Chuyên đề Số phức - Chủ đề 2: Biểu diễn hình học các số phức

 Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học các số phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 1 
 Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học các số phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 2 
CHỦ ĐỀ 2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CÁC SỐ PHỨC 
Phương pháp 
 Trong mặt phẳng phức, số phức   z x yi, (x,y ) được biểu diễn bằng : 
 Điểm  M x;y , kí hiệu  M z 
 Vectơ  OM x; y 
 Vectơ u (x;y) 
 Biểu diễn hình học của z, z, z 
 M z và  M z đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. 
 M z và M(z) đối xứng với nhau qua trục Ox. 
 Biểu diễn hình học của    ' 'z z ,z z ,kz k 
Gọi M, u lần lượt biểu diễn số phức z; 'M ,v biểu biểu diễn số phức z’. Ta có: 
OM OM' và u v biểu diễn số phức z z’ ; 
 OM OM' M'M và u v biểu diễn số phức z z’ ; 
kOM, ku biểu diễn số phức kz. 
 Với M, A, B lần lượt biểu diễn số phức z, a, b thì : 
  OM z ;AB b a . 
I. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG 
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng biểu diễn các số phức a,b,c. 
Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC và D là điểm đối xứng của A qua G. Các 
điểm M,G,D lần lượt biểu diễn các số phức m,g,d. 
a) Tính các số phức m, g, d theo a, b, c. 
b) Nếu thêm giả thiết  a b c , chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu và chỉ nếu 
  a b c 0. 
Giải 
a) M là trung điểm của AB         1 1OM OA OB m a b .
2 2
G là trọng tâm của tam giác ABC    1 1OG OA OB OC g a b c .
3 3
        
D là điểm đối xứng của A qua G  G là trung điểm của AD 
 
  
     
    
   
2OG OA OD
2g a d d 2g a
1
d 2. a b c a
3
2 2 2
d b c a.
3 3 3
b) Giả thiết      a b c OA OB OC O là tâm đường 
D
G
M
C
A
B
 Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học các số phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 3 
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Như vậy tam giác ABC là tam giác 
đều       O G g 0 a b c 0. 
Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD. Ba đỉnh A, B ,C lần lượt biểu diễn các số phức 
      a 2 2i,b 1 i,c 5 mi  m R . 
a) Tìm số phức d (biểu diễn điểm D); 
b) Định m sao cho ABCD là hình chữ nhật. 
Giải 
a) ABCD là hình bình hành 
 
 
     
   
       
   
CD BA d c a b
d a c b
d 2 2i 5 mi 1 i
d 8 m 3 i.
b) ABCD là hình chữ nhật 
     AC BD c a d b 
     
       
              
           
         
 
2 2 2 22 2
2 2
5 mi 2 2i 8 m 3 i 1 i 3 m 2 i 9 m 4 i
3 m 2 i 9 m 4 i 3 m 2 9 m 4
9 m 4m 4 81 m 8m 16 12m 84
m 7.
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm M, A, B lần lượt biểu diễn các số phức : 
z, 
 
 
 
 
3 i 3
z
3
 và 
i
z.
3
Chứng minh rằng: 
a)  z C, tam giác OMA vuông tại M; 
b)  z C, tam giác MAB là tam giác vuông; 
c)  z C, tứ giác OMAB là hình chữ nhật. 
Giải 
a) Đặt 
 
  
 
 
3 i 3
a z
3
và 
i
b z.
3
Ta có: OM z 

      
 
       
 
3 i 3 1 1 2
OA a z 1 i z 1 z z
3 33 3
i i 1
MA a z 1 z z z z .
3 3 3
Nhận thấy: 
2 2 22 2 21 4OM MA z z z OA , z .
3 3
       
Vậy tam giác OMA vuông tại M. 
b) Ta có: 
C
A
D
B
 Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học các số phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 4 
 
       
 
i i 1
MA a z 1 z z z z
3 3 3
        
 
      
 
i i 1 2
MB b z z z 1 z z 1 z
33 3 3
i i
AB b a z 1 z z .
3 3
Ta thấy 
 
      
 
2
2 2 22 2 21 1MA AB z z z z MB
33
 đúng z .  
Vậy tam giác MAB vuông tại A với mọi  z C. 
b) Xét tam giác MOB, ta có: 
   
zi
OB b z ;OM z
3 3
 và   
2
MB b z z .
3
Suy ra:    
2
22 2 24 zOM OB z MB .
3
Vậy tam giác MOB vuông tại O với mọi  z C. 
Tứ giác OMAB có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật. 
Lưu ý: 
 Ở trên ta sử dụng tính chất 1 2 1 2z z z z . 
 Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật 
Ví dụ 4. Gọi A, B, C là ba điểm lần lượt biểu diễn các số phức        a 1 i, b i, c 1 ki, k . 
a) Định k để ba điểm A, B, C thẳng hàng; 
b) Xét hàm số    2w f z z . Đặt        a' f a ,b' f b ,c' f c . Tính a’, b’,c’ 
c) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức a’, b’, c’. Định k để A’, B’, C’ là ba 
điểm thẳng hàng; 
d) Nếu u,v lần lượt biểu diễn các số phức z, z’. Chứng minh rằng  
z
u v
z'
là số ảo. 
Áp dụng: Tính k để tam giác A’B’C’ vuông tại A’. 
Giải 
a) Định hướng: Ba điểm A,B,C thẳng hàng  BA BC    a b c b     
a b a b
R
c b c b
 
  
 
là số thực. 
Như vậy, ta giải bài toán này như sau: 
Ta có: 
 
    
   
        
  
              
1 2i 1 k 1 ia b 1 i i 1 2i
c b 1 ki i 1 k 1 i 1 k 1 i 1 k 1 i
   
 
 
 
        
 
   
2 2
1 2i k 1 i 2 k 1 1 2k k 3 i
.
1 k 1 1 ki 1
M
B
A
O
 Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học các số phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 5 
Suy ra 


a b
c b
là số thực     k 3 0 k 3. 
b) Ta có 
     
 
   
          
    
      
2 22 2
2 2
22 2
a' f a a 1 i 1 i 1 i 2i 2i
b' f b b i 1
c' f c c 1 ki 1 k 2ki.
c) Định hướng : Trước hết ta cần tìm điều kiện để ba điểm A’,B’,C’ phân biệt  a',b',c' đôi một 
khác nhau (*). Để giải (*) ta dùng phương pháp “phần bù”. Kết hợp điều kiện ba điểm 
A’,B’,C’thẳng hàng    

       

c' b'
B'C' B'A', R c' b' a' b'
a' b'
là số thực. 
Từ đó ta có lời giải sau: 
Hiển nhiên a' b'. 
Ta có 
2
2 1 k 0a' c' 2i 1 k 2ki k 1
2k 2
  
       

Suy ra   a' c' k 1. 
Ta có 
2
2 1 1 kb' c' 1 1 k 2ki k
2k 0
  
        

. Vậy b' c'. 
Tóm lại 3 điểm A’,B’,C’ phân biệt  k 1. 
Ta có 
  
    
              
     
2
2
2 2
2 k 2ki 1 2ic' b' 2 k 2ki 1
2 k 4k 4 2k 2k i .
a' b' 1 2i 51 2i 1 2i
Suy ra 


c' b'
a' b'
là số 
thực             22k 2k 4 0 k 1,k 2 k 2 vì,k 1 . 
Vậy A’,B’,C’ là 3 điểm phân biệt thằng hàng  k 2. 
d) Đặt    z x iy,z' x' iy', và u,v lần lượt biểu diễn số phức z,z’   u x; y và  v x'; y' . 
Ta có 
  
  
     
  
   2 2
x iy x' iy' xx' yy' x'y y'x ix iyz
.
z' x' iy' x' iy' x' iy' x' y'
Như vậy 
z
z'
 là số ảo      xx' yy' 0 u.v 0 u v. 
Xem tam giác A’B’C’ ta có A'C' biểu diễn các số phức       2z c' a' 1 k 2k 2 ivà A'B' biểu 
diễn số phức 
         
  
   
    
           
     
         
  
22
2 2
z' b' a' 1 2i
1 k 2k 2 i 1 2i1 k 2k 2 iz
z' 1 2i 1 2i 1 2i
1
1 k 2 2k 2 2 2k 2k 2 i .
5
Theo chứng minh trên: tam giác A’B’C’ vuông tại A’   
z
A'C' A'B'
z'
là số ảo 
          2 21 k 4k 4 0 k 4k 3 0 k 1 (loại) và   k 3 k 3. 
 Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học các số phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 6 
Ví dụ 5. Cho số phức     z m m 3 i,m 
a) Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ hai  y x 
b) Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên Hyperbol  
2
y
x
c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ nhỏ nhất. 
Giải 
a) Gọi  M m;m 3 là điểm biểu diễn số phức  z m m 3 i   
M nằm trên đường thẳng
3
y x m 3 m m .
2
        
b) M nằm trên Hyperbol 
2 2
y m 3
x m
      
2
m 0 m 1
m 2m 3m 2 0
   
  
   
c) Ta có: 
 
2
22 2
min
3 9
OM m m 3 2m 6m 9 2 m
2 2
9 3
OM m
2 2
 
         
 
   
Ví dụ 6. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biễu diễn các số 
  

 
 
4i 2 6i
; 1 i 1 2i ;
i 1 3 i
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân. 
b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông. 
Giải 
a) Ta có 
 
  
 
    
 
4i 1 i4i
2 2i A 2; 2
i 1 1 i 1 i
1 i 1 2i 3 i B 3;1
2 6i
2i C 0;2 .
3 i
 
    
    
    

 

Nhận thấy: 
2 2 2
BA BC
ABC
AC AB BC
 

 
 vuông cân tại B. 
b) Gọi D là đỉnh thứ tư của hình vuông ABCD 
   D D BA CD 1; 3 x ;y 2 D( 1; 1).        
Vậy D biểu diễn số phức 1 i.  
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A điểm biểu diễn số 1, B điểm biểu 
diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z' 0 và B’ biểu diễn số phức zz'. Chứng minh 
rằng: Tam giác OAB và tam giác OA'B' đồng dạng. 
Giải 
 Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học các số phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 7 
Vì z không phải là số thực nên các điểm O, A, B theo thứ tự biểu diễn các số 0, 1, z là các đỉnh của 
tam giác. Với z' 0 , xét các điểm A’, B’ theo thứ tự biểu diễn các số z', zz' thì ta có: 
 
      
 
z' z 1z' zz' zz' z'OA' OB' A'B'
z' , z' , z'
OA 1 OB ABz z 1 z 1
Vậy tam giác OA’B’ đồng dạng với tam giác OAB. 
Lưu ý: Ở trên ta đã sử dụng các tính chất 
 1 2 1 2z z z z 
 Dựa vào định nghĩa tam giác đồng dạng 
OA' OB' A'B'
k
OA OB AB
   thì tam giác OA’B’ đồng dạng với tam giác OAB. 
Ví dụ 8. Biết A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số: 
    1 i, 1 i, 2i, 2 2i. 
a) Tìm các số 1 2 3 4z ,z ,z ,z theo thứ tự biểu diễn các vectơ AC,AD,BC,BD. 
b) Tính 31
2 4
zz
,
z z
 và từ đó suy ra A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tâm đường tròn biểu 
diễn số phức nào? 
Giải 
a) Ta có:           A 1;1 , B 1; 1 , C 0;2 , D 2; 2 
Lúc đó:             AC 1,1 , AD 3; 3 , BC 1,3 , BD 3, 1 
Do đó:        1 2 3 4z 1 i, z 3 3i, z 1 3i, z 3 i. 
b) Ta có: 

 

1
2
z 1 i 1
i
z 3 3i 3
 là một số ảo nên  AC. AD 0 hay AC AD (1) 

 

3
4
z 1 3i
i
z 3 i
 là số ảo nên  BC. BD 0 hayBC BD (2) 
Từ (1) và (2) suy ra A, B, C, D nội tiếp đường tròn đường kính CD. Do đó, tâm là trung điểm của 
CD nên nó biểu diễn số phức 
  

2i 2 2i
1
2
II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 
Câu 1. Gọi A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z khác 0 và 
1 i
z ' z
2

 . Lúc đó, 
tam giác OAB là tam giác gì 
A. Tam giác cân B. Tam giác đều 
C. Tam giác vuông D. Tam giác vuông cân 
Hướng dẫn giải 
Giả sử z x yi  thì ta có  A x;y . Vì z 0 nên 2 2x y 0  . 
 Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học các số phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 8 
Ta có   
1 i 1 x y x y
z ' z 1 i x yi i
2 2 2 2
  
      . 
Vậy B có tọa độ: 
x y x y
B ;
2 2
  
 
 
Ta lại có: 
2 2 2 2
2 2 2 2 x y x y x yOA x y ; OB
2 2 2
     
       
   
2 2 2 2 2 2
2 x y x y x y y x x yAB x y
2 2 2 2 2
           
             
       
Từ đó suy ra: 
2 2 2
OB AB
OA OB AB


 
. Vậy tam giác OAB vuông cân tại B. 
Vậy chọn đáp án D. 
Câu 2. Các điểm A, B, C và A’, B’, C’ tương ứng biểu diễn các số phức 1 2 3z ,z ,z và 
' ' '
1 2 3z ,z ,z ( 
trong đó A, B, C và A’, B’ , C’ không thẳng hàng). Hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm 
khi và chỉ khi 
A.     ' ' '1 2 3 1 2 3z z z z z z B. 
' ' '
1 2 3 1 2 3z z z z z z     
C. ' ' '1 2 3 1 2 3z z z z z z     D. 
2 2 2 2 '2 '2
1 2 3 1 2 3z z z z' z z     
Hướng dẫn giải 
Đặt 
  
     
      
     
1 1 1 1 1
1 2 3 1 2 3
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
z x y i A(x ; y )
x x x y y y
z x y i B(x ; y ) G ;
3 3
z x y i C(x ; y )
Trọng tâm: 1 2 3 1 2 3
x' x' x' y' y' y'
G' ;
3 3
    
 
 
Nếu 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
x x x x' x' x'
z z z z' z' z' G G'
y y y y' y' y'
     
       
    
Vậy hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm. 
Vậy chọn đáp án A. 
Câu 3. Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 
        4 3 3 i; 2 3 3 i; 1 3i; 3 i . Chọn khẳng định đúng 
A. ABCD là hình bình hành B. AD 2CB 
C. D là trọng tâm của tam giác ABC D. Tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn 
Hướng dẫn giải 
Ta có:         A 4,3 3 ; B 2,3 3 ; C 1,3 ; D 3;1 .
Ta xét các mệnh đề: 
 ABCD là hình bình hành AB DC  . Nhận thấy    AB 2;0 DC 2; 2     . 
Như vậy ta loại A 
 Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học các số phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 9 
    
22
AD 3 4 2 3 3,86     ;  
2
2CB 1 3 2   
AD 2CB . Như vậy ta loại B 
 Ta thấy: 
4 2 1 7
3
3 3
 
  
Suy ra: D không là trọng tâm của tam giác ABC 
Vậy chọn đáp án D. 
Lời bình: Để chứng minh D đúng ta chứng minh như 
sau: 
Đặt 
3
ACB thì CA.CB CA CB cos cos
2
     
Đặt
3
ADB thì DA.DB DA DB cos cos .
2
    
Vậy 030 ABCD    nội tiếp đường tròn 
Chú ý: Cho hai đường thẳng a,b có vectơ chỉ phương là a, b . Gọi  ; lần lượt là góc của hai 
vectơ a, b và hai đường thẳng a,b. Lúc đó:    
a.ba.b
cos ; cos ;
a . b a . b
Chú ý:     0 0 0 00 180 ; 0 90 
Câu 4. Cho ba điểm A ,B, C lần lượt biểu diễn các số phức    a 1,b 1 i và  2c b . 
Câu 4.1. Xác định  sao cho A,B,C là ba đỉnh của một tam giác 
A. 1  B. 1   C. 1   D. 0  
Câu 4. 2. Khi A, B, C là ba đỉnh của tam giác. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? 
A. Tam giác cân B. Tam giác đều 
C. Tam giác vuông D. Tam giác vuông cân 
Câu 4.3. Tìm số phức d biểu biễn bởi D sao cho ABCD là hình chữ nhật 
A. 2d 1 i.   B.    2d 1 i. C. 2d 1 i.    D. 2d 1 i.    
Hướng dẫn giải 
Câu 4.1. Ta có: 
 
 
 
        
         
         
2 2
2 2
b a 2 i AB 2;
c a 2 i AC ; 2
c b 2 3 i BC 2 ; 3
Điều kiện là A,B,C phân biệt và không thẳng hàng  0. 
Vậy chọn đáp án D. 
Câu 4. 2. Ta có:       2 2AB.AC 2 2 0 AB AC . Vậy tam giác ABC vuông. 
Vậy chọn đáp án C. 
Câu 4.3.    2d 1 i.Vậy chọn đáp án B 
β
α
A
B
C
D
 Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học các số phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 10 
Câu 5. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số 
phức 1 2 2z ,z ,z . Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào? 
A. 1 2 2z z z .  B. 1 2 2z z z   
C.  1 2 2
1
z z z
3
  D.  1 2 2
1
z z z
3
   
Hướng dẫn giải 
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi    1OG OA OB OC
3
Vì OA,OB,OC theo thứ tự biểu diễn 1 2 2z ,z ,z nên G biểu diễn số phức   1 2 3
1
z z z
3
Vậy chọn đáp án C. 
Câu 6. Xét ba điểm A, B,C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt 
1 2 2z ,z ,z thỏa mãn  1 2 3z z z . Ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi 
  1 2 3z z z 0. 
A. 1 2 3z z z  B. 1 2 3z z z 0   
C. 1 2 2 3 3 1z z z z z z 0   D. 
2 2 2
1 2 3z z z  
Hướng dẫn giải 
Ba điểm A, B, C theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt 1 2 2z ,z ,z thỏa mãn  1 2 3z z z nên 
ba điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm O (O là gốc tọa độ). Tam giác ABC là tam giác đều khi và 
chỉ khi trọng tâm G của nó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tức G O hay   1 2 3z z z 0. 
Câu 7. Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số phức 1 2z , z khác 0 thỏa 
mãn đẳng thức 2 21 2 1 2z z z z  . Tam giác OMN là tam giác gì? 
A. Tam giác cân B. Tam giác đều 
C. Tam giác vuông D. Tam giác vuông cân 
Hướng dẫn giải 
Ta có: 
 
 
 
22
2 1 2 12 1 2 12 2
1 2 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 1
z z z zz z z z
z z z z *
z z z z z z z z
    
    
     
Vì 1 2z ,z 0 nên 1 2z , z 0 
Từ (*) ta có: 
2 2
3 32 1
2 1 1 2 1 22 2
1 2
z z
z z z z z z
z z
       
Do đó 2 1 1 2z z z z   
Mà 1 2 2 1OM z ; ON z ; MN z z    
Vậy tam giác OMN đều. 
Vậy chọn đáp án B. 
Câu 8. Cho ba điểm A, B, C biểu diễn các số phức    2a 1 i,b a và    c x i, x . 
Tìm x sao cho 
Câu 8.1. Tam giác ABC vuông tại B 
 Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học các số phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 11 
A. x 1  B. x 2  C. x 3  D. x 5  
Câu 8.2. Tam giác ABC cân tại C 
A. x 7  B. x 2  C. x 3  D. x 5  
Hướng dẫn giải 
Câu 8.1. Ta có:    a 1 i A 1;1 
Mặt khác, theo đề thì        
22b a 1 i 2i B 0;2 
       c x i, x C x; 1 
Ta có:       AB 1;1 , BC x; 3 
Để tam giác ABC vuông tại B thì        AB BC AB.BC 0 x 3 0 x 3. 
Vậy chọn đáp án C. 
Câu 8.2. Tam giác ABC cân tại C nên    CA CB x 2. 
Vậy chọn đáp án B. 
Câu 9. Cho u,v là biểu diễn của hai số phức 1 3i và 3 2i . Gọi x là biểu diễn của số phức 6 4i . 
Hãy phân tích x qua u,v 
A. 
24 14
x u v
11 11
   B. 
24 14
x u v
11 11
  C. 
24 14
x u v
11 11
  D. 
24 14
x u v
11 11
   
Hướng dẫn giải 
Ta có        u 1;3 ,v 3;2 ,x 6;4 
Giả sử 

   
       
   

24
mm 3m 6 24 1411x m.u nv x u v
3m 2n 4 14 11 11
n
11
Vậy chọn đáp án C. 
Câu 10. Tìm các điểm biểu diễn của số phức z biết điểm biểu diễn của các số phức 2 3z,z ,z lập 
thành 
Câu 10.1.Tam giác vuông tại A 
A. Quỷ tích của z là đường thẳng  x 1. B. Quỷ tích của z là đường tròn 2 2x y 1  
C. Quỷ tích của z là đường elip
22 yx
1.
1 2
  D. Quỷ tích của z là Parabol 
21y x
2
 
Câu 10.2.Tam giác vuông tại B 
A. Quỷ tích của z là đường thẳng x 0. 
B. Quỷ tích của z là đường thẳng y 0 
C. Quỷ tích của z là đường thẳng x 0, trừ gốc tọa độ 
D. Quỷ tích của z là đường thẳng y 0, trừ gốc tọa độ 
Câu 10.3 Tam giác vuông tại C 
A. Quỷ tích của z là đường thẳng x 2 
 Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học các số phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 12 
B. Quỷ tích của z là đường thẳng y 1 
C. Quỷ tích của z là đường tròn 
 
   
 
2
21 1x y
2 4
D. Quỷ tích của z là hai đường thẳng y 0, x 0 
Hướng dẫn giải 
Đặt    z a bi a,b và gọi A,B,C là các điểm biểu diễn tương ứng của 2 3z,z ,z 
Vì A,B,C tạo thành một tam giác nên phải có: 2 3
z 0
z z z z 1
z 1
 

   
  
Khi đó      2 3 2 3AB z z ,BC z z ,AC z z . 
Câu 10.1. Tam giá ABC vuông tại A ta có  2 2 2AB AC BC 
           
2 2 2 2 2 22 22 3 3 2 2 2 2z z z z z z z z z z . z 1 z . z z 
Do A,B,C là ba điểm phân biệt nên từ đẳng thức trên ta có: 
              
2 2 2 2
1 z 1 z 2 z z z z z z 2 x 1. 
Trong trường hợp này quỷ tích của z là đường thẳng  x 1. 
Vậy chọn đáp án A. 
Lưu ý: Ta dể dàng chứng minh được     
2 2
z 1 z z z 1 
Câu 10.2. Tam giá ABC vuông tại B hay  2 2 2BA BC AC 
Tương tự như trên ta có quỷ tích của z là đường thẳng x 0 trừ gốc tọa độ. 
Vậy chọn đáp án C. 
Câu 10.3. Tam giác ABC vuông tại C hay  2 2 2CA CB AB 
Tương tự như trên ta có quỷ tích của z là đường tròn 
 
   
 
2
21 1x y
2 4
. 
Vậy chọn đáp án C. 
Câu 11. (Đề minh họa của bộ). Cho số phức z thỏa mãn 
(1 ) 3 .i z i   Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong 
các điểm M, N, P, Q ở hình bên ? 
A. Điểm P. B. Điểm Q. 
C. Điểm M. D. Điểm N. 
Hướng dẫn giải 
Gọi ( , )z x yi x y   Khi đó: (1 ) 3 ( 3) ( 1) 0i z i x y x y i          
 Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học các số phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Q