Chuyên đề: Phương pháp tam giác bằng nhau - Hình học 7

Chuyên đề: ph­¬ng ph¸p tam gi¸c b»ng nhau
Môn: Hình học
Lớp: 7
Người thực hiện: Lê Thị Kim Oanh
Thực hiện ngày 24 tháng 1năm 2008
I. Mục tiêu
Sau khi học xong chuyên đề học sinh có khả năng:
1.Biết vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau; Nắm được các bước chứng minh hai đoạn thẳng hay hai góc bằng nhau; Biết vẽ thêm đường phụ để tạo ra hai tam giác bằng nhau.
2. Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh
3. Có kĩ năng vận dụng các kiến thức được trang bị để giải toán.
II. Các tài liệu hỗ trợ:
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7
-Hình học nâng cao THCS
- Vẽ thêm yếu tố phụ để giải các bài toán hình học 7
- Bồi dưỡng toán 7
- Nâng cao và phát triển toán 7
- 
III. Nội dung
1. Kiến thức cần nhớ
Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau.
*. Các trường hợp bằng nhau của tam giác 
 a. Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh: Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh tương ứng của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
 b. Trường hợp cạnh - góc - cạnh: Nếu hai cạnh và một góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau
c. Trường hợp góc - cạnh - góc: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
*. Muốn chứng minh hai đoạn thẳng(hay hai góc) bằng nhau ta thường làm theo các bước sau:
- Xét xem hai đoạn thẳng(hay hai góc) là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào.
- Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau
- Suy ra hai cạnh (hay hai góc) tương ứng bằng nhau.
*. Để tạo ra được hai tam giác bằng nhau, có thể ta phải vẽ thêm đường phụ bằng nhiều cách:
- Nối hai cạnh có sẵn trên hình để tạo ra một cạnh chung của hai tam giác.
- Trên một tia cho trước, đặt một đoạn bằng một đoạn thẳng khác.
- Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song với một đoạn thẳng.
- Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng.
Ngoài ra còn nhiều cách khác ta có thể tích luỹ được kinh nghiệm khi giải nhiều bài toán.
2. Các ví dụ:
2.1. Ví dụ 1(BTNC&MSCĐ/123)
Cho góc vuông xOy, điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy. Lấy điểm E trên tia đối của tai Ox, điểm F trên tia Oy sao cho OE= OB, OF= OA.
a. Chứng minh AB = EF, AB EF.
b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và EF. Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.
Giải:
GT = 900; AOx, BOy 
 OE = OB, OF= OA
 M AB: MA = MB
 N EF: NE = NF
KL a, AB = EF, AB EF
 b. OMN vuông cân
Chứng minh
a. Xét AOB và FOE có:
OA = OF ( GT)
 = = 900 AOB và FOE(C.G.C) 
OB = OE (GT)
AB = EF( cạnh tương ứng)
 = (1) ( góc tương ứng)
Xét FOE : = 900 + = 900 (2)
 Từ (1) và (2) + = 900 =900 EH HA hay AB EF.
b. Ta có: BM = AB( M là trung điểm của AB)
 EN = EF( M là trung điểm của EF) BM = EN
 Mà AB = EF
Mặt khác:FOE : = 900 + = 900 
 OAB : = 900 + = 900 = 
 Mà = (cmt) 
Xét BOM vàEON có : 
 OB = OE (gt)
 = (cmt) BOM =EON (c.g.c)
 BM = EN (cmt)
OM = ON (*)
 Và = 
Mà +=900 nên +=900 = 900 (**)
Từ (*) và(**) OMN vuông cân
2.2. VD2( BT26/VTYTP/62):
Cho ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Nối D với E. Gọi I là trung điểm của DE. 
Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng.
Giải
 GT ABC: AB = AC 
 D AB, E AC: BD=CE
 I DE: ID = IE
KL B, I, C thẳng hàng
* Phân tích: B, I, C thẳng hàng += 1800
 Cần c/m =
 Mà += 180
 Cần tạo ra một điểm F trên cạnh BC: EIC = DIF
Chứng minh
Kẻ DF// AC( F BC)= ( hai góc đồng vị)
 =
Mà ABC cân tai A = (t/c)
DFB cân tai D DB = DF
Xét DIF VàEIC có:
 ID = IE (gt)
 = (SLT, DF// AC) DIF =EIC(c.g.c)
 DF = EC (=BD) 
= (hai góc tương ứng) (1)
Vì I DE nên += 1800 (2)
Từ (1) và (2)+= 1800 hay += 1800 B, I, C thẳng hàng.
2.3. VD 3:(BTNC&MSCD/123)
Cho ABC, = 600. Phân giác BD, CE cắt nhau tại O. Chứng minh rằng :
a. DOE cân
b. BE + CD= BC.
Giải
 ABC, =600 
 BD: Phân giác (DAC) 
 GT CE: Phân giác (EAB) 
 BD CE = {O}
KL a. DOE cân
 b. BE + CD= BC.
Chứng minh
Ta có: ABC: +=1800 - =1800 - 600 = 1200 (Định lý tổng ba góc của một tam giác)
Mà =(BDlà phân giác)
 = (CE là phân giác )
Nên += == 600
OBC: = 1800 - (+)= 1800 - 600=1200((Định lý tổng ba góc của một tam giác)
Mặt khác:+ = 1800( kề bù)
 ==600
 + = 1800( kề bù)
Vẽ phân giác OF của (FBC) ===600
Do đó : ====600
Xét BOE và BOF có:
 = (BDlà phân giác)
 BO cạnh chung BOE = BOF(g.c.g)
 ==600
OE = OF (1) ( hai cạnh tương ứng)
 Và BE = BF
c/m tương tự COD = COF(g.c.g)OD =- OF (2) (hai cạnh tương ứng)
 và CD = EF
Từ (1 ) và (2) OE = OD DOE cân
b. Ta có BE = BF
 CD = CF (cmt)
 BE+CD=BF+FC=BC
Vậy : BE + DC= BC
* Nhận xét:
- VD trên cho ta thêm một cách vẽ đường phụ:Vẽ phân giác OF của . Khi đó OF là một đoạn thẳng trung gian để so sánh OD với OE.
- Ta cũng có thể vẽ thêm đường phụ bằng cách khác: Trên BC lấy điểm F:BF= BE. Do đó cần c/m BOE = BOF(g.c.g) và COD = COF(g.c.g).
3. Bài tập
3.1.Bài tập 1: 62- BTNC&MSCĐ/117)
 Tam giác ABC và tam giác A'B'C' có AB=A'B', AC= A'C'. Hai góc A và A'bù nhau. Vẽ trung tuyến AM rồi kéo dài một đoạn MD=MA.
Chứng minh: a. =
 b. AM = B'C'
Giải
GT ABC, A'B'C':
 AB=A'B', AC= A'C' 
 += 1800
 M BC: MB=MC
 D AM: MD=MA
KL a. = 
 b. AM = B'C'
Chứng minh
Xét AMC và DMB có:
 AM = MD (gt)
 = (đối đỉnh) AMC = DMB (c.g.c)
 MC = MB( gt)
 AC = BD ( hai cạnh tương ứng)
 = ( hai góc tương ứng) AC//BD ( vì có cặp góc SLT bằng nhau)
 += 1800(hai góc trong cùng phía)
 Mà += 1800(gt)
=
b. Xét ABD và B'A'C' có:
AB = A'B'(gt)
=(cmt) ABD và B'A'C'(c.g.c)
BD = A'C'(=AC)
AD = B'C' ( hai cạnh tương ứng)
 Mà AM = AD (gt)
AM = B'C'
* Nhận xét: Hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau và một cặp góc xen giữa chúng bù nhau thì trung tuyến thuộc cạnh thứ ba của tam giác này bằng một nửa cạnh thứ ba của tam giác kia.
3.2. BT2: 63- BTNC&MSCĐ/117)
Cho tam giác ABC. vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác vuông cân tại A là ABE và ACF.
Chứng minh: a. BF = CE và BF CE 
 b. Gọi M là trung điểm của BC. CMR: AM = EF
Giải
 ABC 
 ABE: = 900, AB = AE
 GTACF: = 900, AC = AF
 MBC: MB=MC
KL a.BF = CE và BF CE 
 b.AM =EF
Chứng minh
a. Ta có: = += 900 + 
 = + = 900 + 
=
Xét ABF và AEC có: 
 AB = AE(gt)
=(cmt) ABF = AEC(c.g.c)
AF = AC (cmt)
BF = CE ( hai cạnh tương ứng)
và= ( hai góc tương ứng) (1)
Gọi O và I lần lượt là giao điểm của CE với BF và AB.
Xét AEI vuông tại A có += 900(2) 
Và =(đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) và (3)+=900= 900BF CE 
b. Ta có:+++= 3600
+= 3600 - (+) =3600-(900+900)=1800
Ta thấy: ABC và EAF có hai cặp cạnh bằng nhau và một cặp góc xen giữa chúng bù nhau nên trung tuyến AM = EF
3.3. BT3(HHNC/56):
Cho ABC .vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác vuông cân tại A là ABE và ACF. Vẽ AH vuông góc với BC. Đường thẳng AH giao EF tại O.
CMR: O là trung điểm của EF.
Giải
 ABC
 ABE: = 900, AB = AE
GT ACF: = 900, AC = AF
 AH BC ( HBC)
 AHEF ={O}
KL O là trung điểm của EF.
Chứng minh
Kẻ EI AH, FKAH (I, K AH)
Xét AEI và ABH có:
= = 900
AE = AB (gt) 
= ( cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc cùng nhọn)
AEI = ABH (cạnh huyền- góc nhọn)
EI = AH ( hai cạnh tương ứng)
Tương tự:AFK = CAH (cạnh huyền- góc nhọn)
FK = AH ( hai cạnh tương ứng)
Xét OEI và OFK có:
= = 900
EI = FK (=AH) OEI = OFK(g.c.g)
=(SLT, EI//FK)
OE = OF ( hai cạnh tương ứng)
Mà OEF(gt)
O là trung điểm của EF.
3.4. BT4( 88/ BDT7/101)
Cho ABC có = 600 . Dựng ra ngoài tam giác đó các tam giác đều ABM và CAN.
a. CMR: Ba điểm A, M, N thẳng hàng
b. c/m BN = CM
c. Gọi O là giao điểm của BN và CM. Tính .
Giải
GT ABC : = 600 
 ABM: AB= BM=MA
 CAN: AC=CN=NA
 BN CM = {O}
Kl a. A,M,N thẳng hàng
 b. BN=CM
 c. =?
Chứng minh
a. ABM, CAN đều = =600
Vậy =++= 600+600+600=1800M,A,N thẳng hàng
b.Xét ABN và ACM có:
AB = AM (gt)
=(=1200) ABN = ACM(c.g.c)
AN=AC(gt)
BN = CM ( hai cạnh tương ứng)
Và =( hai góc tương ứng)
c. là góc ngoài của OCN
=+=++
Mà =(cmt)
=++= +=600+600=1200
3.5.BT5(35/NC&PT/37)
Chứng minh rằng: Nếu hai cạnh và trung tuyến thuộc cạnh thứ ba của tam giác này bằng hai cạnh và trung tuyến thuộc cạnh thứ ba của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Giải
GT ABC, A'B'C': 
 AB = A'B', AC= A'C'
 MBC: MB=MC
 M'B'C': M'B'=M'C'
 AM=A'M'
KL ABC=A'B'C'
Chứng minh
Lấy DAM: MD=MA
Lấy D'A'M': M'D'=M'A'
Xét ABM và DMC có:
MB=MC(gt)
=(đối dỉnh) ABM và DMC(c.g.c)
AM = MD(cách lấy điểm D)
CD= AB( hai cạnh tương ứng)
Và =(1)( hai góc tương ứng)
C/m tương tự ; C'D'=A'B'; =(2)
Xét ACD và A'C'D' có:
AC = A'C'(gt)
AD=A'D'(vì AM=A'M') ACD = A'C'D'(c.g.c)
CD=C'D'(=AB)
=và=(3)
Từ (1), (2),(3) =mà ==
Vậy ABC=A'B'C'(c.g.c)
* cách 2:
AMC và A'M'C' có: 
AM=A'M'(gt)
=(cmt) AMC = A'M'C'(c.g.c)
 AC= A'C'(gt)
MC = M'C'( hai cạnh tương ứng)
Mà MC = BC; M'C' = B'C'(gt). Do đó: BC=B'C'.
Vậy ABC=A'B'C'(c.c.c)
4. Chốt lại phần lý thuyết và lưu ý vận dụng chuyên đề: Khi cần phải chứng minh hai đoạn thẳng hay hai góc bằng nhau
5.Bài tập về nhà:
Cho tam giác ABC cân đáy BC.=200. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho=500. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho=600. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC,nó cắt AB tại F. Gọi O là giao điểm của BD và CF.
a. C/m AFC=ADB.
b. C/m OFD và OBC là các tam giác đều.
c. Tính số đo góc EOB.
d. C/m EFD = EOD.
d. Tính số đo góc BDE.