Đề cương ôn thi vào 10 mô Toán học

BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
I. TÍNH:
1/ 	2/ 	3/ 	4/ 
5/ 	6/ 
7/ 	8/ 
9/ 	10/ 
11/ 	l2/ 
13/ 	14/ 
15/	16/ 
17/ 	18/ 
19/ 	20/ 	
21/ 	22/ 	
23/	24/ 
II. RÚT GỌN: ( Lưu ý: trước khi rút gọn phải tìm điều kiện xác định của biểu thức )
1/ 	2/ 
3/ 	4/ 
5/ 	6/ 
7/ Cho bieåu thöùc
M = a/ Ruùt goïn M b/ Tính giaù trò M khi x = vaø y = 
8/ Cho bieåu thöùc N = 
a/ Vôùi giaù trò naøo cuûa x thì N coù nghóa	b/ Ruùt goïn N	c/ Tìm x ñeå N = 5
9/ Cho bieåu thöùc
P = b/ Ruùt goïn P	c/ Tìm x ñeå P = -1
10/ Cho bieåu thöùc
Q= a/ Ruùt gon Q	 b/ Tìm x ñeå Q < 0
11/ Cho bieåu thöùc
B = 
a/ Tìm ñieàu kieän cuûa x ñeå B coù nghóa	b/ Ruùt goïn B c/ Tính B khi x = 9 - 4
12/ Cho bieåu thöùc
C = a/ Ruùt goïn C	b/ Tính giaù trò cuûa C khi x = 
13/ Cho bieåu thöùc
D = a/ Ruùt goïn D b/ Tìm x ñeå D nhaän giaù trò nguyeân
14/ Cho bieåu thöùc
S = a/ Ruùt goïn	b/ Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa S
15/ Cho bieåu thöùc
 a/ Ruùt goïn b/ Tìm giaù trò cuûa a ñeå Z < 0.
16/ Cho bieåu thöùc
 a/ Ruùt goïn b/ Tìm GTLN cuûa P .
17/ Cho bieåu thöùc
	a/ Ruùt goïn A. 	b/ Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc A khi .
18/ Cho bieåu thöùc
	a/ Ruùt goïn F. b/ Tìm giaù trò nguyeân cuûa x ñeå F nhaän giaù trò nguyeân.
 19/ 20/ 
21/ 
 22/ 23/ 
 24/ 
III. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH: 
( lưu ý: tìm điều kiện xác định và chọn nghiệm cuối cùng )
1/ 	2/ 
3/ 	4/ 
5/ 	f6 
7/ 	8/ 
9/ 	10/ 
11/ 	12/ 
13/ 	14/ 
15/ 	16/ 
17/ 	18/ 	 	19/ 
20/ Cho hệ phương trình: . Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất? Vô nghiệm? Vô số nghiệm?
21/ 	22/ 
23/ 	24/ 	25/ 	
27/ 	28/ 	29/ 	
30/ 	31/ 	32/ 	
33/ 	34/ 	35/ 
36/ 	37/ 	38/ 	 39/	40/ 	
41/ 	42/ 
IV. ĐỒ THỊ VÀ HÀM SỐ:
Bài 1: Cho hai hàm số y = có đồ thị (P) và y = -x + m có đồ thị (Dm).
Với m = 4, vẽ (P) và (D4) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.
Xác định giá trị của m để:
(Dm) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.
(Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
(Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm. 
HD: 	1. Tọa độ giao điểm: (2 ; 2) và (– 4 ; 8).
	2a). m = .
	2b) = 1 + 2m > 0.
	2c) m = tọa độ tiếp điểm (-1 ; ).
Bài 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) và y = – 3x + m có đồ thị (Dm).
Khi m = 1, vẽ (P) và (D1) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.
Xác định giá trị của m để:
a) (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm có hoành độ bằng .
b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm.
Bài 3: Cho hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P).
Vẽ (P) trên một hệ trục tọa độ vuông góc..
Gọi A() và B(2; 1).
Viết phương trình đường thẳng AB.
Xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng AB và (P).
Tìm điểm trên (P) có tổng hoành độ và tung độ của nó bằng – 6.
HD:	2a). Đường thẳng AB có phương trình y = = 3x – 5.
2b). Tọa độ giao điểm: (1;– 2) và (; ).
3. Gọi M(xM; yM) là điểm trên (P) thỏa đề bài, ta có: xM + yM = – 6.
	 Mặt khác: M(xM; yM) (P) yM = – 2 nên: xM + yM = – 6 xM + (– 2) = – 6
 – 2 + xM + 6 = 0 .
Vậy có 2 điểm thỏa đề bài: M1(2; – 8 ) và M2().
Bài 4: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = – 2x + có đồ thị (D).
 Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.
 Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hoành độ và tung độ của điểm đó bằng – 4.
Bài 5: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + có đồ thị (D).
 Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.
Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
 Gọi A là điểm (P) và B là điểm (D) sao cho . Xác định tọa độ của A và B.
HD: 	2. Tọa độ giao điểm: () và ( ).
	3. Đặt xA = xB = t.
A(xA; yA) (P) yA = = t2.
B(xB; yB) (D) yB = xB + = t + 
Theo đề bài: 11.t2 = 8.( t + ) .
Với t = 2 .
Với t = .
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3).
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, B.
Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = –2x2.
Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho.
Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
Bài 7: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –2x2 trên mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy.
Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm A(–2; –1) và có hệ số góc k.
Viết phương trình đường thẳng (D).
Tìm k để (D) đi qua B nằm trên (P) biết hoành độ của B là 1.
Bài 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (D).
Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.
Gọi A là điểm thuộc (D) có hoành độ bằng 5 và B là điểm thuộc (P) có hoành độ bằng – 2. Xác định tọa độ của A, B.
Tìm tọa độ của điểm I nằm trên trục tung sao cho: IA + IB nhỏ nhất.
Bài 9: Cho (P): y = x2 và (D): y = – x + 2.
Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (D), xác định tọa độ của A, B.
Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm).
CMR: Tam giác AOB là tam giác vuông.
V. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG:	
* Định lý: Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0) thì ta có:.
	b) Định lý đảo: Nếu 
 u, v là 2 nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (ĐK: S2 – 4P 0).
* Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét:
Tổng bình phương các nghiệm: 
Tổng nghịch đảo các nghiệm: 
Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm: 
Bình phương của hiệu các nghiệm: 
Tổng lập phương các nghiệm: 
*Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:
(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số).
* Phương pháp giải: 
Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm ( hoặc a.c < 0).
Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình .
Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P Đó là hệ thức độc lập với tham số.
Bài 1: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1).
Giải phương trình (1) khi m = – 2.
CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
HD:	1. Khi m = –2, ta có phương trình: x2 + 5x + 4 = 0, pt có a – b + c = 1 –5 + 4 = 0 
	Vậy khi m = – 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = – 4.
	2. = m2 + 2m + 9 = (m + 1)2 + 8 > 0, .
	3. Hệ thức: 2S + P = – 6 2(x1 + x2) + x1x2 = – 6.
Bài 2: Không giải phương trình: Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm gấp đôi các nghiệm của phương trình trên.
Bài 3: Cho phương trình: 
a) Chứng tỏ rằng phương trình trên có hai nghiệm phân biệt 
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = – 4 và tính nghiệm kia.
c) Tìm m để tổng hai nghiệm của phương trình bằng – 11. Tìm hai nghiệm đó.
Bài 4:Không dùng công thức nghiệm áp dụng vào phương trình sau: .
a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt .
b) Tính:	 	 	
Bài 5: Cho phương trình: 
a) Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn:
Bài 6: Cho phương trình: . Gọi là hai nghiệm của phương trình trên. Xác định m để :
a)Phương trình có hai nghiệm phân biệt 	b)Phương trình có nghiệm kép.	
c) Phương trình vô nghiệm.	e) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu.
d) Phương trình có hai nghiệm trái dấu.	f) Phương trình có hai nghiệm dương.
g) Phương trình có hai nghiệm âm.
h) Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà giá trị tuyệt đối của nghiệm âm lớn hơn nghiệm dương.
Bài 7: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1).
Giải phương trình (1) khi m = 3.
CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 8 : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1)
Giải phương trình (1) khi m = 2.
CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.
Bài 9 : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1)
Giải phương trình (1) khi m = 5.
CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
Bài 10 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1)x + m2 = 0 (1).
Tìm m để:
Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Pt (1) có một nghiệm là – 2.
Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). CMR: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + 4 = 0.
Bài 11: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1). 
Giải phương trình (1) khi m = – 2.
CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tính A = theo m.
Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 12: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1). 
Giải phương trình (1) khi m = –1.
CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m.
Tìm m để = 10.
Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) (1).
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó.
Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m.
VI. HÌNH HỌC:
Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®­êng trßn (O). C¸c ®­êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i 
H vµ c¾t ®­êng trßn (O) lÇn l­ît t¹i M,N,P.
Chøng minh r»ng:
Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp .
Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
H vµ M ®èi xøng nhau qua BC.
X¸c ®Þnh t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF.
BH.BE + CH.CF = BC2
AO EF
 8. PN // EF
 9. AO cắt đường tròn tại K. chứng minh tứ giác BHCK là hình
Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®­êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®­êng trßn 
ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE.
Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp .
Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
Chøng minh ED = BC.
Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O).
TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Bµi 3 Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn l­ît ë C vµ D. C¸c ®­êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N.
Chøng minh AC + BD = CD.
Chøng minh ÐCOD = 900.
Chøng minh AC. BD = .
Chøng minh OC // BM
Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD.
Chøng minh MN ^ AB.
X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Bµi 4 Cho ®­êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®­êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC ^ MB, BD ^ MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB.
Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp.
Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn .
Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi.
Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng.
T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d
Bµi 5 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®­êng cao AH. VÏ ®­êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i D c¾t CA ë E.
Chøng minh tam gi¸c BEC c©n.
Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH.
Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (A; AH).
Chøng minh BE = BH + DE.
Bµi 6 Cho ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao 
cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M.
Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn.
Chøng minh BM // OP.
§­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh.
BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng.
Bµi 7 Cho nöa ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®­êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®­êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F, tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K.
1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp.
2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB.
3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n.
4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi.
5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn.
Bµi 8 Cho ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®­êng trßn sao cho AM < MB. Gäi M’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua AB vµ S lµ giao ®iÓm cña hai tia BM, M’A. Gäi P lµ ch©n ®­¬ng 
vu«ng gãc tõ S ®Õn AB.
Chøng minh bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®­êng trßn
Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP. Chøng minh r»ng tam gi¸c PS’M c©n.
Chøng minh PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn .
Bµi 9 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®­êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A , VÏ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F.
Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt.
BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp.
AE. AB = AF. AC.
Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn .
Đường tròn(O1;R) và đường tròn(O2;r).khi dó tính HE theo R và R
Bµi 10 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nöa ®­êng trßn cã ®­êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K.
§­êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®­êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña EA, 
EB víi c¸c nöa ®­êng trßn (I), (K).
Chøng minh EC = MN.
Chøng minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®­êng trßn (I), (K).
TÝnh MN.
TÝnh diÖn tÝch h×nh ®­îc giíi h¹n bëi ba nöa ®­êng trßn
Bµi 11 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®­êng trßn (O) cã ®­êng kÝnh MC. ®­êng th¼ng BM c¾t ®­êng trßn (O) t¹i D. ®­êng th¼ng AD c¾t ®­êng trßn (O) t¹i S.
Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp .
Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB.
Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC víi ®­êng trßn (O). Chøng minh r»ng c¸c ®­êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy.
Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.
Chøng minh ®iÓm M lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE.
Bµi 12. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã ®­êng cao lµ AH. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC.
Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã.
Chøng minh r»ng MP + MQ = AH.(HD: sử dụng SABM + SACM = SABC )
Chøng minh OH ^ PQ.
Bµi 13. Cho tam gi¸c nhän ABC cã ÐB = 450 . VÏ ®­êng trßn ®­êng kÝnh AC cã t©m O, ®­êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E.
Chøng minh AE = EB.
Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®­êng trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH.
Chøng minh OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE.
Bµi 14. Cho ®­êng trßn (O), BC lµ d©y bÊt k× (BC< 2R). KÎ c¸c tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn (O) t¹i B vµ C chóng c¾t nhau t¹i A. Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iÓm M råi kÎ c¸c ®­êng vu«ng gãc MI, MH, MK xuèng c¸c c¹nh t­¬ng øng BC, AC, AB. Gäi giao ®iÓm cña BM, IK lµ P; giao ®iÓm cña CM, IH lµ Q.
1. Chøng minh tam gi¸c ABC c©n. 2. C¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp .
3. Chøng minh MI2 = MH.MK. 4. Chøng minh PQ ^ MI.( HD: chøng minh ÐC1 + ÐB2 + ÐBMC = 1800 => ÐI1 + ÐI2 + ÐBMC = 1800 hay ÐPIQ + ÐPMQ = 1800 => tø gi¸c PMQI néi tiÕp)
Bài 15:Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, điểm I di động trên đường tròn, đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại I. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A và B trên d, gọi H là hình chiếu của I trên AB.chứng minh rằng:
I là trung điểm của MN
AM + BN không đổi
AM.BN R2
Đường thẳng d cắt đường thẳng AB tại K. chứng minh tích OH.OK không đổi
Bài 16: cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Trên đường thẳng BC lấy điểm D sao cho H là trung điểm của BD. Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ C xuống đường thẳng AD.chứng minh rằng: 
HE = HA
2DE.DA = DB.DC
Giả sử góc ABC bằng 600 và BC = a. tính HE và chứng tỏ HE//AC	
Bài 17: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh BC và N là điểm trên cạnh CD sao cho BM = CN. Các đoạn thằng AM và BN cắt nhau tại H.
CMR: Các tứ giác AHND và MHNC là những tứ giác nội tiếp.
Khi BM = . Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a.
Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN theo a.
( HD: Đặt x = BM = CN CM = a – x .
+ MCN vuông tại CMN2 = CM2 + CN2 
= (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = )
Bài 18: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là một điểm bất kỳ 
trên cạnh BC. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với tia DE tại H, đường
thẳng này cắt tia DC tại F.
CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
CMR: DE.HE = BE.CE.
Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC.
CMR: HC là tia phân giác của .
.
Bài 19: Cho hai đường tròn (O; 20cm) và (O’; 15cm) cắt nhau tại A và B.
 Biết AB = 24cm và O và O’ nằm về hai phía so với dây chung AB. Vẽ đường kính AC của đường tròn (O) và đường kính AD của đường tròn (O’).
CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng.
Tính độ dài đoạn OO’.
Gọi EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) (E, F là các tiếp điểm). CMR: Đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF.
( HD:+ Gọi K là giao điểm của AB và EF.
+ OEK vuông tại E 	(1)
+ OHK vuông tại H 	(2)
+ Từ (1) và (2) KE2 = (OH2 + HK2) – OE2
 = 162 + HK2 – 202 = HK2 – 144 (*).
+ O’FK vuông tại F 	(3)
+ O’HK vuông tại H 	(2)
+ Từ (3) và (4) KF2 = (O’H2 + HK2) – O’F2 = 92 + HK2 – 152 = HK2 – 144 (**).
Bài 20: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD 
không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA và MB đến đường 
tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D. 
CMR: MA2 = MC. MD.
Gọi I là trung điểm của CD. CMR: 5 điểm 
M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn.
Gọi H là giao điểm của AB và MO. 
CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường 
tròn. Suy ra AB là phân giác của .
Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và 
D của đường tròn (O). CMR: 3 điểm A, B, K thẳng hàng.
Bài 21: Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R). Gọi AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (B và C là hai tiếp điểm). Từ A vẽ một tia cắt đường tròn tại E và F (E nằm giữa A và F).
CMR: và đồng dạng. Suy ra AC2 = AE. AF.
Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường tròn.
Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M. Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp được trong đưởng tròn. Suy ra tứ giác MIFB là hình thang.
Giả sử cho OA = R. Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ở ngoài hình tròn (O)