Đề HSG Toán 9 huyện Phù Ninh 2011-2012

PHềNG GD&ĐT PHÙ NINH
đề thi CHỌN học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2011 - 2012
Môn: Toán 
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4,0đ): 
a/ Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau có giá trị là số nguyên tố.
	A = n3 + n - n2 -1
b/ Tìm các số nguyên x để biểu thức sau có giá trị là một số chính phương chẵn.
	B = +2
Bài 2 (4,0đ).
Rút gọn các biểu thức
	a/ M = ..
	b/ N = (với 2 ;x3).
Bài 3 (4 ,0 đ): 
Giải các phương trình sau.
	a/ (x +2). = 0 
	b/ ( x2 - x +2011)3 = x6 - (x -2011)3
Bài 4 (6,0đ) 
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC vuông góc với BD, hạ BH vuông góc với CD (H CD).
a/ Nếu AB // CD và qua B kẻ (d) song song với AC cắt tia DC tại E. Khi đó tính độ dài AC biết BH = 4cm ; BD = 5cm. 
b/ Nếu AB = .CD ; AO =.AC, Tính diện tích tứ giác ABCD biết diện tích tam giác AOB bằng 4cm2. (O là giao điểm của AC và BD)
Bài 5 (2,0đ):
 	Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn: x3 + y4 x2 +y3.
	 Chứng minh rằng: x2 + y3 x + y2
--------------------- Hết ---------------------
Họ và tên thí sinh:................................................... Số báo danh :..............Phòng thi.....
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
PHềNG GD&ĐT PHÙ NINH
Năm học 2011 - 2012
Bài 1 (4đ): 
a/ Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau có giá trị là số nguyên tố.
	A = n3 + n - n2 -1
b/ Tìm các số nguyên x để biểu thức sau có giá trị là một số chính phương chẵn.
	B = +2
Hướng dẫn:
a/ A = (n -1)(n2+1) 
Vì n- 1< n2 +1 nên để A có giá trị là số nguyên tố thì 
 từ đó => n=2 => P= n2 +1 =4+1 = 5
Đáp số: n= 2 ; P =5 
b/ Ta đặt B = (2n)2 = +2 (n N)
 ú 4.n2 = +2 + 2 14 +2 =16
ú n2 4 ú n 2 ú n ú x 
Đáp số: x 
1,0đ	 
1,0đ	 
0,5đ	 
0,5đ
1,0đ	 
Bài 2 (4,0đ).
Rút gọn các biểu thức: 	a/ M = ..
	b/ N = (với 2 ;x3).
Hướng dẫn:
a/ M = . = ==1
b/ Đặt : = a, a0; ú x = a2+ 2 => a # 1
N = = 
+/ Nếu : a1 ú x2 ,x 3 ; M = 
+/ Nếu : 0 a1 ú 2x<3 ,; M = =-1
Đáp số: a/ M = 1
	b/ N = 
2,0đ	 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 3 (4 ,0 đ): 
Giải các phương trình sau.
	a/ (x +2). = 0 
	b/ ( x2 - x +2011)3 = x6 - (x -2011)3
Hướng dẫn:
a/ Điều kiện : x3
 Từ pt đã cho ta có: x +2 = 0 hoặc = 0 
 ú x = -2 (Loại ) hoặc x= 3
vậy nghiệm phương trình là x =3 .
b/ áp dụng hằng đẳng thức :
 (a- b)3 = a3 -3a2b +3ab2 -b3 = a3 -3ab(a -b) -b3
Ta có: VT= [(x2 -(x-2011)]3 = x6 -3x2(x-2011)( x2 - x +2011)- (x-2011)3 
Pt ú x6 -3x2(x-2011)( x2 - x +2011)- (x-2011)3 = x6 - (x -2011)3
ú 3x2(x-2011)( x2 - x +2011) = 0 ú x= 0 hoặc x= 2011
x2 - x +2011 = 0 vô nghiệm vì :x2 - x +2011 =(x-)2 +2010>0.
Vậy nghiệm phương trình là : x= 0 hoặc x= 2011
0,5đ	 
1,5đ
0.5đ	 
0.5đ	 
0,5đ
0,5đ
Bài 4 (6,0đ) 
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC vuông góc với BD, hạ BH vuông góc với CD (H CD).
a/ Nếu AB // CD và qua B kẻ (d) song song với AC cắt tia DC tại E.Khi đó tính độ dài AC biết BH = 4cm ; BD = 5cm. 
b/ Nếu AB = .CD ; AO =.AC , Tính diện tích tứ giác ABCD biết diện tích tam giác AOB bằng 4cm2. (O là giao điểm của AC và BD)
Hướng dẫn:
a/ Ta có : Tứ giác ABEC là hình bình hành và AC BD => BDBE tại E, và AC = BE ,áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BDE ta có:
= + 
ú AC = BE = cm.
0,5đ
1,0đ
b/ Vì AB = ; AO =.AC =>AO =.OC 
 ú = 
=> =>ABO CDO (Cạnh huyền -Cạnh góc vuông)
=> = => SCOD = 4.SAOB = 4.4 =16 cm2
+ Vì OC = 2.OA => SBOC = 2.4 = 8cm2 ; SAOD = .16 = 8 cm2
Vậy: SABCD = 16 + 8 +8 + 4 = 36cm2.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ	 
1,0đ	 
1,0đ	 
Bài 5 (2,0đ):
 	Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn: x3 + y4 x2 +y3.
	 Chứng minh rằng: x2 + y3 x + y2
Hướng dẫn: 
Bài toán Cho C D Chứng minh :A B
Ta CM: (B - A )+ (C - D) 0
Thật vậy : 
Xét : x + y2 - (x2 + y3) + x3 + y4 -(x2 +y3.) 
 = x.(x2 -2x +1) + y2.(y2 -2y +1) = x.(x-1)2 + y2.(y-1)2 0
 ú x + y2 - (x2 + y3) 0 ú x2 + y3 x + y2
0,5đ	 
0,5đ
1,0đ