c)(2a2 – 2ab + 2ac + 2bc + 2b2 + 2c2) = 0 
 (a + b – c)[(a – b)2 + (a + c)2 + (b + c)2] = 0 
 a + b – c = 0 hoặc a = b = - c. 
* Với a + b – c = 0  M = 2.12 + 3.(-1)2 + 5.12 = 10. 
* Với a = b = -c  M = 2.(-2)2 + 3.(1/2)2 + 5.(-2)2 = 115/4 
Câu 2: (2đ). 
1) Giải phương trình: 2 2x 12 17 9x x 5     
2 2x 12 17 9x x 5      2x 12 - 4 = 2x 5 - 3 + 9x – 18 
 2 2(x 2)(x 2) (x 2)(x 2) 9(x 2)x 12 4 x 5 3
          2 2
(x 2)(x 2) (x 2)(x 2) 9(x 2) 0x 12 4 x 5 3
          
 2 2x 2 x 2(x 2) 9 0x 12 4 x 5 3
           
Ta thấy 2 2x 12 17 9x x 5     td 2 2x 12 x 5 9x 17     
Vì 2 2x 12 x 5   > 0 nên 9x – 17 > 0  x > 17/9. 
Khi đó dễ thấy 2 2x 2 x 2 9x 12 4 x 5 3
      < 0 nên x – 2 = 0  x = 2. 
2) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – 1 chia hết cho 24. 
p2 – 1 = (p – 1)(p + 1). 
Do p nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3.  p – 1 hoặc p + 1 chia 
hết cho 3  (p – 1)(p + 1) chia hết cho 3 (1). 
Do p nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ  p – 1 chẵn, p + 1 chẵn mà p – 1; p + 1 là 2 
số chẵn liên tiếp  (p – 1)(p + 1) chia hết cho 8 (2) 
(1); (2) và (3, 8) = 1  p2 – 1 chia hết cho 24. 
Câu 3: (2đ). 
1) Tìm các số nguyên x, y sao cho 2x2 – 4x + 3y2 + 6y – 5xy – 7 = 0. 
Đưa về (x – y – 2)(2x – 3y) = 7. 
Vì x, y nguyên nên: 
x-y-2 1 7 -1 -7 
2x – 3y 7 1 -7 -1 
x 2 17 10 - 14 
y -1 26 9 - 9 
2) Cho đa thức P(x) thỏa mãn: Khi chia cho x – 3 dư 17; khi chia cho x – 1 
dư 3. Tìm dư của phép chia P(x) cho x2 – 4x + 3. 
Theo bài  P(3) = 17; P(1) = 3. 
Vì đa thức chia là x2 – 4x + 3 có bậc 2 nên đa thức dư có dạng ax + b 
 P(x) = (x – 1)(x – 3).Q(x) + ax + b. 
P(3) = 17 và P(1) = 3  a + b = 3 và 3a + b = 17  a = 7, b = - 4 
Vậy dư là 7x – 4. 
Q
O
P
N
A
B CM
Câu 4: (3đ). 
Cho ABC. M là điểm thuộc cạnh BC. Qua M kẻ các đường thẳng song 
song với AC, AB. Chúng cắt AB, AC thứ tự tại N và P. 
1) Gọi O là trung điểm của NP. Chứng minh A, O, M thẳng hàng. 
2) Giả sử đường thẳng NP cắt đường thẳng BC tại Q và MB 1MC 2 . 
Tính QB/QC. 
3) Tìm vị trí của M để diện tích MNP có giá trị lớn nhất. 
1) dễ. 
2) BM/BC = BN/BA = MN/AC = 1/3 
 AP/AC = 1/3  AP/PC = ½  MN/PC = 1/2 
QM/QC = MN/PC = 1/2. 
 QM = MC mà BM = MC/2  MB = QB 
 QB/QC = 1/4. 
3) BNM ~  BAC; MPC ~  BAC 
 SBMN/SABM = BM2/BC2 
SMPC/SBAC = CM2/BC2 
 (SBNM + SMPC)/SABC = (BM2 + CM2)/BC2. 
Dễ chỉ ra SANMP = 2.SMNP 
 SMNP lớn nhất  SANMP lớn nhất  SBNM + SMPC nhỏ nhất. 
Mà (SBNM + SMPC)/SABC = (BM2 + CM2)/BC2 
 2. (SBNM + SMPC)/SABC = 2(BM2 + CM2)/BC2  (BM + CM)2/BC2 = 1 
 SBNM + SMPC  (SABC)/2 không đổi. 
 Min(SBNM + SMPC) = (SABC)/2 không đổi  BM = MC  M là trung điểm BC. 
Vậy  
Câu 5: (1đ). 
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
 8 8 84 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2a b cM (a b ).(a b ) (b c ).(b c ) (c a ).(c a )        
Có: 8 8 2 24 4 2 2 4 4 2 2a b a b(a b ).(a b ) (a b ).(a b )      ; 
8 8
4 4 2 2 4 4 2 2
b c(b c ).(b c ) (b c ).(b c )    = b2 – c2 ; 
8 8
4 4 2 2 4 4 2 2
c a(c a ).(c a ) (c a ).(c a )    = c2 – a2 
 8 84 4 2 2 4 4 2 2a b(a b ).(a b ) (a b ).(a b )    
8 8
4 4 2 2 4 4 2 2
b c(b c ).(b c ) (b c ).(b c )    + 
+ 8 84 4 2 2 4 4 2 2c a(c a ).(c a ) (c a ).(c a )    = 0 
 
8 8 8
4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2
8 8 8
4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2
a b c(a b ).(a b ) (b c ).(b c ) (c a ).(c a )
b c a(a b ).(a b ) (b c ).(b c ) (c a ).(c a )
      
       
 2M = 8 8 8 8 8 84 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2a b b c c a(a b ).(a b ) (b c ).(b c ) (c a ).(c a )         
Lại có 2.(a8 + b8 )  (a4 + b4)2; 2(a4 + b4)  (a2 + b2)2 ; a2 + b2  2ab 
 4M  4 4 4 4 4 42 2 2 2 2 2a b b c c aa b b c c a      
 8M  a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2  2ab + 2bc + 2ca = 2(ab + bc + ca) = 2 
 8M  2  M  1/4. 
 MinM = 1/4  a = b = c = 13