Chuyên đề về Mặt nón - Mặt trụ - Mặt cầu

THPT Thốt Nốt 
Trang 1 của 16 
CHƢƠNG 2: MẶT NÓN MẶT TRỤ MẶT CẦU 
-------- 
Bài 1: KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY 
------ 
1. SỰ TẠO THÀNH CỦA MẶT TRÒN XOAY: (sgk) 
2. MẶT NÓN TRÒN XOAY: 
2a. Định nghĩa mặt nón tròn xoay: 
Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc β với 
0 < β < 900. Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn 
xoay đỉnh O (hình 1). 
 Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. 
 Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh. 
2b. Hình nón tròn xoay-khối nón tròn xoay: 
Định nghĩa Hình nón tròn xoay 
THPT Thốt Nốt 
Trang 2 của 16 
Cho ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, 
gọi là hình nón tròn xoay(gọi tắt là hình nón) (hình 2). 
 Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón. 
 Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón. 
Định nghĩa khối nón tròn xoay 
Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi hình nón tròn xoay và cả hình nón đó 
2c. Công thức diện tích và thể tích của hình nón 
Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đƣờng sinh là ℓ thì có: 
 Diện tích xung quanh: Sxq= π.r.l 
 Diện tích đáy (hình tròn): Str = π.r
2
 Diện tích toàn phần hình tròn: S = Str + Sxq 
 Thể tích khối nón: 
21 1. .
3 3
V B h r h 
Tính chất: 
 Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: 
+ Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh→ Thiết diện là tam giác cân. 
+ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là 
mặt phẳng tiếp diện của mặt nón. 
 Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: 
+ Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón→giao tuyến là một đường tròn. 
+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón→giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol. 
+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón→giao tuyến là 1 đường parabol. 
THPT Thốt Nốt 
Trang 3 của 16 
Vd1: Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy, diện tích toàn phần và thể tích khối nón của các hình 
nón thỏa điều kiện sau. 
a) Có chiều cao bằng 2a và bán kính đường tròn đáy là 3a 
b) Có đường sinh bằng 2a và chiều cao bằng 2a 
c) Hình nón được tạo bởi tam giác đều ABC quay quanh đường cao AM với M trung điểm BC. 
Vd2: Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền bằng 2a 
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón, giả sử nó có đỉnh là S. 
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng. 
c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón, sao cho mp(SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy 
hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC. 
Vd3: Một hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm. 
a) Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho. 
b) Tính thể tích khối nón tạo nên bởi hình nón đó. 
c) Một thiết diện đi qua đỉnh có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. 
Tính diện tích thiết diện đó. 
Bài tập rèn luyện: 
Bài 1. Một hình nón có bán kính đáy bằng 2 cm, góc ở đỉnh bằng 600. 
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. 
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng. 
Bài 2. Mặt nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng 2a và góc 
giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600. 
a) Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón. 
b) Tính thể tích của khối nón được tạo nên. 
Bài 3. Trong không gian cho ΔOIM vuông tại I có 
030IOM  và cạnh IM = a. Khi quay tam giác 
OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay. 
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. 
b) Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón trên. 
THPT Thốt Nốt 
Trang 4 của 16 
Bài 4. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng 2a. 
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên. 
b) Thiết diện qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng là 
2
a . Tính diện 
tích của thiết diện tạo thành đó. 
Bài 4. Hình nón có bán kính đáy bằng 2a, thiết diện qua trục là một tam giác đều. 
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối nón. 
b) Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, ta được thiết diện là một tam giác vuông. Tính diện tích 
của thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện. 
Bài 5. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân, thiết diện này có diện tích 
bằng 12a3. 
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. 
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng. 
c) Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón, cắt mặt phẳng đáy theo một dây cung có độ dài bằng 
2 3a . Tính góc tạo bởi mặt phẳng (P) và mặt phẳng đáy. 
Bài 6. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy là a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 600. 
Hình nón đỉnh S có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác ABC (hình nón ngoại tiếp hình chóp). 
a) Tính thể tích của hình chóp S.ABC 
b) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón trên. 
Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy 
bằng 450. Hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD (được gọi là hình nón nội tiếp 
hình chóp). 
a) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD . 
b) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên. 
THPT Thốt Nốt 
Trang 5 của 16 
3. MẶT TRỤ TRÒN XOAY: 
3a. Định nghĩa Mặt trụ tròn xoay 
Trong mp(P) cho hai đường thẳng Δ và ℓ song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mp(P) 
quanh trục cố định Δ thì đường thẳng ℓ sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay 
gọi tắt là mặt trụ. 
 Đường thẳng Δ được gọi là trục. 
 Đường thẳng ℓ được gọi là đường sinh. 
 Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ. 
3b. Hình trụ tròn xoay - khối trụ tròn xoay: 
Định nghĩa Hình trụ tròn xoay 
Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì 
đường gấp khúcABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là 
hình trụ. 
 Đường thẳng AB được gọi là trục. 
 Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh. 
 Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ. 
 Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn tâm B, bán kính r = BC được gọi là 2 đáy của 
hình trụ. 
THPT Thốt Nốt 
Trang 6 của 16 
Định nghĩa khối trụ tròn xoay 
Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi hình trụ tròn xoay và cả hình trụ đó 
3c. Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ 
Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đó: 
 Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrh 
 Diện tích đáy Sđ = πr
2
 Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp=Sxq+2Sđ 
 Thể tích khối trụ: V = Bh = πr
2
h 
Tính chất: 
 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) vuông góc với trục Δ thì ta được 
đường tròn có tâm trên Δ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó. 
 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) không vuông góc với trục Δ nhưng 
cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn 
bằng 2rsinφ, trong đó φ là góc giữa trục Δ và mp(α) với 0 < φ < 900. 
 Cho mp(α) song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng k. 
+ Nếu k < r thì mp(α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh → thiết diện là hình chữ nhật. 
+ Nếu k = r thì mp(α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh. 
+ Nếu k > r thì mp(α) không cắt mặt trụ. 
Vd1: Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy, diện tích toàn phần và thể tích khối trụ của các hình 
trụ thỏa điều kiện sau. 
a) Hình trụ có đường cao là 2a và bán kính đường tròn đáy là a. 
b) Hình trụ được tạo thành bởi hình vuông cạnh a quay quanh bởi một cạnh của nó. 
c) Hình trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều cạnh đáy là a cạnh bên là 3a 
Vd2: Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm. 
a) Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ 
b) Người ta kẻ hai bán kính đáy OA và OB lần lượt nằm trên đường tròn sao cho chúng hợp với 
nhau một góc bằng 600. Cắt mặt trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB và song song với trục 
của khối trụ đó. Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng cắt hình trụ trên. 
THPT Thốt Nốt 
Trang 7 của 16 
Vd3: Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên 
đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. 
Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 450. Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích của 
khối trụ. 
Bài tập rèn luyện: 
Bài 1. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I, H lần lượt là trung điểm của các 
cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH, ta được một hình trụ tròn xoay. 
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó. 
b) Tính thể tích khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ nói trên. 
Bài 2. Một khối trụ có bán kính đáy bằng R bằng a và có thiết diện qua trục là một hình vuông. 
a) Tính diện tích xung, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ. 
b) Tính thể tích hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đã cho (hình lăng trụ này có đáy là hình 
vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ). 
Bài 3. Một hình trụ có bán kính đáy là 20 cm, chiều cao là 30 cm. 
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. 
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng. 
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy, sao cho góc giữa đường thẳng ABvà 
trục của hình trụ bằng 600. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ. 
Bài 4. Một khối trụ có bán kính đáy bằng 10 cm và chiều cao bằng 10 3 (cm). Gọi A, B lần lượt là 
hai điểm trên hai đường tròn đáy, sao cho góc được tạo thành giữa 2 đường thẳng AB và trục của 
khối trụ bằng 300. 
a) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ. 
b) Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và qua B. 
c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của khối trụ. 
Bài 5. Một hình trụ có thiết diện qua trụ là một hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4π. 
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên. 
THPT Thốt Nốt 
Trang 8 của 16 
b) Một mp(α) song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ đó theo thiết diện ABA1B1. Biết một 
cạnh của thiết diện là một dây cung của một đường tròn đáy và căng một cung 1200. Tính diện tích 
của thiết diện này. 
--------------------------------- 
Bài 2: MẶT CẦU – KHỐI CẦU 
------ 
1. ĐỊNH NGHĨA MẶT CẦU – KHỐI CẦU: 
 Định nghĩa Mặt cầu 
Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O, 
bán kính R, kí hiệu là: S(O, R) hay {M/OM = R}. 
Định nghĩa khối cầu 
Khối cầu là phần không gian được giới hạn bởi hình cầu và cả hình cầu đó 
Diện tích của hình cầu bán kính R: 
24S R
Thể tích khối cầu bán kính R: 3
4
3
V R 
2. VỊ TRÍ CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI MẶT CẦU: 
Cho mặt cầu S(O, R) và một điểm A bất kì, khi đó: 
 Nếu OA=R⇔A∈S(O;R). Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu. Nếu OA và OB là hai bán kính sao 
THPT Thốt Nốt 
Trang 9 của 16 
cho A;O;B thẳng hàng thì đoạn thẳng AB gọi là 1 đường kính của mặt cầu. 
 Nếu OA < R ↔ A nằm trong mặt cầu. 
 Nếu OA > R ↔ A nằm ngoài mặt cầu. 
→Khối cầu S(O, R) là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM ≤ R. 
3. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẰNG VÀ MẶT CẦU: 
Cho mặt cầu S(O, R) và một mp(P). Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp(P) và H là 
hình chiếu của O trên mp(P) → d = OH. 
 Nếu d < R ↔ mp(P) cắt mặt cầu S(O, R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp(P)có tâm là 
H và bán kính 
2 2r R d  (hình a). 
 Nếu d > R ↔ mp(P) không cắt mặt cầu S(O, R) (hình b) 
 Nếu d = R ↔ mp(P) có một điểm chung duy nhất là H. 
Lúc này, ta gọi mặt cầu S(O, R) tiếp xúc mp(P). H gọi là tiếp điểm. (P) gọi là tiếp diện R (hình c). 
Nhận xét mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O, R)  ;(P)d O R  
4. XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP MỘT SỐ HÌNH ĐA DIỆN CƠ BẢN: 
4a. Các khái niệm cơ bản 
Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông 
góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy. 
THPT Thốt Nốt 
Trang 10 của 16 
→ Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó. 
 Đƣờng trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông 
góc với đoạn thẳng đó. 
→ Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. 
Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với 
đoạn thẳng đó. 
→ Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. 
4b. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (lăng trụ) 
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó 
chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một 
cạnh bên hình chóp. 
Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp. 
4c. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện cơ bản 
a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phƣơng. 
THPT Thốt Nốt 
Trang 11 của 16 
 Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương). 
→ Tâm là I, là trung điểm của AC’. 
 Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương). 
→ Bán kính: 
'
2
A C
R  
b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đƣờng tròn. 
Xét hình lăng trụ đứng A1A2A3...An.A′1A′2A′3...A′n, trong đó có 2 đáy 
A1A2A3...An và A′1A′2A′3...A′n nội tiếp đường tròn (O) và (O’). Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng 
trụ đứng có: 
 Tâm: I với I’ là trung điểm của OO’. 
 Bán kính: R = IA1 = IA2 =  = IA’n . 
c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dƣới 1 góc vuông. 
 Hình chóp S.ABC có 
090SAC SBC  
THPT Thốt Nốt 
Trang 12 của 16 
+ Tâm: I là trung điểm của SC. 
+ Bán kính: 
2
SC
R IA IB IC    
 Hình chóp S.ABCD có 
090SAC SBC SDC   
+ Tâm: I là trung điểm của SC. 
+ Bán kính: 
2
SC
R IA IB IC ID     
d/ Hình chóp đều. 
Cho hình chóp đều S.ABC 
 Gọi O là tâm của đáy → SO là trục của đáy. 
 Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, 
chẳng hạn như mp(SAO), ta vẽ đường trung trực của cạnh SA 
là Δ cắt SA tại M và cắt SO tại I → I là tâm của mặt cầu. 
 Bán kính: ...R IS IA IB IC     
Ta có: 
2.
2
SM SI SM SA SA
SMI SOA R IS
SO SA SO SO
      
THPT Thốt Nốt 
Trang 13 của 16 
e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. 
Cho hình chóp S.ABCcó cạnh bên SA ⊥ đáy (ABC) và đáy ABC nội tiếp được trong đường 
tròn tâm O. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được xác định như sau: 
 Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp(ABC..) tại O 
 Trong mp(d, SA), ta dựng đường trung trực Δ của cạnh SA, cắt SA tại M, cắt d tại I. 
→ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R = IA = IB = IC = IS =  
 Tìm bán kính: 
Ta có: MIOA là hình chữ nhật. 
Xét ΔMAI vuông tại M có: 
2 2R AI MI MA   
f/ Hình chóp khác. 
 Dựng trục Δ của đáy. 
 Dựng mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên bất kì. 
 (α) ∩Δ = I → I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 
 Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp. 
Đƣờng tròn ngoại tiếp một số đa giác thƣờng gặp. 
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông 
góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O 
là yếu tố rất quan trọng của bài toán. 
THPT Thốt Nốt 
Trang 14 của 16 
Vd1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a và AC 5a , góc hợp bởi cạnh AC’ 
với mp(ABCD) là 600. 
a) Xác định tâm và mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp 
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu trên. 
Vd2: Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a cạnh bên 7a . 
a) Xác định tâm và mặt cầu đi qua các đỉnh của hình lăng trụ 
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu trên. 
Vd3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B, AC = 2a. SA vuông góc với 
mp đáy và 2SA a 
a) Xác định tâm và mặt cầu đi qua các đỉnh của chóp đã cho. 
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu trên. 
Vd4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mp đáy và 
2SA a 
THPT Thốt Nốt 
Trang 15 của 16 
a) Xác định tâm và mặt cầu đi qua các đỉnh của chóp đã cho. 
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu trên. 
Vd5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a, góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy là 450. 
a) Xác định tâm và mặt cầu đi qua các đỉnh của chóp đã cho. 
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu trên. 
Vd6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a, góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy là 600. 
a) Xác định tâm và mặt cầu đi qua các đỉnh của chóp đã cho. 
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu trên. 
Bài tập rèn luyện: 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA ⊥ (ABC). Biết rằng BC a , 
 3AB a , SB tạo với mp(ABC) một góc 600. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình 
chóp S.ABC. 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD) và SA a 
 2AC a . Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Hai mặt bên (SAD), 
(SAB) cùng vuông góc với mp(ABCD), SA = a. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 
S.ABCD. Tính diện tích và thể tích khối cầu đó. 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD). Cạnh bên SB 
tạo với mặt phẳng đáy một góc 300. Hãy tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 
Bài 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Xác định tâm và 
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. 
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Hãy tìm tâm và 
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 
THPT Thốt Nốt 
Trang 16 của 16 
Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán 
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích và thể tích của khối cầu đó. 
Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và O là tâm của mặt phẳng đáy. 
Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 600. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 
S.ABCD. Tìm diện tích và thể tích mặt cầu đó. 
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a và ΔSAB là tam giác đều. Mặt 
phẳng (SAB) ⊥(ABCD). 
a) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD. 
b) Tìm góc giữa hai mp(SAB), mp(SCD). 
c) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 
Bài 9. Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông 
tại A, B có AB = BC = a, AD = 2a. Gọi E là trung điểm của AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu 
ngoại tiếp hình chóp SCDE. Tìm diện tích và thể tích mặt cầu đó. 
Bài 10. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có 9 cạnh đều bằng nhau bằng a. Xác định tâm 
và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. 
Bài 11. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh là a. Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả 
các đỉnh của hình lập phương. 
--------hết-------- 
Thầy xin chúc các em học tốt !