Chuyên đề Toán - Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

CHUYÊN ĐỀ
 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG.
 ( Dành cho học sinh lớp7 đang học chương 2- hình học 7)
A.Đôi lời: Việc chứng minh ba điểm thẳng hàng đối với các em học sinh lớp 7 tương đối
 khó khăn bởi lí do : Ở lớp 6 cả năm các em chỉ học có vỏn vẹn 29 tiết, lớp 7 ở 
 chương I các em mới được 16 tiết , kiến thức trang bị cho các em tương đối ít,
 hơn nữa các bài tập ở sách giáo khoa đưa ra đa số các bài toán đã có cả hình vẽ
 sẵn , điều này các thầy cô giáo khi dạy cũng không muốn khai thác thêm các bài
 toán để phát huy óc sáng tạo của các em, vô tình bỏ quên các em học sinh giỏi ,
 , một đối tượng mà thường trong các đợt thi học sinh giỏi mang lại cho nhà trường
 một vị trí cao và mang lại cho các thầy cô giáo niềm vui trong quá trình giảng 
 dạy. 
 Khi dạy chương II hình 7, nhiều khi muốn dạy các bài toán nâng cao hơn , nhiều
 khi để giảm bớt khó khăn thầy cô giáo thường đưa thêm các định lý như: Đường
 trung bình của tam giác,tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông, .............
 Cách giải đó người ta thường nói ví von : “ Giết gà bằng dao mổ trâu”, vô tình 
 lại không phát huy được trí lực của các em . 
 Trong phần này : “ Chuyên đề : Chứng minh ba điểm thẳng hàng ” dành cho 
 các em học sinh lớp 7 đang học chương 2. Do đó các bài toán trong chuyên đề 
 chỉ giải bằng những kiến thức mà các em có được , cách giải có thể không hay 
 nhưng vừa sức với các em . 
B. Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng dành cho HSG lớp 7: 
 1. Phương pháp 1: ( Hình 1)
 Nếu thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
 2. Phương pháp 2: ( Hình 2)
 Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
 (Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7)
 3. Phương pháp 3: ( Hình 3)
 Nếu AB a ; AC A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
 ( Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng
 a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước
 - tiết 3 hình học 7)
 Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một 
 đoạn thẳng .(tiết 3- hình 7) 
 4. Phương pháp 4: ( Hình 4) 
 Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy 
 thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.
 Cơ sở của phương pháp này là: 
 Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .
 * Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , 
 thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.
 5. Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ 
 Là trung điểm BD thì K’ K thì A, K, C thẳng hàng.
 (Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm)
C. Các ví dụ minh họa cho từng phương pháp:
 Phương pháp 1
 Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA
 (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm 
 D sao cho CD = AB.
 Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng. 
 Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh 
	 Do nên cần chứng minh 
BÀI GIẢI:
 AMB và CMD có: 
	AB = DC (gt).
 MA = MC (M là trung điểm AC) 
	Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra: 
	Mà (kề bù) nên .
	Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.
 Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối
	 tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED
 sao cho CM = EN. 
	 Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng. 
Gợi ý: Chứng minh từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng. 
BÀI GIẢI (Sơ lược)
	ABC = ADE (c.g.c) 
	ACM = AEN (c.g.c) 
	Mà (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên 
Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)
BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1
Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối 
 của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và 
 CD. 
 Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng. 
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có . Vẽ tia Cx BC (tia Cx và điểm A ở 
 phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia 
 BC lấy điểm F sao cho BF = BA. 
	Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng. 
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm 
	E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC)
	Gọi M là trung điểm HK.
	Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.
Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ 
 Hai tia Ax và By sao cho .Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C),
	trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF.
 	Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Bài 5.Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các
	đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E.
	Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.
 PHƯƠNG PHÁP 2
 Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên
	 Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung 
	 điểm BD và N là trung điểm EC. 
	Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng. 
Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp 2	
 Ta chứng minh AD // BC và AE // BC.
BÀI GIẢI.
 BMC và DMA có: 
	MC = MA (do M là trung điểm AC)
	 (hai góc đối đỉnh)
	MB = MD (do M là trung điểm BD)
	Vậy: BMC = DMA (c.g.c)
	Suy ra: , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)
	Chứng minh tương tự : BC // AE (2) 
	Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)
	và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng. 
 Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia 
	 AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho
	 D là trung điểm AN. 
	 Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng.
	BÀI GIẢI
 AOD và COD có: 
	 OA = OC (vì O là trung điểm AC)
	 (hai góc đối đỉnh)
 OD = OB (vì O là trung điểm BD)
	 Vậy AOD = COB (c.g.c)
	 Suy ra: . 
	 Do đó: AD // BC. Nên (ở vị trí đồng vị) hình 8
 DAB và CBM có : 
 AD = BC ( do AOD = COB), , AB = BM ( B là trung điểm AM)
 Vậy DAB = CBM (c.g.c). Suy ra . Do đó BD // CM. (1)
 Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2)
 Từ (1) và (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng.
 BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 2
Baì 1. Cho tam giác ABC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB và cung tròn tâm B bán kính 
 AC. Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B lần lượt tại E 
 và F. ( E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A)
 Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng.
PHƯƠNG PHÁP 3
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC.
Chứng minh AM BC.
Vẽ hai đườn tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai
điểm P và Q . Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng. 
Gợi ý: Xử dụng phương pháp 3 hoặc 4 đều giải được.
 - Chứng minh AM , PM, QM cùng vuông góc BC 
	- hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC.
BÀI GIẢI.
Cách 1. Sử dụng phương pháp 3.
a) Chứng minh AM BC.
	 ΔABM và ΔACM có: 
 AB =AC (gt) 
 AM chung 
	 MB = MC (M là trung điểm BC)
	Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c). Suy ra: (hai góc tương ứng)
	Mà (hai góc kề bù) nên 
 Do đó: AM BC (đpcm)
Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c).
	 Suy ra: (hai góc tương ứng), mà nên = 900
	 Do đó: PM BC. 
 Lập luận tương tự QM BC 
 Từ điểm M trên BC có AM BC,PM BC, QM BC nên ba điểm A, P, Q 
	 thẳng hàng (đpcm)
Cách 2. Sử dụng phương pháp 4.
Chứng minh : 
	 ΔBPA = ΔCPA . Vậy AP là tia phân giác của . (1)
	 ΔABQ = ΔACQ .Vậy AQ là tia phân giác của . (2)
 Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A; P; Q thẳng hàng.	
 PHƯƠNG PHÁP 4
Ví dụ:Cho góc xOy .Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao cho OB = OC. 
 Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm 
 A và D nằm trong góc xOy.
 Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy
	 BÀI GIẢI:
	ΔBOD và ΔCOD có: 
	OB = OC (gt)
	OD chung
	BD = CD (D là giao điểm của hai đường tròn tâm B và tâm C 
 cùng bán kính).
	Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c). 
	Suy ra : . 
	Điểm D nằm trong góc xOy nên tia OD nằm giữa hai tia Ox và Oy.
 Do đó OD là tia phân giác của .
 Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của .
	Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau. 
 Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng.
BAÌ TẬP THỰC HÀNH
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM AC, CN AB (), H là giao
 điểm của BM và CN.
	a) Chứng minh AM = AN.
	b) Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB
 chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông 
 AC. Bx và Cy cắt nhau tại E. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.
PHƯƠNG PHÁP 5
 Ví dụ 1 . Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy
 điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN.
	Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng
Gợi ý: Xử dụng phương pháp 1
	Cách 1: Kẻ ME BC ; NF BC ( E ; F BC)
 và vuông tại E và F có:
 BM = CN (gt), ( cùng bằng )
 Do đó: = (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn)
	Suy ra: ME = NF.
	Gọi K’ là giao điểm của BC và MN.
	MEK’ và NFK’ vuông ở E và F có: ME = NF (cmt), ( so le trong 
 của ME // FN) . Vậy MEK’ = NFK’ (g-c-g). Do đó: MK’ = NK’ .
	Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K K’
	Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng.
	Cách 2. Kẻ ME // AC (E BC) (hai góc đồng vị)
	 Mà nên . Vậy ΔMBE cân ở M.
 Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta được
	 ME = CN.
 Gọi K’ là giao điểm của BC và MN.
	 ΔMEK’ và ΔNCK’ có: 
 (so le trong của ME //AC)
	 ME = CN (chứng minh trên)
	 (so le trong của ME //AC)
	 Do đó : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g) MK’ = NK’. 
 Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K K’
 Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng.
Lưu ý: Cả hai cách giải trên đa số học sinh chứng minh ΔMEK = ΔNCK vô tình thừa nhận
	 B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý lắm nhưng không biết là sai
 Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân ở A , , Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác
 của góc C sao cho . Vẽ tam giác đều BOM ( M và A cùng thuộc một nửa 
 mặt phẳng bờ BO).
	 Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh từ đó suy ra tia CA và tia CM trùng nhau.
 BÀI GIẢI
 Tam giác ABC cân ở A nên 
 (tính chất của tam giác cân). Mà CO là tia phân giác của ,
 nên . Do đó 
 ΔBOM đều nên .
 Vậy : 
	ΔBOC và ΔMOC có: 
 	OB = OM ( vì ΔBOM đều)
	OC chung 
	Do đó : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c)
	Suy ra: mà (gt) nên .
	Hai tia CA và CM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ CO và nên tia CA và
 tia CM trùng nhau. Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng. (đpcm)
Lưu ý: Trong phần này chuyên đề chưa được hoàn chỉnh, thầy cô giáo dạy toán lớp 7 muốn 
 sử dụng cần viết lại từ phần đặt vấn đề và bổ sung thêm bài tập mới hoàn chỉnh được.
 Chúc tất cả chúng ta , những người làm nghề “lái đò” có một ngày 20//11 trọn vẹn.
 Chào thân ái.