Đề & ĐA HSG Toán 7 năm 2014-2015

PHÒNG GD QUẬN THANH KHÊ
TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN - LỚP 7
Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008
(Thời gian: 90 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,5 điểm). 
	Tìm số nguyên x biết : 
 	a) .
 	b) ( với m Î N ; x ¹ 0 ).
Bài 2 (2,0 điểm). 
 	a) Chứng minh : 32005 + 32006 + 32007 + 32008 + 32009 chia hết cho 11 .
 	b) Cho : . Chứng tỏ rằng : 	 
Bài 3 (2,0 điểm).
 	Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của số đó tỉ lệ thuận với các số 1 ; 2 và 3 ?
Bài 4 (3,5 điểm).
 	Cho DABC có A < 900, đường cao AH . Lấy điểm M sao cho AB là đường trung trực của HM và lấy điểm N sao cho AC là đường trung trực của HN. Nối MN lần lượt cắt AB và AC tại I và K. Chứng minh :
CI // HM và BK // HN .
Trong trường hợp A ³ 900, chứng tỏ ta vẫn có CI // HM và BK // HN.
----------- Hết -----------
PHÒNG GD QUẬN THANH KHÊ
TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG
HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 7
Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008
Bài 1 ( 2,5 điểm )
a) 1,25 điểm
+ Rút gọn vế phải có ........................................................0,25đ
 = = ...................................................................0,5đ
+ Vậy ta có = Þ = 1 ...............................................................................0,25đ
+ Tính được x = ± 1 ...................................................................................................0,25đ
b) 1,25 điểm
+ Viết tách xm + 3 = x3.xm và đặt nhân tử chung trong ngoặc vuông đúng ...............0,25đ
+ Rút gọn và đưa tới ( 2x - 1 )m - xm = 0 ............................................0,25đ
+ Chuyển vế có ( 2x - 1 )m = xm và xét :
 * Nếu m là số tự nhiên lẻ thì 2x - 1 = x Þ x = 1 .................................................0,25đ
 * Nếu m là số tự nhiên chẵn thì 2x - 1 = x và 2x - 1 = - x Þ x = 1 và x = ( loại ) ......0,25đ
+ Vậy x = 1 ..............................................................................................0,25đ
Bài 2 ( 2,0 điểm )
a) 1,0 điểm 
 + Đặt 32005 làm nhân tử chung đúng .............................................................0,25đ
 + Tính đúng tổng trong ngoặc bằng 121 .......................................................0,25đ
 + Vì 121 chia hết cho 11 nên tích 32005.121 cũng chia hết cho 11 ................0,5đ
 + Kết luận tổng các luỹ thừa đã cho chia hết cho 11 ....................................0,25đ 
b) 1,0 điểm 
+ Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau thì = ...........0,5đ
+ Lập tích các tỉ số để có ........................................0,5đ 
Bài 3 ( 2,0 điểm )
+ Gọi các chữ số của số đó là x ; y ; z với 1 £ x £ 9 ; 0 £ y £ 9 ; 0 £ z £ 9 ..............0,25đ
+ Vì số đó chia hết cho 18 nên chia hết cho 9 Þ ( x + y + z ) chia hết cho 9 (1) .............................0,25đ
+ Theo điều kiện trên thì 1 £ x + y + z £ 27 (2) ......................................................0,25đ
Từ (1) & (2) Þ x + y + z nhận các giá trị 9 ; 18 ; 27 (3) .........................................0,25đ
Theo bài thì Î N (4) ; từ (4) & (3) thì x + y + z = 18 .................0,25đ
+ Thay x + y + z = 18 vào (4) lần lượt có x = 3 ; y = 6 và z = 9 ...............................0,25đ
+ Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số tận cùng là 6 .........................................0,25đ
Kết luận : Các số cần tìm là 396 hoặc 936 ................................................................0,25đ
Bài 4 ( 3,5 điểm )
a) 1,5 điểm A
 N
 K
 I
 M
	B H C
+ Vì I Î đường trung trực của MH nên IB là phân giác của MIH (1) 
+ Vì K Î đường trung trực của NH nên KC là phân giác của HKN (2)
+ Do IB và KC cắt nhau tại A nên AH là phân giác trong tại đỉnh H của DIHK 1,0 điểm
+ Do AH ^ BC nên BC phải là phân giác góc ngoài tại đỉnh H của DIHK (3)
Từ (2) & (3) Þ IC là phân giác trong tại đỉnh I của DIHK, kết hợp với (1) Þ IC ^ AB 
+ Có HM ^ AB & IC ^ AB nên CI // HM 
* Chứng minh tương tự, ta cũng có BK ^ AC & HN ^ AC nên BK // HN ...............0,5đ
b) 2,0 điểm 
* Trong trường hợp A = 900, chứng minh như câu a ta có I và K trùng với A ...........1,0đ
* Trong trường hợp A > 900, Lập luận tương tự câu a ta cũng có kết quả tương tự ..0,75đ
Vậy trong trường hợp A ³ 900 ta vẫn có CI // HM và BK // HN ...........................0,25đ
Chú ý : HS có thể giải theo cách khác (không vượt quá chương trình toán 7) đúng vẫn cho điểm tối đa
---------- Hết ----------