Cuộc thi toán quốc tế giữa các thành phố lần thứ 37 khối trung học cơ sở cấp độ A, mùa thu 2015

CU￿C THI TOÁN QU￿C T￿ GI￿A CÁC THÀNH PH￿ L￿N TH￿ 37
Kh￿i Trung h￿c Cơ s￿ c￿p đ￿ A, Mùa thu 2015.
Hà N￿i, ngày 25/10/2015
(K￿t qu￿ đư￿c tính b￿ng t￿ng đi￿m c￿a ba bài có đi￿m cao nh￿t, đi￿m c￿a bài có nhi￿u ý b￿ng
t￿ng đi￿m c￿a các ý thành ph￿n.)
đi￿m đ￿ bài
1. M￿t đa giác đơn (hai c￿nh b￿t kỳ ho￿c không c￿t nhau, ho￿c
c￿t nhau t￿i đ￿nh) v￿i các c￿nh n￿m trên đư￿ng k￿ c￿a m￿t lư￿i
ô vuông đư￿c g￿i là kỳ di￿u n￿u nó không ph￿i hình ch￿ nh￿t
và ta có th￿ ghép m￿t s￿ (l￿n hơn 1) các b￿n sao c￿a nó đ￿ thu
đư￿c m￿t đa giác đ￿ng d￿ng v￿i chính nó. Ví d￿, đa giác d￿ng
ch￿ L g￿m 3 ô vuông đơn v￿ là kỳ di￿u (xem hình v￿ bên ph￿i).
2 a) Tìm m￿t đa giác kỳ di￿u g￿m 4 ô vuông đơn v￿.
3 b) Xác đ￿nh t￿t c￿ n > 4 sao cho t￿n t￿i đa giác kỳ di￿u g￿m n ô vuông đơn v￿.
2. M￿t t￿p h￿p g￿m có các s￿ nguyên t￿ 1 đ￿n 100 b￿ đi k s￿ nguyên nào đó. H￿i
có ph￿i luôn ch￿n đư￿c k s￿ phân bi￿t t￿ t￿p này có t￿ng b￿ng 100 n￿u
2 a) k = 9;
4 b) k = 8?
3. Ch￿ng minh r￿ng t￿ng đ￿ dài hai đư￿ng trung tuy￿n c￿a m￿t tam giác luôn
3 a) không vư￿t quá 3P/4 trong đó P là chu vi c￿a tam giác;
5 b) không bé hơn 3p/4 trong đó p là n￿a chu vi c￿a tam giác.
8
4. Lư￿i ô vuông kích thư￿c 9× 9 đư￿c x￿p t￿ các que diêm sao cho m￿i ô có các
c￿nh là các que diêm và hai ô chung c￿nh chung nhau đúng m￿t que diêm. Pete
và Basil l￿n lư￿t l￿y đi t￿ng que diêm. Ngư￿i th￿ng là ngư￿i mà sau lư￿t đi c￿a
anh ta s￿ không còn l￿i ô vuông 1× 1 nào. H￿i ai trong s￿ hai ngư￿i chơi có chi￿n
thu￿t đ￿ đ￿m b￿o luôn giành đư￿c chi￿n th￿ng?
8
5. Tam giác ABC có các đư￿ng trung tuy￿n AA0, BB0 và CC0 c￿t nhau t￿i đi￿m
M . G￿i P , Q, R, T l￿n lư￿t là tâm đư￿ng tròn ngo￿i ti￿p các tam giác MA0B0,
MCB0, MA0C0, MBC0. Ch￿ng minh r￿ng các đi￿m P , Q, R, T , M cùng n￿m
trên m￿t đư￿ng tròn.
6. Trên b￿ng đen cho trư￿c m￿t s￿ s￿ th￿c phân bi￿t. Peter mu￿n vi￿t m￿t bi￿u
th￿c có t￿p giá tr￿ là t￿p các s￿ trên b￿ng. Peter có th￿ s￿ d￿ng các s￿ th￿c b￿t
kỳ kèm theo d￿u ngo￿c và các phép toán +, −, ×. Peter cũng có th￿ s￿ d￿ng
phép toán đ￿c bi￿t ± đ￿ kí hi￿u phép + ho￿c −. Ví d￿, bi￿u th￿c 5± 1 có t￿p
giá tr￿ là {4, 6}, và bi￿u th￿c (2± 0,5) ± 0,5 có t￿p giá tr￿ là {1, 2, 3}. H￿i Peter
có th￿ vi￿t đư￿c bi￿u th￿c đó hay không n￿u:
3 a) các s￿ trên b￿ng là 1, 2, 4;
7 b) các s￿ trên b￿ng là 100 s￿ th￿c phân bi￿t b￿t kỳ?
10
7. Ông già Nô-en có n lo￿i k￿o, m￿i lo￿i có k chi￿c. Ông chia chúng ng￿u nhiên
vào k túi quà, m￿i túi có n chi￿c và t￿ng cho k đ￿a tr￿, m￿i đ￿a m￿t túi. Lũ tr￿
nhanh chóng khám phá ra nh￿ng gì có trong túi và quy￿t đ￿nh trao đ￿i k￿o. M￿i
lư￿t trao đ￿i g￿m có hai đ￿a tr￿, m￿i đ￿a l￿y m￿t chi￿c trong túi và đ￿i l￿y chi￿c
k￿o thu￿c lo￿i mà nó chưa có. H￿i có ph￿i luôn t￿n t￿i m￿t cách s￿p x￿p các lư￿t
trao đ￿i đ￿ m￿i đ￿a tr￿ đ￿u có t￿t c￿ các lo￿i k￿o?
INTERNATIONAL MATHEMATICS TOURNAMENT OF TOWNS
Junior A-Level Paper, Fall 2015.
Hanoi, 25/10/2015
(The result is computed from the three problems with the highest scores, the scores for the
individual parts of a single problem are summed up.)
points problems
1. A grid polygon is called amazing if it is not a rectangle and
several its copies can form a polygon similar to it. For instance,
a corner consisting of three cells is an amazing polygon (see the
figure on the right).
2 a) Find an amazing polygon consisting of 4 cells.
3
b) Determine all n > 4 such that there exists an amazing polygon consisting of n
cells.
2. A set consists of all integers from 1 to 100 except some k integers. Is it always
possible to choose k distinct integers in this set so that their sum equals 100 if
2 a) k = 9;
4 b) k = 8?
3. Prove that the sum of lengths of any two medians in an arbitrary triangle is
3 a) not greater than 3P/4 where P is the perimeter of this triangle;
5 b) not less than 3p/4 where p is the semiperimeter of this triangle.
8
4. A 9× 9 grid square is made of matches, every cell side consists of a single match,
and any two adjacent cells share exactly one match. Pete and Basil in turn
remove matches one by one. A player wins if there remains no entire 1× 1 square
after his move. Who of the players has a winning strategy?
8
5. In triangle ABC, medians AA0, BB0 and CC0 intersect at point M . Let P , Q,
R, and T be the circumcenters of triangles MA0B0, MCB0, MA0C0, MBC0
respectively. Prove that points P , Q, R, T , M are concyclic.
6. Several distinct real numbers are written on a blackboard. Peter wants to make
an expression such that its values are exactly these numbers. To make such an
expression, he may use any real numbers, brackets, and usual signs +, − and
×. He may also use a special sign ±: computing the values of the resulting
expression, he chooses values + or − for every ± in all possible combinations.
For instance, the expression 5± 1 results in {4, 6}, and (2± 0.5)± 0.5 results in
{1, 2, 3}. Can Pete construct such an expression:
3 a) if the numbers on the blackboard are 1, 2, 4;
7 b) for any collection of 100 distinct real numbers on a blackboard?
10
7. Santa Claus had n sorts of candies, k candies of each sort. He distributed them
at random between k gift bags, n candies in each, and gave a bag to each of k
children. The children learned what they had in the bags and decided to trade.
Two children can trade one candy for one candy in case if each of them gets
a candy of the sort that he/she lacks. Is it true that a sequence of trades can
always be arranged so that in the end every child has candies of each sort?
CU￿C THI TOÁN QU￿C T￿ GI￿A CÁC THÀNH PH￿ L￿N TH￿ 37
Kh￿i Trung h￿c Ph￿ thông c￿p đ￿ A, Mùa thu 2015.
Hà N￿i, ngày 25/10/2015
(K￿t qu￿ đư￿c tính b￿ng t￿ng đi￿m c￿a ba bài có đi￿m cao nh￿t, đi￿m c￿a bài có nhi￿u ý b￿ng
t￿ng đi￿m c￿a các ý thành ph￿n.)
đi￿m đ￿ bài
3
1. M￿t c￿p s￿ nhân g￿m 37 s￿ nguyên dương. Bi￿t r￿ng, s￿ h￿ng đ￿u và s￿ h￿ng
cu￿i c￿a c￿p s￿ nguyên t￿ cùng nhau. Ch￿ng minh r￿ng s￿ h￿ng th￿ 19 c￿a c￿p
s￿ là lũy th￿a b￿c 18 c￿a m￿t s￿ nguyên dương.
6
2. M￿t b￿ng k￿ ô vuông kích thư￿c 10× 10 đư￿c chia b￿i 80 đo￿n th￿ng đ￿ dài đơn
v￿ thành 20 đa giác v￿i di￿n tích b￿ng nhau (các đo￿n th￿ng n￿m trên đư￿ng k￿
và không n￿m trên c￿nh ngoài c￿a b￿ng vuông). Ch￿ng minh r￿ng t￿t c￿ 20 đa
giác là b￿ng nhau.
6
3. Cho m￿t đa th￿c khác h￿ng s￿ v￿i các h￿ s￿ là các s￿ nguyên có giá tr￿ tuy￿t đ￿i
không vư￿t quá 2015. Ch￿ng minh r￿ng các nghi￿m dương c￿a đa th￿c đ￿u l￿n
hơn 1/2016.
7
4. Cho t￿ giác n￿i ti￿p ABCD v￿i K và N là trung đi￿m c￿a các đư￿ng chéo AC
và BD. Các đư￿ng kéo dài c￿a các c￿p c￿nh đ￿i c￿t nhau t￿i hai đi￿m P và Q.
Ch￿ng minh r￿ng ∠PKQ+ ∠PNQ = 180◦.
5. Trên b￿ng đen cho trư￿c m￿t s￿ s￿ th￿c phân bi￿t. Peter mu￿n vi￿t m￿t bi￿u
th￿c có t￿p giá tr￿ là t￿p các s￿ trên b￿ng. Peter có th￿ s￿ d￿ng các s￿ th￿c b￿t
kỳ kèm theo d￿u ngo￿c và các phép toán +, −, ×. Peter cũng có th￿ s￿ d￿ng
phép toán đ￿c bi￿t ± đ￿ kí hi￿u phép + ho￿c −. Ví d￿, bi￿u th￿c 5± 1 có t￿p
giá tr￿ là {4, 6}, và bi￿u th￿c (2± 0,5) ± 0,5 có t￿p giá tr￿ là {1, 2, 3}. H￿i Peter
có th￿ vi￿t đư￿c bi￿u th￿c đó hay không n￿u:
2 a) các s￿ trên b￿ng là 1, 2, 4;
6 b) các s￿ trên b￿ng là 100 s￿ th￿c phân bi￿t b￿t kỳ?
6. Basil có m￿t qu￿ dưa h￿u là m￿t hình c￿u đư￿ng kính 20cm. S￿ d￿ng m￿t con
dao dài, Basil th￿c hi￿n ba nhát c￿t đôi m￿t vuông góc v￿i nhau. Bi￿t r￿ng m￿i
nhát c￿t có đ￿ sâu h (nhát c￿t t￿o ra m￿t cung tròn v￿i đ￿ cao h trên m￿t ph￿ng
c￿t). H￿i có ph￿i qu￿ dưa h￿u luôn đư￿c chia thành ít nh￿t hai ph￿n r￿i nhau
n￿u
6 a) h = 17 cm;
6 b) h = 18 cm?
12
7. Có N b￿n h￿c sinh đ￿ng x￿p thành m￿t hàng th￿ng. Bi￿t r￿ng, trong s￿ đó không
có hai b￿n nào có cùng chi￿u cao. Ta đư￿c phép th￿c hi￿n m￿t s￿ l￿n chuy￿n ch￿
c￿a các b￿n h￿c sinh như sau. M￿i l￿n chuy￿n ch￿, trư￿c h￿t các b￿n h￿c sinh
đư￿c chia thành các nhóm v￿i chi￿u cao tăng d￿n t￿ trái qua ph￿i (m￿t nhóm có
th￿ g￿m m￿t b￿n) sao cho s￿ nhóm là ít nh￿t. Sau đó, th￿ t￿ c￿a các b￿n trong
m￿i nhóm đư￿c đ￿o ngư￿c, có nghĩa là trong m￿i nhóm, các b￿n s￿ đ￿ng theo
chi￿u cao gi￿m d￿n t￿ trái qua ph￿i. Ch￿ng minh r￿ng sau N − 1 l￿n chuy￿n ch￿
như v￿y, các b￿n h￿c sinh s￿ đ￿ng theo chi￿u cao gi￿m d￿n t￿ trái qua ph￿i.
INTERNATIONAL MATHEMATICS TOURNAMENT OF TOWNS
Senior A-Level Paper, Fall 2015.
Hanoi, 25/10/2015
(The result is computed from the three problems with the highest scores, the scores for the
individual parts of a single problem are summed up.)
points problems
3
1. A geometrical progression consists of 37 positive integers. The first and the last
terms are relatively prime numbers. Prove that the 19th term of the progression
is the 18th power of a positive integer.
6
2. A 10× 10 grid square is split by 80 unit grid segments (lying inside the square)
into 20 polygons of equal area. Prove that all these polygons are congruent.
6
3. Each coefficient of a non-constant polynomial is an integer of absolute value not
exceeding 2015. Prove that every positive root of this polynomial is greater than
1/2016.
7
4. Suppose that a quadrilateral ABCD is cyclic. Let extensions of the opposite
sides intersect at points P and Q, and let K and N be the midpoints of the
diagonals. Prove that ∠PKQ+ ∠PNQ = 180◦.
5. Several distinct real numbers are written on a blackboard. Peter wants to make
an expression such that its values are exactly these numbers. To make such an
expression, he may use any real numbers, brackets, and usual signs +, − and
×. He may also use a special sign ±: computing the values of the resulting
expression, he chooses values + or − for every ± in all possible combinations.
For instance, the expression 5± 1 results in {4, 6}, and (2± 0.5)± 0.5 results in
{1, 2, 3}. Can Pete construct such an expression:
2 a) if the numbers on the blackboard are 1, 2, 4;
6 b) for any collection of 100 distinct real numbers on a blackboard?
6. Basil has a watermelon in a shape of a ball with diameter 20 cm. Using a long
knife, Basil makes three pairwise perpendicular cuts, each cut is of depth h (a
cut produces a circular segment with height h in the plane of the cut) . Does it
necessarily follow that the watermelon is divided into two or more pieces if
6 a) h = 17 cm;
6 b) h = 18 cm?
12
7. N children, no two of the same height, stand in a line in some order. The following
two-step procedure is applied repeatedly: firstly, the line is split into the least
possible number of groups so that in each group all children are arranged from the
left to the right in ascending order of the height (a group may consist of a single
child). Secondly, the order of children in each group is changed to the opposite
one (so now in each group the children stand in descending order). Prove that
after N − 1 rearrangements the children in the line will stand in descending order
from the left to the right.