Chuyên đề phụ đạo 11

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
*ôn tập kiến thức cơ bản về giới hạn dãy số:
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
;
; 
2. Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
· lim (un + vn) = a + b
· lim (un – vn) = a – b
· lim (un.vn) = a.b
· (nếu b ¹ 0)
b) Nếu un ³ 0, "n và lim un= a thì a ³ 0 và lim 
c) Nếu ,"n và lim vn = 0 
thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì 
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
 S = u1 + u1q + u1q2 +  = 
1. Giới hạn đặc biệt:
2. Định lí:
a)Nếu thì 
b) Nếu lim un = a, lim vn = ±¥ thì lim= 0
c) Nếu lim un =a ¹ 0, lim vn = 0 
thì lim= 
d) Nếu lim un = +¥, lim vn = a
thì lim(un.vn) = 
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vô định.
*Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
· Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n và đặt nhân tử chung.
*Ví dụ: 	a) 	
b) 
c) 
· Nhân lượng liên hợp: 
Dùng các hằng đẳng thức: 
*Ví dụ: ===
· Dùng định lí kẹp: Nếu ,"n và lim vn = 0 thì 	lim un = 0
	*Ví dụ: 	a) Tính .	
	Vì 0 £ và nên 
	b) Tính .
	Vì 
	nên 0 £ . 
	Mà nên 
*Chú ý: Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
	· Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
	· Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
· Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +¥ nếu hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu cùng dấu và kết quả là –¥ nếu hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫumẫu trái dấu(ta thường đặt nhân tử chung của tử, mẫu riêng). 
*Các ví dụ:
 *Ví dụ1: lim = lim =
 	*Ví dụ2: lim() = limn.() = +. (Vì limn = + và lim() = 2 > 0)
 *Ví dụ3: a) 
b) 
c)
 là biểu thức liên hợp của 
d) .
e) 
*Ví dụ4: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội và số hạng đầu u1=1.
*Bài tập tự luận:
	Bài 1: Tính các giới hạn sau: 
(Chia cả tử và mẫu cho nk với số mũ k cao nhất Hoặc đặt nhân tử chung)
 lim(n2 - n + 1).	 	ĐS: +¥
 lim(-n2 + n + 1). 	ĐS: -¥ 
 lim 	ĐS: +¥
 lim 	ĐS: -¥
 lim(2n + cosn).	 	ĐS: +¥
 lim(n2 - 3sin2n + 5). 	ĐS: +¥
 un = .	ĐS: +¥	
 un = 2n - 3n. 	ĐS: - ¥
 	ĐS: 0	
	 	ĐS: 0
	 lim 	ĐS: 0
 	ĐS: 2/3
 	ĐS: 3	
 	ĐS: 1
 lim 	ĐS: -1/2
 lim 	ĐS: 2
 lim 	ĐS: 2
 	ĐS: +¥
 	ĐS: -¥	
 	ĐS: -¥
	Bài 2: Tính các giới hạn sau: (Chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất)
	a) 	ĐS: 1	
	b) 	ĐS: 
	c) 	ĐS: 0	 
d) 	ĐS: 5
e) 	ĐS: -1/2
f) 	ĐS: 1/3 
	Bài 3: Tính các giới hạn sau: 
(Tử ở dạng vô cùng ±vô cùng; Mẫu ở dạng vô cùng + vô cùng ;
bậc của tử và mẫu bằng nhau thì ta chia cho số mũ cao nhất)
*Chú ý: có mũ có mũ 
 	ĐS: 2 	
 	ĐS: 0
	ĐS: 0	
 	ĐS: 2
 	ĐS: 2
 	ĐS: -1/()
	Bài 3: Tính các giới hạn sau: 
- Nếu bài toán có dạng: Vô cùng – vô cùng hoặc cả tử và mẫu ở dạng: Vô cùng- vô cùng. 
(có hệ số của bậc cao nhất giống nhau) Thì ta nhân lượng liên hợp
- Nếu bài toán có dạng: Vô cùng – vô cùng hoặc cả tử và mẫu ở dạng: Vô cùng- vô cùng. 
(có hệ số của bậc cao nhất khác nhau) ta chia hoặc đặt nhân tử chung.
	a) 	ĐS: +¥
	b) 	ĐS: 2012
	c) 	ĐS: -1/2
	d) 	ĐS: 5
	e) 	ĐS: 5
	f) 	ĐS: 0
	g) 	ĐS: 1/2
	h) 	ĐS: -1
k) ĐS: -1/()	
l) ĐS: -¥
m) ĐS: -1/2	
n) 	 	 ĐS: 0
	 i) ĐS: 1
	Bài 4: Tính các giới hạn sau: (Giới hạn kẹp giữa hai biểu thức có cùng kết quả)
 	ĐS: 0	
 	ĐS: 0	
	ĐS: 0	
	ĐS: -1/3
	Bài 5: Tính các giới hạn sau: (Rút gọn rồi tính giới hạn)
	a) 	ĐS: 1
	b) 	ĐS: 1/2
	c) 	ĐS: 0
	d) với ½a½, ½b½ < 1. ĐS: (1-b)/(1-a)
	Bài 6: Tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn:
a) S = 1 + + + 	 	ĐS: 2 
b) S = 1 + 	ĐS: 12/11
*Bài tập trắc nghiệm: 
Câu 1: bằng:
a. - 	b. + 	c. 1 	d. – 1
Câu 2: bằng:
a. - 	b. + 	c. 1 	d. – 1
Câu 3: bằng:
a. -1/2 	b. 3/2 	c. - 	d. +
Câu 4: bằng:
a. 2/3 	b. 0 	c. - 	d. Đáp án khác
Câu 5: bằng:
a. 2/3 	b. -2/3 	c. - 	d. +
Câu 6: bằng:
a. -6 	b. 6 	c. - 	d. +
Câu 7: bằng:
a. 2 	b. 1 	c. - 	d. +
Câu 8: bằng:
a. 0 	b. 1 	c. - 	d. +
Câu 9: bằng:
a. 0 	b. 1 	c. - 	d. +
Câu 10: bằng:
a. -1 	b. 1 	c. - 	d. +
Câu 11: bằng:
a. 0 	b. 1 	c. - 	d. +
Câu 12: bằng:
a. 1 	b. 2 	c. ½ 	d. Đáp án khác
Câu 13: bằng:
a. 3 	b. -3 	c. 0 	d. - 
Câu 14: bằng:
a. 1 	b. -1 	c. -1/2 	d. ½ 
Câu 15: bằng:
a. 0 	b. - 	c. + 	d. Tất cả sai
Câu 16: bằng:
a. 0 	b. 1 	c. - 	d. +
Câu 17: bằng:
a. 	b. - 	c. 	d. -
Câu 18: bằng:
a. – 1/9 	b. 1/9 	c. -1/2 	d. ½
Câu 19: bằng:
a. 0 	b. 13 	c. 13/2 	d. 13/4
Câu 20: bằng:
a. 1 	b. -1 	c. 0 	d. ½
Câu 21: bằng:
a. 0 	b. 1 	c. - 	d. +
Câu 22: bằng: 
a. 2/3 	b. 1/3 	c. 0 	d. 
GIỚI HẠN HÀM SỐ
*ôn tập kiến thức cơ bản về giới hạn hàm số:
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
 ;	 
 (c: hằng số)
2. Định lí:
a) Nếu
 thì: *
*
*
* (nếu M ¹ 0)
b) Nếu thì 
* L ³ 0 *
c) Nếu thì 
3. Giới hạn một bên:
Û 
1. Giới hạn đặc biệt:
;
	;	
	;	
2. Định lí:
a) Nếu thì: *
*
b) Nếu thì:
*Chú ý: Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vô định.
* Một số phương pháp khử dạng vô định:
1. Dạng: 
a) với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0)= 0
Ta Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
*Ví dụ1: 	a) 
	b) 
c) = = 
b) với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
*Ví dụ2: 
c) với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biểu thức chứa căn không đồng bậc
Giả sử: P(x) = . 
Ta phân tích P(x) = .
*Ví dụ3: 
= 
2. Dạng: 
L = với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.
*Ví dụ: a) 
	 b) . 
3. Dạng: ¥ – ¥ ( Giới hạn này thường có chứa căn)
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
*Ví dụ: a) 
 b) = = 
4. Dạng: 0.¥
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
*Các ví dụ:
*Ví dụ1: 
*Ví dụ2: Xác định dạng vô định và tính các giới hạn sau: 
a. ; 	b. 
c. 	d. 
Giải 
a. 	Dạng 
b. 	Dạng 
= 
c. 	Dạng 0. ¥
d. 	Dạng ¥ - ¥
*Ví dụ3: Tìm các giới hạn sau: 
a) limx→1x2+2x-32x2-x-1 b) limx→22-xx+7-3
c) lim→+∞2x3+3x-4-x3-x2+1; d) limx→-∞x2-x-4x2+12x+3
 e) limx→01x1x+1-1 ; f) limx→-∞4x2-x+2x
Giải 
a) limx→1x2+2x-32x2-x-1=limx→1x-1x+32x-1x+12=limx→1x+32x+1=43
b) limx→22-xx+7-3=limx→22-xx+7+3x-2=limx→2-x+7+3=-6
c) limx→+∞2x3+3x-4-x3-x2+1=limx→+∞2+3x2-4x3-1-1x+1x3=-2
d) limx→-∞x2-x-4x2+12x+3=limx→-∞x1-1x-4+1x22x+3=limx→-∞-1-1x-4+1x22+3x=12
e) limx→0-1x1x+1-1=limx→0-1-x+1xx+1=limx→0--1x+1=-1
*Ví dụ4: Tìm các giới hạn sau: 
a) limx→-2x3+8x2+11x+18 b) limx→32x3-5x2-2x-34x3-13x2+4x-3
c) limx→0x+33-27x d) limx→03x2+x42x
e) limx→-2+xx+2x2+3x+2; f) limx→111-x-31-x3
Giải 
a) limx→-2x3+8x2+11x+18=limx→-2x+2x2-2x+4x+2x+9=limx→-2x2-2x+4x+9=127
b) limx→32x3-5x2-2x-34x3-13x2+4x-3=limx→3x+32x2+x+1x-34x2-x+1=limx→32x2+x+14x2-x+1=1117
c) limx→0x+33-27x=limx→0xx+32+3x+3+9x=limx→0x+32+3x+3+9=27
d) limx→03x2+x42x=limx→0x3+x22x=limx→03+x22=32
e) limx→-2+xx+2x2+3x+2=limx→-2+xx+2x+1x+2=limx→-2+-xx+1=-2
Vì x→-2+, thì x + 2 < 0 ,cho nên x+2=-x+2
f) limx→111-x-31-x3=limx→1x-12+x1-x1+x+x2=limx→12+x1+x+x2=1
*Ví dụ5: Tìm các giới hạn sau: 
a) limx→1x+3-2x-1; b) limx→72-x-3x2-49
c) limx→3x2-2x+6-x2+2x-6x2-4x+3; d) limx→3-x-33-6x-x2
e) limx→2x+2-2x+7-3; f) limx→+∞3x2+x+1-x3
Giải
a) limx→1x+3-2x-1=limx→1x-1x-1x+3+2=limx→11x+3+2=14
b) limx→72-x-3x2-49=limx→77-xx-7x+72+x-3=limx→7-1x+72+x-3=-156
c) limx→3x2-2x+6-x2+2x-6x2-4x+3=limx→3-4x-3x-1x-3x2-2x+6+x2+2x-6
=limx→3-4(x-1)x2-2x+6+x2+2x-6=-13
d) limx→3-x-33-6x-x2=limx→3-x-33+6x-x2x-32=limx→3-3+6x-x2x-3=-∞
e) limx→2x+2-2x+7-3=limx→2x+7+3x+2+2.x-2x-2=limx→2x+7+3x+2+2=32
f)limx→+∞3x2+x+1-x3= limx→+∞x+13x2+x+1+x3
=limx→+∞1+1x3+1x+1x2+3=123=36
*Ví dụ6: Tìm các giới hạn sau: 
	a. 	b. 
* Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên. 
Giải
a. Với x ® 1- thì x 0. Khi đó ta có:
Từ đó: 	
b. Với x ® 2+ thì x > 2 nên x-2 >0
	 Do ; 
 Nên 
*Bài tập tự luận:
Dạng vô định 
1. Tìm các giới hạn sau: 
 	a)	 b) 	 c) 	 d) e)	 f) 
	 	 g) h) 	i) 	 
j) k) 	l) 	
m) n) 	o)
	 	 p) q) 	 r) 	
	s) t) u) 	
2. Tìm các giới hạn sau:
 A = 	 B = D = 
 	C = E = G =	 
H = 	 L = I = 
 J = 	 N = O = 	F = 	 P = Q = 	 
 R = 	 M = 
3. Tìm các giới hạn sau:
a) b) 	 	c) 	 
 e) 	f) 	g) 
 d) 	h) 	0) 
 i) j) 	 	k) 
 o) 	 p) 	 x)
 	n) 	 q) 	 
 r) 	 	s) 	 t) 
4. Tính các giới hạn sau:
 a. 	b. 	 c. 
 d.	e. 	 f.
Dạng vô định 
 	Tìm các giới hạn sau: 
 a) 	 b) 	 c)
 d) 
 e) f) g)	
	 h)
 i) j) 	
	 l) k) 	
 m) n)	 
 o) 
 p) q)	 
	 r)
 s) t)
*Bài tập hỗn hợp:
	Bài 1: Tìm các giới hạn sau: 
	+ Khi thay x= a vào f(x) thấy mẫu khác 0 thì giới hạn bằng f(a).
	+ Khi thay x= a vào f(x) thấy mẫu bằng 0 tử khác 0 thì giới hạn bằng ¥.
(x2 + x). 	ĐS: 12
 	ĐS: ±¥
 	ĐS: 1
 	ĐS: -3/2
 	ĐS: 
 	ĐS:-2/3	
 	ĐS: 	
 	ĐS: 
 	ĐS: 0	
 	ĐS: 0	
 	ĐS: 0
Bài 2: Tìm các giới hạn sau: (Khi thay x = a vào f(x) thấy tử = 0; mẫu = 0 ta rút gọn mất nhân tử rồi thay tiếp tới khi mẫu khác 0 là xong) còn nếu mẫu = 0 tử khác 0 thì kq là ¥
 	ĐS: 2
x 	ĐS: -1
. 	ĐS: 3
	ĐS: 2
	ĐS: 5
	ĐS: -8
	ĐS: 0	
	ĐS:1
 	ĐS: 2
	ĐS: 0
	 	ĐS: 5/3
	ĐS: 10
	ĐS: 0
	ĐS: -1/2
	ĐS: -1
	ĐS: 0
	ĐS: 1993/1992
	Bài 3: Tìm các giới hạn sau: (Một căn bậc 2)
 	ĐS:1/6	 
 	ĐS:0 
 	ĐS: -1/6
 	ĐS:-1/54
	ĐS: -1/56
	ĐS: -4/15
	ĐS: 9/4
	ĐS:1/2
	Bài 4: Tìm các giới hạn sau: (Hai căn Bậc 2)
	ĐS: 1
	ĐS:2
	ĐS:-3/4
 	ĐS:3/2
	ĐS:-4/3
	ĐS:3
	ĐS:-1/3	
 	ĐS:-1/4	
	ĐS:1/6
	ĐS: 	
	ĐS:-3/4	
 	ĐS:-1/4
	ĐS:4
	ĐS:-2/9
	ĐS: 7/24
, với a> 0. ĐS: 	
 	ĐS:2
	Bài 5: Tìm các giới hạn sau: (Một căn Bậc 3)
	ĐS:1/3 
	ĐS:2/3
	ĐS:3
	ĐS:24
	ĐS:1/3
	ĐS:1
*Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1: Với k là số nguyên dương. Kết quả của giới hạn là:
A. +∞ 	B.-∞	 	C. 0	D. x
 Câu 2: Kết quả của giới hạn (với k nguyên dương) là:
A. +∞	B.-∞	C. 0	D. x	
 Câu 3: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 	B. 
C. 	D. 
 Câu 4: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. B. 
C. 	 D. 
 Câu 5: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào không tồn tại:
A. 	B. 	C. 	D. 
 Câu 6: bằng:
A. 1	B. -2	C. 	D. 	
 Câu 7: bằng:
A. -2	B. 2	C. -3	D. -1
 Câu 8: bằng:
A. 1	B. 	C. 2	D. 2	
 Câu 9: bằng:
A. 2	B. 1	C. 	D. 	
 Câu 10: Giới hạn nào dưới đây có kết quả bằng 3?
A. 	B. 	C. 	D. Cả ba hàm số trên
 Câu 11: Giới hạn của hàm số nào dưới đây có kết quả bằng 1?
A. 	B. 	C. 	D. 
 Câu 12: Giới hạn nào sau đây tồn tại?
A. 	B. 	C. 	D. 	
 Câu 13: Cho f(x) xác định trên khoảng nào đó chứa điểm 0 và f(x)≤x. Khi đó ta có:
A. 	B. 	C. 	D. Hsố không có ghạn tại 0
 Câu 14: bằng:
A. 1	B. 2	C. 0	D. -1	
 Câu 15: bằng:
A. -8	B. 8	C. 6	D. -6	
 Câu 16: bằng:
A. 3	B. -3	C. 	D. 	
 Câu 17: bằng:
A. 2	B. -2	C. 1	D. -1
 Câu 18: bằng:
A. 0	B. 1	C. 2	D. 3
 Câu 19: bằng:
A. 2	B. 1	C. -1	D. -2
 Câu 20: bằng:
A. 3	B. 2 	C. 1	D. 0
 Câu 21: bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 	
 Câu 22: bằng:
A. 	B. 	C. 2	D. -2
 Câu 23: bằng:
A. 0	B. 1	C. 2	D. 3
 Câu 24: Hàm nào trong các hàm sau không có giới hạn tại điểm x=0:
A. fx=x	B. 	C. 	D. 
 Câu 25: Hàm nào trong các hàm sau có giới hạn tại điểm x=2:
A. 	B. 	C. 	D. 
 Câu 26: Cho hàm số fx=x2-2x+3. Khẳng định nào sau đây là sai:
A. Hàm số có giới hạn trái và phải tại điểm x=1 bằng nhau
B. Hàm số có giới hạn trái và phải tại mọi điểm bằng nhau
C. Hàm số có giới hạn tại mọi điểm
D. Cả ba khẳng định trên là sai
 Câu 27: Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. Hàm số chỉ có giới hạn phải tại điểm x=2
B. Hàm số có giới hạn trái và giới hạn phải bằng nhau
C. Hàm số có giới hạn tại điểm x=2
D. Hàm số chỉ có giới hạn trái tại điểm x=2
 Câu 28: Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây là sai:
A. Hàm số có giới hạn trái tại điểm x=1
B. Hàm số có giới hạn phải tại điểm x=1
C. Hàm số có giới hạn tại điểm x=1
D. Hàm số không có giới hạn tại điểm x=1	
 Câu 29: bằng:
A. +∞	B. -∞	C. 0	D. 2
 Câu 30: bằng:
A. +∞	B. -∞	C. 0	D. 2
 Câu 31: bằng:
A. -2	B. 2	C. -1	D. 1
 Câu 32: bằng:
A. 3	B. 2	C. 1	D. 0
 Câu 33: bằng:
A. -1	B. 1	C. 2	D. -2
 Câu 34: bằng:
A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
 Câu 35: bằng:
A. 1	B. -1	C. 2	D. -2
 Câu 36: bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 	
 Câu 37: bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 	
 Câu 38: bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 	
 Câu 39: bằng:
A. -1	B. 1	C. +∞	D. -∞ 
 Câu 40: bằng:
A. -1	B. 0	C. +∞	D. -∞ 
 Câu 41: bằng:
A. -1	B. +∞	C. 1	D. -∞ 
 Câu 42: bằng:
A. 0	B. 3	C. 1	D. -∞	
 Câu 43: bằng:
A. 0	B. 3	C. +∞	D. -∞ 
 Câu 44: bằng:
A. 3	B. 2	C. 1	D. 0	
 Câu 45: bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
 Câu 46: bằng:
A. -∞	B. +∞	C. 3	D. -3
 Câu 47: Giới hạn thuộc dạng nào?
A. Dạng 0.∞ 	B. Dạng ∞ - ∞ 	C. Dạng 	D. Không phải dạng vô định. 
 Câu 48: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là giới hạn dạng vô định:
A. 	B. C. 	D. 
 Câu 49: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào không phải là giới hạn vô định: 
A. B. 	C. 	D. 
 Câu 50: Trong các giới hạn sau, giới hạn thuộc dạng nào ?
A. Dạng 0.∞ 	B. Dạng ∞ - ∞ C. Dạng 	D. Không phải dạng vô định
 Câu 51: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là giới hạn dạng vô định:
A. B. C. D. 
 Câu 52: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng :
A. B. C. D.
 Câu 53: Trong các phương pháp tìm giới hạn dưới đây, phương pháp nào là phương pháp
 thích hợp?
A. Nhân phân thức với biểu thức liên hợp của tử là .
B. Chia tử và mẫu cho 
C. Áp dụng định nghĩa với 
D. Chia tử và mẫu cho 	
 Câu 54: Trong những dạng giới hạn dưới đây dạng nào không phải là dạng vô định:
A. 	B. với g(x) C. 	D. 
 Câu 55: Phương pháp nào sau đây thường được sử dụng để khử dạng giới hạn vô định của phân thức:
A. Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn.
B. Nhân biểu thức liên hợp.
C. Chia cả tử và mẫu cho biến số có bậc thấp nhất.
D. Sử dụng định nghĩa.
 Câu 56: Trong các phương pháp tìm giới hạn dưới đây, phương pháp nào là phương pháp
 thích hợp?
A. Nhân phân thức với biểu thức liên hợp của mẫu là (2x -2 ) .	B. Chia tử và mẫu cho 
C. Phân tích nhân tử ở tử số rồi rút gọn	D. Chia tử và mẫu cho 	
 Câu 57: Trong các phương pháp tìm giới hạn dưới đây, phương pháp nào là phương pháp
 thích hợp?
A. Nhân với biểu thức liên hợp .	B. Chia cho 
C. Phân tích nhân tử rồi rút gọn	D. Sử dụng định nghĩa với 	
 Câu 58: Trong các phương pháp tìm giới hạn dưới đây, phương pháp nào là phương pháp
 thích hợp?
A. Chia tử và mẫu cho x .	B. Chia tử và mẫu cho 
C. Phân tích nhân tử rồi rút gọn	D. Sử dụng định nghĩa với 	
 Câu 59: Giới hạn thuộc dạng nào?
A. Dạng 0.∞ 	B. Dạng ∞ - ∞ C. Dạng D. Không phải dạng vô định. 	 
 Câu 60: bằng:
A. 4 	B. ∞ 	C. 6 	D. -∞ 	 
 Câu 61: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là 0?
A. 	B. 	C. D. 	
 Câu 62: Giới hạn bằng bao nhiêu?
A. 	B. 	C. 	D. 1 	 
 Câu 63: Giới hạn bằng bao nhiêu?
A. 0 	B. 	C. 1 	 	D. 	
 Câu 64: Giới hạn bằng bao nhiêu?
A. 0 	 	B.-1 	C. 2 	D. 	
 Câu 65: Giới hạn bằng bao nhiêu?
A. 0 	 	B.-1 	C. 1 	D. 	
 Câu 66: Giới hạn bằng bao nhiêu?
A. -2 	B.-1 	C. - 	D. 	
 Câu 67: Giới hạn bằng bao nhiêu?
A. 1 	B.-1 	C. 0 	D. + ∞	 
 Câu 68: Giới hạn bằng bao nhiêu?
A. 2 	 	B.-2 	C. - ∞ 	D. + ∞ 	
 Câu 69: Giới hạn bằng bao nhiêu?
A. 1 	B. -1 	C. - 	D. 	 
HÀM SỐ LIÊN TỤC
*ôn tập kiến thức cơ bản về hàm số liên tục:
 1. Hàm số liên tục tại một điểm:	
y = f(x) liên tục tại x0 Û 
· Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước:
	B1: Tính f(x0).
	B2: Tính (trong nhiều trường hợp ta cần tính , )
	B3: So sánh với f(x0) và rút ra kết luận.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và 
4. · Hàm số đa thức liên tục trên R.
 · Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
· Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
· Hàm số y = liên tục tại x0 nếu g(x0) ¹ 0.
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c Î (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm cÎ (a; b).
*Ví dụ 1: Cho hàm số: . Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 1.
Giải
	Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
	Ta có: f(1) = 2.
	Do f(1) = 2. Nên hàm số liên tục tại x0 = 1.
*Ví dụ 2: Cho hàm số: . Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 0.
Giải
	Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
Ta có: f(0) = 0
.
	Vậy hàm số không liên tục tại x0 = 0.
*Ví dụ 3: Cho hàm số: 	. Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên
 toàn bộ trục số?
Giải
	+ Với x >1 ta có: f(x) = ax +2 hàm số liên tục trên khoảng .
	+ Với x <1 ta có: f(x) = x2+x-1 hàm số liên tục trên khoảng .
	+ Khi x = 1:
	Ta có: f(1) = a+2
	.
 Hàm số liên tục tại x0 = 1 khi và chỉ khi a+2 = 1 a = -1.
 Vậy nếu a = -1 thì hàm số liên tục trên toàn bộ trục số .
*Ví dụ 4: Tìm số thực m sao cho hàm số: 
nếu x < 2
nếu x ³ 2
liên tục tại x = 2
* f(x) liên tục tại x = 2 nếu 
Giải
Ta có: 
Từ đó: 
Vậy với m = thì f(x) liên tục tại x = 2. 
*Ví dụ 5: Chứng minh rằng phương trình x3 – 2x2 + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm. 
* Sử dụng định lí: Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại điểm x Î (a;b) sao cho f(c) = 0
Giải
Đặt f(x) = x3 – 2x2 + 1
Ta có f(x) liên tục trên R và do đó liên tục trên [-1; 0] 
Mặt khác, vì f(0) = 1, f(-1) = -2 < 0 nên tồn tại số c Î (-1; 0) sao cho f(c) = 0. Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm âm. 
*Ví dụ 6: Chứng minh rằng phương trình (3m2 – 5)x3 – 7x2 + 1 = 0 luôn có nghiệm âm với mọi giá trị của m. 
Giải
f(x) = (3m2 – 5)x3 – 7x2 + 1 là một đa thức nên liên tục trên R và do đó liên tục trên [-1;0]. 
Hơn nữa 	f(0) = 1 > 0
	f(-1) = -3m2 + 5 – 7 + 1 = -(3m2 + 1) < 0, "m Î R
*Bài tập tự luận: 
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
 ĐS: LT	
 ĐS:Lt 
f(x) = tại xo = 2 ĐS: Lt
f(x) = tại xo = 2 ĐS:Lt
 ĐS:Lt 
f(x) = tại xo = 1ĐS:K Lt
f(x) = tại xo = 2 ĐS:K Lt	
 f(x) = tại xo = 0 ĐS: Lt
 ĐS:Lt
 	ĐS:K Lt
 ĐS:Lt 
	Bài 2: Tìm m, n,a để các hàm số sau liên tục tại điểm xo:
 ĐS:m=0
f(x) = tại x0 = 1 ĐS:a=5/2
	 ĐS:m=2
f(x) = tại x0 = 1 ĐS:a=2	 
f(x)=tại xo= 0 
ĐS:a=-3
f(x)=tại = 2 
 ĐS:a=0
	Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
 f(x) = 	 Lt / R
 ĐS:K Lt tại x=2 
	 ĐS:Lt/ R
 	 ĐS:Lt/ R
Bài 4: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) x3 – 2x – 7 = 0 	ĐS: f(x) liên tục trên R và f(0).f(3)<0 
b) x5 + x3 – 1 = 0 	ĐS: f(0).f(1)<0
c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 	ĐS: f(-1).f(0)<0 
d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0 	ĐS: f(0).f(5)<0
e) x5 + 9x2 + x + 2 = 0 	ĐS: f(-3).f(0)<0 
f) cosx – x + 1 = 0 	ĐS: f(0).f(3)<0
	g) 	ĐS: f(-2).f(0)<0 
	h) 	ĐS: f(0).f(1)<0
	i) 	ĐS: f(-2).f(0)<0
Bài 5: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
	a) 	ĐS: f(-2)0; f (1)0 
	b) 	ĐS: f(-4)0; f (-1)0 
	c) 	ĐS: f(-7)0; f (1)0 
Bài 6: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a) 	ĐS:f(1).f(2)<0	
	b) 	ĐS:f(0).f(2)<0
Bài 7: Cmr phương trình: x3 – 10x2 – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm dương. 
Bài 8: Cmr ptrình: (m2 + m +1)x5 + x3 – 27 = 0 có nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m 
*Bài tập trắc nghiệm: 
Câu 70: Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. Hàm số có giới hạn tại điểm x=a thì liên tục tại x=a.
B. Hàm số có giới hạn trái tại điểm x=a thì liên tục tại x=a.
C. Hàm số có giới hạn phải tại điểm x=a thì liên tục tại x=a.
D. Hàm số có giới hạn trái và phải tại điểm x=a thì liên tục tại x=a.	
Câu 71: Cho một hàm số f(x). Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. Nếu fafb<0 thì hàm số liên tục trên (a;b).
B. Nếu hàm số liên tục trên (a;b) thì fafb<0.
C. Nếu hàm số liên tục trên (a;b) và fafb<0 thì phương trình fx=0 có nghiệm.
D. Cả ba khẳng định trên đều sai.	
Câu 72: Cho một hàm số f(x). Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. Nếu f(x) liên tục trên đoạn a;b,fafb>0 thì phương trình fx=0 không có nghiệm trên khoảng (a;b).
B. Nếu fafb<0 thì phương trình fx=