Đề HSG Toán 9 huyện Thanh Hà năm hoạc 2015 – 2016

ĐỀ HSG TOÁN 9 HUYỆN THANH HÀ NĂM HOẠC 2015 – 2016 Câu 1. (2.5đ). 
1) Cho biểu thức 4 x 8x x 1 2A :4 x2 x x 2 x x
                a) Rút gọn A. b) Tìm x để A = - 1. 
2) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = a b c  = 2. 
Chứng minh rằng: a b c 21 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c)        Câu 2. (1.5đ). Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình: (m – 4)x + (m – 3)y = 1 (với m là tham số). Xác định điều kiện của m để khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất. Câu 3. (2.0đ). 
1) Giải phương trình 4 27 x x 1 x 18x 85      
2) Tìm x, y biết rằng: 2 21 1x y 2,5 2x 3y2 2    Câu 4. (3 đ). 1) Cho điểm M nằm ngoài (O; R). Kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O). (A, B là các tiếp điểm với (O). MO cắt AB tại H. Qua H kẻ dây CD bất kì của (O). (Dây CD không trùng với dây AB, không đi qua O). a) Chứng minh rằng AB < CD. b) Kẻ tiếp tuyến tại C, D với (O) cắt nhau tại N. Chứng minh rằng MN // AB. 2) Không sử dụng máy tính bỏ túi. Hãy tính chính xác cos360. Câu 5. (1đ). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. 
Chứng minh rằng: 2 2 22a b c 941 a 1 b 1 c     
SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI: Câu 1. (2.5đ). 
1) Cho biểu thức 4 x 8x x 1 2A :4 x2 x x 2 x x
                HD: a) Rút gọn A: ĐK: x > 0; x  4. 
 
4 x 8x x 1 2A :4 x2 x x 2 x x
4 x 2 x 8x x 1 2( x 2)A :(2 x)(2 x) x( x 2)
               
       
8 x 4x x( x 2)A .(2 x)(2 x) 3 x
      4 x 2 x x(2 x)A .(2 x)(2 x) 3 x      4xA 3 x  b) Tìm x để A = - 1. 
Ta có A = - 1  4x 13 x
    4x x 3 0    
x 1
3x 4
   
 x = 9/16 (thỏa mãn) 
2) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = a b c  = 2. 
Chứng minh rằng: a b c 21 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c)        HD: 
Từ a b c  = 2  a + b + c + 2( ab ac bc) 4    2+ 2( ab ac bc  ) = 4 
 ab ac bc  = 1 
 1 + a = ab ac bc  + a = ( a b)( a c)  
Tương tự, 1 + b = ( b c)( b a )  ; 1 + c = ( c b)( c a )  
 (1 + a)(1 + b)(1 + c) = 2( b c)( b a )( c a )     
 2(1 a)(1 b)(1 c)   = 
2
( b c)( b a )( c a )   (1) 
Lại có: a b c1 a 1 b 1 c    = a( b c) b( a c) c( a b)( a b)( b c)( c a )
    
   
= ab ac bc ab ac bc( a b)( b c)( c a )
    
   = 
2
( a b)( b c)( c a )   (2) Từ (1) và (2)  điều phải chứng minh. Câu 2. (1.5đ). Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình: (m – 4)x + (m – 3)y = 1 (với m là tham số). Xác định điều kiện của m để khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất. HD: + m = 4 thì (d) có phương trình y = 1  khoảng cách từ O tới (d) bằng 1 đơn vị độ dài (1). + m = 3 thì (d) có phương trình – x = 1  khoảng cách từ O tới (d) bằng 1 đơn vị độ dài (2). + m  4 và m  3. 
(d) cắt Ox tại 1A ;0m 4    và cắt Oy tại 1A 0;m 3    tạo thành OAB vuông tại O. 
Kẻ OH  AB tại H thì 2 2 21 1 1OH OA OB  
 2 221 (m 4) (m 3)OH     = 2m2 – 14m + 25. 
2
2
OH  4m2 – 28m + 50 = (2m – 7)2 + 1  1  OH2  2  OH 2 . Dấu “=” xảy ra  m = 7/2. (3) Từ (1), (2), (3)  OHmax = 2  m = 7/2. Câu 3. (2.0đ). 
1) Giải phương trình 4 27 x x 1 x 18x 85      HD: 
Ta có:  22 2(1 1 ).(7 x x 1) 7 x x 1        
 2.8   27 x x 1    7 x x 1    4. Dấu “= “ xảy ra  x = 3. (1). 
Lại có: x4 – 18x2 + 85 = (x2 – 9)2 + 4  4. Dấu “= “ xảy ra  x = 3 hoặc x = - 3. (2). Từ (1) và (2)  phương trình có nghiệm x = 3. 
2) Tìm x, y biết rằng: 2 21 1x y 2,5 2x 3y2 2    HD: 
2 21 1x y 2,5 2x 3y2 2     2 2x y 5 2 2x 2 3y 0     
    2 2x 2 y 3 0     x 2y 3   
K
N
D
H
M
O
A
B
C
D
H
K
CB
A
Câu 4. (3 đ). 1) Cho điểm M nằm ngoài (O; R). Kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O). (A, B là các tiếp điểm với (O). MO cắt AB tại H. Qua H kẻ dây CD bất kì của (O). (Dây CD không trùng với dây AB, không đi qua O). a) Chứng minh rằng AB < CD. b) Kẻ tiếp tuyến tại C, D với (O) cắt nhau tại N. Chứng minh rằng MN // AB. 2) Không sử dụng máy tính bỏ túi. Hãy tính chính xác cos360. HD: 1a) Kẻ OK  CD tại K thì H và K không trùng nhau  OK < OH  AB < CD. 1b) CO2 = OK.ON; OB2 = OH.OM mà OB = OC  OK.ON = OH.OM từ đó chứng minh được OKH ~ OMN 
   0OMN OKH 90   NM  OM mà AB  OM  MN // AB. 2) 
Giả sử ABC cân tại A có A = 360,  B C = 720. Kẻ CH  AB, lấy D trên AB sao cho HB = HD 
 CBD cân tại C có BCD= 360. Chứng minh được ADC cân tại D. Kẻ DKAC. Đặt BC = a thì AD = DC = a. Đặt AK = KC = x thì ta có AB = AC = 2x, BD = 2x – a. ABC có CD là phân giác DA/DB = CA/CB  a/(2x – a) = 2x/a  a2 = 4x2 – 2ax  4x2 – 2ax – a2 = 0  (2x – a/2)2 = 5a2/4  x = (1 + căn 5)/4 (nghiệm dương).  cos360 = x = (1 + căn 5)/4. Câu 5. (1đ). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. 
Chứng minh rằng: 2 2 22a b c 941 a 1 b 1 c     HD: 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c). Tương tự, 1 + b2 = (b + c)(b + a); 1 + c2 = (c + a)(c + b). 
 2 2 22a b c1 a 1 b 1 c    = 
2a b c
(a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b)       
= 2a 2a 2b b 2c c. . .a b a c a b 2(b c) a c 2(b c)       Ta có: 
2a 2a 1 2a 2a. .a b a c 2 a b a c        ; 
2b b 1 2b b.a b 2(b c) 2 a b 2(b c)
        
2c c 1 2c c.a c 2(b c) 2 a c 2(b c)
        
 2a 2a 2b b 2c c. . .a b a c a b 2(b c) a c 2(b c)       
 1 2a 2a 2b b 2c c.2 a b a c a b 2(b c) a c 2(b c)
             
 2 2 22a b c1 a 1 b 1 c     
1 1. 2 22 2     = 
9
4 
Dấu “ = ” xảy ra  a = 7b = 7c = 715 .