Công phá đề thi THPT Quốc gia môn toán bằng kỹ thuật Casio

CÔNG PHÁ 
ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 
MÔN TOÁN 
BẰNG 
KỸ THUẬT CASIO 
I. Một số kỹ thuật đơn giản nhưng quan trọng 
 Hẳn nhiều người sẽ có chút thắc mắc về việc chia phần ra làm kỹ thuật đơn giản và kỹ 
thuật phức tạp như thế này làm gì cho mất công, theo họ chắc chỉ cần sắp xếp các kỹ thuật 
từ dễ đến khó là được rồi. 
 Mình cũng đã nghĩ qua vấn đề đó. 
 Mình thấy làm vậy cũng hợp lí, song vì một lí do khác mà mình mới tách riêng ra làm 2 
phần và thêm cụm từ “nhưng quan trọng” vào, nghe hơi đớ chút nhưng lại đánh dấu được cái 
“lí do khác” đó.  
 Lí do đó là: những kỹ thuật ở phần này là những kỹ thuật sẽ xuất hiện trong hầu hết các 
kỹ thuật ở phần thứ hai, nghĩa là chúng được dùng xuyên suốt trong các kỹ thuật phức tạp 
sau này và là một thao tác phụ trợ cho các kỹ thuật đó. 
 Nói cách khác, chúng mang tính kết nối, và là những điểm chung của các kỹ thuật phức 
tạp, còn về những kỹ thuật phức tạp kia, hầu như nội dung không hề có gì liên quan đến nhau 
cả. Vì lẽ đó bọn chúng mới được “ở nhà riêng”!  
 Và cũng vì vậy mà những kỹ thuật nhỏ này rất “quan trọng”, chúng là 1 thao tác góp 
phần tăng nhanh tốc độ giải toán mà các bạn cần nắm kỹ trước khi lĩnh hội những kỹ thuật 
phía sau. 
 Bây giờ chúng ta bắt đầu!  
1. Nhập phương trình hiệu quả nhất 
 Cái này chắc chắn rất nhiều người sẽ lờ đi, nhưng tiếc thay người đó chưa chắc đã biết 
cách nhập PT (phương trình) thế nào mới là phù hợp, thuận tiện tính toán nhất. 
 Đơn giản các bạn nghĩ rằng PT thế nào thì nhập vào thế, nhưng nếu nhập thêm kí hiệu 
“ 0 ” vào thì việc kết hợp với các kỹ thuật cao cấp khác ở các phần sau sẽ rất bất tiện, gây 
chậm chạp, do đó các bạn không nên nhập kí hiệu “= 0” mà chuyển hết các đại lượng sang vế 
trái rồi nhập mình vế trái vào thôi!  
VD. Ta nhập PT 2 32( 2) 5 1x x   vào máy như hình sau: 
2 32( 2) 5 1x x  
 Khi nhập như thế này, bạn sẽ: 
 + Thứ nhất: tối ưu hóa được việc giải nghiệm PT ở kĩ xảo phía dưới. 
 + Thứ hai: tính giá trị của biểu thức 2 32( 2) 5 1x x   với các giá trị x khác nhau rất 
nhanh mà chỉ cần nhấn CALC luôn không cần quay lại xóa 2 kí tự “= 0” (nhất là khi PT 
cồng kềnh), hoặc khi sửa PT thành biểu thức để tính với CALC cũng rất nhanh. 
2. Tối ưu hóa việc giải nghiệm PT 
 Chúng ta vẫn xét PT trên: 2 32( 2) 5 1x x   
 Sau khi nhập PT theo kỹ thuật 1, các bạn nhấn  , khi đó ra kết quả mấy kệ nó vì ta chỉ 
cần giữ lại được PT để giải nhiều lần là được. Cái kết quả ấy chẳng qua chỉ tại giá trị X có 
sẵn từ trước mà thôi. 
 Khởi đầu các bạn nên gán X theo điều kiện (ĐK) của x, nếu không tìm được (hoặc ngại 
tìm) ĐK thì các bạn cứ gán X = 0 (nếu X chưa bằng 0), đó được gọi là giá trị khởi đầu của 
việc dò nghiệm. 
 Bài này sau khi gán X = 0, máy cho ta 5,541381265X  , các bạn lưu nó vào biến A. 
 Ở đây có 1 thao tác mình phải nhắc lại vì còn khá nhiều người không biết làm sao, đó là 
để lưu nghiệm trong biến này (cụ thể là X, do ban đầu ta dùng biến X để giải) sang biến khác 
 (ở đây là biến A) các bạn nhấn: ( ) ( ) ( )ALPHA X SHIFT RCL STO A , khi đó màn hình 
hiện X A 
 Bây giờ các bạn nhấn  để quay lên PT đã lưu, nhấn  con trỏ sẽ nằm ở đầu. Tiếp tục 
nhấn ( SHIFT DEL , lúc này con trỏ sẽ chuyển thành hình tam giác, đó chính là chức 
năng chèn biểu thức đang xuất hiện vào 1 biểu thức khác. Cụ thể nó hiện như hình: 
 2 32( 2) 5 1X X   
 Tiếp tục bấm 


, biểu thức đang xuất hiện được chèn ngay lên tử số của 1 phân thức nào 
đó. Tiếp tục các thao tác chỉnh sửa ta thu được: 
2 32( 2) 5 1
( )
X X
X A
  
 (chú ý phải có dấu ngoặc đơn dưới mẫu!) 
 Bây giờ các bạn tiếp tục cho máy giải PT 
2 32( 2) 5 1
( )
X X
X A
  

, máy hỏi giá trị X hay A 
đừng có thay đổi, cứ thế mà   cho nó giải thôi!  
 Do ta đưa ( )X A xuống mẫu nên tuyệt nhiên máy không thể hiển thị lại cái nghiệm đã 
tìm ở trên (đã lưu vào A), buộc phải tìm nghiệm khác (nếu có). Và như vậy ta đã tối đa hóa 
được việc vét nghiệm của PT. 
 Nghiệm mới ta thu được chính là: 5,541381265X   . Trước khi lưu nó vào B các bạn 
lại quay lại PT 
2 32( 2) 5 1
( )
X X
X A
  

 và ấn  để lưu nó lại (kết quả mấy vẫn mặc kệ! ). 
 Bây giờ, thực hiện thao tác tương tự các bạn sửa PT kia thành 
2 32( 2) 5 1
( )( )
X X
X A X B
  
 
 sau 
đó lại cho máy giải, không cần quan tâm các giá trị X, A, B làm gì 
 Vâng, lần này máy báo Can’t Solve, nghĩa là PT 
2 32( 2) 5 1
( )( )
X X
X A X B
  
 
 vô nghiệm, nói 
cách khác, PT đã cho không còn nghiệm nào khác ngoài 2 nghiệm A, B nữa cả.  
 Vậy với PT có vô số nghiệm như PT lượng giác thì sao? 
 Khi học một kỹ thuật, các bạn sẽ chỉ tiếp thu tốt nhất khi biết đặt ra những băn khoăn, 
thắc mắc về một vấn đề nào đó đang được nói đến.  
 Với PT lượng giác, nghiệm của nó có dạng ( )x a kb k    , trong đó ( 2;2)a  , do 
đó để việc vét nghiệm của PT lượng giác mà chúng có ích cho việc giải PT, thì ta chỉ cần vét 
hết các giá trị a là được, còn phần kb thì không cần quan tâm. Và cách vét đó, hoàn toàn 
giống như với các loại PT khác đã nói ở trên, với giá trị ban đầu X = 0 
 Khi đọc đến những phần ở phía sau liên quan đến việc giải PT lượng giác, các bạn sẽ 
được hiểu rõ hơn các thao tác mình sử dụng để vét nghiệm của nó như thế nào  
3. Nguyên tắc thử giá trị tốt nhất 
 Nguyên tắc đơn giản này là do mình nghĩ ra, và từ trước đến nay cũng chưa thấy tài liệu 
về MTBT nào có đề cập đến nó, nên các bạn xem như đây là lần đầu tiên nó được đưa ra 
vậy!  
 Như đã nói, nguyên tắc này rất đơn giản, đó là khi muốn kiểm tra bằng máy tính xem 
( ) ( )f x g x hay không, ta sẽ nhập khoảng 1; 2 giá trị X phù hợp để tính giá trị biểu thức 
( ) ( )f X g X , nếu kết quả đều bằng 0 thì chứng tỏ ( ) ( )f x g x !  
 Nói ra có vẻ buồn cười, nhưng thực ra không phải các bạn cứ thử 2 giá trị X bất kì là có 
thể kết luận được ( ) ( )f x g x ngay đâu! Thời gian thì không cho phép, đã là kĩ thuật tối ưu 
hóa thì phải làm sao tối ưu được cả thời gian chứ không phải chỉ mình kết quả. 
 Cụ thể: 
 + Nếu f(x), g(x) là các hàm vô tỉ (chứa căn), ta thử với X là các số thập phân hữu hạn 
(như 1,364; 5,2235;). 
 + Nếu chúng là các hàm lượng giác, ta thử với các số nguyên khác 0 (càng lớn càng tốt). 
 + Cuối cùng nếu f(x), g(x) không rơi vào 2 trường hợp trên, thì ta gán X là các số siêu 
việt (như ; ;e ). 
 Mình quy định ra những cách thử khác nhau như vậy mục đích là để chỉ cần thử 1; 2 lần 
là đã kết luận được có xảy ra ( ) ( )f x g x một cách chắc chắn nhất, việc đó đơn giản chỉ là 
dựa vào đặc trưng của hàm mà ta muốn thử mà thôi. 
 Chính vì những điều trên mà công việc có vẻ buồn cười này mới được xem là 1 kỹ thuật. 
 Nhìn có vẻ là làm phức tạp hóa vấn đề nhưng thực ra không phải đâu, các bạn dùng 1 vài 
lần sẽ quen ngay thôi. Nó sẽ biến thành phản xạ tự nhiên của các bạn. 
 Giống như mình ấy: dùng nó như là 1 phản xạ tự nhiên từ trước đến giờ và chỉ phân định 
rạch ròi ra làm 3 kiểu như vậy khi viết sách này.  
VD. Ta đã biết các đẳng thức lượng giác sau đây là đúng: 
sin cos 2 sin
4
cos sin 2 cos
4
x x x
x x x


  
   
  

       

 Thế nhưng khi ngồi trong phòng thi rồi thì không ít người sẽ nhầm lẫn khi nhớ những 
đẳng thức này. Cụ thể nếu chúng ta chỉ nhớ mang máng thôi thì ta sẽ làm sao để xác định 
chính xác được cos sin ?x x  
 Giả sử mình nhớ mang máng rằng cos sin 2 cos
4
x x x
 
   
 
, khi đó mình nhập vào 
máy như sau: cos( ) sin( ) 2 cos
4
X X X
 
   
 
 (lưu ý nếu các bạn đã ghi 
4

 thì máy phải 
đặt chế độ radian, nếu không bị sai lại trách mình! ). 
 Sử dụng CALC để tính biểu thức ( ) cos sin 2 cos
4
f x x x x
 
    
 
, nếu ai không 
biết kỹ thuật này, thông thường sẽ gán 0X  hoặc đẹp như X  , và thu được kết quả: 
(0) ( ) 0 ( ) 0 cos sin 2 cos
4
f f f x x x x


 
        
 
, hoàn toàn sai! 
 Thay vào đó, với kỹ thuật trên, ta cho X = 1 đi, thu được (1) 1,68294197f   và kết luận 
luôn cos sin 2 cos
4
x x x
 
   
 
 (khác nhau thì chỉ cần 1 giá trị là đủ). 
 Do đó, quay lại biểu thức đã nhập, mình sửa thành cos( ) sin( ) 2 cos
4
X X X
 
   
 
(vẫn theo những gì nhớ mang máng! ). 
 Vâng, lần này với 
1
2
X
X

 
 thì ta đều thu được kết quả = 0 
 Vậy ta kết luận chắc chắn: cos sin 2 cos
4
x x x
 
   
 
 Qua VD trên các bạn rút ra được điều gì? 
 Rõ ràng, chúng ta thấy điều kiện tiên quyết để sử dụng kỹ thuật này là chúng ta phải nhớ 
mang máng biểu thức ở bên vế phải (cái mà ta cần biến đổi thành), còn vế bên trái thì đã có 
trong đề bài rồi (có có sẵn thì ta mới cần đẳng thức để biến đổi chứ! ). 
 Thà nhớ ít rồi sửa và thử nhiều lần, còn hơn không nhớ 1 tí gì. Dẫu áp dụng thủ thuật có 
cao siêu đến đâu thì cũng cần có kiến thức, dù rất ít! 
 Sau này khi sử dụng đến mình sẽ viết tắt kỹ thuật này là “nguyên tắc TGTTN” nhé!  
II. Những kỹ thuật phức tạp 
 Sau đây các bạn sẽ được học những kỹ thuật mang tính độc lập cho từng dạng toán, khác 
với sự xuyên suốt trong hầu hết các bài toán ở phần I. 
 Những kỹ thuật này đòi hỏi sự phân tích, tính toán nhiều bước hơn hẳn và quan trọng là 
cần sự linh hoạt trong mỗi một hoàn cảnh nhất định, đơn giản là vì những kỹ thuật này nhiều 
bước hơn nữa mình không thể kể hết ra cho các bạn tất cả những trường hợp có thể gặp phải, 
mà chỉ nói được những gì hay gặp nhất thôi.  
 Học thủ thuật máy tính luôn cần sự sáng tạo và linh hoạt kết hợp các phương pháp khác 
nhau, có như vậy mới có thể tận dụng hết được những chức năng của máy tính cũng như giải 
quyết được bài toán một cách nhanh nhất. 
1. Xác định nghiệm đẹp của phương trình 
 Như các bạn biết, PT mũ và loga là loại PT đơn giản nhất trong đề thi THPT Quốc gia 
môn Toán, thứ nhì là PT lượng giác, và cuối cùng là loại PT thuộc phần phân loại HS khá - 
giỏi, đó là PT vô tỉ. 
 Đặc trưng nghiệm của mỗi loại thì chỉ có 3 loại, đó là: 
 + Nghiệm là số hữu tỉ. 
 + Họ nghiệm lượng giác ( )x a kb k    . 
 + Nghiệm vô tỉ thuộc dạng PT bậc 2: 
2
b
x
a
  
 
 Vì PT mũ và loga là loại dễ nhất, nên mình sẽ không nói thêm nữa. Các bạn trong quá 
trình học có thể thấy nó dài, nó phức tạp hay như thế nào đấy thì tùy nhưng khi thử làm đề thi 
THPT Quốc gia rồi thì mới thấy nó thật không đáng tính tiền. Nếu chẳng may nó có khó để 
xuất hiện trong đề thi HSG thì thường sẽ khó sau khi chuyển được về PT vô tỉ thôi.  
 Còn PT lượng giác, bắt đầu từ năm 2015 Bộ đã thế nó bằng câu tính giá trị của biểu thức 
lượng giác, tuy không hoàn toàn liên quan đến PT lượng giác nhưng mình cũng vẫn viết vì 
không thể tránh được trường hợp Bộ sẽ quay lại cho HS giải PT. 
a) Về nghiệm của PT hiển thị trên MTBT 
 Phần này mình đã bổ sung vào sau khi suy ngẫm lại, vì thực ra lúc đầu mình cũng nghĩ 
nó không quan trọng, ai cũng biết cả rồi.  
 Nghiệm nguyên thì không nói làm gì rồi, nhưng nếu không nguyên thì sao? 
 Trong trường hợp đó, thao tác nhấn )RCL để hiển thị lại dạng đẹp (nếu có thể) của 
nghiệm (mà máy tự động lưu trong X) là cái ai cũng làm được. 
 Tuy nhiên chúng ta cần xét thêm đến cái sai số của máy tính gây ra bởi việc sử dụng 
thuật toán lặp Newton để dò (đúng hơn là hội tụ nghiệm) của máy tính bỏ túi hiện nay. Điều 
đó nghĩa là không một nghiệm nào máy giải ra thực sự là chính xác, nói cách khác các 
nghiệm nguyên mà các bạn thu được thực ra đã được chức năng làm tròn sửa đổi thành số 
nguyên (và thành nghiệm chính xác), từ cái nghiệm thực sự của quá trình hội tụ. Và do đó, 
nếu nghiệm không hữu tỉ thì việc hiện lại dạng đẹp hầu như không thể. 
 Nghiệm của quá trình giải đó thực ra là kết quả của 1 phép tính giới hạn! Mình đã kiểm 
tra được điều đó bằng cách xây dựng lại quá trình dò nghiệm bằng thuật toán lặp Newton nói 
trên của máy, cụ thể mình sử dụng lệnh tổng quát sau để dò nghiệm: 
( )
'( )
f X
X X
f X
  
VD1. Xét PT 2( ) 6 0f x x x    
 Ta có '( ) 2 1f x x  , khi đó mình nhập vào máy tính lệnh 
2 6
2 1
X X
X X
X
 
 

 sau đó 
nhấn CALC , nhập giá trị khởi đầu, chẳng hạn cho X = 0 đi (tương tự như khi giải bằng 
Solve), sau đó ấn  liên tù tì và xem quá trình hội tụ nghiệm diễn ra. 
 Có phải các kết quả các bạn thấy trên màn hình hội tụ dần về 2 đúng không? Đến 1 lúc 
nào đó (sau 1 thời gian ngắn thôi), giá trị nhận được đúng bằng 2, và đó là 1 nghiệm của PT 
( ) 0f x  . Điều đó đã minh chứng cho việc làm tròn nghiệm mình đã nói trên, và quá trình 
giải trên thực ra là tính giới hạn. 
 Bây giờ thử lại với biểu thức trên lần nữa, với giá trị ban đầu 10X   , có phải máy lại 
hội tụ về 3 đúng không? Đó là nghiệm thứ 2 (và cũng hết nghiệm rồi). 
 Vừa rồi mình đã biểu diễn một cách rõ ràng cho các bạn thấy cách thức mà máy tính đã 
sử dụng để giải PT cho các bạn bấy lâu nay.  Nhưng để mục này có tác dụng như đã nói, 
mình sẽ viết thêm vài điều hữu ích nữa về cách sử dụng cái sai số của máy tính, chứ cái trên 
chỉ là 1 bí mật nhỏ được bật mí cho biết, không dùng làm gì.  
 Loại nghiệm mang sai số cao nhất chính là nghiệm của PT vô tỉ. Máy không thể hiển thị 
lại nghiệm chứa căn khi dùng Solve vì 2 lí do: 
 + Thứ nhất hình thức phức tạp. 
 + Thứ hai: sai số. 
 Thậm chí đôi khi PT có nghiệm nhưng máy không tìm được nghiệm của nó và báo 
“Can’t Solve”, hoặc không thể nào hội tụ được nghiệm chính xác hơn (sai số khá cao). Cụ 
thể lúc đó máy sẽ báo “Continue: [=]” (ý muốn hỏi bạn có tiếp tục giải để việc hội tụ lần nữa 
được chính xác hơn không), hoặc nếu không thì nó cũng sẽ cho giá trị “L R ” rất là “ngứa 
mắt”. 
 Chẳng hạn máy hiển thị như hình này: 
:[ ]
99,09375454
102264320.3
Continue
X
L R


 
 (L R tức là Left Right : vế trái  vế phải, từ nghiệm X đó). 
 Đó là những gì máy đáp lại khi ta cho giá trị ban đầu X = 0 để giải PT sau: 
VD2. Giải PT 4 3 36 2 2 2 0x x x x     (PT này mình bịa ra để làm VD đó mà! ). 
 Ở TH này nếu tiếp tục ấn  , máy sẽ giải 1 lúc nữa Và rồi kết quả hiển thị vẫn như cũ! 
 Nói cách khác, máy đã không thể hội tụ nghiệm từ X = 0, và giá trị X ở trên khiến cho 
4 3 36 2 2 2 102264320,3x x x x     nên không thể nào chấp nhận nổi!  
 Đứng trước hoàn cảnh này, cách tốt nhất là thay đổi giá trị ban đầu, cho X = 10 và thử lại. 
 Vâng, lần này máy cho 0,881752245X   với 0L R  , đây chính là giá trị ta cần.  
 Lưu ý cái L R nhé, hầu như ai cũng không để ý tới cả. 
 Có đôi khi L R không lớn như trên, ví như màn hình hiển thị như hình sau, mà sau khi 
sửa giá trị ban đầu, nó vẫn cho y hệt như thế 
36
4,738342233
10,632443 10
PT
X
L R 
 

  
 Vậy thì lúc này, các bạn đừng băn khoăn thêm nữa, lấy luôn cái 4,738342233 làm 
nghiệm nhé! 
 Lí do là vì giá trị L R trên nhìn qua rất “hãi” , nhưng thực ra nó là 1 số rất nhỏ, tức là 
0L R  , khi đó sai số của nghiệm càng nhỏ hơn, nói cách khác nó gần như là nghiệm đúng, 
vì lẽ đó, máy sẽ không có đề xuất “Continue: [=]” và cũng sẽ không thể hiển thị giá trị chính 
xác hơn được nữa, do đó các bạn cứ yên tâm sử dụng nghiệm như thường.  
 Đó là cách mà chúng ta nhìn L R để xác định nghiệm có sai số như thế nào, có nên lấy 
hay không. Tuy nhiên đang còn một kiểu nữa, đó là nhìn ngay nghiệm để xác định nghiệm 
đúng mà không cần biết L R “muốn nói gì” với mình.  
 Kiểu này chỉ xảy ra với nghiệm hữu tỉ mà thôi. Tức là khi máy hiện 0,499999999X  
thì ta biết ngay 
1
2
x  ! Kiểu nghiệm này rất ít gặp, và cũng rất dễ đoán, nhìn có vẻ lạ, nhưng 
không có nghĩa là máy không có khả năng hiện như thế mà không chịu làm tròn. Theo mình, 
lỗi này của máy có lẽ do nghiệm 
1
2
X  đã vi phạm điều kiện '( ) 0f X  khi sử dụng thuật 
toán lặp 
( )
'( )
f X
X X
f X
  , cho nên máy buộc phải hiện giá trị xấp xỉ. 
 Vậy nếu máy hiện 1,250000001X  thì nghĩa là thế nào? Đơn giản rồi, 
5
1,25
4
X   
 Nhìn cái nghiệm đáng sợ thế nhưng mà nó chỉ là loại “thùng rỗng kêu to” mà thôi!  
 Nhớ nhé, sau khi nhìn X phải nhìn đến L R , đừng có vội vàng mà “hốt”!  
 Sự sai số trên không chỉ biểu hiện trong việc giải PT với Solve mà còn trong nhiều phép 
tính khác nhưng hiếm thấy hơn, riêng MODE EQN, trong lịch sử sử dụng máy tính của mình 
chỉ bắt gặp có 2 lần nó mắc lỗi này, do đó ta hoàn toàn yên tâm về chức năng này. 
 Dù sao bắt đầu từ đây, bẫy này không còn khiến các bạn lúng túng được nữa.  
 Trên đây là những điều đơn giản nhưng còn mới lạ với khá nhiều người, tuy dài vậy 
nhưng vẫn chưa hết đâu, còn nhiều kĩ xảo cho các bạn học lắm! Mình sẽ “nhường đất” cho 
những kỹ thuật hay hơn vào 2 phần dưới đây để các bạn tiếp tục lĩnh hội  
b) Nghiệm PT lượng giác 
 Như đã nói, nghiệm có dạng ( )x a kb k    và ta thường gặp trường hợp đơn giản 
nhất a là phân số và 
1
2
b
b

 
, nhưng đó chỉ là dự đoán để mà tập trung vào giải quyết thôi.  
 Như hướng dẫn ở mục 2, các bạn nên cho giá trị ban đầu X = 0 để giải, việc này càng 
quan trọng hơn với PT lượng giác vì có họ nghiệm, nghĩa là vô số nghiệm. Không tin các bạn 
có thể thử ngay với PT sinx = 1, dễ nhất đấy, con nít cũng làm được!  
 Ta biết rằng sin 1 2 ( )
2
x x k k

     . Nếu cho X = 0 thì máy cho các bạn nghiệm 
như thế nào? Có phải 1,570796191X  không? Nghiệm khá xấu, và dầu thoát ra màn hình 
bình thường rồi nhấn )RCL cũng không thể chuyển con số trên về 
2

 được (đồng nghĩa 
với việc nhấn S D là vô ích). Lúc này, trong trường hợp máy cho số như vậy có một vài 
cách đơn giản sau có thể chuyển được nó về dạng đẹp: 
 + Cách 1: đơn giản nhất mà ai cũng nghĩ ra được, đó là chia ngay cho  !  
 + Cách 2: nhập vào biểu thức 1sin (sin( ))X rồi ấn  (sử dụng sinSHIFT để nhập 
1sin , có thể thay sin bằng cos). 
 Bây giờ các bạn thử giải lại với giá trị ban đầu khá lớn xem sao, mà thôi, hơi lớn như 
15X  thôi cũng được, có phải nghiệm là 14,13716706X  không? Vâng, dầu cho X lớn 
mấy thì máy cũng cho được nghiệm gần gần cái số đấy, miễn là nó thuộc họ 2
2
x k

  là 
được. Nghiệm trên ứng với k = mấy? Lấy X chia  thử xem? 
 Kết quả là 4,5 đúng không? 
 Với 2 4,5
2
k

   dễ dàng suy ra 
9
2
2
k x

   là giá trị đúng trong X.  
 Các bạn thấy cái bất lợi của việc cho giá trị ban đầu của X quá lớn hay quá nhỏ rồi chứ? 
 + Thứ nhất: vì nghiệm là ( )x a kb k    nên khi cho X = 0 máy sẽ cho các bạn 
nghiệm đẹp nhất của họ, ứng với k = 0, tức là X a , còn X lớn hay nhỏ quá thì hầu như 
không có chuyện đó. Đấy là cách mà ta dò ra “phần chính” của nghiệm (theo cách gọi của 
mình đó mà ), đó là phần a 
 + Thứ hai: trường hợp sinx = 1 là đơn giản nhất đấy, chứ còn khi vào trận chiến rồi thì 
nhiều nghiệm ứng với 0k  các bạn có chia  thế nào cũng không xác định được chính xác 
nghiệm như mình đã làm ở trên đâu!  
 Việc cho X = 0 khi giải PT lượng giác ở trên chỉ là nên chứ không có nghĩa sẽ luôn nhận 
được nghiệm đẹp nhất, chẳng hạn với PT cosx = 0, máy vẫn hiển thị 199,4911335X  sau 
khoảng 10s tính toán. Bấm )RCL ta được 
127
2
X  . Đây rõ ràng là 1 nghiệm không đẹp. 
 Khi gặp những trường hợp như vậy các bạn đừng chia  mà nên áp dụng cách thứ 2 
trong số 2 cách xác định nghiệm đẹp đã nêu trên: 
 + Nếu dùng sin: tính 1sin (sin( ))X ta được 
1
2
 
 + Nếu dùng cos: 1
1
cos (cos( ))
2
X   (!???). 
 Tại sao lại có sự khác nhau đó? 
 Sự khác nhau này cho thấy 
127
2
X  sẽ thuộc 1 trong 2 họ nghiệm là 1
2
x kb

  hoặc 
2
2
x kb

   .  Điều đó khẳng định tiếp rằng các bạn nên dùng cả sin lẫn cos để thử. 
 Với những nghiệm xấu như vậy, sau khi xác định được phần chính a ta sẽ sử dụng luôn 
để tìm phần tuần hoàn kb . Ở đây với 
127
2
X  ta được 1
2
63
64
kb
kb

 
. Do k nguyên, nên ta sẽ 
xem xét b theo hướng từ nguyên đến không nguyên. 
 b nguyên thì chỉ có thể là 
1
2
b
b

 
, do đó ta có 3 TH (trường hợp): 
1
2
2
1
1
2
b
b
b

 

 
. Ta thấy 2 TH 
đầu thực ra là một, và TH3 thì ba