Chuyên đề: Phương trình đường thẳng và đường tròn

Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
 - Trang 1 - 
79 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG TIÊU BIỂU 
- Tài liệu chỉ dùng cho HS học theo chương trình chuẩn 
- Tài liệu gồm 79 bài tập được chọn lọc kĩ và giải chi tiết 
BT1. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm ( ) ( ) ( ) ( )1;0 , 2;4 , 1;4 , 3;5A B C D− − và đường thẳng 
: 3 5 0d x y− − = . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác , MAB MCD có diện tích bằng nhau. 
Giải 
M thuộc d thì ( );3 5M a a − 
Mặt khác : 
( )3;4 5
1
: 4 3 4 0
3 4
AB AB
x yAB x y
= − ⇒ =
−
= ⇔ + − =
−




( )4;1 17
1 4
: 4 17 0
4 1
CD CD
x yCD x y
= ⇒ =
+ −
= ⇔ − − =




Tính : ( ) ( ) ( )1 24 3 3 5 4 4 3 5 1713 19 3 11, ,5 5 17 17
a a a aa a
h M AB h
+ − − − − −
− −
= = = = = 
Nếu diện tich 2 tam giác bằng nhau thì : 
1 2
1113 19 3 115. 13 19 17. 3 111 1
. . 1213 19 11 32 2 5 17 8
a aa a a
AB h CD h
a a
a

− = −− − = 
= ⇔ = ⇔ ⇔ 
− = −
=
Vậy trên d có 2 điểm : ( )1 211 27; , 8;1912 12M M
 
− 
 
BT2. Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết ( ) ( )1;0 , 0; 2A B và trung điểm I của AC 
nằm trên đường thẳng :d y x= . Tìm toạ độ đỉnh C 
Giải 
Nếu C nằm trên :d y x= thì ( )A a;a do đó suy ra ( )C 2a 1;2a− 
Ta có : ( ) 0 2, 2
2
d B d
−
= = . 
Theo giả thiết : ( ) ( ) ( )2 21 4. , 2 2 2 2 0
2 2
S AC d B d AC a a= = ⇒ = = − + − 
2 2
1 3
28 8 8 4 2 2 1 0
1 3
2
a
a a a a
a

−
=
⇔ = − + ⇔ − − = ⇔
 +
=

Vậy ta có 2 điểm C : 1 2
1 3 1 3 1 3 1 3
; , ;
2 2 2 2
C C
   
− − + +
   
   
BT3. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC víi ( ) ( )1;1 , 2;5A B − và ®Ønh C n»m trªn 
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
 Trang 2 
®−êng th¼ng 4 0x − = , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng 2 3 6 0x y− + = . TÝnh 
diÖn tÝch tam gi¸c ABC. 
Giải 
Tọa độ C có dạng : ( )C 4;a , ( ) ( )
5
3; 4 1 1
: 4 3 7 0
3 4
AB
AB x yAB x y
=

= − ⇒
− − = ⇔ + − =
−




Theo tính chất trọng tâm ; 
1 2 4 1
3 3
1 5 6
3 33
A B C
G G
A B C
GG
x x x
x x
y y y a ayy
+ + − + 
= = =  
⇔ 
+ + + + + 
= ==
 
Do G nằm trên 2 3 6 0x y− + = , cho nên : 62.1 3 6 0 2
3
a
a
+ 
⇒ − + = ⇔ = 
 
. 
Vậy ( )M 4; 2 và ( ) ( )4.4 3.2 7 1 1 15, 3 . , 5.3
2 2 216 9 ABC
d C AB S AB d C AB
+ −
= = ⇒ = = =
+
 (đvdt) 
BT4. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi (2; 1) , (1; 2)A B− − , träng t©m G cña 
tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng : 2 0d x y+ − = . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC 
b»ng 
27
2
 . 
Giải. 
d
M
A
B
C
Ta có : M là trung điểm của AB thì 3 1;
2 2
M  − 
 
. Gọi ( )C a; b , theo tính chất trọng tam tam giác 
: 
3
3
3
3
G
G
a
x
by
+
=

−
=

Do G nằm trên d : ( )3 3 2 0 6 1
3 3
a b
a b+ −+ − = ⇔ + = 
Ta có : ( ) ( ) ( ) 3 52 11;3 : 3 5 0 ,
1 3 10
a bx yAB AB x y h C AB
− −
− −
= ⇒ = ⇔ − − = ⇔ =




Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
 - Trang 3 - 
Từ giả thiết : ( ) 2 5 2 51 1 27. , 10.
2 2 2 210ABC
a b a b
S AB h C AB
− − − −
= = = = 
2 5 27 2 32
2 5 27
2 5 27 2 22
a b a b
a b
a b a b
− − = − = 
⇔ − − = ⇔ ⇔ 
− − = − − = − 
Kết hợp với (1) ta có 2 hệ : 
( )1 2
20
6 6 3
2 32 3 38 38 38 20
; , 6;123 3 36 6
122 22 3 18
6
b
a b a b
a b a
a C C
a b a b
ba b a
a

= − + = + =  
   
− = =      =⇔ ⇔ ⇔ ⇒ − −   + = + =      
=
− = − = −    
= −
BT5. Trong mặt phẳng Oxy cho ABC∆ có ( )A 2;1 . Đường cao qua đỉnh B có phương trình 
3 7 0x y− − = . Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình 1 0x y+ + = . Xác định tọa độ B 
và C. Tính diện tích ABC∆ . 
Giải 
M
B
A
C
Đường thẳng AC qua ( )A 2;1 và vuông góc với đường cao kẻ qua B, nên có véc tơ chỉ phương 
( ) ( ) ( )21; 3 :
1 3
x t
n AC t R
y t
= +
= − ⇒ ∈
= −

Tọa độ C là giao của (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C : 
2
1 3
1 0
x t
y t
x y
= +

⇒ = −
 + + =
Giải ta được : 2t = và ( )C 4; 5− . Vì B nằm trên đường cao kẻ qua B suy ra ( )3 7;B a a+ . 
M là trung điểm của AB 3 9 1;
2 2
a aM + + ⇒  
 
. 
Mặt khác M nằm trên đường trung tuyến kẻ qua C : 
( )
3 9 1 1 0 3
2 2
1; 2
a a
a
B
+ +
+ + = ⇔ = −
⇒ −
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
 - Trang 4 - 
Ta có : 
( )
( )
( )
1; 3 10
2 1
: 3 5 0
1 3
12
;
10
AB AB
x yAB x y
h C AB
= − − ⇒ =
− −
= ⇔ − − =
=




 Vậy : ( )1 1 12. , 10. 6
2 2 10ABC
S AB h C AB= = = (đvdt). 
BT6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết ( )5;2A . Phương trình đường 
trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là – 6 0x y+ = và 2 – 3 0x y + = . Tìm tọa 
độ các đỉnh của tam giác ABC 
Giải 
x + y - 6 = 0
M
N CB
A
Gọi ( )B a; b suy ra 5 2;
2 2
a bM + +  
 
. M nằm trên trung tuyến nên : 2 14 0a b− + = (1). 
B, B đối xứng nhau qua đường trung trực cho nên ( ) ( ): x a tBC t R
y b t
= +
∈
= +
 . 
Từ đó suy ra tọa độ N : 
6
2
3 6
2
6 0 6
2
a b
t
x a t
a by b t x
x y b ay
− −
=
= + 
− − 
= + ⇒ = 
 + − = + −
=

3 6 6
;
2 2
a b b aN − − + − ⇔  
 
. Cho nên ta có tọa độ ( )2 6;6 C a b a− − − 
Do C nằm trên đường trung tuyến 5 2 9 0a b− − = (2) 
Từ (1) và (2) : ( ) ( )2 14 0 37 37;88 , 20; 315 2 9 0 88
a b a
B C
a b b
− + = = 
⇒ ⇔ ⇒ − − 
− − = = 
BT7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : 3 8 0x y∆ + + = , 
' :3 4 10 0x y∆ − + = và điểm ( )2;1A − . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng 
∆ , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ ’. 
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
- Trang 5 - 
Giải 
Gọi tâm đường tròn là I, do I thuộc ( )2 3: 2 3 ; 2
2
x t
I t t
y t
= − +∆ ⇒ − + − −
= − −
A thuộc đường tròn ( ) ( )2 23 3IA t t R⇒ = + + = (1) 
Đường tròn tiếp xúc với 
( ) ( )3 2 3 4 2 10 13 12
'
5 5
t t t
R R
− + − − − + +
∆ ⇒ = ⇔ = . (2) 
Từ (1) và (2) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 213 123 3 25 3 3 13 125
t
t t t t t
+
 + + = ⇔ + + = +
 
BT8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn 
2 2( ) : – 2 – 2 1 0,C x y x y+ + = 2 2( ') : 4 – 5 0C x y x+ + = cùng đi qua ( )1;0M . Viết phương trình 
đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ')C C lần lượt tại A, B sao cho 2MA MB= . 
Giải 
* Cách 1. 
Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương ( ) 1; : x atu a b d
y bt
= +
= ⇒ 
=

Đường tròn ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2: 1;1 , 1. : 2;0 , 3C I R C I R= − = , suy ra : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2: 1 1 1, : 2 9C x y C x y− + − = + + = 
Nếu d cắt ( )1C tại A : ( ) 22 2 2 2 2 2 2
2 2
0
2 22 0 1 ;2
t M
ab b
a b t bt Ab
a b a bt
a b
= →
 ⇒ + − = ⇔ ⇒ +  + +=  
+
Nếu d cắt ( )2C tại B : ( ) 22 2 2 2 2 2 2
2 2
0 6 66 0 1 ;6
t M
a ab
a b t at Ba
a b a bt
a b
= →
 ⇒ + + = ⇔ ⇒ − −  + += −  
+
Theo giả thiết : ( )2 22 4 *MA MB MA MB= ⇔ = . 
Ta có : 
2 22 22 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 6 64ab b a ab
a b a b a b a b
       
+ = +       + + + +        
. 
2 2
2 2
2 2 2 2
6 : 6 6 04 364. 36
6 : 6 6 0
b a d x yb a b a
b a d x ya b a b
= − → + − =
⇔ = ⇔ = ⇔ 
= → − − =+ + 
* Cách 2. 
- Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự 1
2
k = − . (Học sinh tự làm) 
BT9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết 
trực tâm ( )1;0H , chân đường cao hạ từ đỉnh B là ( )0; 2K , trung điểm cạnh AB là ( )3; 1M . 
Giải 
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
- Trang 6 - 
H
K
M
B
A C
Theo tính chất đường cao : HK vuông góc với AC cho nên (AC) qua ( )0;2K có véc tơ pháp 
tuyến ( ) ( ) ( )1; 2 : 2 2 0 2 4 0KH AC x y x y= − ⇒ − − = ⇔ − + =


 . 
B nằm trên (BH) qua ( )H 1;0 và có véc tơ chỉ phương ( ) ( )1; 2 1 ; 2KH B t t= − ⇒ + −


 . 
( )M 3;1 là trung điểm của AB cho nên ( )A 5 t; 2 2t− + . 
Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : ( )5 t 2 2 2t 4 0− − + + = , suy ra 1t = . Do đó ( ) ( )4; 4 , 2; 2A B − 
Vì C thuộc (AC) suy ra ( )2 ; 2C t t+ , 
( ) ( )2 2; 4 , 3; 4BC t t HA= − + =


 


 . Theo tính chất đường cao kẻ từ A: 
( ) ( ). 0 3 2 2 4 4 0 1HA BC t t t⇒ = ⇒ − + + = → = −


 


 . Vậy: ( )C 2;1− . 
(AB) qua ( )A 4;4 có véc tơ chỉ phương ( ) ( ) ( ) 4 42;6 1;3 :
1 3
x yBA u AB − −= = ⇒ =



 
 
3 8 0x y⇔ − − = 
(BC) qua ( )2; 2B − có véc tơ pháp tuyến ( ) ( ) ( ) ( )3; 4 : 3 2 4 2 0HA BC x y= ⇒ − + + =


 
3 4 2 0x y⇔ + + = . 
BT10. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình ( ) 2 21 : 4 5 0C x y y+ − − = và 
( ) 2 22 : 6 8 16 0.C x y x y+ − + + = Lập phương trình tiếp tuyến chung của ( )1C và ( )2 .C 
Giải 
Ta có: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
22
1 1 1
2 2
2 2 2
: 2 9 0; 2 , 3,
: 3 4 9 3; 4 , 3
C x y I R
C x y I R
+ − = ⇒ =
− + + = ⇒ − =
Nhận xét : ( )1 2 19 4 13 3 3 6I I C= + = < + = ⇒ không cắt ( )2C 
Gọi : 0d ax by c+ + = ( 2 2 0a b+ ≠ ) là tiếp tuyến chung, thế thì : ( ) ( )1 1 2 2, ; ,d I d R d I d R= = 
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2
3 1
2 3 4
3 4
3 2
3 4 2
2 3 4
3 4 2
b c
b c a b ca b
a b c a b a b
a b
a b c b c
b c a b c
a b c b c
 +
=
+ − ++
⇔ ⇒ =
− + + +
=
 +
− + = +
⇔ + = − + ⇔ 
− + = − −
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
- Trang 7 - 
2
3 2 2 0
a b
a b c
=
⇔ 
− + =
. Mặt khác từ (1) : ( ) ( )2 2 22 9b c a b+ = + ⇔ 
Trường hợp : 2a b= thay vào (1) : 
 ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 5
4
2 9 4 41 4 0. ' 4 41 45
2 3 5
4
b
b cb
b c b b b bc c c c c
c
b

−
=
+ = + ⇔ − − = ∆ = + = ⇔
 +
 =

Do đó ta có hai đường thẳng cần tìm : 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 5 2 3 5: 1 0 2 2 3 5 2 3 5 4 02 4d x y x y
− −
+ + = ⇔ − + − + = . 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 5 2 3 5: 1 0 2 2 3 5 2 3 5 4 02 4d x y x y
+ +
+ + = ⇔ + + + + = . 
Trường hợp : 2 3
2
b a
c
−
= , thay vào (1) : 2 2
2 2
2 32
2 3 2
b ab
b a a b
a b
−
+
= ⇔ − = +
+
( )2 2 2 2
0, 20
22 3 4 0 44 , 6
33 6
a b a cb c
b a a b b ab a
a a b a cb c

= = −= → = − 
⇔ − = + ⇔ − = ⇔ ⇒
 = = −
= → = − 
Vậy có 2 đường thẳng : 3 : 2 1 0d x − = , 4 : 6 8 1 0d x y+ − = . 
BT11. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng 
: – 2 1 0AB x y + = , phương trình đường thẳng : – 7 14 0BD x y + = , đường thẳng AC đi qua 
( )2;1M . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. 
Giải 
I
C
A B
D
M
Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ: 
2 1 0 21 13
;
7 14 0 5 5
x y
B
x y
− + =  
⇒  
− + =  
Đường thẳng (BC) qua ( )B 7;3 và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương: 
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
- Trang 8 - 
 ( ) ( )
21
51; 2 :
13 2
5
x t
u BC
y t

= +
= − ⇒ 

= −


Ta có : ( )   ( ), 2 2 2 ,AC BD BIC ABD AB BDϕ= = = = 
(AB) có ( )1 1; 2n = −


, (BD) có ( ) 1 22
1 2
. 1 14 15 31; 7 cos
5 50 5 10 10
n n
n
n n
ϕ += − ⇒ = = = =

 






 

 
Gọi (AC) có ( ) ( ) 2
2 2
7 9 4
, cos , cos 2 2cos 1 2 1
10 550
a b
n a b AC BD
a b
ϕ ϕ−  = ⇒ = = = − = − = 
 +

Do đó : ( ) ( )22 2 2 2 2 25 7 4 50 7 32 31 14 17 0a b a b a b a b a ab b− = + ⇔ − = + ⇔ + − = . 
Suy ra : 
( ) ( ) ( )
( )
17 17
: 2 1 0 17 31 3 0
31 31
: 2 1 0 3 0
a b AC x y x y
a b AC x y x y

= − ⇒ − − + − = ⇔ − − =

= ⇒ − + − = ⇔ + − =
(AC) cắt (BC) tại C 
21
5
13 7 14 52 ;
5 15 3 3
3 0
x t
y t t C
x y

= +

  
⇒ = − ⇔ = ⇒  
 
− − =


(AC) cắt (AB) tại A : ( )2 1 0 7 7; 4
3 0 4
x y x
A
x y y
− + = = 
⇔ ⇔ 
− − = = 
. 
(AD) vuông góc với (AB) đồng thời qua ( )A 7;4 suy ra (AD) : 7
4 2
x t
y t
= +

= −
(AD) cắt (BD) tại D : 
7
7 98 464 2 ;
15 15 15
7 14 0
x t
y t t D
x y
= +
  
= − ⇒ = ⇒  
 
− + =
Trường hợp :17 31 3 0AC x y− − = các em làm tương tự. 
BT12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm ( )A 2;3 , trọng tâm ( )G 2;0 . 
Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng 1 : 5 0d x y+ + = và 2 : 2 – 7 0d x y+ = . 
Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG 
Giải 
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
- Trang 9 - 
d1
d2
G
MB
A
C
B thuộc d suy ra B :
5
x t
y t
=

= − −
, C thuộc d' cho nên C: 
7 2x m
y m
= −

=
. 
Theo tính chất trọng tâm : 
( )2 9 22, 0
3 3G G
t m m t
x y
− +
− −
⇒ = = = = 
Ta có hệ : 
2 1
2 3 1
m t m
t m t
− = = 
⇔ 
− = − = − 
Vậy : ( )1; 4B − − và ( )C 5;1 . Đường thẳng (BG) qua ( )2;0G có véc tơ chỉ phương ( )3; 4u = , 
cho nên ( ) 20 15 82 13: 4 3 8 0 ;
3 4 5 5
x yBG x y d C BG R
− −
−
= ⇔ − − = ⇒ = = = 
Vậy đường tròn có tâm ( )C 5;1 và có bán kính ( ) ( ) ( )2 213 169: 5 1
5 25
R C x y= ⇒ − + − = 
BT13. Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng 2 – 5 1 0x y + = , cạnh bên AB nằm 
trên đường thẳng 12 – – 23 0x y = . Viết phương trình AC biết rằng nó đi qua điểm ( )M 3;1 
Giải 
H
C
B
A
M
Đường (AB) cắt (BC) tại B 2 5 1 0
12 23 0
x y
x y
− + =

− − =
Suy ra : ( )2; 1B − . (AB) có hệ số góc 12k = , đường thẳng (BC) có hệ số góc 2'
5
k = , do đó ta có 
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
- Trang 10 - 
212
5tan 221 12.
5
B
−
= =
+
. Gọi (AC) có hệ số góc là m thì ta có : 
2
2 55tan 2 5 21
5
m
mC
m m
−
−
= =
++
. Vì tam 
giác ABC cân tại A cho nên tan tanB C= , hay ta có : 
82 5 4 102 5 2 2 5 2 2 5 9
2 5 4 105 2 12
m m mm
m m
m mm
m

− = + = −− 
= ⇔ − = + ⇔ ⇔ 
− = − −+ 
=
Trường hợp : ( ) ( )9 9: 3 1 9 8 35 0
8 8
m AC y x x y= − ⇒ = − − + ⇔ + − = 
Trường hợp : 
 12m = suy ra ( ) ( ): 12 3 1AC y x= − + hay ( ) : 12 25 0AC x y− − = (loại vì nó //AB ). 
Vậy ( ) : 9 8 35 0AC x y+ − = . 
BT14. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn : 
( ) ( ) ( )2 21 : 5 12 225C x y− + + = và ( ) ( ) ( )2 22 : – 1 – 2 25C x y+ = 
Giải : . 
Ta có (C) với tâm ( )5; 12 , 15I R− = . (C') có ( )J 1; 2 và ' 5R = . Gọi d là tiếp tuyến chung có 
phương trình : 0ax by c+ + = ( 2 2 0a b+ ≠ ). 
Khi đó ta có : ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
5 12 2
, 15 1 , , 5 2
a b c a b c
h I d h J d
a b a b
− + + +
= = = =
+ +
Từ (1) và (2) suy ra : 5 12 3 6 35 12 3 2
5 12 3 6 3
a b c a b c
a b c a b c
a b c a b c
− + = + +
− + = + + ⇔ 
− + = − − −
9
32
2
a b c
a b c
− =
⇔

− + =

. Thay vào (1) : 2 22 5a b c a b+ + = + ta có hai trường hợp : 
Trường hợp : 9c a b= − thay vào (1) : ( ) ( )2 2 2 2 22 7 25 21 28 24 0a b a b a ab b− = + ⇔ + − = 
Suy ra :
14 10 7 14 10 7 175 10 7
: 0
21 21 21
14 10 7 14 10 7 175 10 7
: 0
21 21 21
a d x y
a d x y
  
− − +
= → + − =  
  

 + + −
= → + − = 
 
Trường hợp : ( ) ( ) ( )2 2 2 2 232 1 : 7 2 100 96 28 51 02c a b b a a b a ab b= − + ⇒ − = + ⇔ + + = . Vô 
nghiệm. (Phù hợp vì : 16 196 212 ' 5 15 20 400IJ R R= + = < + = + = = . Hai đường tròn cắt 
nhau). 
BT15. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : 2 2 2 8 8 0x y x y+ + − − = . Viết 
phương trình đường thẳng song song với đường thẳng : 3 2 0d x y+ − = và cắt đường tròn theo 
một dây cung có độ dài bằng 6. 
Giải 
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
- Trang 11 - 
H BA
I
Đường thẳng d' song song với : 3 0d x y m+ + = 
IH là khoảng cách từ I đến d' : 
3 4 1
5 5
m m
IH
− + + +
= = 
Xét tam giác vuông IHB : 
2
2 2 25 9 16
4
ABIH IB
 
= − = − = 
 
( )2 19 ' : 3 19 01 16 1 20
21 ' : 3 21 025
m d x ym
m
m d x y
= → + + =+ 
⇔ = ⇔ + = ⇒ 
= − → + − =
BT16. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết ( )B 2; 1− , đường cao và đường phân 
giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là ( )1 : 3 – 4 27 0d x y + = và ( )2 : 2 – 5 0d x y+ = 
Giải 
K
H
B
A
C
Đường thẳng (BC) qua ( )B 2; 1− và vuông góc với (AH) suy ra BC: 2 3
1 4
x t
y t
= +

= − −
, hay : 
( )2 1 4 3 7 0 4;3
3 4
x y
x y n− +⇔ = ⇔ + − = ⊥ =
−

(BC) cắt (CK) tại C : ( )
2 3
1 4 1 1;3
2 5 0
x t
y t t C
x y
= +

⇒ = − − → = − ⇔ −
 + − =
(AC) qua ( )C 1;3− có véc tơ pháp tuyến ( );n a b= 
Suy ra ( ) ( ) ( ): 1 3 0AC a x b y+ + − = (*). 
Gọi   4 6 10 2cos
5 16 9 5 5 5
KCB KCAϕ ϕ += = ⇒ = = =
+
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
- Trang 12 - 
Tương tự : ( ) ( )2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
cos 2 4
55 5
a b a b
a b a b
a b a b
ϕ + += ⇒ = ⇔ + = +
+ +
( )
( ) ( )
2
0 3 0 3 0
3 4 0 4 4 1 3 0 4 3 5 0
3 3
a b y y
a ab b
a x y x y
 = ⇒ − = ↔ − =
⇔ − = ⇔

= ⇒ + + − = ↔ + − =

(AC) cắt (AH) tại A : ( )1 2
3
3 0 5
3 4 27 0 31 58231 5;3 , ;
25 254 3 5 0 25
3 4 27 0 582
25
y
y x
x y
A Ax
x y
x y y
 =
 − = = −
− + =    ⇔ ⇔ − − = − + − =    
− + = 
=
Lập (AB) qua ( )B 2; 1− và 2 điểm A tìm được ở trên. (học sinh tự lập ). 
BT17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuông tại A, 
phương trình đường thẳng BC là : 3. 3 0x y− − = , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán 
kính đường tròn nội tiếptam giác ABC bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . 
Giải 
Đường thẳng (BC) cắt Ox tại B : Cho 0y = suy ra 1x = , ( )B 1;0 . Gọi ( )A a;0 thuộc Ox là đỉnh 
của góc vuông (a khác 1). Đường thẳng x a= cắt (BC) tại C : ( )( ); 3 1a a − . 
Độ dài các cạnh 2 2 21 , 3 1 2 1AB a AC a BC AB AC BC a= − = − ⇒ = + ⇒ = − 
Chu vi tam giác : ( ) ( )3 3 12 1 3 1 2 1 3 3 1 2
a
p a a a a p
+ −
= − + − + − = + − ⇔ = 
Ta có : S pr= suy ra SP
r
= .(*) Nhưng ( )21 1 3. 1 3 1 1
2 2 2
S AB AC a a a= = − − = − . Cho nên 
(*) trở thành : ( ) ( ) ( )2 3 2 31 33 3 1 1 1 1 2 3 12 4 1 2 3
a
a a a
a
 = +
+ − = − ⇒ − = + ⇔ 
= − −
Trọng tâm G : 
( )
( )
( ) 1
2 3 2 3 12 1 7 4 3
3 7 4 3 2 3 63 3 ;
3 33 1 3 2 2 3 2 3 6
3 3 3
G G
G
G
a
x x
G
a
y y
 + ++ += = =  + + 
⇔ ⇒ ⇔   
− +    +=
= =  
( )
( )
( ) 2
2 1 2 3 12 1 1 4 3
3 1 4 3 2 3 63 3 ;
3 33 1 3 2 2 3 2 3 6
3 3 3
G G
G
G
a
x x
G
a
y y

− − ++ += = = −  + + 
⇔ ⇔ ⇒ − −  
−
− −    +=
= = −  
BT18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn ( ) 2 2: 4 2 1 0C x y x y+ − − − = và 
đường thẳng : 1 0d x y+ + = . Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ 
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
- Trang 13 - 
được đến (C) hai tiếp tuyến hợp với nhau góc 090 . 
Giải 
d
M
B
I
A
M thuộc d suy ra ( )M t; 1 t− − . Nếu 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì MAIB là hình vuông 
(A, B là 2 tiếp điểm). Do đó 2 2 6 2 2 3AB MI IA R= = = = = . 
Ta có : ( ) ( )2 2 22 2 2 8 2 3MI t t t= − + + = + = 
Do đó : 
( )
( )
12 2
2
2 2; 2 1
2 8 12 2
2 2; 2 1
t M
t t
t M
 = − → − −
+ = ⇔ = ⇔

= → − −
. 
* Chú ý : Ta còn cách khác 
Gọi d' là đường thẳng qua M có hệ số góc k suy ra d' có phương trình: ( ) 1y k x t t= − − − , hay : 
1 0kx y kt t− − − − = (1). 
Nếu d' là tiếp tuyến của (C) kẻ từ M thì ( ); 'd I d R=
2
2 2
6
1
k kt t
k
− − −
⇒ =
+
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 22 2 6 1 4 2 2 2 2 4 2 0t k t k t t k t t k t t⇔  − − −  = + ⇔ − − + + − + + − =  
Từ giả thiết ta có điều kiện : ( ) ( )( )
2
2 2 2
2
2
4 2 0
' 4 2 4 2 4 0
4 2 1
4 2
t t
t t t t t
t t
t t


− − ≠

⇔ ∆ = − − − − − + >

+ −
= −

− −
( ) 1 22 2 1 2
2 1 2
2 6 1
' 19 0 2 ;2
12
t
k k
t t t k k M
k kt
 ≠ ±  + = ± 
⇔ ∆ = − > ⇒ = ± ⇒ ⇒ ⇔ 
 
= −=
BT19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm ( )A 1;1 và đường thẳng : 2 3 4 0x y∆ + + = 
Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng ∆ sao cho đường thẳng AB và ∆ hợp với nhau góc 450. 
Giải 
Gọi d là đường thẳng qua ( )A 1;1 có véc tơ pháp tuyến ( );n a b= thì d có phương trình dạng 
( ) ( )1 1 0a x b y− + − = (*). Ta có ( )2;3n∆ =



. 
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
- Trang 14 - 
Theo giả thiết : ( ) ( ) ( )20 2 2
2 2
2 3 1
cos , cos 45 2 2 3 13
213
a bd a b a b
a b
+∆ = = = ⇒ + = +
+
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1
: 1 1 0 5 4 0
5 55 2