Chuyên đề Ứng dụng của hệ thức Vi-Ét trong giải toán

A. MỞ ĐẦU
 Trong một vài năm trở lại đây thì trong các đề thi vào lớp 10 trung học phổ thơng , các bài tốn về phương trình bậc hai cĩ sử dụng tới hệ thức Vi- Et xuất hiện khá phổ biến . Trong khi đĩ nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng .
	Ta cũng thấy để giải được các bài tốn cĩ liên qua đến hệ thức Vi – Et, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số , thơng qua đĩ học sinh cĩ cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số.
	Vậy nên nhĩm tốn chúng tơi xây dựng chuyên đề này ngồi mục đích giúp học sinh nâng cao kiến thức cịn giúp các em làm quen với một số dạng tốn cĩ trong đề thi vào lớp 10 trung học phổ thơng
	Nội dung chính của chuyên đề gồm : 
Ứng dụng 1
Ứng dụng 2
Ứng dụng 3
Ứng dụng 4
Ứng dụng 5
Ứng dụng 6
Ứng dụng 7
Ứng dụng 8
Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn 
Lập phương trình bậc hai
Tìm hai số biết tổng và tích của chúng 
Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình 
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này khơng phụ thuộc vào tham số 
Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm 
Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm 
B. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ : 
ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TỐN
	Cho phương trình bậc hai: 	ax2 + bx + c = 0 (a¹0)	(*)
	Cĩ hai nghiệm	; 	
	Suy ra:	
	Vậy đặt :	- Tổng nghiệm là S : 	S = 
	- Tích nghiệm là P : 	P = 
	Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) cĩ liên quan chặt chẽ với các hệ số a, b, c. Đây chính là nội dung của Định lí VI-ÉT, sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí này trong giải tốn.
I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
	a) Nếu cho x = 1 thì ta cĩ (*) ĩ a.12 + b.1 + c = 0 ĩ a + b + c = 0
	Như vây phương trình cĩ một nghiệm và nghiệm cịn lại là 
	b) Nếu cho x = 1 thì ta cĩ (*) ĩ a.(1)2 + b(1) + c = 0 ĩ a b + c = 0
	Như vậy phương trình cĩ một nghiệm là và nghiệm cịn lại là 
Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
	1) 	(1)	2) 	 (2)
Ta thấy :
	Phương trình (1) cĩ dạng a b + c = 0 nên cĩ nghiệm và 
	Phương trình (2) cĩ dạng a + b + c = 0 nên cĩ nghiệm và 
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
	1. 	2. 
	3. 	4. 
2. Cho phương trình , cĩ một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm cịn lại và chỉ ra hệ số của phương trình :
Vídụ: a) Phương trình . Cĩ một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ 	hai.
	b) Phương trình cĩ một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
	c) Cho phương trình : , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình.
	d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : , biết phương trình cĩ 2 nghiệm và cĩ một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. 
Bài giải: 
a) Thay v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc : 
	T ừ suy ra 
b) Thay v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc
	T ừ suy ra 
c) Vì vai trị của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử và theo VI-ÉT ta cĩ , ta giải hệ sau: 
	Suy ra 
d) Vì vai trị của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử và theo VI-ÉT ta cĩ . Suy ra
	Với th ì 
	Với th ì 
II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm 
Ví dụ : Cho ; lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Theo hệ thức VI-ÉT ta cĩ vậy là nghiệm của phương trình cĩ dạng:
Bài tập áp dụng: 
	1. 	x1 = 8 	vµ 	x2 = -3
	2. 	x1 = 3a 	vµ 	x2 = a
	3. 	x1 = 36 	vµ 	x2 = -104
	4. 	x1 = 	vµ 	x2 = 
2. Lập phương trình bậc hai cĩ hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình : cĩ 2 nghiệm phân biệt . Khơng giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 cĩ ẩn là y thoả mãn : và 
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ĩ:
Vậy phương trình cần lập cĩ dạng: 	
	hay	
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt . Khơng giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai cĩ các nghiệm và 
	(Đáp số: hay )
2/ Cho phương trình : cĩ 2 nghiệm . Hãy lập phương trình bậc 2 cĩ ẩn y thoả mãn và (cĩ nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).
	(Đáp số : )
3/ Cho phương trình bậc hai: cĩ các nghiệm . Hãy lập phương 	trình bậc hai cĩ các nghiệm sao cho :
	a) và 	b) và 
(Đáp số 	a) 	b) )
III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
	Nếu hai số cĩ Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đĩ là hai nghiệm của phương trình :
	(điều kiện để cĩ hai số đĩ là S2 4P ³ 0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4
Vì a + b = 3 và ab = 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : 
giải phương trình trên ta được và 
Vậy 	nếu a = 1 thì b = 4
	nếu a = 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 
	1. S = 3	và 	P = 2
	2. S = 3	và	P = 6
	3. S = 9	và 	P = 20
	4. S = 2x	và 	P = x2 y2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
	1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
	2. a b = 5 và ab = 36
	3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b.
T ừ 
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình cĩ dạng : 
Vậy: 	Nếu a = 4 thì b = 5 
	nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đĩ cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c = b ta cĩ : a + c = 5 và a.c = 36
	Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : 
	Do đĩ nếu a = 4 thì c = 9 nên b = 9
	nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4
Cách 2: Từ 
*) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = thì b = 
*) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đĩ cần tìm a + b:
T ừ: a2 + b2 = 61 
*) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: 
	Vậy nếu a = thì b = ; nếu a = thì b = 
*) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : 
	Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.
IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
	Đối các bài tốn dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức cĩ chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức
1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : () và 
Ví dụ 1 	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
Ví dụ 2	
Ta biết 
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
	1. 	( =.)
	2. 	( = =. )
	3. 	( = = )
	4. 	( = = ..)
	Bài tập áp dụng
	5. 	6. 	7. 	8. 
2. Khơng giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : Khơng giải phương trình, hãy tính
	1. 	(34)	2. 	
	3. 	4. 	(46)
b) Cho phương trình : Khơng giải phương trình, hãy tính:
	1. 	2. 	
c) Cho phương trình : Khơng giải phương trình, hãy tính:
	1. 	2. 	(138)
d) Cho phương trình : Khơng giải phương trình, hãy tính:
	1. 	(3)	2. 	(1)
	3. 	(1)	4. 	
e) Cho phương trình cĩ 2 nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính
HD: 
V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHƠNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm các bài tốn loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho cĩ hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ¹ 0 và D ³ 0)
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số 
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đĩ đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2.
Ví dụ 1: Cho phương trình : cĩ 2 nghiệm . Lập hệ thức liên hệ 	giữa sao cho chúng khơng phụ thuộc vào m.
Để phương trình trên cĩ 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
Theo hệ th ức VI- ÉT ta cĩ :
Rút m từ (1) ta cĩ :
	(3)
Rút m từ (2) ta cĩ :
	(4)
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta cĩ:
Ví dụ 2: Gọi là nghiệm của phương trình : . Chứng minh rằng biểu thức khơng phụ thuộc giá trị của m.
Để phương trình trên cĩ 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ĩ :
	thay v ào A ta c ĩ:
	Vậy A = 0 với mọi và . Do đĩ biểu thức A khơng phụ thuộc vào m
Nhận xét:
	- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm
	- Sau đĩ dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đĩ đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số.
Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình : cĩ 2 nghiệm . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa sao cho độc lập đối với m.
Hướng dẫn: Dễ thấy 
do đĩ phương trình đã cho luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ÉT ta cĩ
Từ (1) và (2) ta cĩ:
2. Cho phương trình : .
Tìm hệ thức liên hệ giữa và sao cho chúng khơng phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy do đĩ phương trình đã cho luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ÉT ta cĩ
Từ (1) và (2) ta cĩ:
VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với các bài tốn dạng này, ta làm như sau:
	- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho cĩ hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ¹ 0 và D ³ 0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (cĩ ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Cho phương trình : 
	Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ĩ 2 nghiệm x1 và x2 l à :
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ĩ: 	v à t ừ gi ả thi ết: . Suy ra:
	(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Ví dụ 2: Cho phương trình : .
a)Tìm m để phương trình có nghiệm 
b)Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Bài giải: Điều kiện để phương trình cĩ 2 nghiệm là :
Theo hệ thức VI-ÉT ta cĩ: 	và từ giả thiết . Suy ra
Vậy với m = 2 thì phương trình cĩ 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Bài tập áp dụng
	1. Cho phương trình : 
	Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
	2. Cho phương trình : 
	Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức: 
	3. Cho phương trình : . 
	Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Hướng dẫn cách giải: 
	Đối với các bài tập dạng này ta thấy cĩ một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ 
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm và tích nghiệm nên ta cĩ thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.
+ Cịn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn như vậy, do đĩ vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức cĩ chứa tổng nghiệm và tích nghiệm rồi từ đĩ vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.
BT1: 	- ĐKX Đ: 
	-Theo VI-ÉT: 
	- Từ Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: 
BT2: - ĐKXĐ: 
- Theo VI-ÉT: 
- Từ : . Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta cĩ phương trình : (thoả mãn ĐKXĐ)
BT3: - Vì với mọi số thực m nên phương trình luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt.
- -Theo VI-ÉT: 
- Từ giả thiết: . Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta được phương trình: (thoả mãn )
VII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
	Cho phương trình:	 (a ¹ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình cĩ 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm .
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm
x1
x2
D
Điều kiện chung
trái dấu
P < 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P < 0.
cùng dấu,
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0
cùng dương,
+
+
S > 0
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0 ; S > 0
cùng âm
S < 0
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0 ; S < 0.
Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:
	 cĩ 2 nghiệm trái dấu.
Để phương trình cĩ 2 nghiệm trái dấu thì 
Vậy với thì phương trình cĩ 2 nghi ệm trái dấu.
Bài tập tham khảo:
	1. cĩ 2 nghiệm cùng dấu.
	2. cĩ 2 nghiệm âm.	
	3. cĩ ít nhất một nghiệm khơng âm.
VIII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luơn phân tích được:
	 	(trong đĩ A, B là các biểu thức khơng âm ; m, k là hằng số)	(*)
Thì ta thấy : 	 (v ì ) 	
	 (v ì)	
Ví dụ 1: Cho phương trình : 
	Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :
	 cĩ giá trị nhỏ nhất.
Bài giải: Theo VI-ÉT: 
Theo đ ề b ài : 	
Suy ra: 
Ví dụ 2: Cho phương trình : 
	Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị 	lớn nhất của biểu thức sau:
Ta cĩ: Theo hệ thức VI-ÉT thì : 
Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
	Vì 	
	Vậy m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại cĩ:
	Vì 
	Vậy 
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luơn cĩ nghiệm với mọi m.
	(Với m là ẩn, B là tham số)	(**)
Ta cĩ: 
Để phương trình (**) luơn cĩ nghiệm với mọi m thì D ³ 0
hay 	
	Vậy: 	 m = 1
Bài tập áp dụng
	1. Cho phương trình : .Tìm m để biểu thức cĩ giá trị nhỏ nhất.
2. Cho phương trình . Tìm m sao cho nghiệm thỏa mãn điều kiện.
3. Cho phương trình : xác định m để phương trình cĩ 2 nghiệm thỏa mãn
a) đạt giá trị lớn nhất
b) đạt giá trị nhỏ nhất
4. Cho phương trình : . Với giá trị nào của m, biểu thức dạt giá trị nhỏ nhất.
5. Cho phương trình . Xác định m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
C. KẾT LUẬN
	Do thời gian cĩ hạn và mục đích chính của chuyên đề là áp dụng cho học sinh đại trà, riêng mục VII và VIII dành cho học sinh khá giỏi nên lượng bài tập cịn đơn giản và chưa thật sự đa dạng, đầy đủ, do đĩ khơng tránh khỏi thiếu sĩt, rât mong các đồng nghiệp tham gia gĩp ý xây dựng để chuyên đề của chúng tơi cĩ khả năng áp dụng rộng rãi và cĩ tính thiết thực hơn!
	Chúng tơi xin chân thành cảm ơn!
Thanh Lãng, ngày 15 tháng 3 năm 2008. 
 Người viết
Ngơ Quốc Hưng Dương Thế Nam