Đề & ĐA HSG Toán 7 năm 2000-2001

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG
TRƯỜNG THCS THANH PHONG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2010-2011. MÔN THI: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 01 trang)
Thời gian:120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: a) So sánh hợp lý: 	và 
 b) Tính A =
 	c) Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 vµ x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. 
	Chøng minh r»ng: x = y = z
Bài 2: Tìm x biết: 
 	a) (2x-1)4 = 16 	b) (2x+1)4 = (2x+1)6 
	c) 	d) 
Bài 3: Tìm các số x, y, z biết : 
 a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0
 b) và x2 + y2 + z2 = 116
Bài 4:	a) Cho hai ®¹i l­îng tØ lÖ nghÞch x vµ y ; x1, x 2 lµ hai gi¸ trÞ bÊt k× cña x; y1, y2 lµ hai gi¸ trÞ t­¬ng øng cña y.TÝnh y1, y2 biÕt y12+ y22 = 52 vµ x1=2 , x 2= 3.
 	b) Cho hµm sè : f(x) = a.x2 + b.x + c víi a, b, c, d ÎZ
 BiÕt 	. Chøng minh r»ng a, b, c ®Òu chia hÕt cho 3
 	c) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 10
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:
 	a) BH = AI. 
b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi.
c) Đường thẳng DN vuông góc với AC.
d) IM là phân giác của góc HIC. 
--------------------------------------HÕt--------------------------------
Đáp án Toán 7-THCS THANH PHONG
Bài 1: (1,5 điểm):
 	a) Cách 1: = > 
 Cách 2: > = 
	c) V× x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 vµ x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy 	Þ.
	¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau Þ 
Bài 2: (1,5 điểm): 
 a) (2x-1)4 = 16.Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5 	(0,25điểm)
 b) (2x+1)4 = (2x+1)6. Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 	(0,5điểm)
 c) 
; x = 25; x = - 31 
 : vô nghiệm 
 	d) 
Bài 3: 
a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 +(x - z) 2100 = 0(3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0
 	 3x - 5 = 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0 x = z = ;y = -1;y = 1 
b) và x2 + y2 + z2 = 116
	Từ giả thiết 
 	Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8); (x = - 4; y = - 6; z = - 8) 
Bài 4:	a) V× x, y lµ hai ®¹i l­îng tØ lÖ nghÞch nªn: 
	Víi y1= - 6 th× y2 = - 4 ; 
	Víi y1 = 6 th× y2= 4 .
	b) Ta cã: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c
	Tõ (1) vµ (2) Suy ra (a + b) +(a - b) v× ( 2; 3) = 1 
	VËy a, b, c ®Òu chia hÕt cho 3
	c) = 
 == = 10(3n -2n-1)
	Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương.
N
Bài 5: 
DAIC = DBHA Þ BH = AI 	(0,5điểm)
BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 	(0,75điểm)
AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N Þ N là trực tâm Þ DN AC	(0,75điểm)
DBHM = DAIM Þ HM = MI và ÐBMH = ÐIMA	 (0,25điểm)
 mà : Ð IMA + ÐBMI = 900 Þ ÐBMH + ÐBMI = 900 	 	(0,25điểm)
 Þ DHMI vuông cân Þ ÐHIM = 450 	(0,25điểm) 
 mà : ÐHIC = 900 ÞÐHIM =ÐMIC= 450 Þ IM là phân giác ÐHIC	(0,25điểm) 
*) Ghi chuù:
Neáu hoïc sinh coù caùch giaûi khaùc ñuùng, vaãn ñöôïc ñieåm toái ña.