Chuyên đề Thiết diện

Chuyên đề Thiết diện Nguyễn Đăng Tuấn 
Một số phương pháp dựng thiết diện 
I. Thiết diện qua ba điểm cho trước 
1. Phương pháp giải (dùng giao tuyến gốc) 
Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến của (P) với môṭ mặt của T (thường được 
gọi là giao tuyến gốc). Trên mặt phẳng này của T ta tìm thêm giao điểm của giao tuyến 
gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm chung. Lặp lại quá trình này với các 
mặt khác của T cho tới khi tìm được thiết diện. 
2. Ví dụ 
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD, AB > CD). Gọi I, J là 
trung điểm SB, SC. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (AIJ). 
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các điểm M, N nằm trong các đoạn thẳng AD, 
AB. Dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (MNC’). 
Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấy ngay, thì để dựng nó thường 
phải giải bài toán phụ: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng. 
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trong các tam giác 
DAB, DBC, ABC. Dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP). 
Ví dụ 4*: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Gọi M, N là trọng tâm các tam giác 
SAB và SAD; E là trung điểm CB. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt 
phẳng (MNE). 
BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành, gọi M,N,P theo thứ tự là trung 
điểm của SA, BC, CD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP) 
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD với AD không song song với CB. Gọi M, N là 
trung điểm của SB và SC. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN) 
Chuyên đề Thiết diện Nguyễn Đăng Tuấn 
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD ba điểm A’; B’; D’ nằm trên ba cạnh SA ; SB ; SD. 
Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’D’) 
Bài 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đường 
thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm thiết diện của tứ diện 
ABCD với mặt phẳng (HKM). 
Bài 5: Cho hình chóp SABCD trên SA, SB lấy hai điểm M, N sao cho SM= 2MA , NB = 
2SN và trên trung điểm DC lấy điểm Q. Xác định thiết diện tạo bời hình chóp và mặt 
phẳng (MNQ) 
 Bài 6: Cho hình chóp SABCD , M là điểm trên BC, N là điểm trên SD xác định thiết diện 
của hình chóp với mặt phẳng (BMN) 
Bài 7: Cho hình chóp SABCD AD không song song với BC. Gọi trung điểm SC là M , 
trên SB lấy điểm N sao cho 3SN = 2NB. Xác định thiết diện với hình chóp SABC cắt bởi 
mặt phẳng (DMN). 
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD . M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung 
điểm của AB và AD. Tìm thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) 
Bài 9: Cho tứ diện ABCD gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên BC sao cho BN = 
2NC, K là trọng tâm của tam giác ACD. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng 
(MNK). 
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD có AB không song song với CD . Trên SA 
lấy điểm M, SB lấy điểm N sao cho MN//AB. Gọi O là điểm bất kỳ nằm trong tam giác 
SCD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNO) 
Chuyên đề Thiết diện Nguyễn Đăng Tuấn 
II. Mặt phẳng (P) được cho bởi các tính chất song song 
1. Mặt phẳng (P) đi qua d và song song với đường thẳng d, chéo nhau với đường thẳng 
l. 
1. Phương pháp 
Trên (P) mới có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’ cắt d và d’ 
// l. 
Cách dựng: Ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao điểm A của d và (Q) 
dựng được ngay. Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A và d’ // d khi đó (P) xác định bởi 
hai đường thẳng cắt nhau d và d’. 
 2. Ví dụ 
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, H là điểm thuộc cạnh 
SC. Dựng thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) chứa AH và song song với BD. 
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh CD không 
trùng với C và D. Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với BC. 
a. Hãy xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P). 
b. Xác định vị trí N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành. 
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện, E là điểm thuộc cạnh BC. Hãy dựng 
thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua EG và song song với AD. 
Chuyên đề Thiết diện Nguyễn Đăng Tuấn 
2. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M song song với hai đường thẳng chéo nhau d và l. 
1. Phương pháp 
Ta xét 2 mặt phẳng (M, d) và (M, l) mỗi mặt phẳng này chứa một đường 
thẳng qua M song song với d và l. Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa hai đường 
thẳng vừa dựng. 
 2. Ví dụ 
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trọng tâm tam 
giác SBD. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M song song với SB. 
AC. 
Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M là điểm thuộc AD. Dựng thiết diện của 
hình hộp cắt bởi (P) qua M song song với BD và AC’. 
3. Mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q). 
1. Phương pháp 
 Dựa vào tính chất: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì 
phải cắt mặt phẳng còn lại và giao tuyến của chúng song song. 
 Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) là a 
Khi đó (P)  (R) = a’,a’ // a. a’ qua M. 
Ta tìm thêm giao điểm của a’ với các cạnh của đa giác trong (R). 
Tiếp tục quá trình với các giao điểm mới cho tới khi dựng được thiết diện. 
 2. Ví dụ 
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD). Điểm M thuộc cạnh 
BC không trùng với B và C. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M 
và song song với mặt phẳng (SAB). Thiết diện là hình gì? 
Chuyên đề Thiết diện Nguyễn Đăng Tuấn 
Ví dụ 7: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Điểm M thuộc cạnh AD, N thuộc cạnh D’C’ 
sao cho : ’ : ’AM MD D N NC . Dựng thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (P) qua 
MN và song song với mp(C’BD). 
BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD . M và N là hai điểm trên AB và CD,  là mặt phẳng qua 
MN và song song với SA. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng . 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD . M và N là hai điểm bất kỳ trên SB và CD,  là mặt 
phẳng qua MN và song song với SC. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (). 
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Đoạn IJ nối trung điểm I của AB và trung 
điểm J của CD. Giả sử AB  CD , mp() qua diểm M trên IJ và song song với AB và CD. 
Xác định thiết diện của ABCD với mặt phẳng (). Thiết diện là hình gì ? 
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của 
SB. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng () trong hai trường 
hợp sau. 
a) () qua M và song song với SO và AD. 
b) () qua O và song song với AM và SC 
Bài 5: Cho hình chóp SABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Trên 
đoạn BM lấy điểm H, mặt phẳng (P) qua H và song song với CM và BN cắt hình chóp 
theo một thiết diện . Tìm thiết diện đó. 
Bài 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi H là giao điểm các 
đường chéo của đáy. I là điểm trên đoạn AH. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) đi qua I 
và song song với các đường thẳng SA và BD cắt hình chóp. 
Chuyên đề Thiết diện Nguyễn Đăng Tuấn 
Bài 7: Cho hình chóp SABC gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC; E là điểm tuỳ 
ý trên AB. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng () đi qua E và song song với các đường AM 
và BN cắt hình chóp. 
Bài 8: Cho hình chóp SABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm cạnh 
SB. Trên đoạn thẳng SM lấy điểm E. Mặt phẳng () đi qua E và song song với các đường 
thẳng AM, SG. Tìm thiết diện tạo bởi mp() cắt hình chóp. 
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H là giao điểm của hai 
đường chéo đáy. Tìm thiết diện tạo bởi mp(P) đi qua H, song song với AB và SC cắt hình 
chóp 
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi G là trọng tâm tam 
giác SBC, M là điểm trên đoạn AC. Mặt phẳng P đi qua M song song với các đường thẳng 
AG và BD cắt hình chóp theo một thiết diện. Tìm thiết diện đó. 
Bài 11: Cho hình chóp SABC . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SC. 
Trên đoạn AM ta lấy điểm H. Mặt phẳng (P) đi qua H song song với CM và BN cắt hình 
chóp theo một thiết diện. Hãy tìm thiết diện đó. 
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD đáu ABCD là hình bình hành. Gọi H là giao điểm các 
đường chéo đáy. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua H và song song với mặt phẳng 
(SAB) cắt hình chóp. 
Bài 13: Cho tứ diện ABCD gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD , E là điểm 
chia BC theo tỉ số BE:EC = 2 : 1. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm H. Tìm thiết diện tạo bởi 
mặt phẳng đi qua H và song song với mặt phẳng (MNE) cắt tứ diện đã cho. 
Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M, N, E lần lượt là 
trung điểm các cạnh AB, AD, SC. Trên đoạn AM lấy điểm K . Xác định thiết diện tạo bởi 
mặt phẳng đi qua K song song với (MNE) cắt hìh chóp. 
Chuyên đề Thiết diện Nguyễn Đăng Tuấn 
Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung 
điểm các cạnh AB, AD. Trên đoạn AC lấy điểm K . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi 
qua K song song với mp(AMN) cắt hình chóp. 
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm SC, 
H là giao điểm các đường chéo đáy hình chóp. Trên đoạn AH lấy điểm M . Tìm thiết diện 
tạo bởi mặt phẳng đi qua M song song với mp(BDE) cắt hình chóp. 
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của SC , M 
là một điểm di dộng trên cạnh SA , () là mặt phẳng luôn đi qua C’M và song song với 
BC. Xác định thiết diện mà () cắt hình chóp S.ABCD . Khi nào thiết diện là hình bình 
hành ? 
Chuyên đề Thiết diện Nguyễn Đăng Tuấn 
Dạng toán : Tìm thiết diện 
Bài 1 : 
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với hai đường thẳng AB và CD cắt nhau. Gọi A’ là một 
điểm nằm giữa hai điểm S và A. Hãy tìm các giao tuyến của mp(A’CD), (SAB), (SBC), 
(SCD), (SDA). 
Bài 2 
Cho hình bình hành ABCD nằm trong mp(P) và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). 
Gọi M là điểm nằm giữa S và A ; N là điểm nằm giữa S và B; Giao điểm của hai đường 
thẳng AC và BD là O. 
a) Tìm giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO. 
b) Xác định giao tuyến của của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN). 
Bài 3 
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Ba điểm A’ , B’, C’ lần lượt nằm trên 3 cạnh SA, SB, SC 
nhưng không trùng với S, A, B, C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt 
phẳng (A’B’C’). 
Bài 4 
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD. 
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC). 
b) Tìm giao tuyến của đường thẳng BM và mp(SAC). 
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (ABM). 
Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. 
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). 
b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MBC) trong đó M là 
là một điểm nằm giữa hai điểm S và A. 
Bài 6 Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB ( M khác A và B). Giả sử 
(P) là mặt phẳng qua M song song với các đường thẳng AC và BD. Hãy xác định thiết 
diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì. 
Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi, O là giao điểm của hai đường chéo 
AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua O, song song 
với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì? 
Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp 
khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA. 
Bài 9 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của cạnh A’B’. 
a) CMR đường thẳng CB’ song song với mp(AHC’) 
b) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC). Chứng minh rằng d song 
song với mp(BB’C’C). 
c) Xác định thiết diện của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ khi cắt bởi mặt phẳng (H, d) 
Bài 10 Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BC và BD ; E là một 
điểm thuộc cạnh AD khác với A và D. 
a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(ỊE). 
Chuyên đề Thiết diện Nguyễn Đăng Tuấn 
b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành. 
c) Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên cạnh AD để thiết diện là hình 
thoi. 
Bài 11 Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi 
mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau : 
a) Mp (P) đi qua trọng tâm G của tứ diện, qua điểm E thuộc BC và song song với AD. 
b) Đi qua trọng tâm của tứ diện và song song với BC và AD. 
Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt 
tại A’, B’, C’, D’. 
a) Tìm điều kiện của mặt phẳng (P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình thang. 
b) Tìm điều kiện của mặt phẳng (P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành. 
Dạng toán : CM 3 điểm thẳng hàng; CM 3 đường thẳng đồng quy 
Bài 13 Cho hình chóp S.ABC. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại 
A’, B’ , C’ sao cho B’C’ cắt BC tại điểm D, C’A’ cắt CA tại điểm E, A’B’ cắt AB tại 
điểm F. Chứng minh 3 điểm D, E, F thẳng hàng. 
Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là một điểm trên cạnh AD và K là một điểm trên 
cạnh SB. 
a) Tìm các giao điểm E, F của IK và DK với mp(SAC). 
b) Gọi O AD BC ; M SC OK.   CMR bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng. 
Bài 15 Chotứ diện ABCD. Gọi E,F, G là 3 điểm lần lượt nằm trên 3 cạnh AB,AC, BD sao 
cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. CMR : CD, IG, HF đồng quy. 
Bài 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Một mp(P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt 
tại A’, B’, C’, D’. CMR các đường thẳng A’C’, B’D’ và SO đồng quy với O là giao điểm 
của hai đường chéo AC và BD của đáy. 
Bài 17 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn 
thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD. CMR 3 đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung 
điểm G của mỗi đoạn. Điểm G đó là trọng tâm của tứ diện ABCD đã cho. 
Dạng toán : CM đường thẳng song song với dường thẳng, đường thẳng song song với 
mặt phẳng, hai mặt phẳng song song. 
Bài 18 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC. CMR : MN 
song song với CD. 
Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy lớn là AB. Gọi 
M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. 
a) CM : MN // CD 
b) Gọi P là giao điểm của SC và mặt phẳng (ADN). Hai đường thẳng AN và DP cắt nhau 
tại I. CM SI // AB và SA // IB. 
Bài 20 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB nhưng không nằm 
trong một mặt phẳng. 
Chuyên đề Thiết diện Nguyễn Đăng Tuấn 
a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF . CM: OO’ song song với các mặt 
phẳng (ADF) và (BCE) 
b) Gọi M và N lần lượt là trong tâm các tam giác ABD và ABE. CM : MN song song với 
mặt phẳng (CEF). 
Bài 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là 
trung điểm của các cạnh AB, CD. 
a) Cm : MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD) 
b)Gọi P là trung điểm của SA. Cm : SB và SC đều song song với mặt phẳng (MNP) 
c) Gọi G1 ; G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và SBC. CM : G1G2 song song 
với mặt phẳng (SAB).