Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp thành phố Toán - Đề dự bị - Năm học 2016-2017 - Sở GD & ĐT Hải Phòng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG
 ĐỀ DỰ BỊ 
(gồm 07 trang )
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
 CẤP THPT NĂM HỌC 2016 – 2017
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI MÔN:TOÁN – BẢNG KHÔNG CHUYÊN
Ngày thi: 12/10/2016
Bài
Đáp án
Điểm
Bài1
(2,0 điểm)
a. (1,0 điểm)Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng có phương trình. Tìm để cắt tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của tại vuông góc với nhau.
Xét phương trình hoành độ giao điểm :
0,25
(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
0,25
Gọilà 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*).
Ta có 
Hệ số góc của tiếp tuyến của (C)tại là 
Hệ số góc của tiếp tuyến của (C)tại là 
0,25
Tiếp tuyến của (C) tại N,P vuông góc với nhau 
So sánh với điều kiện suy ra. 
0,25
b) (1,0 điểm)Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng . Chứng minh rằng cắt tại hai điểm phân biệt với mọi số thực . Gọi lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của tại và . Tìm để đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d:
0,25
Xét phương trình (*), ta có: và x = -2 không là nghiệm của (*) nên d luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.
0,25
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là 
, trong đó là 2 nghiệm của phương trình (*), ta thấy 
(k1>0, k2>0)
0,25
Có P = , do dó đạt được khi 
Do phân biệt nên ta có x1 +2 = - x2 - 2 
x1 + x2 = - 4 m = - 2. 
Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm.
0,25
Bài 2
(2,0 điểm)
a) ( 1,0 điểm) Tìm nghiệm của phương trình
.
Đk: 
0,25
Đưa pt về dạng 
0,25
0,25
 do suy ra: 
0,25
b) (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 
.
Điều kiện
Nhận xét không là nghiệm của hệ. 
0,25
Khi đó 
0,25
Thay y = x vào PT (2) ta được:
Xét 
nên là hàm đồng biến trên R
0,25
Vậy hệ có nghiệm duy nhất 
0,25
Bài 3
(2,0 điểm)
Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác vuông tại , cạnh góc . Tính thể tích khối tứ diệnvà khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo . Biết cách đều ba đỉnh và góc giữa hai mặt phẳng và bằng .
 Gọi M,H lần lượt là trung điểm cạnh AB,AC 
Do A’ cách đều ba đỉnh của tam giác vuông ABC suy ra ; MH là đường trung bình tam giác ABC mà .
0,25
Suy ra góc là góc giữa và , theo bài . 
Xét tam giác ABC vuông tại B có ;
0,25
Xét tam giácvuông tại H, có 
0,25
0,25
Ta có
0,25
Tính được 
0,25
Áp dụng công thức Hê – rông cho tam giác BB’C ta được 
0,25
0,25
Bài 4
(1,0 điểm)
 Đề thi THPT Quốc gia môn toán có 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Một thí sinh đã làm xong 40 câu, trong đó đúng 32 câu. Ở 10 câu còn lại anh ta chọn ngẫu nhiên một trong bốn phương án. Tính xác suất để thí sinh đó đạt 8 điểm trở lên.
Thí sinh đã làm đúng 32 câu trong 40 câu được 6,4 điểm.
Để thí sinh này đạt được điểm 8 trở nên thì phải chọn được 8 câu đúng trở lên trong 10 câu còn lại.
Nghĩa là thí sinh này chỉ chọn 0 câu hoặc 1 câu hoặc 2 câu sai trong 10 câu còn lại.
Mỗi câu có 4 phương án cho nên có 410 cách chọn.
0,25
Mỗi câu có 3 phương án sai nên có 3 cách chọn sai cho mỗi câu.
Chọn sai 0 câu trong 10 câu còn lại có 30.C010 cách 
Chọn sai 1 câu trong 10 câu còn lại có 31.C110 cách
Chọn sai 2 câu trong 10 câu còn lại có 32.C210 cách
0,25
Do đó số cách chọn đáp án để sao cho thí sinh đạt 8 điểm trở lên là 
30.C010+31.C110+32.C210=436 cách
0,25
Vậy xác suất để thí sinh đạt 8 điểm trở lên là P=
0,25
Bài 5
(1,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác cân tại, là trung điểm của và có tung độ dương.Điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , điểm là trọng tâm tam giác . Điểm nằm trên đường thẳng , điểm nằm trên đường thẳng . Tìm toạ độ các đỉnh.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, F là trung điểm của AD
EG // AD
Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC, D là trung điểm của AB
 ID AB hay ID EG (*)
Gọi K là trung điểm của của AC DK // BC
ABC cân tại A IG BC hay IG DK (**)
Từ (*) và (**) I là trực tâm DEG IE CD
0,25
Đường thẳng CD đi qua M và nhận là vtpt
 Phương trình đường thẳng CD: x – 3 = 0 D(3; d) (d > 0)
Do ID ND 
Do d > 0 D(3; 3) 
0,25
Đường thẳng AB đi qua D, N có phương trình: x – 2y + 3 = 0
Đường thẳng AH đi qua I và vuông góc với DE có phương trình: 
x –y– 2 = 0
A= ABAH A(7; 5)
0,25
D là trung điểm của AB B(-1; 1)
Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AH có phương trình: 
x+ y = 0
C= CDBC C(3; -3)
KL : A(7; 5); B(-1; 1); C(3; -3)
0,25
Bài 6
(1,0 điểm)
Cho dãy số xác định bởi 
Chứng minh rằng nếu thì dãy số có giới hạn, tìm giới hạn đó.
Nếu . Ta chứng minh: 
Hiển nhiên .
Giả sử 
Vậy .
0,25
Nếu . Ta chứng minh
Ta có 
Giả sử . Ta chứng minh 
( đúng )
0,25
Ta chứng minh (an) là dãy giảm:
Xét
0,25
(an) giảm và bị chặn dưới Þ (an) có giới hạn là L.
Vậy .
0,25
Bài 7
(1,0 điểm)
Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 
Ta có: 
Đặt . 
Khi đó ta có: 
0,25
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
Do đó, 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
0.25
Xét hàm số 
Ta có: 
Bảng biến thiên:
c
1 4 +
f’(c)
 - 0 +
f(c)
 4
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (2)
0,25
Suy ra 
Từ (1), (2) và điều kiện , suy ra dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hay 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 4 khi .
0,25
Chú ý: Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định.
------------Hết------------