Đáp án đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 - Năm học 2008-2009 - Phòng GD & ĐT Đức Thọ

phòng giáo dục-đào tạo đức thọ
đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán9
Năm học: 2008-2009
Thời gian: 150 phút
Bài 1: Chứng minh khi m thay đổi, các đường thẳng có phương trình:
(2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định
Bài 2: 	1/ Cho 
So sánh S với 
2/ Cho a; b; c là các số thực thoả mãn điều kiện: abc = 2008. Chứng minh rằng:
Bài 3: Cho x = . Tính giá trị của P = x2009 – 3x2008 + 9x2007 – 9x2006 + 2009
Bài 4: Giải phương trình: = 2009
Bài 5: Cho 00 < a < 900. Chứng minh rằng: 
Bài 6: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
 ≥ 
Bài 7: Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: P(x + 1) = P(x) + 2x + 1 với "x ẻ R
Bài 8: Cho DABC có ba cạnh là a, b, c, có chu vi là 2p và diện tích S; r là bán kính đường tròn nội tiếp; ra là bán kinh đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác. Chứng minh: p(p – a) = S
Bài 9: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. M chuyển động trên nửa đường tròn. Xác định vị trí điểm M để MA + MB đạt giá trị lớn nhất
Bài 10: Cho dãy số được xác định theo công thức:
. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì dãy các tổng tương ứng a1 + a2 + ... ap – 1 đều chia hết cho p
----------------- Hết -------------
Hướng dẫn chấm
Bài 1: (2 đ) Từ (2m - 1) x + my + 3 = 0 ị m(2x + y) + 3 – x = 0 	1đ
Với mọi m thì 	1đ
Bài 2: (3 đ) 1/ Ta chứng minh: 	0,5đ
áp dụng BĐT trên được: 	1đ
	2/ Từ abc = 2008 suy ra a; b; c khác 0. Thay abc = 2008 ta có:	0,5đ	
	1đ
Bài 3: (2 đ) Từ x = ị ị 3 – x = x 
	ị x3 – 3x2 + 9x – 9 = 0 	1đ
	P = x2009 – 3x2008 + 9x2007 – 9x2006 + 2009 = x2006 (x3 – 3x2 + 9x – 9) + 2009 = 2009	1đ
Bài 4: (2 đ) ĐK: x ≥ 0	0,5đ
Ta có 	 (1)	0,5đ
(2)	0,5đ
Cộng (1) và (2) suy ra: x = hay x = 0 và x = 1	0,5đ
Bài 5: (2 đ). Ta dễ chứng minh được sina; cosa < 1 với a < 900	1đ
	Nên sin2008a < sin2a và cos2009a < cos2a nên 	1đ
Bài 6: (2 đ) ≥ (Cauchy)	1đ
	Tương tự ; 	0,5đ
	Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c	0,5đ
Bài 7: (2 đ). Ta có P(x + 1) + x2 = p(x) + x2 + 2x + 1 ị P(x + 1) – (x + 1)2 = P(x) – x2	0,5đ
Đặt Q(x) = P(x) – x2, khi đó Q(x) = Q(x + 1) 	0,5đ
Cho x = 0; 1; 2; ... nhận được Q(0) = Q(1) = Q(2) = ... = Q(n) = ...	0,5đ
Suy ra phương trình Q(x) – Q(0) = 0 có vô số nghiệm. Do đó Q(x) – Q(0) º 0 ị P(x) – x2 = Q(0) = P(0). Vậy P(x) = x2 + a với a là hằng số tuỳ ý. Thử lại ta thấy thoả mãn bài toán	0,5đ
Bài 8: (2 đ). Chứng minh được S = (p – a)ra và ra = p 	1,5 đ
ị S = p(p – a)	0,5đ
Bài 9: (2 đ). Chứng minh được = 900. Theo Pitago: MA2 + MB2 = AB2 = R2	0,5đ
áp dụng BĐT: ta có MA + MB ≤ 4R	1đ
Dấu “=” xảy ra khi MA = MB hay M ở vị trí sao cho = 600	0,5đ
Bài 10: (1 đ). Theo giả thiết ... 
= = 3n. Vậy nên an = 3n – n3 với mọi n ẻ N*. 	0,5đ
Với p = 2 thì a1 = 2 2
Với p > 2 thì a1 + a2 + ... ap – 1 = 
Do và nên a1 + a2 + ... ap – 1 p	0,5đ
đề thi HS giỏi huyện - môn toán lớp 9
năm học 2006-2007
Câu 1. Rút gọn biểu thức: 
Câu 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Câu 3. Cho đa thức: P(x) = x5 + a x4 + b x3 + c x2 + d x + e, biết: 
 P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4 ) = 16; P(5) = 25 
Tìm P(6) ?
Tìm các hệ số a, b, c, d, e của đa thức P(x) ?
Câu 4. a) Chứng minh: Trong đó x > 0 và y > 0. 
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 
 Trong đó a và b là các số thực khác không.
Câu 5. Cho tam giác vuông ABC (góc A = 900), đường cao AH, có cạnh AB = 2 cm, đoạn HC = 3 cm. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tam giác đều ABD.
Tính diện tích tam giác ABC.
Chứng minh: CD 2 = AC 2 + BC 2
đáp án thi HS giỏi huyện - môn toán lớp 9
năm học 2006-2007
Câu 1. Rút gọn biểu thức: 
Giải: Điều kiện xác định của bài toán: ; 
 = 
 = = 
Câu 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
 Giải: ; Do nên . Vì y nguyên => =>
 Vậy nghiệm của phương trình là: (1; 3); (1; -3); (-1; 3); (-1; -3); 
Câu 3. Cho đa thức: P(x) = x5 + a x4 + b x3 + c x2 + d x + e, biết: 
 P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4 ) = 16; P(5) = 25 
Tìm P(6) ?
Tìm các hệ số a, b, c, d, e của đa thức P(x) ?
 Giải: Xét hiệu: g(x) = P(x) – x2 ta có: g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = g(5) = 0 =>1, 2, 3, 4, 5 là nghiệm của g(x). Vì hệ số của x5 bằng 1 nên g(x) có dạng:
 g(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) (x – 5)
 => P(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) (x – 5) + x2 
 a) P(6) = 5. 4. 3. 2. 1 + 36 = 156 
 b) P(x) = (x2 – 3x + 2)(x2 – 7x + 12)(x-5) + x2
 = (x4 – 7x3 + 12 x2 – 3x3 + 21x2 – 36x + 2x2 – 14x + 24)(x - 5) + x2
 = (x4 – 10x3 + 35 x2 - 50x + 24)(x - 5) +x2
 = x5- 10x4 + 35x3 - 50x2 + 24x - 5x4 + 50x3 - 175x2 + 250x – 120 + x2
 = x5- 15 x4 + 85 x3 – 224x2 + 274x – 120
 => a = -15; b = 85; c= -224; d = 274; e = -120 
Câu 4. a) Chứng minh: Trong đó x > 0 và y > 0. 
 Giải: Ta có: = 4 
 => P 4 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x = y (Điều phải chứng minh) 
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 
 Trong đó a và b là các số thực khác không.
 Giải: Ta có: (a + b)2 2(a2 + b2) nên:
 Q 
Q + 2 
 = 
 => Q . Vậy Q Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = b 
Câu 5. Cho tam giác vuông ABC (góc A = 900), đường cao AH, có cạnh AB = 2 cm, đoạn HC = 3 cm. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tam giác đều ABD.
Tính diện tích tam giác ABC.
Chứng minh: CD 2 = AC 2 + BC 2
Giải:
Đặt BH = a > 0, AH = h > 0
Trong tam giác ABC, Ta có: h2 = 3.a
Trong tam giác ABH, Ta có: h2 = 4 – a2
 => a2 + 3a – 4 = 0 
 	(a – 1)(a + 4) = 0 
	 a = 1 hoặc a = - 4 (loại)
C
D
E
H
B
A
=> h2 = 3 => h = 
Hay BH = 1 (cm); AH = (cm)
 => BC = 3 + 1 = 4(cm) 
 => góc ACB = 300 (1)
 SABC = AH.BC 
 = = (cm2) 
Vẽ tam giác đều BCE ngoài tram giác ABC
 	DBC = ABE (c.g.c) => DC = AE
 ACE = ACB +BCE = 300 + 600 = 900 
 => AE 2 = AC 2 + CE 2 => DC 2 = AC 2 + BC 2 (Điều phải chứng minh) 
đề kiểm tra chọn đội tuyển môn toán
Năm học 2005-2006
Thời gian làm bài 90 phút
 Câu I. Tìm tập hợp số hữu tỷ x để là số hữu tỷ ?
 Câu II. x, y, z là các số thực dương thoả mãn . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + y + z
 Câu III. Giải phương trình: 81x4 + 5 = 3
 Câu IV. Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a, kí hiệu: . Tìm x thoả mãn:
 = 
 Câu V. Cho hình vuông ABCD, trên đường chéo AC lấy điểm M; I, Q là trung điểm của AM và MC. Qua M vẽ đường thẳng song song với AD, đường thẳng này cắt AB tại N, cắt CD tại K. 
 Chứng minh: IB.AK = DQ.CN
Đáp án
Câu I. (3 điểm)
 Đặt (x; t Q; x + t 0); 
 Ta có: x2 +4 = (x + t)2 x = vì x + t > 0 nên + t 0
 0 t > 0; Vậy x = ( t > 0; t Q)
Câu II. (4 điểm)
 Ta có: 
 áp dụng BĐT Bunhiacốpki ta có:
 .
 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:
 => x = 6; y = 12; z = 18
Câu III. (4 điểm)
 Nhận xét: 81x4 + 5 > 0 => 
 áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương: 6x; 9x2 + 1; 2 ta có:
 3 = 9x2 + 6x + 3 =>
 81x4 + 5 9x2 + 6x + 3 81x4 - 9x2- 6x + 3 0
 (3x-1)2(9x2 + 6x + 2) 0 (3x-1)2 0 
 Vì 9x2 + 6x + 2 > 0 x => x = Thoả mãn
Câu IV. (4 điểm)
 Giả sử x0 thoả mãn đ/k bài toán, ta có:
 => 120x0 - 56 25 + 30x0 và 25 + 30x0 < 120x0 - 16 
 => 90x0 - 81 0 và 0 < 90x0 - 41
 => 6(15x0 - 7) 39 và -1 < 6(15x0 - 7)	
 => và 
 Hay ; Vì nguyên => 
 = 0 => x0 = và = 1 => x0 = 
A
F
D
 Qua M vẽ đường thẳng NK cắt BC và DA tại 
 E và F. Ta có: 
I
N
K
M
 ; NIB = NMC = 1350
Q
 => INB NMC => 
E
B
 ; QKD = KMA = 1350 
C
 => QKD KMA => 
 Từ (1) và (2) => => IB.KA = QD.NC ( Đpcm)
đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9, Năm học 2007-2008
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1. Tìm x, y N* sao cho:
 	a) xy - 3x + y = 20; b) 
Câu 2. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6abc.
Chứng minh 
Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 3. a) Tìm phần dư R(x) khi chia đa thức P(x) = x2007 + x207 + x27 + x7 + x + 1 cho đa thức Q(x) = x3 - x 
 b) Tìm đa thức f(x) = 2x2 + ax + b biết thì 
Câu 4. Giải phương trình: 
Câu 5. Cho tam giác cân ABC ( > 900) , H là trung điểm của BC. Kẻ HD vuông góc với AC (D AC). Đường thẳng AI vuông góc với BD (I BD) cắt HD tại O. Chứng minh:
Sin2 = 2 sin.cos 
O là trung điểm của HD.
Hướng dẫn chấm toán 9(07 – 08) 
Câu 1. (4 điểm, mỗi câu 2 điểm)
Tìm x, y N * sao cho:
xy - 3x + y = 20; 
 xy - 3x + y -3 = 17 x(y – 3) + (y -3) = 17
 (y – 3)(x + 1) = 17 
 (loại) ; Hoặc 
 Vậy cặp số x, y thỏa mãn đ/k của bài toán là: (16, 4)
 b) 
 Vì vai trò của x và y như nhau nên giả sử x y. Ta có: 5(x + y) = 3(x2 + y2) x(5 – 3x) = y(3y - 5). 
 Vì x, y cùng dấu nên 5 – 3x và 3y – 5 cùng dấu.
 + Nếu 5 – 3x > 0 thì 3y – 5 > 0 => x => y > x vô lý.
 + Nếu 5 – 3x x > và y y =1, x = 2; 
 Vậy cặp số (x,y) thoả mãn đ/k bài toán là (1, 2); (2, 1)
Câu 2. (4 điểm, mỗi câu 2 điểm)
 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6abc.
Chứng minh 
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có: 
 => 
Vậy . Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi => a = b = c = 
Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức: .
 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có:
 => + 6 2. Vậy 
 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi: a = b = c = 
Câu 3. (4 điểm, mỗi câu 2 điểm)
a) Tìm phần dư R(x) khi chia đa thức P(x) = x2007 + x207 + x27 + x7 + x + 1 cho đa thức Q(x) = x3 - x 
R(x) có dạng: ax2 + bx + c ; P(x) = Q(x) . M(x) + R(x)
 = x(x – 1)(x + 1) . M(x) + ax2 + bx + c.
P(0) = 1 = c; P(1) = 6 = a + b + c; P(-1) = - 4 = a – b + c => a = 0; b = 5. Vậy R(x) = 5x + 1
Tìm đa thức f(x) = 2x2 + ax + b biết thì 
 Thay x = 0; x = 1; x = -1 vào đa thức f(x) = 2x2 + ax + b ta có:
 => 
Cộng vế theo vế (2) và(3) ta được , kết hợp với (1) => b = 
Thay b = vào (2) => -2 a 0; Thay b = vào (3) => 0 a 2 => a = 0.
=> f(x) = 2x2 1. Ta có: .
Vậy đa thức phải tìm là f(x) = 2x2 1
Câu 4. (3 điểm) 
 Giải phương trình: 
 mà; 
 x. Từ đó phương trình đã cho chỉ có nghiệm khi hai vế nhận giá trị bằng nhau và bằng 5 hay => x = - 2. Vậy nghiệm của phương trình là x = - 2
Câu 5. (5 điểm, mỗi câu 2,5 điểm)
 Cho tam giác cân ABC () . H là trung điểm của BC. Kẻ HD vuông góc với AC (D AC). Đường thẳng AI vuông góc với BD (I BD) cắt HD tại O. Chứng minh:
Sin2 = 2 sin.cos 
O là trung điểm của HD
 Lời giải
H là trung điểm của BC nên AHBC
 Vẽ BE AC (E đường thẳng AC)
 (góc ngoài tam giác ABC).
A
C
B
E
H
D
I
K
O
 Ta có:
Sin (1)
2Sin (2)
Từ (1) và (2) => Sin2 = 2 sin.cos 
Ta có: ( Cùng phụ với ) 
=> CBE HAD => (3) 
Gọi K là giao điểm của BD với AH.. 
Mà (đđ) nên 
=> CBD HAO => (4)
Từ (3) và (4) mà CE = 2 CD (HD là đường trung bình tam giác BEC)
Nên HD = 2HO => O là trung điểm của HD
Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2008 - 2009
Thời gian: 120 phút
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
	P = 
	Q = 
Bài 2: Biết . Chứng minh rằng: 
Bài 3: Chứng minh rằng với a < 450, ta có sin2a = 2sina. cosa.
Bài 4: Cho tam giác ABC có (a, c là hai độ dài cho trước). Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
	a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. 
	 Tính diện tích lớn nhất đó.
	b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thước kẻ và com-pa. 
 Tính diện tích của hình vuông đó
Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
---------------------- Hết -----------------
Hướng dẫn chấm
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau 
	P = = = 2
	Q = . Đặt x = 2008, khi đó
	Q = = = x + 1 = 2009
Bài 2: Ta có 10a2 - 3b2 + ab = 0 Û 3(4a2 - b2) - a(2a - b) = 0
	Û (2a - b)(5a + 3b) = 0 Û 
	Với b = 2a ị 
Bài 3: Xét DABC có 900; = . Kẻ trung tuyến AM, đường cao AH ị 
Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; MA = MB = MC = m = .
Ta có sina = ; cosa = ; sin2a = 
Do đó 2sina. cosa = = sin2a
Bài 4: 
	a/ Đặt .
	Ta có: 
	.
	Suy ra diện tích của MNPQ là:
	+ Ta có bất đẳng thức: 
	áp dụng, ta có: . Dấu đẳng thức xảy ra khi: .
	Suy ra: . Vậy: khi hay M là trung điểm của cạnh AB
	b/ Giả sử đã dựng được hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC. Nối BF, trên đoạn BF lấy điểm F’. Dựng hình chữ nhật E'F'G'H' 
	Ta có: E'F'// EF và F'G'// FG, nên: 
. Do đó E'F'G'H' là hình vuông
	+ Cách dựng và chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC). Dựng tia BF' cắt AC tại F. Dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh tương tự trên, ta có EF = FG, suy ra EFGH là hình vuông
	+ Ta có: ; 
.
	Suy ra: Tia BF' cố định khi E' di động trên AB, 
cắt AC tại một điểm F duy nhất.
	Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất
	+ Đặt . Ta có ; 
	EFGH là hình vuông, nên 
	Suy ra diện tích hình vuông EFGH là: 
Bài 5: Ta có a2 + b2 - ab ≥ ab
	Tương tự với a, b, c > 0 thì: 
	Từ đó ta có BĐT cần chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
phòng giáo dục và đào tạo đức thọ
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2009-2010
Môn: Toán Thời gian: 150 phút
Bài 1: Cho biểu thức 
	a) Tìm a để biểu thức P có nghĩa
	b) Rút gọn P
Bài 2: Tính giá trị biểu thức: với 
Bài 3: 	Cho tam giác ABC nhọn. Gọi AH, BI, CK là các đường cao của tam giác 
Chứng minh rằng 
Bài 4: Giải phương trình = 
Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Trung tuyến AM và BK cắt nhau tại I. Hai trung trực của cạnh BC và AC cắt nhau tại O.
	a) Chứng minh ABH đồng dạng với MKO
	b) Chứng minh =
Bài 6: Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 2
Lưu ý: 	- Giám thị không được giải thích gì thêm
- Học sinh không được sử dụng các loại máy tính bỏ túi
--------------- Hết ---------------
Biểu điểm và đáp án chấm thi HS giỏi môn toán lơp 9 (09-10)
Bài 1: (3đ) a) Biểu thức P có nghĩa khi 
b) Rút gọn P = 
Bài 2: (4 đ) Rút gọn 
	Khi đó : Nên 
Bài 3: (4 đ) Lưu ý học sinh không vẽ hình không chấm điểm
Ta có : 
Ta có SABC = . 
Tương tự SAKI = 
ị = cosA. cosA = cos2A
Tương tự 
Vậy 
Bài 4: (4 đ) Biến đổi vế phải ta có: 
PT đưa về: 
Xét 3 trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x < 1 ta có (thỏa mãn)
* Trường hợp 2: Nếu < ta có (PT vô nghiệm)
* Trường hợp 3: Nếu ta có (thỏa mãn)
Kết luận: PT có 2 nghiệm 
Bài 5: (4 đ) a) Ta có MO // HA (cùng vuông góc với BC)
OK // BH (cùng vuông góc với AC)
ị = (góc có cạnh tương ứng song song)
MK // AB (M, K là trung điểm BC và AC)
 	ị = (góc có cạnh tương ứng song song)
ị DABH đồng dạng với DMKO
b) Từ DABH đồng dạng với DMKO
ị 
Xét DAIH và DMIO có và = (so le trong)
ị DAIH đồng dạng với DMIO ị ị 
ị ị 
Bài 6: (1 đ) Theo bất đẳng thức CauChy cho 3 số ta có:
 	ab + bc + ca ³ 3 (1)	
	Và a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca Û (a + b + c)2 ³ 3(ab + bc + ca)
 Û (2)	
	Mặt khác: (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc 
	³ 
	Û (a + b)(b + c)(c + a) ³(ab + bc + ca) 
	Û 	
Dấu "=" xảy ra Û a = b = c