Chuyên đề Phương trình đường thẳng

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Để viết được phương trình của một đường thẳng ta cần biết:
+ Một điểm và một vectơ chỉ phương
+ Hai mặt phẳng phân biệt chứa nó
Dạng 1: Viết Pt đt (d) đi qua M(x0 ; y0 ;z0) và có vectơ chỉ phương =(a;b;c)
PP:
 phương trình tham số của đường thẳng (d) :
 (d): với t R Nếu cả a, b, c 0 thì (d) có PT chính tắc 
VD: Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm có vectơ chỉ phương 
Giải:
Phương trình tham số: Phương trình chính tắc:
(d): (d): 
Dạng 2: Viết Pt đt (d) đi qua 2 điểm A;B
PP:
- Tính 
- Viết PT đường thẳng đi qua A hoặc B, và nhận làm vtcp
VD: Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng (d) đi qua hai điểm 
Giải:
Vectơ chỉ phương 
Phương trình tham số: Phương trình chính tắc:
(d) (d): 
Dạng 3: Viết Pt đt (d) đi qua A và song song với đường thẳng() 
PP:
- Từ pt () ctcp 
- Viết Pt đt(d) đi qua A và nhận làm vtcp
VD: Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng (d) đi qua hai điểm và song với đường thẳng 
Giải:
(d)// 
 Phương trình tham số: Phương trình chính tắc:
(d): (d): 
Dạng 4: Viết Pt đt (d) đi qua A và vuông góc với mp(P)
PP:
- Tìm ctpt của mp (P) 
- Pt đt(d) đi qua A và Có vtcp = 
-Viết Pt đt(d) đi qua A và nhận làm vtcp
VD: Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x - y +3z -2 = 0
Giải:
Phương trình tham số: Phương trình chính tắc:
(d): (d): 
Dạng 5: Viết Pt đt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2)không song song
PP:
- Từ (d1),(d2)=> tính [,].
- Vì (d) (d1),(d2) nên có vtcp = [,]
- Pt đt(d) đi qua A và có vtcp= [,]
VD: Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm và vuông góc với hai đường thẳng (: (: 
Giải:
 (có vtcp ; (có vtcp 
vuông góc với hai đường thẳng (và ( 
 Phương trình tham số: Phương trình chính tắc:
(d): (d): 
Dạng 6: Viết Pt đt (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)
PP:
VD: Viết phương trình của đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 
Giải:
Dạng 7: Viết Pt hình chiếu (d’) của (d) lên mp(P)
PP:
Cch 1: - Viết ptmp(Q) chứa (d) và vuông góc với mp(P)
 - Hình chiếu cần tìm d' = (P)(Q)
Cch 2: - Tìm A = ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) )( Lấy M nằm trên (d) và xác định hình chiếu H của M lên mp(P)
 - Lấy N nằm trên (d) và xác định hình chiếu K của N lên mp(P)
 - Viết phương trình d' đi qua A, H (H;K)
VD: Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d’) của đường thẳng lên mp 
Giải:
Tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) và mp(P) 
Hình chiếu vuông góc (d’) có vtcp
Dạng 8: Viết Pt đt (d) đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng (d1),( d2): 
PP:
Cch 1 : - Viết pt mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
 - Tìm B = 
 - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cch 2 : - Viết pt mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thẳng (d1)
 - Viết pt mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và chứa đường thẳng (d2)
 - Đường thẳng cần tìm (d) = 
Cách 3: - Lấy điểm M và điểm N 
 - Đường thẳng (d) đi qua A cắt tại M và tại N 
VD: Viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;1;1) và cắt hai đường thẳng 
Giải:
Dạng 9: Viết Pt đt(d) song song d1 và cắt cả hai đt (d2) ,( d3) 
PP: 
Cch 1: - Viết phương trình mp (P) song song (d1 )và chứa (d2)
 - Viết phương trình mp (Q) song song (d1) và chứa (d3)
 - Đường thẳng cần tìm (d) = 
Cch 2: - d//d1 VTCP 
 - Viết phương trình mp (P) song song (d1) và chứa (d2)
 -Tìm 
 -Viết PT (d) qua A VTCP 
Cách 3: - Lấy điểm M và điểm N 
 - Đường thẳng (d) song song với (d1) và cắt tại M và cắt tại N 
VD: Viết phương trình của đường thẳng (d)song song và cắt hai đường thẳng ; 
Giải:
 Vậy Pt
Dạng 10 : Viết Ptđtđt (d) đi qua A và vuông góc đường thẳng (d1) và cắt( d2) 
PP:
Cch 1 : - Viết pt mp qua A và vuông góc (d1) 
 - Tìm giao điểm B = 
 - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cch 2 : * Viết pt mp qua A và vuông góc (d1)
 * Viết pt mp qua A và chứa (d1)
 * Đường thẳng cần tìm (d) = 
VD: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;1;1) vuông góc với 
Giải:
Gọi (P) là mp đi qua A và vuông góc với (d1)
Dạng 11 : Viết ptđt (d) đi qua A, song song mp (P), cắt đường thẳng( d')
PP:
Cch 1 : - Viết pt mp(Q) đi qua A và song song với (P)
 - Viết pt mp(R) đi qua A và chứa (d')
 - Đường thẳng cần tìm d = 
Cch 2 : - Viết pt mp(Q) đi qua A và song song với (P)
 - Tìm B = 
 - Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B
VD: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;1;1) song song với (P): x+y+z-2=0 và cắt đường thẳng 
Giải:
Gọi (Q) là mp đi qua A và song song với mp (P) 
 Vậy 
Dạng 12 : Viết ptđt (d) nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước.
PP:
- Tìm giao điểm A=d1v B=d2
- Đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A, B
VD: Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mp (P): x+y+z-2=0 v cắt hai đường thẳng 
Giải:
Dạng 13 : Viết ptđt (d) nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng ( d’) tại giao điểm A của (P) và (d').
PP:
Cch 1: - Tìm giao điểm A = (d')
 - Tìm vtcp của (d') và vtpt của (P) và tính 
 - Viết ptđt (d) qua A và có vtcp 
Cch 2: - Tìm giao điểm A = (d')
 - Viết phương trình mặt phẳng (Q)đi qua A vuông góc (d’)
 - 
VD: Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mp (P): x+y+z-2=0 và vuông góc với (d’) tại giao điểm A của (d’) và (P)
Giải:
; tọa dộ điểm A
Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung (d) của 2 đường thẳng chéo nhau (d1),( d2) : 
PP:
Cách 1: - Gọi và 
 là các chân đường vuông góc chung của (d1), (d2)
 - Ta có hệ .
 - Thay t, u tìm M, N. Viết ptđt (d) đi qua M,N.
Cách 2: - 
(d) là đường vuông góc chung của (d1) và (d2) 
Gọi (P) là mp chứa (d) và (d1); gọi (Q) là mp chứa (d) và (d2)
VD: Viết ptđt vuông góc chung (d) của 2 đường thẳng chéo nhau; 
Giải:
 ; 
Dạng 15 : Viết Pt (d) vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng (d1),(d2) .
PP:
Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa (d1) và vuông góc với mp(P)
 - Viết ptmp(R) chứa (d2) và vuông góc với mp(P)
 - Đường thẳng d = 
Cách 2: - vtcp 
	- Gọi mp(Q) là mp chứa d và d1
	- Tìm 
	- Viết pt đường thẳng d
Cách 3: 	- Lấy điểm M và điểm N 
 	- Đường thẳng (d) vuông góc với mp (P) và cắt tại M và tại N 
VD: Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mp (P): x+y+z-2=0 và cắt hai đường thẳng ; 
Giải:
 ; 
Dạng 16 : Viết ptđt (d) đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng (d1)
PP:
Cách 1: - Viết pt mp(P) qua A và vuông góc (d1) 
 - Tìm giao điểm B = 
 - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2: - Gọi (P) là mp chứa điểm A và (d1) M0 nằm trên (d1)
- Viết pt mp (Q) qua A và vuông góc d1
VD: Viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;1;1) và cắt hai đường thẳng
Giải:
Dạng 17 : Viết ptđt (d) đi qua A ,vuông góc với( d1),tạo với (d2) góc 
PP:
- Gọi VTCP của d là 
- Vì =>phương trình (1)
- Vì => phương trình (2)
- Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d.
 ( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc thì có)
VD: Viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua điểm A(0;1;-2) vuông góc với đường thẳng 
Giải: 
Dạng 18 : Viết ptđt đi qua A , song song với mp(P) , tạo với (d1) góc .
PP:
- Gọi vtcp của (d) là 
- Vì (d)//(P) nên => phương trình (1).
- Vì =>phương trình (2).
- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.
=> ptđt (d) đi qua A, có vtcp 
VD: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;1;1) song song với mp (P):2x-y-y-2=0 và tạo với đường thẳng một góc 300
Giải:
Dạng 19 : Viết ptđt (d) nằm trong mp(P) , đi qqua giao điểm A của (d1 )với(P) và tạo với( d1) góc .
PP:
- Gọi vtcp của (d) là 
- Vì (d)(P) nên => phương trình (1).
- Vì =>phương trình (2).
- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. 
- Tìm => ptđt d đi qua A, có vtcp 
VD: Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của mp (P):2x-y-y-2=0 với đường thẳng tạo vời ( d 1) một góc 300
Giải:
Dạng 20: Viết ptđt (d) đi qua A , vuông góc (d1) và khoảng cách từ M đến(d) bằng h.
PP:
- Gọi vtcp của d là 
- Vì d nên => phương trình (1).
- Vì => phương trình (2).
- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. 
 => ptđt d đi qua A, có vtcp 
VD: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;1;4) vuông góc với đường thẳng và cách điểm B(2;5;6) bằng 4
Giải: