Chuyên đề Toán ôn thi vào Lớp 10 THPT

Chuyªn ®Ò I: C¨n thøc bËc hai 
Bµi 1 : 
1) §¬n gi¶n biÓu thøc : P = .
2) Cho biÓu thøc : Q = 
a) Rót gän biÓu thøc Q. 
b) T×m x ®Ó > - Q.
c) T×m sè nguyªn x ®Ó Q cã gi¸ trÞ nguyªn.
H­íng dÉn :
1. P = 6
2. a) §KX§ : x > 0 ; x 1. BiÓu thøc rót gän : Q = .
b) > - Q x > 1.
c) x = th× Q Z
Bµi 2 : Cho biÓu thøc P = 
a) Rót gän biÓu thøc sau P.	
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x = .
H­íng dÉn :
a) §KX§ : x > 0 ; x 1. BiÓu thøc rót gän : P = .
b) Víi x = th× P = - 3 – 2.
Bµi 3 : Cho biÓu thøc : A = 
a) Rót gän biÓu thøc sau A.
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = 
c) T×m x ®Ó A < 0.
d) T×m x ®Ó = A.
H­íng dÉn :
a) §KX§ : x 0, x 1. BiÓu thøc rót gän : A = .
b) Víi x = th× A = - 1.
c) Víi 0 x < 1 th× A < 0.
d) Víi x > 1 th× = A.
Bµi 4 : Cho biÓu thøc : A = 
a) Rót gän biÓu thøc sau A.
b) X¸c ®Þnh a ®Ó biÓu thøc A > .
H­íng dÉn :
a) §KX§ : a > 0 vµ a9. BiÓu thøc rót gän : A = .
b) Víi 0 .
Bµi 5 : Cho biÓu thøc: A = .
1) T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi x ®Ó biÓu thøc cã nghÜa.
2) Rót gän A.
3) Víi x Z ? ®Ó A Z ?
H­íng dÉn :
a) §KX§ : x ≠ 0 ; x ≠ 1. 
b) BiÓu thøc rót gän : A = víi x ≠ 0 ; x ≠ 1.
c) x = - 2003 ; 2003 th× A Z .
Bµi 6 : Cho biÓu thøc: A = .
a) Rót gän A.
b) T×m x ®Ó A < 0.
c) T×m x nguyªn ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn.
H­íng dÉn :
a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : A = .
b) Víi 0 < x < 1 th× A < 0.
c) x = th× A Z.
Bµi 7 : Cho biÓu thøc: A = 
a) Rót gän biÓu thøc A.
b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2.
H­íng dÉn :
a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : A = 
b) Ta xÐt hai tr­êng hîp :
+) A > 0 > 0 lu«n ®óng víi x > 0 ; x ≠ 1 (1)
+) A 2 > 0 ®óng v× theo gt th× x > 0. (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra 0 < A < 2(®pcm).
Bµi 8 : Cho biÓu thøc: P = (a 0; a 4)
a) Rót gän P.
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9.
H­íng dÉn :
a) §KX§ : a 0, a 4. BiÓu thøc rót gän : P = 
b) Ta thÊy a = 9 §KX§ . Suy ra P = 4
Bµi 9 : Cho biÓu thøc: N = 
1) Rót gän biÓu thøc N.
2) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó N = -2004. 
H­íng dÉn :
a) §KX§ : a 0, a 1. BiÓu thøc rót gän : N = 1 – a .
b) Ta thÊy a = - 2004 §KX§ . Suy ra N = 2005.
Bµi 10 : Cho biÓu thøc 
a. Rót gän P. 
b. TÝnh gi¸ trÞ cña P khi 
c. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã.
H­íng dÉn :
a ) §KX§ : x 0, x 1. BiÓu thøc rót gän : 
b) Ta thÊy §KX§ . Suy ra 
c) Pmin=4 khi x=4.
Bµi 11 : Cho biÓu thøc 
	a. Rót gän P. b. T×m x ®Ó c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P.
H­íng dÉn :
a. ) §KX§ : x 0, x 9. BiÓu thøc rót gän : 
b. Víi th× 
c. Pmin= -1 khi x = 0
 Bµi 12: Cho A= víi x>0 ,x1
Rót gän A
TÝnh A víi a = 
 ( KQ : A= 4a )
Bµi 13: Cho A= víi x0 , x9, x4 .
Rót gän A.
 x= ? Th× A < 1.
 T×m ®Ó 
 (KQ : A= ) 
Bµi 14: Cho A = víi x0 , x1.
Rót gän A.
T×m GTLN cña A.
T×m x ®Ó A = 
CMR : A . (KQ: A = )
Bµi 15: Cho A = víi x0 , x1.
a . Rót gän A.
b. T×m GTLN cña A . ( KQ : A =	 )
Bµi 16: Cho A = víi x0 , x1.
a . Rót gän A.
b. CMR : 	 ( KQ : A =	)
Bµi 17: Cho A =	
 a. Rót gän A.
 b. T×m ®Ó 
	 ( KQ : A =	)
Bµi 18: Cho A = víi a 0 , a9 , a4. 
 a. Rót gän A.
 b. T×m a ®Ó A < 1
 c. T×m ®Ó ( KQ : A =	)
Bµi 19: Cho A= víi x > 0 , x4. 
Rót gän A.
So s¸nh A víi ( KQ : A = ) 
Bµi20: Cho A = víi x0 , y0, 
Rót gän A.
CMR : A 0 ( KQ : A = ) 
Bµi 21 : Cho A = Víi x > 0 , x1.
 a. Rót gän A.
 b. T×m x ®Ó A = 6 ( KQ : A = ) 
Bµi 22 : Cho A = víi x > 0 , x4.
 a. Rót gän A
 b. TÝnh A víi x = (KQ: A = )
Bµi 23 : Cho A= víi x > 0 , x1.
 a. Rót gän A
 b. TÝnh A víi x = (KQ: A = )
Bµi 24 : Cho A= víi x0 , x1.
 a. Rót gän A.
 b. T×m ®Ó (KQ: A = )
Bµi 25: Cho A= víi x0 , x1.
 a. Rót gän A.
 b. T×m ®Ó 
	c. T×m x ®Ó A ®¹t GTNN . (KQ: A = )
Bµi 26 : Cho A = víi x0 , x9
. a. Rót gän A.
 b. T×m x ®Ó A < -
 ( KQ : A =	)
Bµi 27 : Cho A = víi x0 , x1.
 a. Rót gän A
 b. TÝnh A víi x = (KQ: A = )
	c . CMR : A 
Bµi 28 : Cho A = víi x > 0 , x1.
 a. Rót gän A (KQ: A = )
	 b.So s¸nh A víi 1
Bµi 29 : Cho A = Víi 
 a. Rót gän A.
 b. T×m x ®Ó A =
 c. T×m x ®Ó A < 1.
 ( KQ : A =	)
Bµi30 : Cho A = víi x0 , x1.
 a. Rót gän A.
	b. CMR nÕu 0 0
 c. TÝnh A khi x =3+2
	 d. T×m GTLN cña A (KQ: A = )
Bµi 31 : Cho A = víi x0 , x1.
 a. Rót gän A.
 b. CMR nÕu x0 , x1 th× A > 0 , (KQ: A = )
Bµi 32 : Cho A = víi x > 0 , x1, x4.
 a. Rót gän
b. T×m x ®Ó A = 
Bµi 33 : Cho A = víi x0 , x1.
 a. Rót gän A.
 b. TÝnh A khi x= 0,36
 c. T×m ®Ó 
Bµi 34 : Cho A= víi x 0 , x9 , x4.
 a. Rót gän A.
 b. T×m ®Ó 
 c. T×m x ®Ó A < 0 (KQ: A = )
Chuyªn ®Ò II: hµm sè bËc nhÊt
Bµi 1 : 
1) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4).
2) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng trªn víi trôc tung vµ trôc hoµnh.
H­íng dÉn :
1) Gäi pt ®­êng th¼ng cÇn t×m cã d¹ng : y = ax + b.
Do ®­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4) ta cã hÖ pt : 
VËy pt ®­êng th¼ng cÇn t×m lµ y = 3x – 1
2) §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng -1 ; §å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng .
Bµi 2 : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3.
1) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hµm sè lu«n nghÞch biÕn.
2) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 3.
3) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè trªn vµ c¸c ®å thÞ cña c¸c hµm sè y = -x + 2 ; y = 2x – 1 ®ång quy.
H­íng dÉn :
1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + 3 m – 2 < 0 m < 2.
2) Do ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0 
Thay x= 3 ; y = 0 vµo hµm sè y = (m – 2)x + m + 3, ta ®­îc m = .
3) Giao ®iÓm cña hai ®å thÞ y = -x + 2 ; y = 2x – 1 lµ nghiÖm cña hÖ pt : 
(x;y) = (1;1).
§Ó 3 ®å thÞ y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 vµ y = 2x – 1 ®ång quy cÇn : 
(x;y) = (1;1) lµ nghiÖm cña pt : y = (m – 2)x + m + 3.
Víi (x;y) = (1;1) m = 
B µi 3 : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3.
1) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè song song víi ®å thÞ hµm sè y = -2x + 1.
2) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm (1 ; -4).
3) T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cña hµm sè lu«n ®i qua víi mäi m.
H­íng dÉn :
1) §Ó hai ®å thÞ cña hµm sè song song víi nhau cÇn : m – 1 = - 2 m = -1.
VËy víi m = -1 ®å thÞ cña hµm sè song song víi ®å thÞ hµm sè y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vµo pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta ®­îc : m = -3.
VËy víi m = -3 th× ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm (1 ; -4).
3) Gäi ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ lu«n ®i qua lµ M(x0 ;y0). Ta cã 
 y0 = (m – 1)x0 + m + 3 (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0 
VËy víi mäi m th× ®å thÞ lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh (1;2).
Bµi 4 : Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AB.
2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®­êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song víi ®­êng th¼ng AB ®ång thêi ®i qua ®iÓm C(0 ; 2).
H­íng dÉn :
1) Gäi pt ®­êng th¼ng AB cã d¹ng : y = ax + b.
Do ®­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 1) vµ (2 ;-1) ta cã hÖ pt : 
VËy pt ®­êng th¼ng cÇn t×m lµ y = - 2x + 3.
2) §Ó ®­êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song víi ®­êng th¼ng AB ®ång thêi ®i qua ®iÓm C(0 ; 2) ta cÇn : m = 2.
VËy m = 2 th× ®­êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song víi ®­êng th¼ng AB ®ång thêi ®i qua ®iÓm C(0 ; 2)
Bµi 5 : Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 3.
1) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm (2; 5)
2) Chøng minh r»ng ®å thÞ cña hµm sè lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m. T×m ®iÓm cè ®Þnh Êy.
3) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = .
H­íng dÉn :
1) m = 2.
2) Gäi ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ lu«n ®i qua lµ M(x0 ;y0). Ta cã 
 y0 = (2m – 1)x0 + m - 3 (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0 
VËy víi mäi m th× ®å thÞ lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh ().
Baøi 6 : T×m gi¸ trÞ cña k ®Ó c¸c ®­êng th¼ng sau : 
 y =  ; y = vµ y = kx + k + 1 c¾t nhau t¹i mét ®iÓm.
Bµi 7 : Gi¶ sö ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh y = ax + b. X¸c ®Þnh a, b ®Ó (d) ®i qua hai ®iÓm A(1; 3) vµ B(-3; -1).
Bµi 8 : Cho hµm sè : y = x + m (D).
T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®­êng th¼ng (D) :
1) §i qua ®iÓm A(1; 2003).
2) Song song víi ®­êng th¼ng x – y + 3 = 0.
Chuyªn ®Ò III:
 Ph­¬ng tr×nh – bÊt ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Çn
HÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt 2 Èn .
A. kiÕn thøc cÇn nhí :
1. Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt : ax + b = 0.
Ph­¬ng ph¸p gi¶i :
+ NÕu a ≠ 0 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : x = .
+ NÕu a = 0 vµ b ≠ 0 ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm.
+ NÕu a = 0 vµ b = 0 ph­¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.
2. HÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn : 
Ph­¬ng ph¸p gi¶i :
Sö dông mét trong c¸c c¸ch sau :
+) Ph­¬ng ph¸p thÕ : Tõ mét trong hai ph­¬ng tr×nh rót ra mét Èn theo Èn kia , thÕ vµo ph­¬ng tr×nh thø 2 ta ®­îc ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt 1 Èn.
+) Ph­¬ng ph¸p céng ®¹i sè : 
- Quy ®ång hÖ sè mét Èn nµo ®ã (lµm cho mét Èn nµo ®ã cña hÖ cã hÖ sè b»ng nhau hoÆc ®èi nhau).
- Trõ hoÆc céng vÕ víi vÕ ®Ó khö Èn ®ã.
- Gi¶i ra mét Èn, suy ra Èn thø hai.
B. VÝ dô minh häa :
VÝ dô 1 : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau ®©y :
 a) §S : §KX§ : x ≠ 1 ; x ≠ - 2. S = .
b) = 2 
Gi¶i : §KX§ : ≠ 0. (*)
Khi ®ã : = 2 2x = - 3 x = 
Víi x = thay vµo (* ) ta cã ()3 + + 1 ≠ 0
VËy x = lµ nghiÖm.
VÝ dô 2 : Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh theo m :
 (m – 2)x + m2 – 4 = 0 (1)
+ NÕu m 2 th× (1) x = - (m + 2).
+ NÕu m = 2 th× (1) v« nghiÖm. 
VÝ dô 3 : T×m m Z ®Ó ph­¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm nguyªn .
 (2m – 3)x + 2m2 + m - 2 = 0.
Gi¶i :
Ta cã : víi m Z th× 2m – 3 0 , v©y ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = - (m + 2) - .
®Ó pt cã nghiÖm nguyªn th× 4 2m – 3 .
Gi¶i ra ta ®­îc m = 2, m = 1.
VÝ dô 3 : T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh : 7x + 4y = 23. 
Gi¶i :
a) Ta cã : 7x + 4y = 23 y = = 6 – 2x + 
V× y Z x – 1 4.
Gi¶i ra ta ®­îc x = 1 vµ y = 4
bµi tËp phÇn hÖ pt
Bµi 1 : Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
a) b) c) d) 
e) f) 
Bµi 2 : Cho hÖ ph­¬ng tr×nh :
1) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh theo tham sè m.
2) Gäi nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh lµ (x, y). T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó x + y = -1.
3) T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m.
Bµi 3 : Cho hÖ ph­¬ng tr×nh:
1) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh khi thay m = -1.
2) Gäi nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh lµ (x, y). T×m m ®Ó x2 + y2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Bµi 4 : Cho hÖ ph­¬ng tr×nh:
 cã nghiÖm duy nhÊt lµ (x; y).
1) T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo a.
2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a tho¶ m·n 6x2 – 17y = 5.
3) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
B µi5 : Cho hÖ ph­¬ng tr×nh:
1) Gi¶i hÖ (1) khi a = 2.
2) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.
Bµi 6 : X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè m vµ n, biÕt r»ng hÖ ph­¬ng tr×nh 
 cã nghiÖm lµ .
Bµi 7 : Cho hÖ ph­¬ng tr×nh (a lµ tham sè).
1) Gi¶i hÖ khi a = 1.
2) Chøng minh r»ng víi mäi a hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y 2.
Bµi 8 (trang 22): Cho hÖ ph­¬ng tr×nh : (m lµ tham sè).
Gi¶i hÖ khi m = -1.
Gi¶i vµ biÖn luËn pt theo m.
Bµi 9 : (trang 24): Cho hÖ ph­¬ng tr×nh : (m lµ tham sè).
a) Gi¶i hÖ khi m = -1.
b) Tìm giaù trò nguyeân cuûa m ñeå heä coù hai nghieäm nguyeân.
c) Xaùc ñònh moïi heä coù nghieäm x > 0, y > 0.
Bµi 10 (trang 23): Moät oâtoâ vaø moät xe ñaïp chuyeån ñoäng ñi töø 2 ñaàu moät ñoaïn ñöôøng sau 3 giôø thì gaëp nhau. Neáu ñi cuøng chieàu vaø xuaát phaùt taïi moät ñieåm thì sau 1 giôø hai xe caùch nhau 28 km. Tính vaän toác cuûa moãi xe.
HD : Vaän toác xe ñaïp : 12 km/h . Vaän toác oâtoâ : 40 km/h.
Bµi 11 : (trang 24): Moät oâtoâ ñi töø A döï ñònh ñeán B luùc 12 giôø tröa. Neáu xe chaïy vôùi vaän toác 35 km/h thì seõ ñeán B luùc 2 giôø chieàu. Neáu xe chaïy vôùi vaän toác 50 km/h thì seõ ñeán B luùc 11 giôø tröa. Tính ñoä quaûng ñöôøng AB vaø thôøi dieåm xuaát phaùt taïi A.
Ñaùp soá : AB = 350 km, xuaát phaùt taïi A luùc 4giôø saùng.
Bµi 12 : (trang 24): Hai voøi nöôùc cuøng chaûy vaøo moät caøi beå nöôùc caïn, sau giôø thì ñaày beå. Neáu luùc ñaàu chæ môû voøi thöù nhaát, sau 9 giôø môû voøi thöù hai thì sau giôø nöõa môùi nay beå . Neáu moät mình voøi thöù hai chaûy bao laâu seõ nay beå.
Ñaùp soá : 8 giôø.
Bµi 13 : (trang 24): Bieát raèng m gam kg nöôùc giaûm t0C thì toûa nhieät löôïng Q = mt (kcal). Hoûi phaûi duøng bao nhieâu lít 1000C vaø bao nhieâu lít 200C ñeå ñöôïc hoãn hôïp 10 lít 400C.
Höôøng daõn :
Ta coù heä pt : 
Vaäy caàn 2,5 lít nöôùc soâi vaø 75 lít nöôùc 200C.
Bµi 14 : Khi theâm 200g axít vaøo dung dòch axít thì dung dòch môùi coù noàng ñoä 50%. Laïi theâm 300g nöôùc vaøo dung dòch môùi ñöôïc dung dòch axít coù noàng ñoä 40%. Tính noàng ñoä axít trong dung dòch ban ñaàu. 
Höôøng daõn :Goïi x khoái axit ban ñaàu, y laø khoái löôïng dung dòch ban ñaàu.
Theo baøi ra ta coù heä pt : 
Vaäy noàng ñoä phaàn traêm cuûa dung dòch axít ban ñaàu laø 40%.
Chuyªn ®Ò iV: Ph­¬ng tr×nh bËc hai
®Þnh lý viet vµ øng dông
A.Kiến thức cần ghi nhớ
1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp
a)Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một nghiệm duy nhất
 - hoặc vô nghiệm
 - hoặc vô số nghiệm
b)Nếu a 0 
Lập biệt số = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac
* < 0 (/ < 0 ) thì phương trình (1) vô nghiệm
* = 0 (/ = 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = - 
 (hoặc x1,2 = -)
* > 0 (/ > 0 ) : phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
 x1 = ; x2 = 
 (hoặc x1 = ; x2 = )
2. Định lý Viét.
 Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì 
 S = x1 + x2 = - 
 p = x1x2 = 
Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu cã ) cña ph­¬ng tr×nh bËc 2:
 x2 – S x + p = 0 
3. DÊu cña nghiÖm sè cña ph­¬ng tr×nh bËc hai.
Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gäi x1 ,x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh .Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau:
 x1 vµ x2 tr¸i dÊu( x1 < 0 < x2 ) p < 0 
 Hai nghiÖm cïng d­¬ng( x1 > 0 vµ x2 > 0 ) 
 Hai nghiÖm cïng ©m (x1 < 0 vµ x2 < 0) 
 Mét nghiÖm b»ng 0 vµ 1 nghiÖm d­¬ng( x2 > x1 = 0) 
 Mét nghiÖm b»ng 0 vµ 1 nghiÖm ©m (x1 < x2 = 0) 
4. Vµi bµi to¸n øng dông ®Þnh lý ViÐt
a)TÝnh nhÈm nghiÖm.
XÐt ph­¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) 
NÕu a + b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 = 
NÕu a – b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = - 
NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
x1 = m , x2 = n hoÆc x1 = n , x2 = m
b) LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt hai nghiÖm x1 ,x2 cña nã
 C¸ch lµm : - LËp tæng S = x1 + x2 
 - LËp tÝch p = x1x2
 - Ph­¬ng tr×nh cÇn t×m lµ : x2 – S x + p = 0 
c)T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc 2 cã nghÖm x1 , x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tr­íc.(C¸c ®iÒu kiÖn cho tr­íc th­êng gÆp vµ c¸ch biÕn ®æi):
 	 *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p
 	*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p
*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp
*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22
*) = 
*) = 
*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
*) 
(Chó ý : c¸c gi¸ trÞ cña tham sè rót ra tõ ®iÒu kiÖn cho tr­íc ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn )
d)T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc hai cã mét nghiÖm x = x1 cho tr­íc .T×m nghiÖm thø 2
C¸ch gi¶i:
T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x= x1 cho tr­íc cã hai c¸ch lµm
+) C¸ch 1:- LËp ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc 2 ®· cho cã 2 nghiÖm:
 (hoÆc ) (*)
 - Thay x = x1 vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho ,t×m ®­îc gi¸ trÞ cña 
 tham sè
§èi chiÕu gi¸ trÞ võa t×m ®­îc cña tham sè víi ®iÒu kiÖn(*)
 ®Ó kÕt luËn
 +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn (hoÆc ) mµ ta thay lu«n 
 x = x1 vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho, t×m ®­îc gi¸ trÞ cña tham sè 
 - Sau ®ã thay gi¸ trÞ t×m ®­îc cña tham sè vµo ph­¬ng tr×nh vµ
 gi¶i ph­¬ng tr×nh 
Chó ý : NÕu sau khi thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho mµ ph­¬ng tr×nh bËc hai nµy cã < 0 th× kÕt luËn kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 cho tr­íc.
§ª t×m nghiÖm thø 2 ta cã 3 c¸ch lµm
+) C¸ch 1: Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo ph­¬ng tr×nh råi gi¶i ph­¬ng tr×nh (nh­ c¸ch 2 tr×nh bÇy ë trªn)
+) C¸ch 2 :Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo c«ng thøc tæng 2 nghiÖm sÏ t×m ®­îc nghiÖm thø 2
+) C¸ch 3: thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo c«ng thøc tÝch hai nghiÖm ,tõ ®ã t×m ®­îc nghiÖm thø 2
B . Bµi tËp ¸p dông
 Bµi 1: Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0
Gi¶i.
Ta cã = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9
+ NÕu > 0 m2 – 9 > 0 m 3 .Ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm ph©n biÖt:
x1 = m + 1 - x2 = m + 1 + 
+ NÕu = 0 m = 3
Víi m =3 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1.2 = 4
Víi m = -3 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1.2 = -2
 + NÕu < 0 -3 < m < 3 th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm
KÕt kuËn:
Víi m = 3 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 4
Víi m = - 3 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = -2
Víi m 3 th× ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
 x1 = m + 1 - x2 = m + 1 + 
Víi -3< m < 3 th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm
Bµi 2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0
H­íng dÉn
NÕu m – 3 = 0 m = 3 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã d¹ng
 - 6x – 3 = 0 x = - 
* NÕu m – 3 0 m 3 .Ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai cã biÖt sè = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18
- NÕu = 0 9m – 18 = 0 m = 2 .ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
 x1 = x2 = - = - 2
- NÕu > 0 m >2 .Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
 x1,2 = 
- NÕu < 0 m < 2 .Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm
KÕt luËn:
Víi m = 3 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = - 
Víi m = 2 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = x2 = -2
Víi m > 2 vµ m 3 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1,2 = 
Víi m < 2 ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm
Bµi 3: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt 
2x2 + 2007x – 2009 = 0 
17x2 + 221x + 204 = 0
x2 + ()x - = 0 
x2 –(3 - 2)x - 6 = 0
Gi¶i
2x2 + 2007x – 2009 = 0 cã a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0 
VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = 1 , x2 = 
17x2 + 221x + 204 = 0 cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0
VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = -1 , 
 x2 = - = - 12
c) x2 + ()x - = 0 cã: ac = - < 0 .
Do ®ã ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 .¸p dông hÖ thøc Viet ta cã :
 x1 + x2 = -() = - + 
 x1x2 = - = (- )
VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ x1 = - , x2= 
 (hoÆc x1 = , x2 = - )
 d ) x2 –(3 - 2)x - 6 = 0 cã : ac = - 6 < 0 
Do ®ã ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 .¸p dông hÖ thøc ViÐt ,ta cã 
VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 = 3 , x2 = - 2
Bµi 4 : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau b»ng c¸nh nhÈm nhanh nhÊt (m lµ tham sè)
x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0
(m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0
H­íng dÉn :
x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 cã a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0 
Suy ra : x1 = 2
 HoÆc x2 = 
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*)
* m- 3 = 0 m = 3 (*) trë thµnh – 4x – 4 = 0 x = - 1
* m – 3 0 m 3 (*) 
Bµi 5: Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghÞªm cña ph­¬ng tr×nh : x2 – 3x – 7 = 0 
a) TÝnh: 
 A = x12 + x22 B = 
 C= D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
lËp ph­¬ng tr×nh bËc 2 cã c¸c nghiÖm lµ vµ 
Gi¶i ;
Ph­¬ng tr×nh b©c hai x2 – 3x – 7 = 0 cã tÝch ac = - 7 < 0 , suy ra ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 .
Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7
a)Ta cã 
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23
+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = = 
+ C = = 
+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 
 = 10x1x2 + 3 (x12 + x22) 
 = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta cã :
S = (theo c©u a)
p = 
VËy vµ lµ nghiÖm cña h­¬ng tr×nh :
 X2 – SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0
Bµi 6 : Cho ph­¬ng tr×nh :
 x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k lµ tham sè)
1. Chøng minh ph­¬ng tr×nh (1 ) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k
2. T×m nh÷ng gi¸ trÞ cña k ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu
3. Gäi x1 , x2 lµ nghÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) .T×m k ®Ó : x13 + x23 > 0
Gi¶i.
1. Ph­¬ng tr×nh (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai cã:
 = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 - k + )
 = 5(k2 – 2.k + + ) = 5(k - ) + > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña k. VËy ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt
Ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu p < 0 
 - k2 + k – 2 < 0 - ( k2 – 2.k + + ) < 0
 -(k - )2 - < 0 lu«n ®óng víi mäi k.VËy ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©