Chuyên đề: Tối ưu hóa bài toán đếm trong đại số tổ hợp

www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 1 
Chuyên đề: TỐI ƯU HÓA BÀI TOÁN ĐẾM TRONG ĐẠI SỐ TỔ HỢP 
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Trong kì thi tuyển sinh Đại học năm 2012 và năm 2013 bài toán tổ hợp và xác suất xuất hiện 
ở đề khối B (câu tổ hợp) và đề khối A (câu xác suất). Điều này đã làm các thí sinh bất ngờ, 
nhiều em tỏ ra lúng túng và rất khó định hướng cách làm, thậm chí đã trình bày lời giải 
nhưng không biết rằng lời giải và đáp án của mình liệu có đúng không. 
Qua nghiên cứu, giảng dạy và học tập kinh nghiệm chúng tôi thiết nghĩ cần có những giải 
pháp giúp học sinh nắm được bản chất của bài toán tổ hợp, để từ đó học sinh có thêm những 
công cụ hữu ích giúp cho quá trình tìm lời giải bài toán tổ hợp của học sinh một cách chủ 
động, chính xác và hiệu quả nhất. 
Chuyên đề này không có tham vọng giải quyết tất cả các bài toán liên quan đến đại số tổ 
hợp, chúng tôi chỉ giải quyết một phần của đại số tổ hợp. Nhưng qua chuyên đề này hi vọng 
rằng các thầy cô giáo và các học sinh có thêm một phần tài liệu quý báu hỗ trợ trong việc tự 
nghiên cứu, tích lũy chuyên môn, ôn tập và giảng dạy. 
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
*Bố cục 
Chuyên đề này được trình bày theo bố cục như sau: 
A. Cơ sở lý thuyết 
B. Phương pháp 
C. Các dạng toán 
D. Bài tập tự rèn luyện 
*Nội dung 
A. Cơ sở lý thuyết 
Một số kiến thức cơ bản: 
1. Quy tắc đếm 
a. Quy tắc cộng: Một công việc V bao gồm k công việc V1; V2;..Vk độc lập với nhau 
trong đó: 
V1: có n1 cách thực hiện 
V2: có n2 cách thực hiện 
Vk có nk cách thực hiện 
Như vậy Số cách thực hiện công việc V là n = n1 + n2 + +nk 
b. Quy tắc nhân: Một công việc V được thực hiện lần lượt qua k giai đoạn Đ1; Đ2;..;Đk 
độc lập với nhau trong đó: 
Giai đoạn Đ1: có n1 cách thực hiện 
Giai đoạn Đ2: có n2 cách thực hiện 
Giai đoạn Đk:có nk cách thực hiện 
Như vậy Số cách thực hiện công việc V là n = n1.n2...nk 
2. Hoán vị 
a) Hoán vị: ( Theo định nghĩa SGK) 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 2 
+Khái niệm: Cho tập hợp A gồm n phần tử khác nhau )1( ≥n . Mỗi cách sắp thứ tự n phần 
tử của tập được gọi là 1 hoán vị của n phần tử đó. 
+Công thức xác định: !1.2.3)...1( nnnPn =−= 
+ Chú ý: Quy ước 0! = 1 
b) Hoán vị có lặp 
+ Khái niệm: Có n vật )1( ≥n được sắp vào n vị trí trong đó: 
Có n1 vật loại 1 
Có n2 vật loại 2 
. 
Có nk vật loại 3 
Ở đây n1+n2 + +nk = n 
Mỗi cách sắp thứ tự n vật như trên vào n vị trí gọi là hoán vị có lặp của n phần tử đó. 
Công thức xác định: 
+ Công thức xác định: Số hoán vị có lặp của n vật là 
!!...!.
!
21 knnn
n
+Chứng minh: Do có n1 vật giống nhau nên số phương án sắp n1 vật vào n1 vị trí chỉ là 
một phương án cần tìm, và ta có n1! phương án giống nhau. 
Tương tự 
Từ đó suy ra có 
!!...!.
!
!!...!. 2121 kk
n
nnn
n
nnn
P
= số hoán vị 
c) Hoán vị vòng tròn 
+ Khái niệm: Có n vật được sắp vào n vị trí theo một đường tròn 
+ Công thức xác định: Số hoán vị vòng tròn là: )!1(1.2.3)...1(1 −=−=− nnPn 
+ Chứng minh: Cố định một điểm trên đường tròn, sắp n -1 vật vào n - 1 vị trí còn lại. 
Như vậy chúng ta có (n -1)! số hoán vị vòng tròn 
3. Chỉnh hợp 
+ Khái niệm: Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k )1( nk ≤≤ phần tử sắp thứ tự của 
tập A được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử 
+ Công thức xác định 
 )!(
!)1)...(2)(1(
kn
nknnnnAkn
−
=+−−−= 
Chú ý: Khi k = n thì 
n
k
n PA = 
Ví dụ: Cho tập A gồm n số khác nhau { }9,8,..,2,1∈n . Số có k ( nk ≤ ) chữ số khác nhau lấy từ 
tập A là k
nA 
4. Tổ hợp 
+ Khái niệm: Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k )0( nk ≤≤ phần tử của tập A 
được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử 
+ Công thức xác định số tổ hợp chập k của n phần tử 
 )!(!
!
knk
nC kn
−
= 
+ Tính chất: 
i) kn
n
k
n CC
−
= 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 3 
ii) knknkn CCC =+ −−− 111 
 iii) knkn CkA != 
Ví dụ: Cho tập A gồm có n phần tử, số tập con co k phần tử lấy từ các phần tử của tập A là 
k
nC 
B. Phương pháp chung giải bài toán tổ hợp 
1. Phương pháp đếm trực tiếp. 
Tùy theo bài toán chúng ta có thể chia trường hợp hay không chia trường hợp 
Nội dung: 
Đếm các trường hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán 
2. Đếm vị trí 
+ Chọn vị trí cho số thứ nhất theo yêu cầu bài toán, suy ra số vị trí cho các số tiếp theo 
+ Sắp xếp các số còn lại 
3. Phương pháp đếm loại trừ 
Nội dung: Đếm loại trừ theo hai bước 
 + Bước 1: Đếm số phương án xảy ra bất kỳ ta có kết quả n1 
 + Bước 2: Đếm số phương án xảy ra không thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có kết quả n2 
 + Bước 3: Số phương án đúng là: n = n1 – n2 
Chú ý: Khi phương pháp đếm trực tiếp có nhiều trường hợp quá chúng ta sử dụng 
phương pháp đếm loại trừ 
4. Phương pháp lấy trước rồi sắp xếp sau 
+ Bước 1: Chọn ra trước cho đủ số lượng và thỏa mãn tính chất mà bài toán yêu cầu 
(Ví dụ như chọn tập con có k phần tử từ n phần tử ta có knC cách) 
+ Bước 2: Sắp xếp 
 Chú ý: Những bài toán có sự sắp xếp, cạnh nhau, có mặt 
5. Phương pháp tạo vách ngăn 
+Bước 1:Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí sẽ tạo ra m + 1 vách ngăn 
+Bước 2: Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu bài toán từ m +1 vách ngăn nói trên 
Nhận xét: 
*Hầu hết các bài toán tổ hợp đều sử dụng một trong các phương pháp trên để giải quyết, 
tuy nhiên sự linh hoạt của phương pháp tùy thuộc vào khả năng của từng học sinh. 
*Đối với bài toán mà tập ban đầu có số 0 ta xét trường hợp xem số 0 là một số có nghĩa 
ta được kết quả n1, xét trường hợp số 0 đứng đầu ta có kết quả n2, kết quả cần tìm là n1-n2 
C. Các dạng toán thường gặp 
Dạng 1: Toán đếm số 
Cách giải thông thường: 
Bước 1: Gọi số cần tìm là kaaan ...21= 
Bước 2: Liệt kê các tính chất của số n thỏa mãn yêu cầu 
Bước 3: Dựa vào tính chất xem bài toán có chia trường hợp không 
Bước 4: Thứ tự đếm ( đếm ưu tiên) 
+ Đếm các chữ số có mặt trong tính chất 
+ Đếm chữ số đầu tiên nếu nó chưa được đếm hoặc tập hợp ban đầu có chứa số 0 
+ Đếm các chữ số còn lại 
Bước 5: Sử dụng quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 4 
Chú ý: Đây là cách giải thông thường, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp trên để 
bài toán có lời giải ngắn gọn hơn 
Những bài toán trong tập ban đầu không chứa số 0 
Bài mở đầu: 
Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7}. 
a)Gọi S là tập số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lấy từ các số của tập A. Tính n(S) 
b)Gọi B là tập số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau lấy từ tập A. Tính n(B) 
Giải: 
a)Số cần tìm là chỉnh hợp chập 3 của 7 ta có 210)( 37 == ASn số 
b) Gọi số cần tìm là 321 aaan = 
+a3 có 3 cách chọn 
+ 21aa có 3026 =A 
+ Vậy có 3.30=90 số suy ra n(B) = 90 
Nhận xét: Bài toán rất đơn giản, chỉ cần biết công thức xác suất, chúng ta có thể giải 
quyết trọn vẹn câu IX.a trong đề thi ĐH – kA- 2013 
“Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ các số 1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số 
được chọn là số chẵn”. 
 Đáp án: Xác suất cần tìm là 
7
3
210
90
= 
Bài 1: Cho tập { }7,6,5,4,3,2,1=A . Có bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau sao cho: 
a) Chữ số đứng đầu là số chẵn 
b) Chữ số 4 luôn có mặt một lần 
Giải: 
a) Chữ số đứng đầu là số chẵn 
Gọi số cần tìm là 4321 aaaan = 
n là lẻ và 1a chẵn nên { }7,5,3,14 ∈a , { }6,4,21 ∈a suy ra 
+ 4a có 4 cách chọn 
+ 1a có 3 cách chọn 
+ 2 chữ số còn lại có 25A cách chọn 
Vậy có : 4.3.20 = 240 số cần tìm 
b) Gọi số cần tìm là 4321 aaaan = 
Cách 1: Đếm loại trừ 
+ Đếm các số lẻ có 4 chữ số khác nhau là: 
a4 có 4 cách chọn (a4 ∈{1,3,5,7}); 3 chữ số còn lại có 36A cách chọn, suy ra có 36.4 A số 
+ Đếm các số lẻ có 4 chữ số khác nhau mà không có mặt chữ số 4 là: 
a4 có 4 cách chọn (a5 ∈{1,3,5,7}); 3 chữ số còn lại có 35A cách chọn ( số 4 không có), suy 
ra có 35.4 A 
+ Các số cần tìm là: 36.4 A - 35.4 A =240 số 
Cách 2: Đếm vị trí 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 5 
+ a4 lẻ nên có 4 cách chọn (a4 ∈{1,3,5,7}); 
+ Số 4 có 3 vị trí 
+ 2 chữ số còn lại có 2 vị trí lấy từ các số còn lại nên có 25A 
Vậy ta có 2403.4 25 =A số 
Bài 2: 
Cho tập A ={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau sao cho: 
a) Luôn có mặt hai chữ số 2, 3 
b)Luôn có mặt hai chữ số 2, 3 và hai chữ số này luôn đứng kề nhau 
c)Luôn có mặt hai chữ số 2, 3 và hai chữ số này không đứng kề nhau 
Giải: Gọi số cần tìm là 54321 aaaaan = 
a) 
Cách 1: Đếm vị trí 
2 . 3 . 
+ Chữ số 2 có 5 vị trí suy ra chữ số 3 có 4 vị trí 
+ 3 chữ số còn lại có 37A cách sắp xếp 
+ Vậy ta có 42004.5 37 =A (số) 
Cách 2: Dùng phương pháp lấy trước rồi sắp xếp sau: 
+ Lấy ra 5 số từ tập A: 
Số 2,3 có 1 cách chọn, 3 số còn lại được lấy từ tập A\{2,3} nên có 37C cách, suy ra có 37C 
cách lấy ra 5 số mà 2, 5 luôn có mặt 
+ Sắp xếp 
2 . 3 . 
Sắp xếp 5 số vào 5 vị trí ta có 5! cách 
Vậy ta có 37C .5!=4200 số 
b)Dùng phương pháp lấy trước rồi sắp xếp sau: 
+ Lấy ra 5 số từ tập A: 
Số 2,3 có 1 cách chọn, 3 số còn lại được lấy từ tập A\{2,3} nên có 37C cách, suy ra có 37C 
cách lấy ra một tập gồm 5 số mà 2, 5 luôn có mặt 
+ Sắp xếp 
2,3 . . . 
Sắp xếp số 2,3 kề nhau ta xem là một số a có 2! cách, sắp xếp số a với 3 số còn lại có 4! 
cách, từ đó số cách sắp xếp 5 chữ số đã chọn như trên là 2!.4! cách 
Vậy ta có 37C .2!.4!=1680 số 
b)Do số các trường hợp 2,3 không đứng cạnh nhau nhiều nên ta sử dụng phương pháp 
loại trừ. 
+ Số các số có 5 chữ số khác nhau luôn có mặt chữ số 2,3 là 37C .5! 
+ Số có 5 chữ số khác nhau sao cho 2,3 luôn đứng kề nhau là 37C .2!.4! 
+ Vậy số cần tìm là: 37C .5!- 37C .2!.4!=2520 số 
Bài 3: 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 6 
Cho tập A ={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau 
sao cho: 
a)Luôn có mặt chữ số 3 
b)Luôn có mặt chữ số 4 
Nhận xét: Sự khác nhau giữa hai bài toán là gì? Cách giải có khác nhau hay không? 
Người GV phải định hướng cho HS biết để giải quyết trọn vẹn và chính xác bài toán. 
Giải: 
Gọi số cần tìm là 54321 aaaaan = 
a)Cách 1: Đếm vị trí 
+ 5a có 4 cách chọn 
+chữ số 3 có 4 vị trí 
+3 chữ số còn lại có 38A cách sắp xếp 
+ Vậy có 5376.4.4 38 =A số 
Cách 2: Chọn rồi sắp xếp (dành cho bạn đọc) 
b)Dự đoán cách giải học sinh sẽ sử dụng: tương tự như câu a 
+ a5 có 4 cách chọn 
+ chữ số 4 có 4 vị trí 
+ 3 chữ số còn lại có 37A cách sắp xếp 
+ Vậy có: 3360.4.4 37 =A số 
Sai lầm ở đâu: trường hợp số 4 là a5, khi đó cách chọn số 4 sẽ không đúng 
Lời giải đúng: 
*TH1: a5 =4, khi đó có 168048 =A số 
*TH1: a5 ≠ 4, khi đó 
+ a5 có 3 cách chọn 
+ chữ số 4 có 4 vị trí 
+ 3 chữ số còn lại có 37A cách sắp xếp 
+ suy ra ta có: 2520.4.3 37 =A số 
Vậy số cần tìm là: 420025201680 =+ số 
Bài 4: Từ các số 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó có 3 chữ số 
1, 2 chữ số 2 và 2 chữ số còn lại là 3,4. 
Giải: 
+ Số các số có 7 chữ số từ 7 số đã cho là 7! 
+ Nếu ta hoán vị a lần chữ số 1 hoặc 2 thì vẫn không đổi do đó có 3!.2! lần bị lặp lại 
+ Vậy số cần tìm là 420
!2!.3
!7
= số 
 Bài 5: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số trong đó 
chữ số 3 có mặt 2 lần, chữ số 5 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần. 
Nhận xét: Sự khác nhau giữa bài 4 và bài 5 là gì? Số chữ số bằng tập số đã cho và số 
chữ số nhỏ hơn tập số đã cho. 
Giải: Bằng cách đếm vị trí 
3 5. 3 .5 5 1 4 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 7 
+ Chọn 2 vị trí trong 7 vị trí và sắp xếp 2 chữ số 3 vào ta có 27C cách 
+ Chọn 3 trong 5 vị trí tiếp theo và sắp xếp 3 chữ số 5 vào 35C cách 
+ Còn 2 vị trí sắp xếp 2 chữ số khác nhau lấy từ các số còn lại trong tập A ta có 27A 
Vậy ta có 27C . 35C 27A =8820 số 
Bài 6: Cho tập A = {1,3,5,7,9}. Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau 
lấy từ tập A không bắt đâù từ 13 
Giải: 
+ Số có 5 chữ số lấy từ tập A là 5!=120 số 
+Số bắt đầu bằng 13 là: Số1,3 có 1 cách chọn, 3 số còn lại là hoán vị của 3 số 5,7,9 nên 
có 3!=6 Số 
+ Vậy các số cần tìm là: 120 - 6 =114 số 
Bài 7: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7}. Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác 
nhau sao cho: 
a)Bắt đầu bằng 456 
b)Không bắt đầu bằng 456 
Giải: 
a) 
456 
Số có 5 chữ số bắt đầu bằng 456 là 
• 4,5,6 có 1 cách chọn 
• 2 vị trí còn lại được lấy từ các số 4 số khác nhau của tập A nên có 
1224 =A 
Suy ra có 12 số bắt đầu bằng 456 là 12 số 
b)Phương pháp loại trừ 
+Số có 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A là 252057 =A 
+ Số có 5 chữ số khác nhau bắt đầu bằng 456 là 12 
+ Số cần tìm là 2520 – 12 =2508 số 
Bài 8: Từ các số 1,3,5,6,7 lập được bao nhiêu số có các chữ số khác nhau lớn hơn 6000 
Giải: 
*TH1: số cần tìm có 5 chữ số có 5! =120 (số) luôn thỏa mãn điều kiện bài toán 
*TH2: số cần tìm có 4 chữ là 4321 aaaan = 
+a1 có 2 cách chọn, 432 aaa có 2434 =A cách chọn 
+ suy ra có 2.24=48 số 
Vậy số cần tìm là 120+ 24 =144 số 
Những bài toán mà tập số ban đầu chứa số 0 
Bài 9: Cho tập A ={0, 1, 2, 3, 7, 8, 9}. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên 
a) có 5 chữ số 
b) có 5 chữ số khác nhau 
c) lẻ có 5 chữ số khác nhau 
d)chẵn có 5 chữ số khác nhau 
Giải: 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 8 
Gọi số cần tìm là 54321 aaaaan = 
a) 
+ a1 có 6 cách chọn (a1 ≠ 0) 
+ 5432 aaaa có 7.7.7.7 =2401 cách 
+ Vậy có 6.2401 =14406 số 
b) 
+ a1 có 6 cách chọn (a1 ≠ 0) 
+ 5432 aaaa có 46A cách 
+ vậy có 6. 46A = 2160 số 
c) 
+a5 lẻ nên a5 có 4 cách chọn 
+a1 có 5 cách chọn (a1 ≠ 0, a1 ≠ a5) 
+ 432 aaa có 35A cách 
+vậy có 12005.4 35 =A số 
c) Cách giải có tương tự câu b hay không? 
Dự đoán HS đưa ra cách giải: 
+a5 chẵn nên a5 có 3 cách chọn 
+a1 có 5 cách chọn (a1 ≠ 0, a1 ≠ a5) 
+ 432 aaa có 35A cách 
+vậy có 9005.3 35 =A số 
Sai lầm HS gặp phải: Khi đếm a5 là 0 thì cách đếm a1 phải là 6, như vậy lời giải trên là 
sai. Vậy cách giải như thế nào? 
Lời giải đúng 
Cách 1: Đếm loại trừ 
+Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A là 2160 
+ Số tự nhiên lẻ có 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A là 1200 
+ Số tự nhiên chẵn cần tìm là 2160 -1200 = 960 số 
Cách 2: Đếm trực tiếp 
TH1: a5 = 0:có 1 cách chọn 
+ 4321 aaaa có 36046 =A cách 
+suy ra ta có 360 số 
TH2: 
+a5 ≠ 0: a5 có 2 cách 
+ a1 có 5 cách chọn (a1 ≠ 0, a1 ≠ a5) 
+ 432 aaa có 6035 =A cách chọn 
+ suy ra ta có 2.5.60 =600 số 
Vậy số cần tìm là 360 + 600 = 960 số 
Bài 10: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7} 
a)Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau luôn có mặt chữ số 2 
b)Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 5 chữ số khác nhau luôn có mặt chữ số 2 
c)Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau luôn có mặt chữ số 
2 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 9 
Giải: 
a)cách đếm trực tiếp 
Gọi số cần tìm 54321 aaaaan = 
*TH1 
+a1 =2 có 1 cách chọn 
+ 5432 aaaa có 47A cách chọn 
+Suy ra ta có 84047 =A số 
*TH2 
+a2 =2 có 1 cách chọn 
+a1 ≠ 0 và a1 ≠ 2 nên có 6 cách chọn 
+ 543 aaa có 36A cách chọn 
+Suy ra ta có 720.6 36 =A số 
Vì vai trò của 2 trong các vị trí 5432 ,,, aaaa là giống nhau nên 
Số cần tìm là 840 + 720.4=3720 số 
b) 
Gọi số cần tìm 54321 aaaaan = 
*TH1 
+a5 lẻ nên có 4 cách chọn 
+a1 =2 có 1 cách chọn 
+ 432 aaa có 36A cách chọn 
+Suy ra ta có 480.4 36 =A số 
*TH2 
+a5 lẻ nên có 4 cách chọn 
+a2 =2 có 1 cách chọn 
+a1 ≠ 0,a1 ≠ 2,a1 ≠ a5 nên có 5 cách chọn 
+ 43aa có 25A cách chọn 
+Suy ra ta có 400.5.4 25 =A số 
Vì vai trò của 2 trong các vị trí 432 ,, aaa là giống nhau nên 
Số cần tìm là 480 +400.3=1680 số 
c) 
Cách 1: Đếm loại trừ 
Số cần tìm là 3720 – 1680 =2040 
Cách 2 : Sử dụng phương pháp lấy phần bù 
(i)Kể cả số 0 đứng đầu 
*TH1: a5 =2, khi đó có 84047 =A số 
*TH2: a5 ≠ 2, khi đó 
+ a5 có 3 cách chọn 
+ chữ số 2 có 4 vị trí 
+ 3 chữ số còn lại có 36A cách sắp xếp 
+ suy ra ta có: 1440.4.3 36 =A số 
Vậy có: 22801440840 =+ số 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 10 
(ii) Số 0 đứng đầu thỏa mãn điều kiện trên 
+ 1a = 0 có 1 cách chọn 
-TH1 : a5 = 2 có 1 cách chọn, 432 aaa có 36A cách chọn 
-TH2 : a5 ≠ 2 và là số chẵn nên có 2 cách chọn, số 2 có 3 vị trí, 2 vị trí còn lại có 25A 
Có 36A +2.3. 25A =240 số 
Vậy số cần tìm là 2280-240=2040 số 
Cách 3: Đếm trực tiếp 
Gọi số cần tìm 54321 aaaaan = 
Với a5 = 0 
*TH1 
+a5 =0 nên có 1 cách chọn 
+a1 =2 có 1 cách chọn 
+ 432 aaa có 36A cách chọn 
+Suy ra ta có 36A số 
*TH2 
+a5 =0 nên có 1 cách chọn 
+a1 ≠ 2 nên có 6 cách chọn 
+Số 2 được đặt trong 3 vị trí a2; a3; a4 nên có 3 cách chọn 
+ 2 vị trí còn lại có 25A 
+Suy ra ta có 1.6.3. 25A số ứng với trường hợp này 
Với a5 ≠ 0 
*TH1 
+a5 =2 nên có có 1 cách chọn 
+a1 ≠ 0,a1 ≠ 2 nên có 6 cách chọn 
+ 432 aaa có 36A cách chọn 
+Suy ra ta có 36.6 A số 
*TH2 
+a5 ≠ 2, a5 }6,4{∈ nên có 2 cách chọn 
+a1=2 có 1 cách chọn 
+ 432 aaa có 
3
5A cách chọn 
+ suy ra có 2. 35A số 
TH3 
+ a5 ≠ 2, a5 }6,4{∈ nên có 2 cách chọn 
+ a1 ≠ 2, a1 ≠ 0 nên a1 có 5 cách chọn 
+Số 2 được đặt trong 3 vị trí còn lại nên có 3 cách chọn 
+2 vị trí còn lại có 25A cách chọn 
+ suy ra có 2.5.3. 25A số 
Vậy số cần tìm là 36A +1.6.3. 25A + 36.6 A +2. 35A +2.5.3. 25A =2040 số 
Bài 11: Cho tập A ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 11 
Hỏi có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho luôn có 3 chữ số chẵn trong các số 
tạo thành 
Giải: Lấy trước rồi sắp xếp sau 
Bước 1 
+Lấy 3 chữ số chẵn trong 4 số chẵn có 34C cách 
+Lấy 3 số lẻ trong 5 số lẻ có 35C cách 
+Suy ra số cách lấy 6 chữ số là 34C . 35C cách 
Bước 2 
Sắp xếp 6 số trên vào 6 vị trí ta có 6! cách 
Vậy số cần tìm là 6! 34C . 35C =28800 (cách) 
Bài 12: Cho tập A ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
Hỏi có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho luôn có 3 chữ số chẵn trong các số 
tạo thành 
Nhận xét: sự khác nhau giữa hai bài toán là gì? Số 0 có trong tập A và số 0 không có 
trong tập A 
Lời giải: 
+TH1: 6 chữ số lấy ra không chứa chữ số 0 
Kết quả như bài 11 ta có 6! 34C . 35C 
+TH2 : 6 chữ số lấy ra luôn có mặt chữ số 0 
Bước 1: Chữ số 0 có 1 cách lấy, lấy 2 chữ số chẵn có 24C cách lấy, lấy 3 số lẻ có 35C cách 
Có 24C .
3
5C cách lấy 6 chữ số luôn có mặt chữ số 0 
Bước 2 : Sắp xếp 
+Sắp xếp 6 chữ số lấy được vào 6 vị trí kể cả vị trí 0 đứng đầu ta có 6 ! cách 
+Vị trí 0 đứng đầu có 5! cách 
+ Số cách sắp xếp thỏa mãn là 6! - 5! 
Vậy số các số cần tìm là 24C . 35C (6! - 5!) =36000 
Bài 13 : Từ tập các số 0, 1, 2, 6, 7, 8, 9 
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau lớn hơn 5000 
Giải : Gọi số cần tìm là 4321 aaaan = Do n > 5000 nên a1
=6,7,8,9 
TH1: 
+a1 =6, a4 là chẵn và khác 6 nên có 3 cách chọn 
+ 32aa có 
2
5A 
+ suy ra có 60.3 25 =A số 
TH2: 
+a1 =7, a4 là chẵn nên có 4 cách chọn 
+ 32aa có 80.4
2
5 =A 
Ta có a1 =8 như trường hợp 1 và a1 =9 như trường hợp 2 
Vậy có (60 + 80).2=280 số 
Dạng 2: Bài toán sắp xếp đồ vật 
Cách giải: 
Một số lưu ý khi giải dạng toán sắp xếp 
+ Sắp xếp n phần tử khác nhau vào n vị trí có n! cách sắp xếp 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 12 
+ Sắp xếp k phần tử giống nhau vào n vị trí có knC cách )1( nk ≤≤ 
+ Sắp xếp n phần tử giống nhau ( không thay đổi kết quả) vào n vị trí có 1 cách sắp xếp 
Bài 1: 
Có 3 quyển sách toán; 4 quyển sách lý; 5 quyển sách hóa. Các quyển sách khác nhau. 
Sắp xếp các cuốn sách trên vào một kệ dài. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: 
a) Các quyển sách nằm tùy ý 
b)Các quyển sách cùng loại nằm kề nhau 
Giải: 
a)Các quyển sách là khác nhau nên có 12! cách sắp xếp 
b) 
+Sắp xếp 3 quyển sách toán có 3! cách 
+Sắp xếp 4 quyển sách lý có 4! cách 
+Sắp xếp 5 quyển sách hóa có 5! cách 
+Có 3! sắp xếp 3 nhóm sách 
+Vậy có 3!.3!.4!.5! = 103680 cách 
Bài 2: Người ta sắp xếp 1 quyển sách toán, 1 quyển sách lý và 5 quyển sách hóa vào một