Dạng toán về dãy số

DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ
Một số lưu ý khi giải toán về “dãy số”
	Trong bài toán về dãy số thường người ta không cho biết cả dãy số (vì dãy số có nhiều số không thể viết ra hết được) vì vậy, phải tìm ra được quy luật của dãy (mà có rất nhiều quy luật khác nhau) mới tìm được các số mà dãy số không cho biết. Đó là những quy luật của dãy số cách đều, dãy số không cách đều hoặc dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm ra quy luật.Ở dạng 2: Muốn kiểm tra số A có thoả mãn quy luật của dãy đã cho hay không? Ta cần xem dãy số cho trước và số cần xác định có cùng tính chất hay không? (Có cùng chia hết cho một số nào đó hoặc có cùng số dư) thì số đó thuộc dãy đã cho.Ở dạng 3 và 4: Học sinh phải được tự tìm ra công thức tổng quát, vận dụng một cách thành thạo và biết biến đổi công thức để làm các bài toán khác. 
Ở dạng 9: Có các yêu cầu:
	+ Tìm tổng các số hạng của dãy.
	+ Tính nhanh tổng.
	Khi giải: Sau khi tìm ra quy luật của dãy, ta sắp xếp các số theo từng cặp sao cho có tổng đều bằng nhau, sau đó tìm số cặp rồi tìm tổng các số hạng của dãy. Chú ý: Khi tìm số cặp số mà còn dư một số hạng thì khi tìm tổng ta phải cộng số dư đó vào. 
	Nếu tính nhanh tổng của các phân số phải dựa vào tính chất của phân số.
	Ở dạng 10: Đó là dãy chữ khi giải phải dựa vào quy luật của dãy, sau đó có thể xem mỗi nhóm chữ có tất cả bao nhiêu chữ rồi đi tìm có tất cả bao nhiêu nhóm và đó chính là phần trả lời của bài toán. 
* Bài tập lự luyện:
Bài 1: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,
	a. Nêu quy luật của dãy.
	b. Số 31 có phải là số hạng của dãy không?
	c. Số 2009 có thuộc dãy này không? Vì sao?
Bài 2: Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,, 2012.
	Hỏi số 1004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay không?
Bài 3: Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,,
	a. Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số hạng tiếp theo.
	b. Trong 2 số 1999 và 2009 thì số nào thuộc dãy số? Vì sao?
Bài 4: Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,
	Có số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 6 mà thuộc dãy số trên không?
Bài 5: Cho dãy số: 1, 3, 6, 10, 15,, 45, 55,
	a. Số 1997 có phải là số hạng của dãy số này hay không?
	b. Số 561 có phải là số hạng của dãy số này hay không? 
Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy
	* Cách giải ở dạng này là:
Đối với dạng toán này, ta thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (toán trồng cây). Ta có công thức sau :
 Số các số hạng của dãy = số khoảng cách+ 1.
Đặc biệt, nếu quy luật của dãy là : Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liền trước cộng với số không đổi d thì:
Số các số hạng của dãy = ( Số hạng lớn nhất – Số hạng nhỏ nhất ) : d + 1.
Các ví dụ:
Bài 1: Cho dãy số 11; 14; 17;.....;65; 68.
 Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
Lời giải : 
Ta có : 14 - 11= 3; 17 - 14 = 3;....
Vậy quy luật của dãy số đó là mỗi số hạng đứng liền sau bằng số hạng đứmg liền trước nó cộng với 3. Số các số hạng của dãy số đó là:
 ( 68 - 11 ) : 3 + 1 = 20 ( số hạng )
Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,, 1992
	Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
	Giải:
	Ta thấy:	4 – 2 = 2	;	8 – 6 = 2
	 6 – 4 = 2	;	
	Vậy, quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng một số hạng đứng trước cộng với 2. Nói các khác: Đây là dãy số chẵn hoặc dãy số cách đều 2 đơn vị. 
	Dựa vào công thức trên:
	(Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1
	Ta có: Số các số hạng của dãy là:
	(1992 - 2) : 2 + 1 = 996 (số hạng).
Bài 3: Cho 1, 3, 5, 7,  là dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số này? Giải thích cách tìm? 
(Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981)
	Giải: 
	Ta thấy:	
	Số hạng thứ nhất bằng:	1 = 1 + 2 x 0
	Số hạng thứ hai bằng: 	3 = 1 + 2 x 1
	Số hạng thứ ba bằng:	5 = 1 + 2 x 2
	Còn số hạng cuối cùng: 1981 = 1 + 2 x 990
	Vì vậy, số 1981 là số hạng thứ 991 trong dãy số đó.
Bài 4: Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153,
	a. Tìm số hạng thứ 100 của dãy.
	b. Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
	Giải:
	a. 	Số hạng thứ nhất:	3 = 3 + 15 x 0
	Số hạng thứ hai:	18 = 3 + 15 x 1
	Số hạng thứ ba:	48 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2
	Số hạng thứ tư:	93 = 3 + 15 x 1 + 15 X 2 + 15 x 3
	Số hạng thứ năm:	153 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + 15 x 4
	Số hạng thứ n:	3 + 15 x1 + 15 x 2 +15 x 3 +  + 15 x (n - 1)
	Vậy số hạng thứ 100 của dãy là:
	3 + 15 x 1 + 15 x 2 +  + 15 x (100 - 1)
	= 3 + 15 x (1 + 2 + 3 +  + 99) (Đưa về một số nhân với một tổng.
	= 3 + 15 x (1 + 99) x 99 : 2 = 74253
	b. Gọi số 11703 là số hạng thứ n của dãy:
	Theo quy luật ở phần a ta có:
	3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 +  x (n – 1) = 11703
	3 + 15 x (1 + 2 + 3 + + ( n – 1))	 = 11703
	3 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) : 2	 = 11703
	15 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x 2	 = 23400
	 n x (n – 1) = 23400 : 15	 = 1560
Nhận xét: Số 1560 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp 39 và 40 (39 x 40 = 1560)
	Vậy, n = 40, số 11703 là số hạng thứ 40 của dãy.
Bài 5: Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4?
Lời giải: 
 Ta nhận xét : Số nhỏ nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 100 và số lớn nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 996. Như vậy các số có ba chữ số chia hết cho 4 lập thành một dãy số có số hạng nhỏ nhất là 100, số hạng lớn nhất là 996 và mỗi số hạng của dãy ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng số hạng đứng liền trước cộng với 4. 
 Vậy số các số có ba chữ số chia hết cho 4 là :
 ( 996 – 100 ) : 4 = 225 ( số )
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, ,2008
	Tìm xem dãy số có bao nhiêu số hạng ?
Bài 2: Tìm số số hạng của các dãy số sau: 
	a. 1, 4, 7, 10, ,1999.
	b. 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ... ; 108,9 ; 110,0.
Bài 3: Xét dãy số: 100, 101, , 789.
	Dãy này có bao nhiêu số hạng?
Bài 4: Có bao nhiêu số khi chia cho 4 thì dư 1 mà nhỏ hơn 2010 ?
Bài 5: Người ta trồng cây hai bên đường của một đoạn đường quốc lộ dài 21km. Hỏi phải dùng bao nhiêu cây để đủ trồng trên đoạn đường đó ? Biết rằng cây nọ trồng cách cây kia 5m. 
Dạng 4: Tìm số hạng thứ n của dãy số
Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7,............Hỏi số hạng thứ 100 của dãy số là số nào 
Giải:
Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 là:
 98 - 1 = 99
Mỗi khoảng cách là
 3 - 1 = 5 - 3 = 2
Số hạng thứ 100 là
 1 + 99 ´ 2 = 199
Công thức tổng quát:
 Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách ´ (Số số hạng - 1)
Bài toán 2: Tìm số hạng thứ 100 của các dãy số được viết theo quy luật:
3, 8, 15, 24, 35, (1)
3, 24, 63, 120, 195, (2) 
1, 3, 6, 10, 15,. (3)
Giải: a) Dãy (1) có thể viết dưới dạng: 1x3, 2x4, 3x5, 4x6, 5x7,
	Mỗi số hạng của dãy (1) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 2, 3, 4, 5, ; Dãy này có số hạng thứ 100 là 100.
Số hạng thứ 100 của dãy (1) bằng: 100x102 = 10200.
	b) Dãy (2) có thể viết dưới dạng: 1x3, 4x6, 7x9, 10x12, 13x15,
Mỗi số hạng của dãy (2) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 4, 7, 10, 13, ; Số hạng thứ 100 của dãy 1, 4, 7, 10, 13, là: 1 + (100 – 1 ) x 3 = 298.
Số hạng thứ 100 của dãy (2) bằng: 298 x 300 = 89400.
c) Dãy (3) có thể viết dưới dạng: 
 ...
Số hạng thứ 100 của dãy (3) bằng: 	
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho dãy số : 101, 104, 107, 110, ......
Tìm số hạng thứ 1998 của dãy số đó.
Bài 2: Cho dãy số : 5, 8, 11, 14, ......
a.Tìm số hạng thứ 200 của dãy số.
b. Nếu cứ viết tiếp thì các số : 1000 ; 2009 ; 5000 có là số hạng của dãy không ? Tại sao.
Bài 3: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên mà khi chia cho 3 thì dư 2 bát đầu từ số 5 thành dãy số. Viết đến số hạng thứ 100 thì phát hiện đã viết sai. Hỏi bạn đó đã viết sai số nào ?
Dạng 5: Tìm số chữ số của dãy khi biết số số hạng
Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3,.......150. Hỏi để viết dãy số này người ta phải dùng bao nhiêu chữ số 
Giải:
Dãy số đã cho có : ( 9 - 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số. 
Có ( 99 - 10 ) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số
 Có ( 150 - 100) : 1 + 1 = 51 số có 3 chữ số.
Vậy số chữ số cần dùng là :
 9 ´ 1 + 90 ´ 2 + 51 ´ 3 = 342 chữ số
Bài toán 2: Một quyển sách có 234 trang. Hỏi để đánh số trang quyển sách đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số. 
Giải:
Để đánh số trang quyển sách đó người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 234 thành dãy số. Dãy số này có 
 ( 9 - 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số
Có: ( 99 - 10) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số
Có: ( 234 - 100) : 1 + 1 = 135 số có 3 chữ số
Vậy người ta phải dùng số chữ số là:
9 ´ 1 + 90 ´ 2 + 135 ´ 3 = 594 chữ số
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên từ 101 đến 2009 thành 1 số rất lớn. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số
Bài 2: Trường Tiểu học Thành Công có 987 học sinh. Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số
Bài 3: Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có tất cả là:
a.752 trang.
b.1251 trang.
Dạng 6: Tìm số số hạng khi biết số chữ số
Bài toán 1: Để đánh số trang 1 quyển sách người ta dùng hết 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?
Giải:
Để đánh số trang quyển sách đó, người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên bắt đầu từ 1 thành dãy số. Dãy số này có
 9 số có 1 chữ số
 có 90 số có 2 chữ số
Để viết các số này cần số chữ số là
 9 ´ 1 + 90 ´ 2 = 189 chữ số
Số chữ số còn lại là:
- 189 = 246 chữ số
Số chữ số còn lại này dùng để viết tiếp các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được 
246 : 3 = 82 số
Số trang quyển sách đó là
 99 + 82 = 181 ( trang)
Bài toán 2: 
Để đánh số trang một cuốn sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? 
Giải: 99 trang đầu cần dùng 9x1 + 90x2 = 189 chữ số.
 999 trang đầu cần dùng: 9x1 + 90x2 + 900x3 = 2889 chữ số 
 Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối cùng phải có 3 chữ số. Số chữ số để đánh số các trang có 3 chữ số la: 600 - 189 = 411 (chữ số) 
 Số trang có 3 chữ số là 411: 3 = 137 trang.
 Vậy quyển sách có tất cả là: 99 + 137 = 236 trang.
Bài toán 3: Để ghi thứ tự các nhà trên một đường phố, người ta dùng các số chẵn 2, 4, 6, 8 . . . để ghi các nhà ở dãy phải và các số lẻ 1, 3, 5, 7 . . . để ghi các nhà ở dãy trái của đường phố đó. Hỏi số nhà cuối cùng của dãy chẵn trên đường phố đó là bao nhiêu, biết rằng khi đánh thứ tự các nhà của dãy này, người ta đã dùng 367 lượt chữ số cả thảy. 
Giải:
Số nhà có số thứ tự ghi bằng 1 chữ số chẵn là: (8 - 2) : 2 + 1 = 4 (nhà)
Số nhà có số thứ tự ghi bằng 2 chữ số chẵn là: (98 - 10) : 2 + 1 = 45 (nhà)
Số lượt chữ số để đánh số thự tự các nhà có 1 và 2 chữ số là: 
 4 + 45 2 = 94 (lượt)
Số lượt chữ số để đánh số thứ tự nhà có 3 chữ số là: 367 - 94 = 273 (lượt)
Số nhà có số thứ tự 3 chữ số là: 273 : 3 = 91 (nhà)
Tổng số nhà của dãy chẵn là: 4 + 45 + 91 = 140 (nhà)
Số nhà cuối cùng của dãy chẵn là: (140 - 1) 2 + 2 = 280.
Bài toán 4: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, ..., n. Hãy tìm số n để số chữ số của dãy gấp 3 lần số các số hạng của dãy. 
Giải:
Để tìm được số n sao cho số các chữ số của dãy gấp ba lần số các số hạng của dãy đó, ta giả sử trung bình mỗi số lẻ liên tiếp của dãy đều có 3 chữ số. Do đó: 
- Từ 1 đến 9 gồm các số lẻ có một chữ số là:
(9 - 1): 2 + 1 = 5 (số)
Môi số cần phải viết thêm 2 chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là:
2 x 5 = 10 (chữ số)
Các số lẻ gồm hai chữ số là
(99 - 11): 2 + 1 = 45 (số)
Mỗi số cần phải viết thêm 1 chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là:
1 x 45 = 45 (chữ số)
Các số lẻ gồm 3 chữ số là:
( 999 - 101) : 2 + 1 = 450 (số)
Các số có 3 chữ số đảm bảo số chữ số của dãy gấp ba lần số số hạng của dãy đó.
Từ 1001 trở đi, mỗi số cần bớt đi một chữ số. Số chữ số cần thêm phải bằng số chữ số cần bớt và bằng: 
10 + 45 = 55 (chữ số)
Vì mỗi số phải bớt đi 1 chữ số nên số các số lẻ có 4 chữ số là:
 55 : 1 = 55 (số)
Ta có:
(n - 1001) : 2 + 1 = 55
(n - 1001) : 2 = 55 - 1 = 54
 (n - 1001) = 54 x 2 = 108
 n = 108 + 1001 = 1109
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Để viết dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 người ta dùng hết 756 chữ số. Hỏi số hạng cuối cùng của dãy số là bao nhiêu.
Bài 2: Để ghi số thứ tự học sinh của 1 trường Tiểu học, người ta phải dùng 1137 chữ số. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh ?
Bài 3: Tính số trang của một cuốn sách. Biết rằng để đánh số trang của cuốn sách đó người ta phải dùng 3897 chữ số?
Bài 4: Để đánh số trang của một quyển sách, người ta phải dùng trung bình mỗi trang 4 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? 
Dạng 7: Tìm chữ số thứ n của dãy
Bài toán 1: Cho dãy số 1, 2, 3,..... Hỏi chữ số thứ 200 là chữ số nào ?
Giải:
 Dãy số đã cho có 9 số có 1 chữ số
 Có 90 số có 2 chữ số
 Để viết các số này cần
 9 ´ 1 + 90 ´ 2 = 189 chữ số
 Số chữ số còn lại là
 200- 189 = 11 chữ số
Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được
 11 : 3 = 3 số (dư 2 chữ số)
Nên có 3 số có 3 chữ số được viết liên tiếp đến
 99 + 3 = 102
Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 103 nhưng chỉ viết được 10. Vậy chữ số thứ 200 của dãy là chữ số 0 của số 103. 
Bài toán 2: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, ..... Hỏi chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số nào?
Giải:
 Dãy số đã cho có 4 số có 1 chữ số
 Có (98 - 10) : 2 + 1 = 45 số có 2 chữ số
 Có (998 - 100) : 2 + 1 = 450 số có 3 chữ số
 Để viết các số này cần:
 4 ´ 1 + 45 ´ 2 + 450 x 3 = 1444 chữ số
 Số chữ số còn lại là:
2010 - 1444 = 566 chữ số
Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 4 chữ số bắt đầu từ 1000. Ta viết được:
 566 : 4 = 141 số (dư 2 chữ số)
Nên có 141 số có 4 chữ số được viết , số có 4 chữ số thứ 141 là:
 (141 - 1) x 2 + 1000 = 1280
Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 1282 nhưng mới chỉ viết được 12. Vậy chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 2 hàng trăm của số 1282. 
Bài toán 3: Tìm chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằng phân số .
Giải:
Số thập phân bằng phân số là: 1 : 7 = 0,14285714285......
Đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ta thấy cứ 6 chữ số thì lập thành 1 nhóm 142857. Với 2010 chữ số thì có số nhóm là: 2010 : 6 = 335 (nhóm). Vậy chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằng phân số là chữ số 7. 
Bài toán 4: Cho 1 số có 2 chữ số, một dãy số được tạo nên bằng cách nhân đôi chữ số hàng đơn vị của số này rồi cộng với chữ số hàng chục, ghi lại kết quả; tiếp tục như vậy với số vừa nhận được ... (Ví dụ có thể là dãy: 59, 23, 8, 16, 13, ... ). Tìm số thứ 2010 của dãy nếu số thứ nhất là 14. 
Giải:
Ta lập được dãy các số như sau: 
14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, .....
Ta thấy cứ hết 18 số thì dãy các số lại được lặp lại như dãy 18 số đầu.
Với 2010 số thì có số nhóm là: 
 2010 : 18 = 111 nhóm (dư12 số)
12 số dó là các số của nhóm thứ 112 lần lượt là: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1. Vậy số thứ 2010 của dãy là số 1. 
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11,.......Hãy tìm chữ số thứ 200 của dãy số đó.
Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, ..... Bạn Minh tìm được chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 0, hỏi bạn tìm đúng hay sai?
Bài 3: Bạn Minh đang viết phân số dưới dạng số thập phân. Thấy bạn Thông sang chơi, Minh liền dố: Đố bạn tìm được chữ số thứ 100 ở phần thập phân của số thập phân mà tớ đang viết. Thông nghĩ 1 tí rồi trả lời ngay: đó là chữ số 6. Em hãy cho biết bạn Thông trả lời đúng hay sai? 
Dạng 8: Tìm số hạng thứ n khi biết tổng của dãy số
Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, ......., n. Hãy tìm số n biết tổng của dãy số là 136
Giải:
Áp dụng công thức tính tổng ta có :
1 + 2 + 3 +........+ n =136
Do đó: (1 + n ) ´ n = 136 ´ 2
 = 17 ´ 8 ´ 2
 = 16 ´ 17
 Vậy n = 16
Bài toán 2: Cho dãy số: 21, 22, 23, ......, n
Tìm n biết: 21 + 22 + 23 + ..........+ n = 4840
Giải:
Nếu cộng thêm vào tổng trên tổng của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 20 ta có tổng sau:
 1 + 2 + 3 +..........+ 21 + 22 + 23 +.........+ n
Áp dụng công thức tính tổng ta có
 (1 + n) ´ n : 2 = 1 + 2 + ....+ 20 + 4840
 = ( 1 + 20) ´ 20 : 2 + 4840
 = 210 + 4840 = 5050
 ( 1+ n) ´ n = 5050 ´ 2
 = 10100
 = 101 ´ 100
 Vậy n = 100
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho biết: 1 + 2 + 3 +........+ n = 345. Hãy tìm số n.
Bài 2: Tìm số n biết rằng
 98 + 102 +........+ n = 15050
Bài 3: Cho dãy số 10, 11, 12, 13, , x. Tìm x để tổng của dãy số trên bằng 5106
Dạng 9: Tính tổng của dãy số
Các bài toán được trình bày ở chuyên đề này được phân ra hai dạng chính, đó là:
Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng là số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách đều
Dạng thứ hai: Dãy số với các số hạng không cách đều.
Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều.
Xuất phát từ một bài Toán như sau:
 Tính: A = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
 Ta thấy tổng A có 100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, mỗi nhóm có tổng là 101 như sau:
 A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51) = 101 + 101 + ... + 101 = 50 x 101 = 5050. Đây là bài Toán mà lúc lên 7 tuổi nhà Toán học Gauxơ đã tính rất nhanh tổng các số Tự nhiên từ 1 đến 100 trước sự ngạc nhiên của thầy giáo và các bạn bè cùng lớp. Như vậy bài toán trên là cơ sở đầu tiên để chúng ta tìm hiểu và khai thác thêm rất nhiều các bài tập tương tự, được đưa ra ở nhiều dạng khác nhau, được áp dụng ở nhiều thể loại toán khác nhau nhưng chủ yếu là: tính toán, tìm số, so sánh, chứng minh. Để giải quyết được các dạng toán đó chúng ta cần phải nắm được quy luật của dãy số, tìm được số hạng tổng quát, ngoài ra cần phải kết hợp những công cụ giải toán khác nhau nữa. 
Cách giải: 
	Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của hai số hạng cách đều đầu và số hạng cuối trong dãy số đó bằng nhau. Vì vậy:	Tổng các số hạng của dãy bằng tổng của một cặp hai số hạng cách đầu số hạng đầu và cuối nhân với số hạng của dãy chia cho 2. 
	Viết thành sơ đồ:
Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x (số số hạng : 2)
	Từ sơ đồ trên ta suy ra:
	Số đầu của dãy = tổng x 2 : số số hạng – số hạng cuối.
	Số cuối của dãy = tổng x 2 : số số hạng – số đầu.
 Sau đây là một số bài tập được phân thành các thể loại, trong đó đã phân thành hai dạng trên:
Bài 1: Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên.
	Giải:
19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37. 
 Ta thấy:	1 + 37 = 38	;	5 + 33 = 38
	1 + 35 = 38	;	7 + 31 = 38
Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu số vào, ta được các cặp số đều có tổng số là 38. 
Số cặp số là:
	19 : 2 = 9 (cặp số) dư một số hạng.
Số hạng dư này là số hạng ở chính giữa dãy số và là số 19. Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 
	39 x 9 + 19 = 361
	Đáp số: 361.
Nhận xét: Khi số số hạng của dãy số lẻ (19) thì khi sắp cặp số sẽ dư lại số hạng ở chính gữa vì số lẻ không chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số hạng thì việc tìm số hạng còn lại sẽ rất khó khăn. 
Vậy ta có thể làm cách 2 như sau:	
Ta bỏ lại số hạng đầu tiên là số 1 thì dãy số có: 19 - 1 = 18 (số hạng)
	Ta thấy:	3 + 37 = 40	;	7 + 33 = 40
	5 + 35 = 40	;	9 + 31 = 40
	Khi đó, nếu ta sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số gồm 18 số hạng vào thì được các cặp số có tổng là 40. 
	Số cặp số là:	18 : 2 = 9 (cặp số)
	Tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:
	1 + 40 x 9 = 361
	Chú ý: Khi số hạng là số lẻ, ta để lại một số hạng ở 2 đầu dãy số (số đầu, hoặc số cuối) để còn lại một số chẵn số hạng rồi sắp cặp; lấy tổng của mỗi cặp nhân với số cặp rồi cộng với số hạng đã để lại thì được tổng của dãy số. 
Bài 2: Tính tổng của số tự nhiên từ 1 đến n.
	Giải:
	Ghép các số: 1, 2, , n – 1, n thành từng cặp (không sắp thứ tự) : 1 với n, 2 với (n – 1), 3 với (n – 2),  
	Khi n chẵn, ta có S = n x (n + 1) : 2
	Khi n lẻ, thì n – 1 chẵn và ta có:
	1 + 2 +  + (n – 1) = (n – 1) x n : 2
	Từ đó ta cũng có:
	S = (n – 1) x n : 2 + n
	 = (n - 1) x n : 2 + 2 x n : 2
	 = [(n – 1) x n + 2 x n] : 2
	 = (n – 1 + 2) x n : 2
	 = n x (n + 1) : 2
Khi học sinh đã làm quen và thực hiện thành thạo thì hướng dẫn học sinh áp dụng công thức luôn mà không cần nhóm thành các cặp số có tổng bằng nhau. 
Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x số số hạng : 2
Bài 3: Tính E = 10,11 + 11,12