Chuyên đề Phương pháp luyện tập thể tích khối đa diện

1c b
a
MH CB
A
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP 
 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 
I. Ôn tập kiến thức cơ bản: 
ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 
10 
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho 
ABCD vuông ở A ta có : 
a) Định lý Pitag : 2 2 2BC AB AC= + 
b) CBCHCABCBHBA .;. 22 == 
c) AB. AC = BC. AH 
d) 222
111
ACABAH
+= 
e) BC = 2AM 
f) sin , os , tan , cot
b c b c
B c B B B
a a c b
= = = =
g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a = 
sin cos
b b
B C
= , 
 b = c. tanB = c.cot C 
 2.Hệ thức lượng trong tam giác thường: 
 * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA 
 * Định lý hàm số Sin: 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = = 
3. Các công thức tính diện tích. 
 a/ Công thức tính diện tích tam giác: 
1
2
S = a.ha = 
1 . .
. sin . .( )( )( )
2 4
a b c
a b C p r p p a p b p c
R
= = = - - - với
2
a b c
p
+ +
= 
Đặc biệt :* ABCD vuông ở A : 1 .
2
S AB AC= ,* ABCD đều cạnh a: 
2 3
4
a
S = 
 b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh 
 c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng 
 d/ Diên tích hình thoi : S = 1
2
(chéo dài x chéo ngắn) 
 d/ Diện tích hình thang : 1
2
S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 
 e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao 
 f/ Diện tích hình tròn : 2S .Rp= 
ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 
2A.QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 
I. Định nghĩa: 
Đường thẳng và mặt 
phẳng gọi là song song 
với nhau nếu chúng 
không có điểm nào chung.
a/ /(P) a (P)Û Ç =Æ
a
(P)
II.Các định lý:
ĐL1:Nếu đường thẳng d 
không nằm trên mp(P) và 
song song với đường 
thẳng a nằm trên mp(P) 
thì đường thẳng d song 
song với mp(P) 
d (P)
d / /a d / /(P)
a (P)
ì Ë
ï Þí
ï Ìî
d
a
(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a 
song song với mp(P) thì 
mọi mp(Q) chứa a mà cắt 
mp(P) thì cắt theo giao 
tuyến song song với a. 
a/ /(P)
a (Q) d / /a
(P) (Q) d
ì
ï Ì Þí
ï Ç =î
d
a
(Q)
(P)
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng 
cắt nhau cùng song song 
với một đường thẳng thì 
giao tuyến của chúng 
song song với đường 
thẳng đó. 
(P) (Q) d
(P)/ /a d / /a
(Q)/ /a
ì Ç =
ï Þí
ï
î
a
d
Q
P
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi 
là song song với nhau nếu 
chúng không có điểm nào 
chung. 
(P)/ /(Q) (P) (Q)Û Ç =Æ
Q
P
II.Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa 
hai đường thẳng a, b cắt 
nhau và cùng song song 
với mặt phẳng (Q) thì 
(P) và (Q) song song với 
nhau. 
a,b (P)
a b I (P)/ /(Q)
a/ /(Q),b / /(Q)
ì Ì
ï Ç = Þí
ï
î
Ib
a
Q
P
3ĐL2: Nếu một đường 
thẳng nằm một trong hai 
mặt phẳng song song thì 
song song với mặt phẳng 
kia. 
(P) / /(Q)
a / /(Q)
a (P)
ì
Þí
Ìî
a
Q
P
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng 
(P) và (Q) song song thì 
mọi mặt phẳng (R) đã 
cắt (P) thì phải cắt (Q) và 
các giao tuyến của chúng 
song song. 
(P) / /(Q)
(R) (P) a a / /b
(R) (Q) b
ì
ï Ç = Þí
ï Ç =î
b
a
R
Q
P
B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 
I.Định nghĩa: 
Một đường thẳng được 
gọi là vuông góc với một 
mặt phẳng nếu nó vuông 
góc với mọi đường thẳng 
nằm trên mặt phẳng đó. 
a mp(P) a c, c (P)^ Û ^ " Ì
P c
a
II. Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d 
vuông góc với hai đường 
thẳng cắt nhau a và b 
cùng nằm trong mp(P) thì 
đường thẳng d vuông góc 
với mp(P). 
d a ,d b
a ,b mp(P) d mp(P)
a,b caét nhau
ì ^ ^
ï Ì Þ ^í
ï
î
d
a
b
P
ĐL2: (Ba đường vuông 
góc) Cho đường thẳng a 
không vuông góc với 
mp(P) và đường thẳng b 
nằm trong (P). Khi đó, 
điều kiện cần và đủ để b 
vuông góc với a là b 
vuông góc với hình chiếu 
a’ của a trên (P). 
a mp(P),b mp(P)
b a b a'
^ Ì
^ Û ^
a'
a
b
P
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I.Định nghĩa: 
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. 
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
4
II. Các định lý:
ĐL1:Nếu một mặt 
phẳng chứa một đường 
thẳng vuông góc với một 
mặt phẳng khác thì hai 
mặt phẳng đó vuông góc 
với nhau. 
a mp(P)
mp(Q) mp(P)
a mp(Q)
ì ^
Þ ^í
Ìî
Q
P
a
ĐL2:Nếu hai mặt phẳng 
(P) và (Q) vuông góc 
với nhau thì bất cứ 
đường thẳng a nào nằm 
trong (P), vuông góc với 
giao tuyến của (P) và 
(Q) đều vuông góc với 
mặt phẳng (Q). 
(P) (Q)
(P) (Q) d a (Q)
a (P),a d
ì ^
ï Ç = Þ ^í
ï Ì ^î
d Q
P
a
ĐL3: Nếu hai mặt 
phẳng (P) và (Q) vuông 
góc với nhau và A là 
một điểm trong (P) thì 
đường thẳng a đi qua 
điểm A và vuông góc 
với (Q) sẽ nằm trong (P) 
(P) (Q) 
A (P)
a (P)
A a 
a (Q)
ì ^
ï Îï Þ Ìí
Îï
ï ^î
A
Q
P
a
ĐL4: Nếu hai mặt 
phẳng cắt nhau và cùng 
vuông góc với mặt 
phẳng thứ ba thì giao 
tuyến của chúng vuông 
góc với mặt phẳng thứ 
ba. 
(P) (Q) a
(P) (R) a (R)
(Q) (R)
ì Ç =
ï ^ Þ ^í
ï ^î
a
R
QP
§3.KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường 
thẳng , đến 1 mặt phẳng: 
 Khoảng cách từ điểm M đến đường 
thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là 
khoảng cách giữa hai điểm M và H, 
trong đó H là hình chiếu của điểm M 
trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)) 
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH 
a
H
O
H
O
P
52. Khoảng cách giữa đường thẳng và 
mặt phẳng song song: 
Khoảng cách giữa đường thẳng a và 
mp(P) song song với a là khoảng cách 
từ một điểm nào đó của a đến mp(P). 
d(a;(P)) = OH 
a
H
O
P
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng 
song song: 
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên 
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 
d((P);(Q)) = OH 
H
O
Q
P
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
chéo nhau: 
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai 
đường thẳng đó. 
d(a;b) = AB B
A
b
a
§4.GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b 
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ 
cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng 
phương với a và b. 
b'
b
a'a
2. Góc giữa đường thẳng a không 
vuông góc với mặt phẳng (P) 
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó 
trên mp(P). 
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt 
phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường 
thẳng a và mp(P) là 900. 
P
a'
a
3. Góc giữa hai mặt phẳng 
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt 
vuông góc với hai mặt phẳng đó. 
 Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm 
trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với 
giao tuyến tại 1 điểm 
ba
QP
P Q
a b
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
6
B
h
a
b
c
a
a
a
B
h
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện 
tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là 
diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên 
mp(P’) thì 
S' Scos= j
trong đó j là góc giữa hai mặt phẳng 
(P),(P’). 
j
C
B
A
S
ÔN TẬP 3 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 
12 
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: 
 V= B.h 
với 
B : d ie än t íc h ñ a ùy 
h : c h ie àu c a o
ì
í
î
a) Thể tích khối hộp chữ nhật: 
 V = a.b.c 
với a,b,c là ba kích thước 
b) Thể tích khối lập phương: 
 V = a3 
với a là độ dài cạnh 
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: 
 V=
1 
3
Bh 
với 
B : dieän tích ñaùy
h : chieàu cao
ì
í
î
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: 
Cho khối tứ diện SABC và A’, 
B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt 
thuộc SA, SB, SC ta có: 
SABC
SA ' B ' C '
V SA SB SC
V SA ' SB ' SC '
=
C'
B'
A'
C
B
A
S
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
7
4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT: 
 ( )hV B B' BB'3= + + 
với 
B, B' : dieän tích hai ñaùy
h : chieàu cao
ì
í
î
BA
C
A' B'
C'
Chú ý: 
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 , 
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 , 
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = 2 2 2a b c+ + , 
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 3 
2
a
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng 
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy). 
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. 
II/ Bài tập: 
Nội dung chính 
LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ 
1) Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy 
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông 
cân tại A có cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ. 
 a 2
Lời giải: 
 Ta có 
 ABCV vuông cân tại A nên AB = AC = a 
ABC A'B'C' là lăng trụ đứng AA' ABÞ ^
2 2 2 2AA'B AA' A'B AB 8aÞ = - =V
AA' 2a 2Þ = 
Vậy V = B.h = SABC .AA' = 3a 2
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và 
đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này. 
8A'
D
B'
C'
A'
C
D'
C'
B'B
D'
A
5a4a
D' C'
B'
A'
D C
BA
Lời giải: 
 ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên 
 BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 BD 3aÞ =
 ABCD là hình vuông 3aAB
2
Þ = 
Suy ra B = SABCD = 
29a 
4
 Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 
 Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh 
 a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. 
A' C'
B'
A
B
C
I
Lời giải: 
 Gọi I là trung điểm BC .Ta có 
VABC đều nên 
AB 3 
3 &
2
AI 2 AI BC
A'I BC(dl3 )
== ^
Þ ^ ^
A'BC
A'BC 
2S1S BC.A'I A 'I 4
2 BC
= Þ = =
AA' (ABC) AA' AI^ Þ ^ . 
2 2A 'AI AA' A 'I AI 2Þ = - =V 
 Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 8 3
 Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc 
 tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật 
 không có nắp. Tính thể tích cái hộp này. 
D'
A'
C'
B'
D
A
C
B
Giải 
 Theo đề bài, ta có 
AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm 
nên ABCD là hình vuông có 
AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm 
 và chiều cao hộp h = 12 cm 
 Vậy thể tích hộp là 
V = SABCD.h = 4800cm
3 
 Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 
960
D' C'
B'
A'
D C
BA
 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. 
 Tính thể tích hình hộp . 
Lời giải: 
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a 
và SABCD = 2SABD = 
2a 3 
2
Theo đề bài BD' = AC = a 32 a 3
2
= 
2 2DD'B DD' BD' BD a 2Þ = - =V
 Vậy V = SABCD.DD' = 
3a 6 
2
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của 
lăng trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ. 
 ĐS: 
3a 3V
4
= ; S = 3a2 
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết 
rằng BD' a 6= . Tính thể tích của lăng trụ. 
 Đs: V = 2a3 
Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm 
và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng 
diện tích các mặt của lăng trụ. 
 Đs: V = 240cm3 và S = 248cm2
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm 
;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ . 
 Đs: V = 1080 cm3 
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông 
cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 
5a . Tính thể tích lăng trụ. 
 Đs: V = 24a3 
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng 
diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm2 .Tính thể tích lăng trụ. 
 Đs: V = 64 cm3 
Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của 
khối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ. 
 Đs: V = 2888 
Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m2 . Tính thể 
tích khối lập phương Đs: V = 8 m3 
Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ 
dài một đường chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. 
 Đs: V = 0,4 m3 
10
o60
C'
B'
A'
C
B
A
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là 
5; 10; 13 . Tính thể tích khối hộp này . Đs: V = 6 
 Dạng 2 : Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác 
 vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 . 
 Tính thể tích lăng trụ. 
Lời giải: 
 Ta có A 'A (ABC) A 'A AB& AB^ Þ ^ là 
hình chiếu của A'B trên đáy ABC . 
 Vậy ¼ ogóc[A'B,(ABC)] ABA' 60= = 
0ABA' AA' AB.tan 60 a 3Þ = =V
 SABC = 
21 aBA.BC
2 2
=
 Vậy V = SABC.AA' = 
3a 3 
2
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác 
 vuông tại A với AC = a , ¼ACB= 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. 
 Tính AC' và thể tích lăng trụ. 
a 
o
60
o30
C'
B'
A'
C
B
A
Lời giải: o a 3ABC AB AC.tan60 =Þ =V . 
Ta có: 
AB AC;AB AA' AB (AA'C'C)^ ^ Þ ^
nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C). 
Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = ¼BC'A = 30o 
o
ABAC'B AC' 3a
tan30
Þ = =V 
 V =B.h = SABC.AA' 
2 2AA'C' AA' AC' A'C' 2a 2Þ = - =V
ABCV là nửa tam giác đều nên 
2
ABC
a 3S
2
= 
 Vậy V = 3a 6
 Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 
 và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. 
 Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ . 
11
o
30
a
D'
C'
A'
B'
D
C B
A
Giải: 
 Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta 
có: DD' (ABCD) DD' BD^ Þ ^ và BD là hình 
chiếu của BD' trên ABCD . 
 Vậy góc [BD';(ABCD)] = ¼ 0DBD' 30=
0 a 6BDD' DD' BD.tan30
3
Þ = =V 
Vậy V = SABCD.DD' = 
3a 6 
3
S = 4SADD'A' = 
24a 6 
3
 Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh 
 a và ¼BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o . 
 Tính thể tích của hình hộp. 
a
o30
o60
D'
C'B'
A'
D
CB
A
Giải 
ABDV đều cạnh a 
2
ABD
a 3S
4
Þ = 
2
ABCD ABD
a 3S 2S
2
Þ = = 
ABB'V vuông tạiB oBB' ABt an30 a 3Þ = = 
 Vậy 
3
ABCD
3aV B.h S .BB'
2
= = = 
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết 
A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ 
 ĐS: 
3a 2V
16
= 
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết 
BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ. 
 ĐS: 
3a 3V
2
= 
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết 
AB' hợp với mặt bên (BCC'B') một góc 30o . 
Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ . ĐS: AB' a 3= ; 3a 3V
2
= 
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết 
AC = a và ¼ oACB 60= biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30o . 
Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'. ĐS: 3 6V a= , S = 
23a 3
2
12
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt 
phẳng (A'BC) bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 . 
 Tính thể tích lăng trụ ĐS: 
332aV
9
= 
Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết 
rằng A'C hợp với (ABCD) một góc 30o và hợp với (ABB'A') một góc 45o . 
 Tính thể tích của khối hộp chữ nhật. Đs: 
3a 2V
8
= 
Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông . Gọi 
O là tâm của ABCD và OA' = a .Tính thể tích của khối hộp khi: 
1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương . 
2) OA' hợp với đáy ABCD một góc 60o . 
3) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30o. 
 Đs:1)
32a 6V
9
= ;2)
3a 3V
4
= ;3)
34a 3V
9
= 
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và 
BD' = a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 
 1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o . 
 2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30o . Đs: 1)V = 
3a 3
16
 2)V = 
3a 2
8
Bài 9: Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát 
xuất từ một đỉnh của 2 mặt bên kề nhau là 60o.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện 
tích các mặt của lăng trụ . Đs: V = a3 và S = 6a2 
Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c 
và BD' = AC' = CA' = 2 2 2a b c+ +
1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' là hộp chữ nhật. 
2) Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng 
thuộc đường chéo. Chứng minh rằng 2 2 2sin x sin y sin z 1+ + = . 
3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng 
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác 
 vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 
 600 .Tính thể tích lăng trụ. 
13
C'
B'
A'
C
B
A
o60
Lời giải: 
Ta có A 'A (ABC)& BC AB BC A'B^ ^ Þ ^
 Vậy ¼ ogóc[(A 'BC),(ABC)] ABA' 60= = 
0ABA' AA' AB.tan 60 a 3Þ = =V
 SABC = 
21 aBA.BC
2 2
=
 Vậy V = SABC.AA' = 
3a 3 
2
 Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt 
 (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. 
 Tính thể tích khối lăng trụ. 
x
o30
I
C'
B'
A'
C
B
A
Giải: ABCV đều AI BCÞ ^ mà AA' (ABC)^
nên A'I BC^ (đl 3^ ). 
 Vậy góc[(A'BC);)ABC)] =¼A'IA = 30o 
Giả sử BI = x 3
2
32 
x
x
AI ==Þ .Ta có 
x
xAI
AIIAAIA 2 
3
32
3
2
30cos:':' 0 ====D 
 A’A = AI.tan 300 = xx =
3
3
.3 
 Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3 
Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8 2=Þ x 
 Do đó VABC.A’B’C’ = 8 3 
 Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng 
 (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. 
14
a
060
O
A'
D'
B'
C'
C
A
D
B
Gọi O là tâm của ABCD . Ta có 
ABCD là hình vuông nênOC BD^
CC'^ (ABCD) nên OC'^BD (đl 3^ ). Vậy 
góc[(BDC');(ABCD)] = ¼COC' = 60o 
 Ta có V = B.h = SABCD.CC' 
ABCD là hình vuông nên SABCD = a
2 
OCC'V vuông nên CC' = OC.tan60o = a 6 
2
 Vậy V = 
3a 6 
2
 Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng 
 (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một 
 góc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật. 
2a
o 
30
o
60
D'
C'B'
A'
D
C
B
A
Ta có AA' (ABCD)^ ÞAC là hình chiếu 
của A'C trên (ABCD) . 
Vậy góc[A'C,(ABCD)] = ¼ oA 'CA 30=
BC ^AB ÞBC ^A'B (đl 3^ ) . 
Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = ¼ oA 'BA 60=
A'ACÞV AC = AA'.cot30o = 2a 3
A'ABÞV AB = AA'.cot60o = 2a 3
3
2 2 4a 6ABC BC AC AB
3
Þ = - =V 
 Vậy V = AB.BC.AA' = 
316a 2 
3
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp 
với đáy ABCD một góc 30o và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 600 . 
Tính thể tích hộp chữ nhật. Đs: 
32a 2V
3
= 
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh 
bên bằng a biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30o.Tính thể tích khối 
lăng trụ. Đs: V = 3a3 
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B 
và AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng 
trụ. Đs: 3V a 2=
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với 
AB = AC = a và ¼ oBAC 120= biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. 
Tính thể tích lăng trụ. Đs: 
3a 3V
8
= 
15
Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và 
BB' = AB = h biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích 
lăng trụ. Đs: 
3h 2V
4
= 
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a 
 Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 
1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o . 
2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45o. 
3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ. 
 Đs: 1) 3V a 3= ; 2) V = 
3a 3 
4
 ; V = 3a 3
Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính 
 thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 
1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o . 
2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600 . 
3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a . 
 Đs: 1) V = 16a3 . 2) V = 12a3 .3) V = 
316a 
3
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 
 Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o . 
2)Tam giác BDC' là tam giác đều. 
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450 
 Đs: 1) 
3a 6 
2
V = ; 2) V = 3a ; V = 3a 2
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và 
góc nhọn A = 60o .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o . 
2)Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng a 
2
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450 
 Đs: 1) 
33a 3V
4
= ; 2) V = 
33a 2 
8
 ; V = 
33a 
2
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a 
 Tính