Chuyên đề Phương trình và bất phương trình

TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN HỌC PHỔ THÔNG 
______________________________________________________________ 
xyz
-------------------------------------------------------------------------------------------- 
CHUYÊN ĐỀ 
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) 
8 3 6D E F QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 
CHỦ ĐẠO: SỬ DỤNG HAI HAY NHIỀU ẨN PHỤ QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1 
 ĐẶT ẨN PHỤ QUY VỀ HỆ CƠ BẢN. 
 ĐẶT ẨN PHỤ QUY VỀ HỆ ĐỐI XỨNG – GẦN ĐỐI XỨNG. 
 BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI. 
CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK); XYZ1431988@GMAIL.COM (GMAIL) 
THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA THU 2013 
LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM 8 3 6D E F QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 
3 
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Trong chương trình Toán học phổ thông nước ta, cụ thể là chương trình Đại số, phương trình và bất phương 
trình là một nội dung quan trọng, phổ biến trên nhiều dạng toán xuyên suốt các cấp học, cũng là bộ phận thường 
thấy trong các kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi môn Toán các cấp và 
kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức hết sức phong phú, đa dạng. Mặc dù đây là một đề tài quen 
thuộc, chính thống nhưng không vì thế mà giảm đi phần thú vị, nhiều bài toán cơ bản tăng dần đến mức khó thậm 
chí rất khó, với các biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ năng vẫn làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT. 
Ngoài phương trình đại số bậc cao, phương trình phân thức hữu tỷ thì phương trình chứa căn (còn gọi là phương 
trình vô tỷ) đang được đông đảo các bạn học sinh, các thầy cô giáo và các chuyên gia Toán phổ thông quan tâm sâu 
sắc. Chương trình Toán Đại số lớp 9 THCS bước đầu giới thiệu các phép toán với căn thức, kể từ đó căn thức xuất 
hiện hầu hết trong các vấn đề đại số, hình học, lượng giác và xuyên suốt chương trình Toán THPT. Sự đa dạng về 
hình thức của lớp bài toán căn thức đặt ra yêu cầu cấp thiết là làm thế nào để đơn giản hóa, thực tế các phương pháp 
giải, kỹ năng, mẹo mực đã hình thành, đi vào hệ thống. Về cơ bản để làm việc với lớp phương trình, bất phương 
trình vô tỷ chúng ta ưu tiên khử hoặc giảm các căn thức phức tạp của bài toán. 
 Phép sử dụng ẩn phụ là một trong những phương pháp cơ bản nhằm mục đích đó, ngoài ra bài toán còn trở nên 
gọn gàng, sáng sủa và giúp chúng ta định hình hướng đi một cách ổn định nhất. Đôi khi đây cũng là phương pháp 
tối ưu cho nhiều bài toán cồng kềnh. Tiếp theo lý thuyết sử dụng ẩn phụ căn thức (các phần 1 đến 7), chủ đạo là 
dùng hai hoặc nhiều ẩn phụ đưa phương trình cho trước về hệ phương trình, bao gồm hệ cơ bản, hệ đối xứng và gần 
đối xứng, một trong những phương án hữu tỷ hóa phương trình chứa căn, giảm thiểu đại bộ phận sự cồng kềnh và 
sai sót trong tính toán. Kỹ năng này đồng hành cùng việc giải hệ phương trình hữu tỷ đồng bậc – đẳng cấp, hệ 
phương trình chứa căn quy về đẳng cấp, ngày một nâng cao kỹ năng giải phương trình – hệ phương trình cho các 
bạn học sinh. 
 Lý do tài liệu có sử dụng kiến thức về hệ phương trình nên đòi hỏi vốn một nền tảng nhất định của các bạn 
đọc, thiết nghĩ nó phù hợp với các bạn học sinh lớp 9 THCS ôn thi vào lớp 10 THPT đại trà, lớp 10 hệ THPT 
Chuyên, các bạn chuẩn bị bước vào các kỳ thi học sinh giỏi Toán các cấp và dự thi kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao 
đẳng môn Toán trên toàn quốc, cao hơn là tài liệu tham khảo dành cho các thầy cô giáo và các bạn trẻ yêu Toán 
khác. 
I. KIẾN THỨC – KỸ NĂNG CHUẨN BỊ 
1. Nắm vững các phép biến đổi đại số cơ bản (nhân, chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi 
phân thức đại số và căn thức). 
2. Kỹ năng biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, phân tích hằng đẳng thức, thêm bớt. 
3. Nắm vững lý thuyết bất phương trình, dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai. 
4. Nắm vững kiến thức về đa thức đồng bậc, các thao tác cơ bản với phương trình một ẩn phụ. 
5. Bước đầu thực hành giải và biện luận các bài toán phương trình bậc hai, bậc cao với tham số, giải hệ 
phương trình bằng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2; 
hệ phương trình đồng bậc; hệ phương trình đa ẩn. 
6. Sử dụng thành thạo các ký hiệu logic trong phạm vi toán phổ thông. 
 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM 8 3 6D E F QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 
4 
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC 
Bài toán 1. Giải phương trình  2 1 2x x x    . 
Lời giải. 
Điều kiện 
1
2
x  . 
Đặt   2 2 2 22 1 ; 0; 0 2 1 ; 2 1x a x b a b x a x b a b             . 
Mặt khác phương trình đã cho khi đó trở thành 2a b  . Ta có hệ phương trình 
2 2 2 2 2
2 2 2 1
12 1 4 4 2 1 4 5 0
a b a b a b a
ba b b b b b b
         
     
             
hoặc 
7
5
a
b


 
 (Loại). 
Với 
1 2 1 1
1
1 1
a x
x
b x
   
   
  
. Vậy Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1x  . 
Bài toán 2. Giải phương trình  2 3 2 2 1 1x x x     . 
Lời giải 1. 
Điều kiện 
2
3
x  . 
Đặt   2 2 2 23 2 ; 2 1 0; 0 3 2; 2 1 2 3 1x a x b a b a x b x a b               . 
Mặt khác phương trình đã cho tương đương với 2 1a b  . Ta có hệ phương trình 
 
  
   
2 22 2 2
2 12 1 2 1
2 3 4 4 1 12 3 1 10 12 2 0
2 1 1 3
; 1;1 , ;
1 5 1 0 5 5
b aa b b a
a a aa b a a
b a
a b
a a
     
   
          
   
         
Loại trường hợp  
1 3
; ;
5 5
a b
 
  
 
. Với 1 3 2 2 1 1 1a b x x x         . 
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. 
Lời giải 2. 
Điều kiện 
2
3
x  . Phương trình đã cho tương đương với 
2 2
2 3 2 2 1 1 12 8 2 2 2 1 5 4 2 1
4 4
15 5
25 40 16 2 1 25 42 17 0
x x x x x x x
x x
x
x x x x x
            
 
  
    
        
Đối chiếu điều kiện thu được nghiệm 1x  . 
Nhận xét. 
Bài toán 2 các bạn có thể giải đơn giản theo phương pháp biến đổi tương đương – nâng lũy thừa như lời giải 2. Với 
cách nhìn bài toán bằng con mắt "hệ phương trình", lời giải 1 cũng rất độc đáo và gọn gàng. Các bạn chú ý đặt ẩn 
phụ, tìm điều kiện cho các ẩn và so sánh với điều kiện xác định ban đầu để cho lời giải chính xác. 
Bài toán 3. Giải phương trình  3 1 3 1x x x x      . 
Lời giải. 
 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM 8 3 6D E F QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 
5 
Điều kiện 
1
3
x   . Đặt  3 1 ; 3 0; 0x a x b a b      suy ra 2 2 2 2a b x   . 
Mặt khác phương trình đã cho tương đương với 1a b x   . Ta có hệ phương trình 
        2 2
1
01 2 1 1 2 02 2
1 21 1
1
x
a bx a b x x a ba b x
a b x a ba b x a b x
a b x
 

                                  
  
 Xét 1x  là một nghiệm của phương trình đã cho. 
 Với 
2
1
2 5 2 7
2 1 2 3 1 1 3
1 5 2 712 4 2 1
xa b x
a x x x
a b x xx x x
      
          
         
Kết luận tập nghiệm của phương trình là  1;5 2 7;5 2 7S    . 
Bài toán 4. Giải phương trình  5 1 4 1x x x x     . 
Lời giải. 
Điều kiện 
1
5
x  . Đặt  5 1 ; 0; 0x a x b a b     thu được hệ phương trình 
  
2 2
2 24 1 1 0
14 1
a ba b x
a b a b a b a b
a ba b x
    
               
 Kết hợp 
2
1 1
4 1
2 4 5 1 2 5 1
1
4 5 1 0 4
x
xa b x
a x x x
a b x
x x
                    
 Xét 
1
5 1
4
a b x x x      . 
Đối chiếu với điều kiện ta có kết luận nghiệm 
1
;1
4
S
 
  
 
. 
Nhận xét. 
Hai bài toán 3 và 4 ngoài lời giải trên còn có thể giải bằng phép nhân lượng liên hợp – hệ tạm thời. Phần trình bày 
phía trên chính là đặc điểm của tên gọi "hệ tạm thời" phổ biến trên nhiều tài liệu tham khảo; tức là kết hợp phương 
trình hệ quả thu được và phương trình ban đầu, sử dụng phép thế – cộng đại số để làm giảm số lượng biểu thức, 
giảm thiểu cồng kềnh trong biến đổi. Đối với hai bài toán trên và các bài toán tương tự, giải bằng đẳng thức liên 
hợp hay hệ phương trình đều cùng chung một bản chất là làm xuất hiện nhân tử, chỉ khác nhau ở phép đặt ẩn phụ. 
Bài toán 5. Giải phương trình  2 25 3 5 2 5x x x x x       . 
Lời giải 1. 
Điều kiện 2 5 2x x  . Phương trình đã cho tương đương với 
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
5 2 5 5 2 5
5 3 5 5 2
5 3 5 2 25 10 5 2 5 2 2
1
5 2 2 5 6 0
6
x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x
x x x x
x
       
        
             

           
Thử lại thấy hai giá trị trên đều thỏa mãn phương trình đã cho. Kết luận nghiệm  6;1S   . 
 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM 8 3 6D E F QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 
6 
Lời giải 2. 
Điều kiện 2 5 2x x  . 
Đặt  2 25 3 ; 5 2 0; 0x x a x x b a b        ta thu được hệ phương trình 
 
2
2
2 2 2
5 5 3 5 3 9
5 6 0 6;1
1 25 5 2 4
a b a b a x x
x x x
a b ba b x x
          
            
        
. 
Thử lại thấy hai giá trị trên đều thỏa mãn phương trình đã cho. Kết luận nghiệm  6;1S   . 
 Lời giải 3. 
Điều kiện 2 5 2x x  . 
Nhận xét: 2 25 3 5 2x x x x x       nên phương trình đã cho tương đương với 
2 2
2 2
5
5 5 3 5 2 1
5 3 5 2
x x x x
x x x x
       
    
 (*) 
Kết hợp đẳng thức (*) và phương trình đã cho 2 25 3 5 2 5x x x x      thu được 
 2 2 2 22 5 3 6 5 3 3 5 3 9 5 6 0 6;1x x x x x x x x x                  . 
Thử lại thấy hai giá trị trên đều thỏa mãn phương trình đã cho. Kết luận nghiệm  6;1S   . 
Nhận xét. 
 Ba lời giải trên đều không thông qua điều kiện phức tạp mà sử dụng phép thử lại nghiệm. 
 Lời giải 1 sử dụng phép biến đổi tương đương và nâng lũy thừa hết sức thuần túy, mặc dù với hệ điều kiện 
hệ quả cũng không được "mượt mà". Bằng cách sử dụng phương châm "khoan thư sức dân, sâu gốc bền 
rễ", tạm thời chưa giải điều kiện chi tiết 2 5 2 5x x   ; tránh được việc đối chiếu nghiệm phức tạp. 
 Lời giải 2 sử dụng phép đặt hai ẩn phụ và hằng đẳng thức hiệu hai bình phương quen thuộc. 
 Lời giải 3 sử dụng đẳng thức liên hợp, với chú ý rằng  
A B
A B A B
A B

  

, và sử dụng hệ 
phương trình tạm thời thu được một phương trình cơ bản    f x g x , may mắn hơn khi  g x lại là một 
hằng số. Như đã trình bày ở trên, bản chất của hai lời giải 2 và 3 là một, duy chỉ có hình thức khác nhau. 
Bài toán 6. Giải phương trình  2 23 1 4 1x x x x x x       . 
Lời giải. 
Từ phương trình suy ra điều kiện có nghiệm là 0x  . 
Đặt  2 24 1 ; 3 1 0; 0x x a x x b a b        . Ta thu được hệ phương trình 
  2 2
2 2
1 0 1
a b x
a b a b a b a b a b
a b x
 
           
 
Kết hợp 2
2 2
1 7 2 10
2 1 2 4 1 1
1 34 16 4 2 1
xa b x
a x x x x x
a b x x x x
     
           
       
. 
So sánh với điều kiện 0x  , kết luận phương trình đã cho vô nghiệm. 
Bài toán 7. Giải phương trình  2 22 3 3 3x x x x x x       . 
Lời giải. 
Điều kiện 0 3x x    . 
Đặt  2 22 3 ; 3 0; 0x x a x x b a b       ta thu được hệ phương trình 
 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM 8 3 6D E F QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 
7 
  
2 2
2 23 1 0
13
a ba b x
a b a b a b a b
a ba b x
    
               
Xét hai trường hợp xảy ra 
 2 22 3 3 3a b x x x x x        (thỏa mãn điều kiện 0 3x x    ). 
 Kết hợp 
2
2
41 8 2 19 8 2 19
2 4 2 2 3 4 ;
3 3 33 16 4 0
xa b
a x x x x x
a b x x x
         
             
          
So sánh với điều kiện 0 3x x    ; kết luận nghiệm của phương trình 
8 2 19 8 2 19
;3;
3 3
S
     
  
  
. 
Bài toán 8. Giải phương trình  2 24 5 1 2 1 9 3x x x x x x        . 
Lời giải. 
Đặt  2 2 2 24 5 1 ; 2 1 0; 0 9 3x x a x x b a b a b x            . 
Ta thu được hệ phương trình 
  
2 2
2 29 3 1 0
19 3
a ba b x
a b a b a b a b
a ba b x
    
               
Xét hai trường hợp xảy ra 
 
1
9 3 0
3
a b x x       (Loại). 
 Kết hợp 
 
 
2 2 2
4 4
1
92 9 4 9
9 3
4 4 5 1 81 72 16 65 52 20 0
x xa b
a x
a b x
x x x x x x
       
       
           
. 
 Hệ điều kiện (*) vô nghiệm do phương trình 265 52 20 0x x   vô nghiệm. 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
Bài toán 9. Giải phương trình  1 10 2 5x x x x x        . 
Lời giải 1. 
Điều kiện 1x   . Phương trình đã cho tương đương với 
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 11 2 11 10 2 7 2 7 10
11 10 2 7 10
11 14 4 11 10 7 10 11 10 1
1 0 1
1
111 10 2 1
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x x
x x
x
xx x x x
        
      
              
     
     
      
So sánh với điều kiện 1x   thu được nghiệm  1S   . 
Lời giải 2. 
Điều kiện 1x   . 
Phương trình đã cho tương đương với 10 2 5 1x x x x       . 
Đặt  10 ; 2 0; 0x a x b a b      ta thu được hệ phương trình 
 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM 8 3 6D E F QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 
8 
 2 2 8 2 5 18
5 1 3 4 5
5 1
2 2 2 5 2 1
a b x xa b
x x a b x
a b x x
a b x x

        
       
          
. 
2
2
2 2
3 10 2 4 5 9 90 17 82 8 7 10
1
1 7 10 1
2 1 7 10
x x x x x x x
x
x x x x
x x x x
            

         
    
So sánh với điều kiện 1x   thu được nghiệm  1S   . 
Nhận xét. 
 Lời giải 1 bài toán 9 hoàn toàn sử dụng biến đổi tương đương và nâng lũy thừa cơ bản, xuất phát bởi đặc 
tính đặc biệt: Sau khi bình phương chỉ còn hai căn thức và hằng số, hơn nữa hệ số của 2x trong hai căn 
bằng nhau nên bậc tối đa của x sau khi bình phương là 2. 
 Lời giải 2 sử dụng hệ phương trình tạm thời, và không thoát khỏi đẳng thức liên hợp cơ bản 
   5 1 5 1 4x x x x       . 
 Về cơ bản, lời giải 2 trở nên khá phức tạp so với lời giải 1, tuy nhiên đổi lại sẽ mở ra hướng đi mới đối với 
nhiều bài toán khác. 
Bài toán 10. Giải phương trình  2 3 1 2x x x x      . 
Lời giải. 
Điều kiện 1x   . 
Đặt  2 3 ; 1 , 0; 0x a x b a b      ta có 2 2 2a b x   . 
Phương trình đã cho trở thành 2a b x   . Vậy ta thu được hệ phương trình 
  
  
2 2
2 2
12
a b a b x x
x a b x
a ba b x
     
           
 Dễ thấy 2x   không thỏa mãn phương trình ban đầu. 
 Kết hợp 1a b  và 2a b x   ta có 
2 2
3 3 1
2 3 2 2 3 3
38 12 6 9 2 3 0
x x x
a x x x
xx x x x x
       
                   
Đối chiếu điều kiện đi đến đáp số 3x  . 
Bài toán 11. Giải phương trình  3 1 1 2x x x x     . 
Lời giải. 
Điều kiện 
1
3
x   . 
Đặt  3 1 ; 1 , 0; 0x a x b a b      ta có 2 2 2a b x  . Phương trình đã cho trở thành 2a b x  . 
Ta thu được hệ 
  
   
2 2 2 02
2 2 1 0
12 2
a b a b x xa b x
x a b x x a b
a ba b x a b x
      
                 
 0x  thỏa mãn phương trình ban đầu. 
 
2
2 1 01
2 2 1 2 3 1 2 1
2 12 4 4 4 1
xa b
a x x x
a b x x x x
   
        
      
 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM 8 3 6D E F QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 
9 
2
2 1 0 4 2 7 4 2 7
;
4 44 8 3 0
x
x x
x x
   
   
  
. 
Đối chiếu điều kiện 
4 2 7 4 2 7
0; ;
4 4
x x x
 
   . 
Bài toán 12. Giải phương trình  6 1 2 5 1x x x x      . 
Lời giải. 
Điều kiện 
1
6
x   . 
Đặt  6 1 ; 2 , 0; 0x a x b a b      ta có ngay 2 2 5 1a b x   . Suy ra thu được hệ 
      
2 2 15 1
5 1 5 1 5 1 1 0 5
5 1
1
xa b x
x a b x x a b
a b x
a b

                   
o Rõ ràng 
1
5
x  thỏa mãn phương trình đề bài. 
o Kết hợp 1a b  và 
2
0 12 2 61
5 1 2 5 2 6 1 5
2525 24 4 0
x
a b x a x x x x
x x
 
          
  
. 
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm duy nhất 
12 2 61
25
x

 . 
Bài toán 13. Giải phương trình  3 3 1 5 1 5x x x x x        . 
Lời giải. 
Điều kiện 
1
5
5
x  . 
Đặt 2 2 2