Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD & ĐT Tam Dương (Có đáp án)

PHềNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2016 - 2017
MễN: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
Đề thi gồm 01 trang
Chỳ ý: Thớ sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh cầm tay!
Cõu 1. (2,0 điểm)
 a) Tớnh giỏ trị biểu thức . Biết .
b) Tỡm x, y nguyờn dương thoả món: x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = 0.
Cõu 2. (2,0 điểm)
a) Tỡm số dư trong phộp chia của đa thức cho đa thức .
b) Cho A = n6 + 10n4 + n3 + 98n – 6n5 – 26 và B = 1 + n3 – n. Chứng minh với mọi thỡ thương của phộp chia A cho B là bội số của 6.
Cõu 3. (2,0 điểm)
a) Cho a và b thỏa món: a + b = 1. Tớnh giỏ trị của biểu thức B = a3 + b3 + 3ab.
b) Cho cỏc số thực dương thỏa món . 
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức .
Cõu 4. (3,0 điểm) Cho tam giỏc ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng AB và AC lần lượt tại E và F.
 a) Chứng minh DE + DF = 2AM.
 b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF.
 c) Kớ hiệu SX là diện tớch của hỡnh X. Chứng minh S2FDC 16 SAMC.SFNA.
Cõu 5. (1,0 điểm) Trong một đề thi cú 3 bài toỏn A, B, C. Cú 25 học sinh mỗi người đều đó giải được ớt nhất một trong 3 bài đú. Biết rằng:
- Trong số thớ sinh khụng giải được bài A thỡ số thớ sinh đó giải được bài B nhiều gấp hai lần số thớ sinh đó giải được bài C.
- Số học sinh chỉ giải được bài A nhiều hơn số thớ sinh giải được bài A và thờm bài khỏc là một người.
- Số thớ sinh chỉ giải được bài A bằng số thớ sinh chỉ giải được bài B cộng với số thớ sinh chỉ giải được bài C. 
Hỏi cú bao nhiờu thớ sinh chỉ giải được bài B?
------------- Hết -------------
Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm!
Họ tờn thớ sinh...................................................................Số bỏo danh.................Phũng thi..................
PHềNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2016 -2017
MễN: TOÁN 8
Cõu
Nội dung
Điểm
Cõu1
2 điểm
a)x2 – 2y2 = xy Û x2 – xy – 2y2 = 0
 Û (x + y)(x – 2y) = 0
 Vỡ x + y ≠ 0 nờn x – 2y = 0 Û x = 2y .
 Khi đú P = 
0,25
0,25
0,5
b) Ta cú :
x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = 0 (x2+2x+1) - (y2+4y+4) – 7 = 0
(x+1)2 - (y+2)2 = 7 (x – y - 1)(x + y + 3) = 7 
Vỡ x, y nguyờn dương
nờn x + y + 3 > x – y – 1 > 0 x + y + 3 = 7 và x – y – 1 = 1 
x = 3; y = 1
Phương trỡnh cú nghiệm dương duy nhất (x , y) = (3 ; 1)
0,25
0,5
0,25
Cõu 2
2 điểm
a) Ta cú 
Đặt , biểu thức P(x) được viết lại:
Do đú khi chia cho t ta cú số dư là 2002
Vậy số dư phải tỡm là 2002.
0,25
0,5
0,25
Thực hiện phộp chia, ta được:
Thương của A chia cho B là n3 – 6n2 + 11n – 6
Ta cú: 
Vỡ (n-1).n.(n+1) là tớch của 3 số nguyờn liờn tiếp nờn tớch đú vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3 suy ra tớch đú chia hết cho 6
Mặt khỏc 6(2n-n2-1) chia hết cho 6
=> Thương của phép chia A cho B là bội số của 6
0,25
0,25
0,25
0,25
Cõu 3
2 điểm
a) Ta cú 
B = a3 + b3 + 3ab = a3 + b3 + 3ab(a+b) =(a+b)3=1 (Vì a+b =1)
1 điểm
b) 
Áp dụng BĐT và với dương, dấu bằng xảy ra 
Ta cú 
Bởi vậy 
=
Vậy Min P=. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
0,25
0,25
0,25
0,25
Cõu 4
3 điểm
Lập luận được : ( Do AM//DF) (1) 
 ( Do AM // DE) (2) 
 Từ (1) và (2) ( MB = MC) 
 DE + DF = 2 AM 
0,25
0,25
0,25
0,25
b) AMDN là hỡnh bành hành 
 Ta cú 
 => NE = NF
0,25
0,25
0,25
0,25
c)AMC và FDC đồng dạng 
 ( do AM = ND)
 FNA và FDC đồng dạng 
 Do đú: . 
 S2FDC 16 SAMC.SFNA 
( Do với x 0; y 0) 
0,25
0,25
0,25
0,25
Cõu 5
1 điểm
Gọi a là số học sinh chỉ giải được bài A, b là số thí sinh chỉ giải được bài B, c là số thí sinh chỉ giải được bài C, d là số thí sinh giải được 2 bài B và C nhưng không giải được bài A. Khi đó số thí giải được bài A và thêm ít nhất một bài trong hai bài B và C là: 
25- a- b- c- d
Theo bài ra ta có:
b+ d = 2( c +d); a = 1 + 25 - a - b - c - d và a = b + c.
từ các đẳng thức trên ta có:
Vậy số thí sinh chỉ giải được bài B là 6 thí sinh
0,25
0,25
0,25
0,25
Chỳ ý: Học sinh giải theo cỏch khỏc, nếu đỳng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.