Đề HSG Toán 9 huyện Lâm Thao 2012-2013

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2012 - 2013
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3,0 điểm): 
Cho 
a) Tìm điều kiện để M có nghĩa.
b) Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa)
Bài 2: (4,5 điểm)
 a) Tính : 
 b) Giải phương trình : 
Bài 3. (4,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
b) Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố.
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (O;R), trong đó B, C là các tiếp điểm. Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định.
Bài 5: (5,0 điểm ) 
	Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.
	1. Chứng minh : 
	2. Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. Tính diện tích tam giác AMN.
	3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI (P IK, QAK, R AI). Xác định vị trí điểm O để nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
___________________________
Hä vµ tªn thÝ sinh:................................................... Sè b¸o danh :.............Phßng thi......
Chó ý: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2012 - 2013
MÔN: Toán
Bài 1: (3,0 điểm): Cho 
a. Tìm điều kiện để M có nghĩa. (1,0 đ)
Để M có nghĩa, ta có: 
b. Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) (2,0 đ)
 Với x > 0, ta có:
 = 
 = 
 = 2. Vậy M = 2
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 2: (4,5 điểm)
a) (2 điểm) Tính : 
 Ta có : 
 = = 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
b) (2 điểm) Giải phương trình : 
 Điều kiện : 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm.
Ta có : = 4
Dấu “ = ” xảy ra (1)
Mặt khác : 
Dấu “=” xảy ra (2)
Kết hợp (1) và (2) 
Phương trình có nghiệm duy nhất là : 
0,5
0,5
0,5
0.5 
Bài 3. (4,0 điểm)
a) (2 điểm) Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
 (*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0.
Vậy có 2 cặp số nguyên hoặc 
0,5
1,0
0,5
b) (2 điểm) Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố.
Xét thì A = 1 không phải nguyên tố; thì A = 3 nguyên tố.
Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 1
 = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) 
Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy ra (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + 1
Tương tự: (n3)667 – 1 chia hết cho n2 + n + 1
Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A là hợp số. Số tự nhiên cần tìm n = 1.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (O;R), trong đó B, C là các tiếp điểm. Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định.
Chỉ ra ΔHOK ~ ΔAOM (g-g) =>
OH
=
OK
=> OA.OK = OH.OM (1)
OA
OM
1,0
Xét tam giác BOM vuông tại B 
0,5
Từ (1) và (2) (không đổi)
0,5
Vậy BC đi qua điểm K cố định.
0,5
Ta có góc OHK = 90O; 
OK cố định nên H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định.
0,5
0,5
Bài 5: (5,0 điểm ) 
	Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.
	1. Chứng minh: 
	2. Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. Tính diện tích tam giác AMN.
	3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI ( P IK, QAK, R AI). Xác định vị trí điểm O để nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
C
D
K
I
M
H
N
B
A
1
2,0đ
Ta có: (vì . )
Trong tam giác AIK vuông tại A ta có: ( )
và AB = AD (3) (.)
Từ (1), (2), (3) 
0,5
0,5
0,25
0,75
2
2,0đ
Kẻ AH vuông góc với MN . 
Do CM + CN = 7 và CM - CN = 1 CM = 4; CN = 3 MN = 5
Ta có 
mà 
Ta lại có : và 
 DN = 3; BM = 2; BC = AD = AH = 6
0,5
0,5
0,5
0,5
3
1,0đ
Từ giả thiết ta có AQOR là hình chữ nhật
 nhỏ nhất khi O là trung điểm của AD.
0,5
0,5