Đề cương ôn tập học kì I Hình học lớp 12

CHƯƠNG I. VECTƠ
I. LÝ THUYẾT
1. Hai vectơ bằng nhau
C
A
D
B
O
Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng độ dài và cùng hướng.
VD: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó:
	 và không bằng nhau
	 và không bằng nhau
2. Tổng của hai vectơ:
Cho . Từ một điểm A bất kỳ, ta dựng , . Khi đó: được gọi là tổng của hai vectơ và . Kí hiệu: = + 
3. Hiệu của hai vectơ:
	+ Vectơ đối của , kí hiệu là –, là một vectơ ngược hướng và cùng độ dài với .
	+ Hiệu của 2 vectơ , là tổng của với vectơ đối của . Kí hiệu: – = +(–).
4. Các quy tắc: 
	+ Quy tắc 3 điểm: Với 3 điểm A, B, C bất kỳ, ta luôn có: 
	+ Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì: 
	+ Quy tắc hiệu: Với 3 điểm O, A, B bất kỳ, ta luôn có: 
	+ Nếu I là trung điểm của đoạn AB thì: 
	+ Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì: 
5. Tích của vectơ với 1 số:
Tích của vectơ với số thực k là một vectơ, kí hiệu: k
	+ Hướng: * Nếu k 0 thì k cùng hướng với 
 * Nếu k 0 thì k ngược hướng với 
	+ Độ dài: | k| = |k|||
6. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác:
	+ Nếu I là trung điểm của đoạn AB thì với mọi điểm M, ta luôn có: 
	+ Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M, ta luôn có:
7. Điều kiện để 2 vectơ cùng phương:
	r Vectơ cùng phương với vectơ khi và chỉ khi có số k sao cho: 
	r Điều kiện cần và đủ để 3 điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho 
8. Hệ trục tọa độ:
M = (x; y) (x; y)
, . 
Khi đó: 	* 
	* 
	* k = (ka1; ka2)
	* cùng phương với khi và chỉ khi có số k sao cho: 
Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì: 
 Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì: 
II. BÀI TẬP
PHẦN A. TRẮC NGHIỆM
Khoanh tròn vào chữ cái đứng ở đầu phương án mà em cho là đúng:
Câu 1. Vectơ có điểm đầu là D điểm cuối là E được kí hiệu là:
 a. DE	b.
 c. 	d. 
Câu 2. Với vectơ (khác vectơ không) thì độ dài đoạn thẳng ED được gọi là:
	a. Phương của vectơ 	b. Hướng của vectơ 
	c. Giá của vectơ 	d. Độ dài của vectơ 
Câu 3. Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi:
	a. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
	b. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
	c. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh của một tam giác đều.
	d. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Câu 4. Với ba điểm phân biệt G, H và K thì số vectơ mà điểm đầu và điểm cuối lấy trong số các điểm đã cho là:
	a. 3	b. 6
	c. 9	d. Vô số
Câu 5. Cho tứ giác ABCD, số vectơ (khác vectơ không) mà điểm đầu và điểm cuối lấy trong số các điểm là đỉnh của tứ giác đã cho là:
	a. 6	b. 12
	c. 18	d. 24
Câu 6. Cho trước vectơ thì số vectơ cùng phương với vectơ đã cho là:
	a. 1	b. 2
	c. 3	d. Vô số
Câu 7. Cho trước vectơ khác vectơ không thì số vectơ cùng hướng với vectơ đã cho là:
	a. 1	b. 2
	c. 3	d. Vô số
Câu 8. Cho trước vectơ khác vectơ không thì số vectơ bằng vectơ đã cho là:
	a. 1	b. 2
	c. 3	d. Vô số
Câu 9. Hai vectơ ngược hướng thì phải:
	a. Bằng nhau	b. Cùng phương
	c. Cùng độ dài	d. Cùng điểm đầu
Câu 10. Nếu hai vectơ cùng ngược hướng với một vectơ thứ ba (và cả vectơ đều khác vectơ không) thì hai vectơ đó:
	a. Bằng nhau	b. Cùng độ dài
	c. Cùng hướng	d. Ngược hướng
Câu 11. Nếu 3 điểm A, B, C thẳng hàng thì các vectơ và chỉ có thể xảy ra khả năng:
	a. Bằng nhau	b. Cùng phương
	c. Cùng hướng	d. Cùng độ dài
Câu 12. Nếu có thì:
	a. Tam giác ABC là tam giác cân	b. Tam giác ABC là tam giác đều
	c. A là trung điểm của đoạn BC	d. Điểm B trùng với điểm C
Câu 13. Cho hình bình hành ABCD. Khi đó bằng:
	a.	b. 
	c.	d. Một kết quả khác
Câu 14. Cho lục giác đều ABCDEF, gọi O là giao điểm các đường chéo, khi đó cặp vectơ bằng vectơ là:
	a. và 	b. và 
	c. và	d. và 
Câu 15. Cho hình bình hành MNPQ, khi đó:
	a. và 	b. và 
	c. và	d. và 
Câu 16. Cho tam giác MNP vuông tại M và MN = 3cm, MP = 4cm. Khi đó độ dài của vectơ là:
	a. 3cm	b. 4cm
	c. 5cm	d. 6cm
Câu 17. Các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Khi đó: 
	a. 	b.
	c.	d.
Câu 18. Cho tứ giác ABCD (các đỉnh lấy theo thứ tự đó), các điểm M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Khi đó:
	a.	b.
	c.	d.
Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vectơ có tọa độ là:
	a. (2; 3)	b. (2; -3)
	c. (-2; -3)	d. (-2; 3)
Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vectơ . Khi đó vectơ có tọa độ là:
	a. (4; -6)	b. (-4; -6)
	c. (-4; 6)	d. (4; 6)
Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vectơ , khi đó vectơ có tọa độ là:
	a. (-3; 4)	b. (-3; -4)
	c. (3; -4)	d. (7; 10)
Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vectơ , khi đó vectơ có tọa độ là:
	a. (9; 8)	b. (-9; 8)
	c. (-9; -8)	d. (9; -8)
Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vectơ , khi đó vectơ có tọa độ là:
	a. (46; 77)	b. (46; -77)
	c. (-46; 77)	d. (-46; -77)
Câu 24. Cho và . Ta có khi và chỉ khi:
	a. 	b.
	c.	d.
Câu 25. Cho A = (-1; 5) và B = (1; -2). Các điểm C và D thỏa mãn và. Khi đó tọa độ của vectơ là:
	a. (2; -7)	b. (3; 5)
	c. (1; -16)	d. (1; 4)
Câu 26. Cho M = (2; -1), N = (-1; -2) và P = (5; -3) thì trọng tâm G của tam giác MNP có tọa độ là:
	a. (-2; 2)	b. (2; -2)
	c. (6; 6)	d. (-2; -2)
Câu 27. Cho M = (2; -3) và điểm I = (1; 0). Tọa độ của điểm N đối xứng với điểm M qua điểm I là:
	a. (2; 3)	b. (-2; 3)
	c. (-1; 3)	d. (0; 3)
Câu 28. Cho A = (-1; 5) và B = (1; -2). Gọi điểm C và D là các điểm sao chovà. Khi đó tọa độ của vectơ là:
	a. (8; 58)	b. (-8; 58)
	c. (8; -58)	d. (-8; -58)
Câu 29. Cho tam giác ABC, có A = (2; 3), B = (1; 2), trọng tâm G = (5; 6). Tọa độ đỉnh C là:
	a. (2; 13)	b. (12; 1)
	c. (2; 1)	d. (12; 13)
Câu 30. Cho các điểm A(1; 2), B(8; 10), C(-7; -5). Điểm M thỏa mãn . Tọa độ của M là:
	a. (41; 43)	b. 
	c. 	d. 
 PHẦN B. TỰ LUẬN
Chứng minh đẳng thức vectơ. Áp dụng các quy tắc, hai vectơ bằng nhau.
1. Cho hình bình hành ABCD tâm O, M là điểm bất kỳ. Chứng minh rằng: 
	a.	b. 
	c. 	d. 
2. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’có trọng tâm tương ứng là G và G’. Chứng minh rằng: 
3. Cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ có giao điểm hai đường chéo tương ứng là O và O’. Chứng minh rằng: 
4. Cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý. Chứng minh rằng:
	a. 	b. 
	c. 	
5. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng:
6. Cho 5 điểm A, B, C, D, E tùy ý. Chứng minh rằng:
	a.	b.
7. Cho tam giác ABC. Gọi E là trung điểm đoạn BC. Các điểm M, N theo thứ tự đó nằm trên cạnh BC sao cho E là trung điểm đoạn MN. Chứng minh rằng:
	.
Xác định vectơ tổng, hiệu dựa vào định nghĩa. Tính độ dài của vectơ.
8. Cho tam giác ABC.
	a. Xác định 	b. Xác định 
	c. Xác định 	d. Xác định 
	e. Xác định M và N sao cho: ; 
9. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính độ dài các vectơ:
	a. 	b. 
	c. 	d. 
10. Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. Tính độ dài các vectơ:
	a. 	b. 
	c. 	d. 
	e. 	f. 
	g. 	h. 
Chứng minh đẳng thức vectơ. Áp dụng biểu thức trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
11. Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
12. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm lần lượt là G và G’. Chứng minh rằng:
	Nếu thì: 
13. Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD; I và J là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng: 
	a. 	b. 
	c. 	 
14. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD.
Chứng minh rằng:
	a. 	b. 
	c. 	d. 
15. Cho tam giác ABC. Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. G là trọng tâm. Lấy M là điểm bất kỳ. Chứng minh rằng:
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Xác định tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ
16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ; ; . Tìm m, n để:
17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 5), B(-1; -3), C(-2; 4), D(2; -2). Tìm tọa độ của vectơ: 
18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ; . Tìm tọa độ của vectơ:
	a. 	b. 
	c. 	d. 
	e. 	f. 
19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 5), B(-1; -3). Tìm tọa độ của:
	a. A’ đối xứng với A qua B.	b. B’ đối xứng với B qua A.
20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(-2; 1), C(3; 5), D(4; -3). Tìm tọa độ trung điểm của:
	a. AB	b. BC
	c. CD	d. DA
	e. AC	f. BD
21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(-2; 1), C(3; 5). Tìm tọa độ của:
	a. Trọng tâm tam giác ABC	b. D sao cho ABCD là hình bình hành.
22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có A(1; 4), B(-1; 2), C(1; 5).Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tìm tọa độ của vectơ 
Biểu diễn 1 vectơ theo các vectơ cho trước
23. Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Hãy biểu diễn vectơ theo hai vectơ và .
24. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Hãy biểu diễn các vectơ ,,, theo hai vectơ , 
25. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 3MC. Hãy biểu diễn vectơ theo hai vectơ ,