Chuyên đề - Phương trình Mũ

 QUÁCH ĐĂNG THĂNG 
0 logbx aa b x b
>
= ⇔ = 
PHƯƠNG 
TRÌNH MŨ 
CHUYÊN ĐỀ 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ 
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ 
~1 
PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương. 
 I. Trọng tâm kiến thức: 
Bài tốn sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải phương trình 
mũ là bài tốn cơ bản của phương trình mũ. Dạng chính của phương pháp này là 
sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để biến đổi phương trình mũ về 
dạng cơ bản hoặc dạng cĩ cùng cơ số. 
Phương pháp: 
Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau 
Dạng 1: Phương trình ( ) ( )=f x g xa a 
+ Khi cơ số a là một hằng số thỏa mãn 0 1< ≠a thì 
( ) ( ) ( ) ( )= ⇔ =f x g xa a f x g x . 
+ Khi cơ số a là một hàm số của ẩn x thì 
( ) ( )
( ) ( )
1
0 1
= < ≠= ⇔  =
f x g x
a
aa a
f x g x
 hoặc ( ) ( ) ( )
0
1 0
> − − =   
a
a f x g x . 
Dạng 2: Phương trình ( ) =f xa b 
Cách giải: ( ) ( )
0 1, 0
log
= ⇔  =
f x
a
a b
a b f x b 
Đặc biệt: 
+ Khi 0=b hoặc 0<b thì kết luận ngay phương trình vơ nghiệm. 
+ Khi 1=b ta viết 0=b a . Suy ra phương trình 
( ) ( ) ( )0 0= ⇔ = ⇔ =f x f xa b a a f x . 
+ Khi 1≠b mà b cĩ thể biểu diễn thành = cb a . Suy ra phương trình 
( ) ( ) ( )= ⇔ = ⇔ =f x f x ca b a a f x c . 
Tuy nhiên cĩ nhiều trường hợp với phương trình ( ) ( )=f x g xa b ta cần chọn 
phần tử trung gian c để biến đổi phương trình về dạng 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⇔ = ⇔ =f x g x f x g xc c c c f x g xα βα β α β 
Chú ý: Trước khi biến đổi phương trình chúng ta phải tìm điều kiện để ( )f x và 
( )g x cĩ nghĩa. 
II. Bài tập chọn lọc, điển hình: 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ 
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ 
~2 
Bài 1: Giải các phương trình sau: 
a) 
2 1
1 24.9 3.2
+
−
=
x
x
. 
b) 1 2 4 37.3 5 3 5+ + + +− = −x x x x . 
c) 2 35 125− =x x . 
d) ( ) 74 3 45 4 3[ 27 ] 3− + =x x x x . 
Hướng dẫn giải 
a) Ta cĩ ( ) ( )
2 1
2 22 1 2 1
1 2 22
234.9 3.2 4.3 3. 2
3 4
+
−+ +
− −= ⇔ = ⇔ =
x
xx x
x x
( )
( ) ( )
2 1
2 3
2 3 2 3
4
2
3 3 2
2
+
−
− −⇔ = ⇔ =
x
x
x x 2 33 3( ) 1 2 3 0
22
−⇔ = ⇔ − = ⇔ =x x x . 
Vậy phương trình cĩ nghiệm 3
2
=x . 
b) Ta cĩ 1 2 4 3 1 1 1 17.3 5 3 5 7.3 5.5 27.3 25.5+ + + + + + + +− = − ⇔ − = −x x x x x x x x 
1
1 1 1 1 320.5 20.3 3 5 1 1 0 1
5
+
+ + + +  ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = −  
x
x x x x x x . 
Vậy phương trình cĩ nghiệp 1= −x . 
c) Ta cĩ 
2 3 2 3 3
03 0
335 125 5 5 2 3 3 2 3 3
532 3 3
5
− −
≥≥   = −= ⇔ = ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇔ =− =  − = − = 
x xx x
x
x
x
x x xx x
x x x
Vậy phương trình cĩ hai nghiệm 3
5
=x . 
d) 
Điều kiện: 0≥x . 
( ) ( ) ( )
22
.
7 7 74 3 4 3 4 3 4 34 4 45 5 54 3[ 27 ] 3 27 3 27 3
      − − + −     +             = ⇔ = ⇔ =
x x x x x x x xx x
( ) 2 2 23 3 16 7.7 216 3 45 5 48 4 3 3 16 727 3 3 3 . 3 16 1405 48 4
−
− −
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − =
x x x x x x
x x 
( )
( )
2
14 loai
33 16 140 0
10 /
 = −⇔ − − = ⇔  =
x
x x
x t m
. 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ 
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ 
~3 
Vậy phương trình cĩ nghiệm x=10. 
Bài 2: Giải các phương trình sau: 
a) 2 4 57 49− + =x x x . 
b) 3 2 22 2 38 4− + + +=x x x x . 
c) 2 8 1 32 4− + −=x x x . 
d) 1 2 3 43 3 3 3 750+ − − −+ − + =x x x x . 
Hướng dẫn giải 
a) Ta cĩ 
2 24 5 4 5 2 2 2 27 49 7 7 4 5 2 6 5 0
3
− + − +
== ⇔ = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔  =
x x x x x x
x
x x x x x
x
. 
Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm x = 2, x = 3. 
b) Ta cĩ 
( ) ( ) ( ) ( )3 2 23 2 2 3 2 2 2 32 2 3 3 2 28 4 2 2 3 2 2 2 3− + + +− + + += ⇔ = ⇔ − + = + +x x x xx x x x x x x x 
( )3 2 2 2
0
0 4 223 8 2 0 3 8 2 0
33 8 2 0
4 22
3
 == −⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ ⇔ = − − =  + =
x
x
x x x x x x x
x x
x
Vậy phương trình cĩ 3 nghiệm 4 22 4 220, ,
3 3
− +
= = =x x x . 
c) Ta cĩ ( )2 2 2 1 38 1 3 8 22 4 2 2 8 2 6−− + − − += ⇔ = ⇔ − + = −xx x x x x x x x 
2 35 6 0
2
= −⇔ + + = ⇔  = −
x
x x
x
. 
Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm 3, 2= − = −x x . 
d) Ta cĩ 1 2 3 4 3 3 33 3 3 3 750 3.3 750
9 27 81
+ − − −+ − + = ⇔ + − + =
x x x
x x x x x
51 1 1 2503 .3 750 .3 750 3 3.81 3 3 5
9 27 81 81
 ⇔ + − + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =  
x x x x x . 
Vậy phương trình cĩ nghiệm x = 5. 
Bài 3: Giải các phương trình sau: 
a) ( ) ( ) 11 15 2 5 2 −− ++ = − xx x . 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ 
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ 
~4 
b) ( ) ( )3 11 310 3 10 3− +− ++ = −x xx x . 
c) ( ) ( )2 5 2 12 1 2 56 35 6 35+ −+ −+ = −x xx x . 
d) ( ) ( )2 2 9 2 77 48 7 48− + −+ = −x x x . 
Hướng dẫn giải 
a) Điều kiện 1≠ −x . 
Vì ( )( )5 2 5 2 5 4 1+ − = − = nên ( ) 115 2 5 25 2
−
− = = +
+
 . 
Phương trình được viết thành 
( ) ( ) ( ) ( )1 11 11 1 15 2 5 2 5 2 5 2 1 1
− −
− − −
+ + −+ = − ⇔ + = + ⇔ − = −
+
x x
x x
x x xx
x
( ) ( )( ) 11 11 0 1 1 0 1 2 0
21 1
=−  − + = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔   = −+ +  
xx
x x x x
xx x
 (thỏa 
mãn). 
Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm x = - 2, x = 1. 
b) Điều kiện 1 0 1
3 0 3
− ≠ ≠ ⇔ + ≠ ≠ − 
x x
x x
. 
Vì ( )( )10 3 10 3 10 9 1+ − = − = nên ( ) 1110 3 10 310 3
−
− = = +
+
. 
Khi đĩ: 
( ) ( ) ( ) ( )3 1 3 11 3 1 3 3 110 3 10 3 10 3 10 3 1 3
− + − +
−
− + − + − ++ = − ⇔ + = + ⇔ = −
− +
x x x x
x x x x x x
x x
( )( ) ( )( ) 2 2 23 3 1 1 9 1 2 10⇔ − + = − + − ⇔ − = − + ⇔ =x x x x x x x 
2 55
5
 =⇔ = ⇔  = −
x
x
x
 (thỏa mãn). 
Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm 5, 5= − =x x . 
c) Điều kiện 
1
2 1 0 2
2 5 0 5
2
 ≠ −+ ≠ ⇔ − ≠  ≠
x
x
x
x
. 
Vì 6 35. 6 35 36 35 1 1+ − = − = = 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ 
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ 
~5 
nên ( ) 116 35 6 35
6 35
−
− = = +
+
. 
Khi đĩ 
( ) ( ) ( ) ( )2 5 2 1 2 5 2 12 1 2 5 2 1 2 56 35 6 35 6 35 6 35+ − + −−+ − + −+ = − ⇔ + = +x x x xx x x x 
2 5 2 1
2 1 2 5
+ −
⇔ = −
+ −
x x
x x
( )( ) ( )( ) 2 22 5 2 5 2 1 2 1 4 25 4 1⇔ + − = − − + ⇔ − = − +x x x x x x 
2 2
13
13 28 26
4 13
2
 = −⇔ = ⇔ = ⇔  =
x
x x
x
 (thỏa mãn). 
Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm 
13
2
13
2
 = − =
x
x
. 
d) Vì ( )22 2 9 1 8 0,− + = − + > ∀ ∈x x x x 
 nên điều kiện của phương trình là 
∀ ∈x 
 . 
Mà ( )( )7 48 7 48 49 48 1+ − = − = . Suy ra 
( ) ( ) ( )
117 48 7 48
7 48
−
− = = +
+
. 
Khi đĩ 
( ) ( ) ( ) ( )2 22 9 2 7 2 9 2 7
2
7 48 7 48 7 48 7 48
2 9 2 7
− + − − + − +
+ = − ⇔ + = +
⇔ − + = − +
x x x x x x
x x x
( )22 2
7
7 22 7 0
222
2 9 2 7 3 26 40 0 20
3
 ≤− + ≥ ≤  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ==  − + = − +   − + =  =
x
x x
xx
x x x
x x
x
 (thỏa 
mãn). 
Vậy phương trình cĩ nghiệm x = 2. 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ 
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ 
~6 
Chú ý: Ta cĩ: 
( ) ( )2 21 1+ − − −x xM M M M ( )( )2 21 1 = + − − −  xM M M M 
 ( )2 2 1 1 1 = − − = =  x xM M . 
Suy ra ( ) ( )2 21 1 −− − = + −x xM M M M . 
Bài 4: Giải phương trình: ( ) ( )sin 2 3cos2 22 2 −+ − = + − xx x x x 
Hướng dẫn giải 
Phương trình được biến đổi về dạng: 
( )( )
2
2
2
1 2(*)2 0
1 0(1)
2 1 sin 2 3cos 0
sin 3cos 2(2)
−   − − =⇔ + − − − + =   + =
x
x x
x x
x x x x
x x
Giải (1) ta được 1,2 1 52
±=x thoả mãn điều kiện (*) 
Giải (2): 
1 3
sin cos 1 sin 1 2 2 ,
2 2 3 3 2 6
 + = ⇔ + = ⇔ + = + ⇔ = + ∈  x x x x x k x k k Z
pi pi pi pi
pi pi
Để nghiệm thoả mãn điều kiện (*) ta phải cĩ: 
1 11 2 2 1 2 0,
6 2 6 2 6
   − < + < ⇔ − − < < − ⇔ = ∈      k k k k Z
pi pi pi
pi
pi pi
khi đĩ ta nhận 
được 3 6=x
pi
Vậy phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt 1,2 31 5 ;2 6
±= =x x pi . 
Bài 5: Giải phương trình: ( ) ( ) 22 43 5 2 23 6 9 + −− +− = − + x xx xx x x 
Hướng dẫn giải 
Phương trình được biến đổi về dạng: 
( ) ( ) ( )22 243 5 2 2 2( 4)3 3 3+ −− + + − − = − = − 
x x
x x x x
x x x 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ 
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ 
~7 
2 2 2
3 1 4
4
0 3 1 3 4
5
3 5 2 2 2 8 7 10 0
− = =  = < − ≠ < ≠⇔ ⇔ ⇔    =   − + = + − − + =  
x x
x
x x
x
x x x x x x
Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt x=4, x=5. 
Bài 6: Cho phương trình ( )2 14 51 1 142 +− + = mx x . 
 a) Giải phương trình với m = 0. 
 b) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm trái dấu. 
 c) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm thuộc khoảng ( )1,4 . 
Hướng dẫn giải 
Biến đổi phương trình về dạng: 
( )
2
2
4 5 2 2
14 5
2
2
1 1 1 1
4 2 22
4 5 2 2
4 3 2 0 2
− + +
+− +
   = ⇔ =      
⇔ − + = +
⇔ − + − =
x x m
mx x
x x m
x x m
a) Với m = 0, ta được phương trình 2 14 3 0
3
=− + = ⇔  =
x
x x
x
. 
Vậy với m = 0 phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt 1, 3= =x x . 
b) Phương trình (1) cĩ 2 nghiệm trái dấu⇔ Phương trình (2) cĩ 2 nghiệm trái 
dấu. 
⇔
3 2 30 0 3 2 0
1 2
−
mP m m . 
Vậy, với 3
2
>m thì phương trình (1) cĩ 2 nghiệm trái dấu. 
c) Phương trình (1) biến đổi về dạng ( )2 4 3 2 3− + =x x m . 
Phương trình (1) cĩ 2 nghiệm thuộc khoảng ( )1,4 ⇔Phương trình (3) cĩ 2 
nghiệm thuộc khoảng ( )1,4 . 
Xét hàm số ( ) 2 4 3= = − +y f x x x trên khoảng ( )1,4 ta cĩ bảng biến thiên 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ 
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ 
~8 
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (3) cĩ 2 nghiệm thuộc khoảng 
( )1,4 1 2 0⇔− < <m 1 0
2
⇔− < <m . 
Vậy, với 1 0
2
− < <m thì phương trình (1) cĩ 2 nghiệm thuộc khoảng ( )1,4 . 
Lưu ý: Ở câu c) chúng ta cĩ thể sử dụng định lý đảo về tam thức bậc hai để làm 
tuy nhiên phận kiến thức này đã được giảm tải khơng đưa vào nữa nên việc dùng 
phương pháp hàm số là hữu hiệu và nhanh nhất. 
Bài 7: Cho phương trình ( )3 2 22 3 2 2127 19
− + −
− − +
=
mx x x
mx x
. 
 a) Giải phương trình với m = -3. 
 b) Tìm m để phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt dương. 
Hướng dẫn giải 
Biến đổi phương trình về dạng: 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
3 2 22 3 2 23 2
3 2 2
3 2
2
2
3 3
3 2 3 2 2 2
3 3 7 2 0
3 2 2 1 0
3 2 0
2 1 0 2
− + − − − +−=
⇔ − + − = − − − +
⇔ − + + − =
⇔ − − + =
− =⇔  − + =
mx x x mx x
mx x x mx x
mx m x x
x mx x
x
mx x
a) Với m = -3, ta được phương trình 
2
2
33 2 0
1
3 2 1 0
1
3
 =− = ⇔ = − − − + =  =
x
x
x
x x
x
Vậy, với m = -3 phương trình cĩ 3 nghiệm 1 21, ,
3 3
= − = =x x x . 
x 
y 
1 2 4 
0 
-1 
3
t 
−∞ +∞ 
+∞
+∞
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ 
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ 
~9 
b) Đặt ( ) 2 2 1= − +f x mx x . 
Phương trình (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt dương 
⇔ Phương trình (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt dương khác 2
3
. 
( )
'
(2)
(2)
2
00 0
1 00 1 0 1
20 0 0 3
0 40 1 0 32 0 44 43 1 0
9 3
  ≠≠  ≠ − > ∆ > ⇔ > ⇔ > ⇔    ≠   > >  >    ≠  ≠      − + ≠
mm m
m
m m
S m
m m
mP
m mf
m
. 
Vậy, với ( ) 30,1 \
4
 ∈   m thì phương trình (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt dương. 
Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp Lơgarit hĩa và đưa về cùng cơ số 
I. Trọng tâm kiến thức: 
Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta cĩ thể logarit theo cùng 1 
cơ số cả 2 vế của phương trình, ta cĩ các dạng: 
Dạng 1: Phương trình: 
( )
( )
0 1, 0
log
= ⇔  =
f x
a
a b
a b f x b 
Đặc biệt: ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1 xác định 
1
1
0
 >= ⇔     = ≠  =
g x
f x
f x g x
f x
f x
g x
Dạng 2: Phương trình (cơ số khác nhau và số mũ khác nhau): 
( ) ( ) ( ) ( )log log ( ) ( ).log= ⇔ = ⇔ =f x g x f x f x
a a a
a b a b f x g x b 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ 
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ 
~10 
 hoặc ( ) ( )log log ( ).log ( ).= ⇔ =f x g xb b ba b f x a g x 
 Đặc biệt: Nếu cơ số khác nhau nhưng số mũ bằng nhau thì 
( )
( ) 0
( ) 1 ( ) 0   = ⇔ = = ⇔ =      
f x
f x f x a a
a b f x
b b
 (vì ( ) 0>f xb ) 
II. Bài tập chọn lọc, điển hình: 
Bài 1: Giải các phương trình: 
a) 2 2 2 3
2
−
=
x x
. 
b) 
1
5 .8 500.
−
=
x
x x
c) 2 4 22 .5 1− − =x x . 
d) 2
2 3
23 .4 18
−
−
=
x
x x
. 
Hướng dẫn giải 
a) Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình ta được: 
2 2 2 2
2 2 2 2
3log 2 log 2 log 3 1 2 1 log 3 0
2
− = ⇔ − = − ⇔ − + − =x x x x x x 
Ta cĩ , 2 21 1 log 3 log 3 0∆ = − + = > . 
Suy ra phương trình cĩ nghiệm x = 1 2log 3.± 
b) Điều kiện x 0≠ . 
Viết lại phương trình dưới dạng: 
1 1 33 3 2 35 .8 500 5 .2 5 .2 5 .2 1
− − −
−= ⇔ = ⇔ =
x x x
x x xx x x
Lấy logarit cơ số 2 vế, ta được: 
( )
( )
3 3
3 3
2 2 2
2 2
log 5 .2 0 log 5 log 2 0
33 .log 5 log 2 0
− −
− −   = ⇔ + =      
−⇔ − + =
x x
x xx x
x
x
x
( ) 2
2
3
13 log 5 0 1
log 5
=  ⇔ − + = ⇔   = −  
x
x
xx
. 
Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt:
2
13;
log 5
= = −x x . 
c) Lấy lơgarit cơ số 2 hai vế phương trình ta được 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ 
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ 
~11 
( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
2 24 2 4 2
2 2 2 2
2
2 2
2
2
2
2
log 2 .5 log 1 log 2 log 5 0
4 log 2 2 log 5 0
2 2 2 log 5 0
2 2 log 5 0
2 0
2 log 5 0
2
2 log 5
− − − −= ⇔ + =
⇔ − + − =
⇔ − + + − =
⇔ − + + =
− =⇔  + + =
=⇔  = − −
x x x x
x x
x x x
x x
x
x
x
x
Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm 22, 2 log 5= = − −x x . 
d) Điều kiện: 0≠x . 
Lấy lơgarit cơ số 3 hai vế phương trình ta được 
( )
( )
( )
2 2
2 3 2 3
2 2 2
3 3 3 3 3
2
3 3 3
2
3 3
log 3 .4 log 18 log 3 log 4 log 3 .2
2 32 log 3 log 4 2 log 2
4 62 log 2 2 log 2 0
− −
− −  = ⇔ + =  
−⇔ − + = +
−⇔ − + − − =
x x
x xx x
x
x
x
x
x
x
( ) ( )2 3 33 6 34 log 2 0 2 2 log 2 0−  ⇔ − + = ⇔ − + + =  
x
x x x
x x
( )( ) ( )2 3 2 3
2 0
2 2 3log 2 0 2
2 3log 2 0
− =⇔ − + + = ⇔ ⇔ = + + =
x
x x x x
x x VN
. 
Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm x = 2. 
Chú ý: Đối với 1 phương trình cần thiết rút gọn trước khi logarit hố. 
Bài 2: Giải các phương trình sau: 
a) ( ) 2 12 1 1−− + =xx x 
b) ( ) 22 1−− =xx x 
c) ( ) 242 2 2 1−− + =xx x . 
Hướng dẫn giải 
a) Vì 
2
2 1 31 0,
2 4
 − + = − + > ∀ ∈  x x x x 
 nên điều kiện của phương trình là 
∀ ∈x 
 . 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ 
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ 
~12 
Ta viết phương trình về dạng 
( ) 2
2
12 2
2
0
1
1 1 1
0
1 1 01 1
1
11 0
1
1
−
= =− + = = ≠ − + = ⇔ ⇔ ⇔ =− + ≠  ≠   = −− =    =  = −
x
x
x
x x x
x
x x xx x
x
xx
x
x
. 
Vậy phương trình cĩ 3 nghiệm 1, 0, 1= − = =x x x . 
b) Điều kiện 2 0 0 1− > ⇔ < <x x x . 
Ta viết phương trình về dạng 
( ) ( )
22 2
2
2 2 22
1 01 1
1 21 1 01
2 22 0
−
 − + =− = − = − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =− ≠  − + ≠ − ≠    = =− =    
x
x x VNx x x x
x x xx x x xx x
x xx
(loại). 
Vậy phương trình vơ nghiệm. 
c) Điều kiện 
2
2
2 2 0
2 2
4 0
− + > ⇔ − ≤ ≤ − ≥
x x
x
x
. 
( ) 2
2
4 22
22
12 2 1 1 2
1
2 2 1 12 2 1 1
2
24 04 0 2
−
=− + = = = ≠  − + ≠ ≠− + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =    =    = −− = − =    = − 
x
x
x x x x
x
x x xx x x
x
xxx
x
(thỏa mãn). 
Vậy phương trình cĩ 3 nghiệm 2, 1, 2= = = −x x x . 
Bài 3: Giải các phương trình sau 
a) log 21000=xx x . 
b) 2log 4 32+ =xx . 
c) ( )225 5log 5 1 log 77 − =x x . 
d) 13 .8 36+ =
x
x x
. 
Hướng dẫn giải 
a) Điều kiện 0
1
> ≠
x
x
. 
Lấy lơgarit cơ số 10 hai vế phương trình ta được 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ 
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ 
~13 
( ) ( )log 2 2log log 1000 log .log log1000 log= ⇔ = +xx x x x x 
( )
1
2
3
1log 1 10
log 2log 3 0 10
log 3 10 1000
−= − = = ⇔ − − = ⇔ ⇔ = = =
x x
x x
x
x
 (thỏa mãn). 
Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm 1 , 1000
10
= =x x . 
b) Điều kiện 0
1
> ≠
x
x
. 
Lấy lơgarit cơ số 2 hai vế phương trình ta được 
( ) ( ) ( )2 2log 42 2 2 2 2 2log log 32 log 4 .log 5 log 4log 5 0+ = ⇔ + = ⇔ + − =xx x x x x 
2
5
2
2log 1
1log 5 2
32
−
== ⇔ ⇔ = − = = 
x
x
x x
 (thỏa mãn). 
Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm 1 , 2
32
= =x x . 
c) Điều kiện 0
1
> ≠
x
x
Lấy logarit cơ số 7 hai vế phương trình ta được 
( )( ) ( )
( )
2
25 5log 5 1 log 7
7 7
2
25 5 7
2
5 5
log 7 log
log 5 1 log 7.log
1 log 5 1 log
2
− =
⇔ − =
 ⇔ − =  
x
x
x x
x x
( )
2
5 5
2
5 5
1 1 log log 1 0
2 2
1 1 3log log 0
4 2 4
 ⇔ + − − =  
⇔ − − =
x x
x x
( )
1
2 5
5 5
35
1log 1 5
log 2log 3 0 5
log 3 5 125
−= − = = ⇔ − − = ⇔ ⇔ = = =
x x
x x
x
x
 (thỏa mãn) 
Vậy phương trình đã cho cĩ hai nghiệm 1 , 125
5
= =x x . 
d) 13 .8 36+ =
x
x x
. (1) 
Điều kiện 1≠ −x . 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ 
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ 
~14 
Lấy logarit cơ số 2 hai vế ta được 
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
2 2
2 21
2 2 2
3 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
log 3 .8 log 36
log 3 log 8 log 2 .3
log 3 log 2 log 2 log 3
1
3log 3 2 2log 3
1
1 log 3 3 2 1 2 1 log 3
.log 3 1 log 3 . 2 2log 3 0 2
+
+
  =  
⇔ + =
⇔ + = ++
⇔ + = ++
⇔ + + = + + +
⇔ + − − − =
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x x x x x
x x
Phương trình (2) là phương trình bậc 2 ẩn x cĩ ( )223log 3 1 0∆ = + > . 
Suy ra phương trình 2 cĩ 2 nghiệm phân biệt 
3
2
1 log 2
= = − −
x
x
 (thỏa mãn) 
Vậy phương trình (1) cĩ 2 nghiệm 
3
2
1 log 2
= = − −
x
x
. 
Bài 4: Giải các phương trình sau: 
a) 1 2 2 32 2 2 3 3 3+ + + ++ + = + +x x x x x x . 
b) 1 2 3 15 5 5 3 3 3+ + + ++ + = + +x x x x x x . 
c) 
1 1
2 12 24 3 3 2
− +
−
− = −
x x
x x
. 
d) ( )20 ,5log sin 5sin cos 2 14
9
+ +
=
x x x
. 
Hướng dẫn giải 
a) Phương trình được viết lại 
( ) ( )2 2.2 4.2 3 9.3 27.3 2 1 2 4 3 1 9 27+ + = + + ⇔ + + = + +x x x x x x x x 
2
3
2 37 2 37 377.2 37.3 log
3 7 3 7 7
 ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =  
xx
x x
x
x . 
Vậy phương trình cĩ nghiệm 2
3
37log
7
=x . 
b) Phương trình được viết dưới dạng 
( ) ( )5 5.5 25.5 3 27.3 3.3 5 1 5 25 3 1 27 3+ + = + + ⇔ + + = + +x x x x x x x x 
05 31 5 5 531.5 31.3 1 0
3 31 3 3 3
     ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =          
x xx
x x
x
x . 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ 
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ 
~15 
Vậy phương trình cĩ nghiệm 0=x . 
c) Phương trình được viết lại 
2 1 1 1 11
2 2 2 22 1 1 3 44 3 3 4 1 3 1 4 . 3 .
2 2 3 2 3
+ + − + +   + = + ⇔ + = + ⇔ =      
x
x x x x
x x x
1
1 1 3 32 22 32 2 2 2
33 2
2
4 3 4 3 34 .3 3 .2 3 4 3 0
2 3 2 24
+
+ + − − −
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
x
x x
x x x x
x
x x . 
Vậy phương trình cĩ nghiệm 3
2
=x . 
d) Điều kiện ( )2sin 5sin cos 2 0 *+ + >x x x 
Phương trình: 
( )
( )
( )
( )
( )
2
0 ,5
1 2
log sin 5sin cos 2
2
1 4
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
14
9
1log sin 5sin cos 2 log
9
log sin 5sin cos 2 log 3
log sin 5sin cos 2 log 3
log sin 5sin cos 2 log 3
sin 5sin cos 2 3
1 sin 5sin cos 0
5sinos
−
+ +
−
=
⇔ + + =
⇔ + + =
⇔ − + + = −
⇔ + + =
⇔ + + =
⇔ − − =
⇔ −
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
c x x
( )
( ) ( )( )
( )
cos 0
cos cos 5sin 0
cos 0
cos 5sin 0
*
2
cos 5sin 1
thỏa mãn 
=
⇔ − =
=⇔  − =
 = + ∈⇔  =
x
x x x
x
x x
x k k
x x
pi
pi 

Giải phương trình (1): cos 5sin=x x 
Nhận xét: os 0=c x khơng là nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình 
cho cos 0≠x ta được phương trình 
( )1 15tan 1 tan tan ,
5 5
= ⇔ = ⇔ = + ∈x x x arc k kpi 
 (thỏa mãn (*)). 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trìn