Chuyên đề: Ứớc chung lớn nhất bội chung nhỏ nhất

CHUYÊN ĐỀ: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT BỘI CHUNG NHỎ NHẤT (6 tiết)
Kiến thức cơ bản
Định nghĩa:
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác không trong tập hợp các bội chung của các số đó.
Cách tìm
Muốn tìm UCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước:
+) Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
+) Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
+) Bước 3: lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là UCLN phải tìm.
Chú ý:
+) UCLN(a,b,1)=1
+) 
+) Để tìm UC ta tìm ước của UCLN các số đó.
Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 ta thực hiện ba bước
+) Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
+) Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
+) Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với sô mũ lớn nhất. Tích đó chính là BCNN cần tìm.
Chú ý:
+) Nếu các số đã cho đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN là tích của các số đó.
+) 
+) Để tìm BC ta tìm bội của BCNN các số đó.
Kiến thức bổ sung
Nếu và UCLN(a,c)=1 thì 
Nếu 
Đặc biệt nếu thì 
Nếu 
Nếu 
UCLN(a;b).BCNN(a,b)=a.b
Bảng mô tả và câu hỏi
Nội dung
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng thấp
Vận dụng cao
Định nghĩa UCLN-BCNN
Học sinh nhận biết được UCLN, BCNN của hai hay nhiều số
Cách tìm UCLN-BCNN
Phát biểu được cách tìm UCLN, BCNN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố
Tính được UCLN, BCNN của hai hay nhiều số bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố và sử dụng một số chú ý để tìm (các bài tập dạng 1)
Bài 1
Sử dụng kiến thức về UCLN, BCNN để giải các bài toán thực tế, các bài toán tính UCLN, BCNN một cách trực tiếp,(các bài tập dạng 2.)
Bài: 2;3;4;5.
Sử dụng kiến thức về UCLN, BCNN để giải các bài toán tổng quát, các bài toán khó.
( các bài tập dạng 4, dạng 5)
Bài 11,12,13,14,15,16
Cách tìm UC, BC thông qua UCLN, BCNN
Phát biểu được cách tìm UC, BC thông qua UCLN, BCNN 
Tính được UC, BC thông qua UCLN, BCNN( các bài tập dạng 1)
Bài 1
Sử dụng kiến thức về UC, BC để giải các bài toán thực tế, các bài toán tìm số chia, số bị chia trong phép toán chia hết thỏa mãn điều kiện cho trước (các bài tập dạng 3)
Bài 6
Sử dụng kiến thức về UC, BC để giải các bài toán thực tế, các bài toán tìm số chia, số bị chia trong phép toán chia có dư thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 7,8,9,10
Các dạng bài tập và câu hỏi tự luyện
Dạng 1: Tìm UCLN và BCNN của hai hay nhiều số
Bài toán 1: Tìm UCLN và BCNN của 100, 150; 125
Giải: 
Các thừa số nguyên tố chung là: 5
Các thừa số nguyên tố riêng là: 2;3
Bài toán 2: Tìm UC, BC của 100,150,125
Giải: Để tìm ƯC; BC của các số trên ta không cần lập tập hợp các ước và bội của các số mà thông qua ƯCLN; BCNN để tìm.
Các bài tập tương tự: 
Bài 1: Tìm UCLN; BCNN ; UC; BC của 
124 và 55
122; 84 và 126
10; 30; 50
124; 84; 320
12; 24; 48
120; 300; 250
Dạng 2: Giải các bài toán bằng việc tìm UCLN; BCNN
Bài toán 3: 
a)Tìm số tự nhiên n biết n lớn nhất và 
b)Tìm số tự nhiên n biết n nhỏ nhất và 
Giải: a) 
Mà x lớn nhất nên x=UCLN(125;100;150)=25
b) 
Mà x nhỏ nhất nên x=BCNN(125;100;150)=1500
Bài toán 4: Đội văn nghệ của 1 trường có 48 nam và 72 nữ. Muốn phục vụ tại nhiều địa điểm , đội dự định sẽ chia thành các tổ gồm cả nam và nữ. Số nam và nữ được chia đều. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu tổ? Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam; bao nhiêu nữ.
 Giải
Gọi số tổ là a (aN*) Vì muốn phục vụ tại nhiều địa điểm , đội dự định sẽ chia thành các tổ gồm cả nam và nữ. Số nam và nữ được chia đều nên a là ước chung của 48 và 72. 
Mà cần tìm số tổ là nhiều nhất nên a = ƯCLN( 48; 72) = 24 ( tổ)
Mỗi tổ có: 48 : 24 = 2( nam) và 72: 24 = 3 ( nữ).
Đáp số: 24 tổ; mỗi tổ 2 nam và 3 nữ.
Bài toán 5. 
Hai bạn An và Bách cùng học một trường nhưng ở 2 lớp khác nhau. An cứ 10 ngày lại trực nhật 1 lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật 1 lần. Lần đầu cả 2 người cùng trực nhật vào 1 ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì 2 bạn lại cùng trực nhật? Lúc đó mỗi bạn đã trực nhật được mấy lần?
Giải: 
Gọi số ngày mà ít nhất 2 bạn lại cùng trực nhật là a( aN*). Vì An cứ 10 ngày lại trực nhật 1 lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật 1 lần. Lần đầu cả 2 người cùng trực nhật vào 1 ngày nên a là bội chung của 10 và 12.
Mà cần tìm số ngày ít nhất mà 2 bạn lại cùng trực nhật nên 
a = BCNN ( 10; 12) = 60 ( ngày )
Lúc đó An đã trực nhật được 60 : 10 = 6 ( lần).
Bách đã trực nhật được 60 : 12 = 5 ( lần) .
Đáp số: 60 ngày; An đã trực nhật được 6 lần; Bách đã trực nhật được 5 lần.
Bài tập tương tự
Bài 2: Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng 
Bài 3: Một đội y tế có 24 bác sĩ, 108 y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành mấy tổ để các bác sĩ cũng như y tá được chia đều vào mỗi tổ.
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 sao cho 
Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 6,7,9,đều được số dư theo thứ tự là 2,3,5
Dạng 3: Giải các bài toán bằng việc tìm UC, BC của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài toán 6: a) Tìm số tự nhiên n biết và x<10
 b)Tìm số tự nhiên n biết ; 
Giải: a) 
UCLN(125;100;150)=25 nên 
Mà x<10 nên 
b) 
BCNN(125;100;150)=1500 nên 
Mà x<3000 nên 
Bài toán 7: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20; 25; 30 đều dư 15; nhưng xếp hàng 41 thì vừa đủ. Tính số người của đơn vị đó biết rằng số người chưa đến 1000 người.
Giải:
Gọi số người của đơn vị là a( người). ( a N; a 1000). Khi xếp hàng 20; 25; 30 đều dư 15 người. 
Do đó : (a – 15) BC (20; 25; 30).
BCNN ( 20; 25; 30) = 300. 
=> ( a – 15) B ( 300) = { 0; 300; 600; 900; 1200;...}
=> a {15 ; 315; 615; 915; 1215; ...}
Do khi xếp hàng 41 thì vừa đủ nên a 41; a 1000 nên a = 615.
KL: Số người của đơn vị là 615 người.
Bài toán 8: Tìm số tự nhiên n biết 125 khi chia cho x được số dư là 5; 85 khi chia cho x được số dư là 1.
Giải: Vì 125 chia cho x dư 5 nên 
85 chia cho x dư 1 nên 
Do đó 
UCLN(120;84)=12 nên 
Bài toán 9: Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất khi chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 5.
Đây là dạng bài toán tìm x thông qua tìm BC. Tương tự như đối với bài toán 7 nhưng ở mức độ khó hơn vì ta chưa xác định được ngay biểu thức chứa x nào là BCNN(5;7).
Giải: Vì x chia 5 dư 1 nên 
Vì x chia 7 dư 5 nên 
Mà x nhỏ nhất nên x+9=BCNN(5;7)=35
Vây x=26 là kết quả cần tìm.
Các bài tập tương tự
Bài 6: Ngọc và Minh mỗi người mua một số bút chì. Trong mỗi hộp đều có từ hai bút trở lên. Và số bút ở mỗi hộp đều nhau, Tính ra Ngọc mua 20 bút và Minh mua 15 bút. Hỏi mỗi hộp có bao nhiêu bút chì.
Bài 7: Tìm số tự nhiên a biết rằng 156 chia cho a dư 12 và 280 chia a dư 10.
Bài 8: Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số biết số đó chia hết cho tất cả các số 3,4,5,6.
Bài 9: Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 200 đến 400. Khi xếp hàng 12; 15; 18 đều thừa 5 học sinh. Tính sô học sinh khối 6.
Bài 10:Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 200, biết số đó chia 2 dư 1, chia 3 dư 1, chia 5 thiếu 1 và chia hết cho 7.
Dạng 4: Các bài toán tổng quát bằng việc tìm UCLN và BCNN
Bài toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì các số sau nguyên tố cùng nhau: 2n+3 và 4n+8.
Chứng minh : để chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau ta chứng minh cho UCLN của chúng bằng 1. Đây là dạng bài tập quen thuộc nhưng còn mới lạ đối với các em lớp 6. Các bài tập dạng này nhằm phát triển tư duy logic cho các em.
Gọi 
 và 
Vì 2n+3 là số lẻ nên d=2 không xảy ra.
Vậy d=1 hay với mọi n thì hai số 2n+3 và 4n+8 nguyên tố cùng nhau.
Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh vì sao ta lại nhân 2n+3 với 2 là để triệt tiêu n.
Bài toán 11: Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau: 7n+13 và 2n+4
Giải: Gọi 
 và 
Nếu 
Vậy để 7n+13 và 2n+4 nguyên tố cùng nhau thì 
Các bài tập tương tự
Bài 11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n các số sau là hai số nguyên tố
a)7n+10 và 5n+7
b)n+2 và 2n+3
Bài 12: Tìm các số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau
a)4n+3 và 2n+3
b) 7n+13 và 2n+4
c) 9n+24 và 3n+4
d) 18n+3 và 21n+7
Dạng 5: Các bài toán về UCLN và BCNN
Bài toán 12:
a)Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 720 và có UCLN bẳng 6
b)Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 720 và có BCNN bằng 120.
c) Tìm hai số tự nhiên a và b biết UCLN(a,b)=6 và BCNN(a,b)=120
Giải:
a)Gọi hai số tự nhiên đó là a và b
ta có UCLN(a;b)=6 nên a=6m; b=6n và UCLN(m,n)=1
nên a.b=6m.6n=36m.n=720 suy ra m.n=20
chọn cặp m, n nguyên tố cùng nhau và có tích bằng 20 ta được 
m
4
5
n
5
4
do đó 
a
24
30
b
30
24
b)Gọi hai số tự nhiên a và b
Ta có UCLN(a;b).BCNN(a,b)=ab
Do đó 120.UCLN(a,b)=720 suy ra UCLN(a;b)=6
Đến đây giải như câu a.
a)Ta có UCLN(a,b).BCNN(a,b)=a.b suy ra a.b=720. Bài toán quay trở về câu a.
Bài toán 13: Tìm hai số tự nhiên a và b biết
a)UCLN(a,b)=4; trong đó b=8 (b>a). Tìm a.
b)BCNN(a,b)=770; trong đó a=14. Tìm b.
giải:
a)Ta có UCLN(a,8)=4 nên a=4.m; 8=4.2 và UCLN(m,2)=1.
Vì a<b nên m<2. Mà UCLN(m,2)=1 suy ra m=1 suy ra a=4 là giá trị cần tìm.
b)Ta có BCNN(a,14)=770 nên 770=a.m; 770=14.55 và UCLN(m,55)=1
Ta có 770=14.55=a.m
Do đó 
Bài tập tương tự
Bài 13: Tìm hai số tự nhiên a, b biết
a)UCLN(a,b)=12, a>b, a=72.
b)BCNN(a,b)=120,a=12. Tìm b
c)BCNN(a,b)=300, a=15. Tìm b
d)BCNN(a,b)=210; a=17. Tìm b
Bài 14: Tìm hai số tự nhiên a, b biết
a)UCLN(a,b)=6; a.b=720
b)BCNN(a,b)=900 và a.b=2700.
c)BCNN(a,b)=90 và a.b=900
d) UCLN(a,b)=6 và a+b=30
Bài 15: Tìm hai số tự nhiên a, b biết
a)UCLN(a,b)=6 và BCNN(a,b)=180.
b)UCLN(a,b)=12 và BCNN(a,b)=72.
c)BCNN(a,b)=20.UCLN(a,b) và a.b=180
d) UCLN(a,b)=15 và BCNN(a,b)=20.UCLN(a,b)
Bài 16*: Tìm hai số tự nhiên a và b biết
a)UCLN(a,b)+BCNN(a,b)=19
b)BCNN(a,b)-UCLN(a,b)=5
Định hướng hình thành và phát triển năng lực cho học sinh
NL tính toán: Phân tích được một số ra thừa số nguyên tố, từ đó tính được UCLN, BCNN của hai hay nhiều số thông qua phân tích ra thừa số nguyên tố.
NL tư duy toán học: phân tích, suy luận logic, lập luận để đưa bài toán dạng khác về dạng quen thuộc.
NL giải quyết vấn đề: 
NL hợp tác, giao tiếp: rèn luyện thong qua quá trình hoạt động nhóm và giao tiếp trao đổi giữa thầy và trò.
V. Phương pháp dạy học 
Nêu và giải quyết vấn đề
Hoạt động nhóm
Luyện tập thực hành.