Đề dự bị thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Hà Nam năm học 2015 - 2016 môn: Toán (chuyên tin)

UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ DỰ BỊ
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán (Chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề 
Câu 1 (2,0điểm).
a) Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn . 
 Tính giá trị của biểu thức: 
 b) Cho và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . 
Câu 2 (2,5điểm).
Giải phương trình .
Giải hệ phương trình 
Câu 3 (2,0điểm).
Cho ba số a, b, c thỏa mãn: và . 
Chứng minh:.
 b) Tìm tất cả các cặp hai số nguyên thỏa mãn: .
Câu 4.(3,5điểm) Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R (R là độ dài cho trước) lấy hai điểm M. N (M. N khác A và B) sao cho M thuộc cung và tổng các khoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN bằng .
Tính độ dài đoạn thẳng MN theo R. 
Gọi I là giao điểm của AN và BM, K là giao điểm của AM và BN. Chứng minh bốn điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo R.
Tìm giá tri lớn nhất của diện tich tam giác KAB theo R khi M, N thay đổi trên nửa đường tròn (O) nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết bài toán.
---HẾT---
Họ và tên thí sinh: ........................................................Số báo danh: .........................
Giám thị 1: ...................................................Giám thị 2: ...........................................
UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ DỰ BỊ
HƯỚNG DẪN 
CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán (Chuyên Tin)
( Bản Hướng dẫn chấm thi gồm có 04 trang )
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
a)
1,0
Điểm
0.25
0.25
Vì a, b dương nên .
0.25
Thay vào P ta được .
0.25
b)
1,0
điểm
Ta có x + y = 1 suy ra x3 + y3 + xy = (x+y)(x2 + y2 –xy) + xy = x2 + y2
0.25
0.25
Đẳng thức xảy ra . Vậy nhỏ nhất bằng 
0.25
Suy ra lớn nhất bằng 2
0.25
Câu 2
a)
1,25
điểm
0.25
Đặt y = . Phương trình trở thành y(y-5) = 24
0.5
0.5
b)
1,5
điểm
Hệ đã cho Û 
0.25
Đặt 
Hệ đã cho trở thành
 , ĐK : (*)
0,25
0.5
 ( TM(*)Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là:.
0.25
Câu 3
a)
1,0
điểm
Từ giả thiết a, b, c ta có 
0.25
Do đó 
Tương tự 
0.25
Suy ra 
0.25
0.25
b)
1,0
điểm
+) Nếu thay vào phương trình ta được 
+) Nếu vô nghiệm
+) Nếu 
0.25
+) Nếu ta có 
 (do )
0.25
+) Nếu , đặt . Khi đó ta có 
 (do )
0.25
Kết luận 
0.25
Câu 4
a)
1,0
điểm
Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên đường thẳng MN. Gọi H là trung điểm đoạn thẳng MN thì 
0.5
Xét hình thang AA’B’B có OH là đường trung bình nên 
0.5
b)
1,25
điểm
Ta có 
0.25
Suy ra bốn điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn đường kính KI
0.25
Vì MN = R nên tam giác OMN đều
Gọi O’ là trung điểm của IK thì O’ là tâm của đường tròn đi qua bốn điểm M, N, I, K 
và R’ = O’M là bán kính của đường tròn này.
0.5
Do đó 
0.25
c)
1,0
điểm
Gọi P là giao điểm của IK và AB, do I là trực tâm của tam giác KAB nên , nên KP là đường cao tam giác KAB hạ từ K.
Do O, O’ nằm trên trung trực đoạn MN, nên O, O’, H thẳng hàng. 
Xét tam giác MOO’ có 
Suy ra 
0.25
Tam giác KAB có AB không đổi nên nó có diện tích lớn nhất khi KP lớn nhất
Ta có 
0.25
Đẳng thức xảy ra khi cân tại Kđều (do )
0.25
Do đó 
Kết luận diện tích tam giác KAB lớn nhất bằng khi và chỉ khi MN//AB (hay đều)
0.5
Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương.
---HẾT---