Đề chính thức thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Hà Nam năm học 2015 - 2016 môn: Toán (chuyên toán)

UBND TỈNH HÀ NAM 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề 
Câu 1(2,0 điểm). 
 	Cho biểu thức: 
 (với ) .
	a) Rút gọn biểu thức .
	b) So sánh và .
Câu 2 (2,0 điểm).
	a) Giải phương trình: .
	b) Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm . Tìm tọa độ các điểm tương ứng thuộc các tia , sao cho tổng có độ dài nhỏ nhất.
Câu 3 (1,0 điểm). 
	Tìm số nguyên sao cho: là số chính phương.	
Câu 4 (4,0 điểm). 
	Cho nửa đường tròn , đường kính cố định. Vẽ tứ giác nội tiếp nửa đường tròn . Gọi là giao điểm của và ; là hình chiếu của trên .
	a) Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
	b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh: .
	c) Gọi là trung điểm của . Chứng minh: .
	d) Xác định vị trí điểm để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo . 
Câu 5 (1,0 điểm). 
	Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh :
.
---HẾT---
Họ và tên thí sinh: ........................................................Số báo danh: ........................
Giám thị 1: ...............................................Giám thị 2: ...............................................
UBND TỈNH HÀ NAM 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC 
HƯỚNG DẪN 
CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán (Chuyên Toán)
( Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang )
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
a)
1,25
điểm
0,5
0,5
0,25
b)
0,75
điểm
Ta có : 
0,25
Lại có với nên 
0,25
 Vậy .
0,25
Câu 2
a)
1,0
điểm
ĐK : 
phương trình ban đầu trở thành :
0,25
0,25
0,25
 (thỏa mãn) vì 
Vậy pt có tập nghiệm .
0,25
b)
1,0
điểm
Gọi đối xứng với qua tia , suy ra 
Gọi đối xứng với qua tia , suy ra 
0,25
Ta có: suy ra 
0,25
Dấu "=" thẳng hàng hay là giao điểm của đường thẳng với tia tương ứng.
0,25
phương trình , suy ra .
0,25
Câu 3
1,0
điểm
Ta có:
là số chính phương khi và chỉ khi với .
0,25
Đặt là số nguyên dương , ta có pt :
Xét trong hệ đồng dư ta có: 
Suy ra suy ra là số chẵn hay .
0,5
Phương trình trở thành : 
Do suy ra :
Vậy là số cần tìm.
0,25
A
K
E
F
I
B
C
D
.
O
Câu 4
a)
1,0
điểm
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 (gt)
Suy ra tứ giác ABIK nội tiếp 
0,25
Lại có (cùng chắn )
Suy ra BI là phân giác góc 
0,25
Chứng minh tương tự có là phân giác 
0,25
Vậy là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK.
0,25
b)
1,0 điểm
Ta có CI là đường phân giác trong của tam giác BCF, suy ra :
 (1) ( t/c đường phân giác của tam giác) 
0,25
Lại có CD là phân giác ngoài của tam giác BCF 
0,25
suy ra : ( t/c đường phân giác của tam giác)
0,25
Từ (1) và (2), có : 
0,25
c)
1,0 điểm
Ta có KE là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác tam giác IKD
 tam giác KED cân tại E 
 ( t/c góc ngoài của tam giác)
Mà (2 góc nội tiếp cùng chắn )
Suy ra 
0,25
Mặt khác CI là phân giác ( chứng minh trên)
Từ (3) và (4) suy ra , suy ra tứ giác BCEK nội tiếp.
0,25
Suy ra đồng dạng .
0,25
Mà ( chứng minh trên)
Suy ra : 
0,25
d)
1,0 điểm
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABD vuông tại B, suy ra :
Suy ra lớn nhất lớn nhất.
0,25
Ta có : 
 ( dấu " =" xảy ra khi )
0,25
Suy ra 
0,25
Vậy khi và chỉ khi B là điểm chính giữa .
0,25
Câu 5
1,0 điểm
Đặt thì bất đẳng thức trở thành : cho là các số thực dương thỏa mãn chứng minh :
 (*)
0,25
Ta có:
0,5
Dấu “=” 
0,25
Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương.
---HẾT---