Chuyên đề: Phép dời hình và phép đồng dạng

***Mở đầu***: Hình học lớp 11 mở đầu với chương "phép biến hình". Dưới đây là phương pháp giải 1 số bai toán về phép biến hình trong mặt thẳng để các bạn tham khảo:
I. Phương pháp : 
1. Phép tịnh tiến
	: M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi đó: 
2. Phép đối xứng trục
	ĐOx: M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi đó: 
	ĐOy: M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi đó: 
3. Phép đối xứng tâm
	Cho I(a; b). ĐI: M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi đó: 
	Đặc biệt: ĐO: M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi đó: 
4. Phép quay
	Q(O,900): M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi đó: 
	Q(O,–900): M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi đó: 
5. Phép vị tự
	Cho I(a; b). V(I,k): M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi đó: 
	Chú ý: Nếu phép dời hình (phép đồng dạng) biến DABC thành DA¢B¢C¢ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của DABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của DA¢B¢C¢.
II. Bài tập :
Bài 1 : Trong mặt phẳng Oxy cho M(2; 1). Tìm ảnh M’ của M qua phép : 
	a. Tịnh tiến theo véc tơ 
	b. Đối xứng trục Ox, Oy
	c. Đối xứng tâm A(-5; 3)
	d. Quay tâm O 1 góc 900, -900.
	e. Vị tự tâm B(1; -2) tỉ số k = -2
Bài 2 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : 2x – 3y +5 = 0. Tìm ảnh d’ của d qua phép : 
	a. Tịnh tiến theo véc tơ 
	b. Đối xứng trục Ox, Oy
	c. Đối xứng tâm A(3; 2)
	d. Quay tâm O 1 góc 900, -900.
	e. Vị tự tâm B(-1; 2) tỉ số k = 
Bài 3 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng. Tìm ảnh (C’) của (C) qua phép : 
	a. Tịnh tiến theo véc tơ 
	b. Đối xứng trục Ox, Oy
	c. Đối xứng tâm A(-4; 2)
	d. Quay tâm O 1 góc 900, -900.
	e. Vị tự tâm B(2;-3) tỉ số k = 3
Bài 4 : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2; -2), đường thẳng d : x – 3y +5 = 0 và đường tròn (C) : ( x – 2 )2 + ( y + 3) = 4. Tìm ảnh M’ của M, d’ của d, (C’) của (C) qua phép đồng dạng được thực hiện liên tiếp qua phép vị tự tâm B(-1; 3) tỉ số k = -3 và phép :
	a. Tịnh tiến theo véc tơ 
	b. Đối xứng trục Ox
	c. Đối xứng tâm A(4; 2)
	d. Quay tâm O 1 góc 900,
Bài 5 : Một số bài toán ngược
	a. Cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ = (2; m). Tìm m để phép tịnh tiến biến d thành chính nó.
	b. Cho 2 đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9 và (C’) : x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0. Tìm phép đối xứng trục biến (C) thành (C’). Viết phương trình trục đối xứng.
	c. Cho 2 đường thẳng d : x + 3y – 4 = 0 và d’ : 2x – y + 3 = 0. Tìm phép đối xứng trục biế d thành d’
	d. Phép đối xứng tâm I biến d : x – y – 2 =0 thành d’ : x – y + 3 = 0, : 2x + y – 1 = 0 thành : 2x + y + 4 = 0. Tìm tâm I
Dạng : Bài toán vẽ hình - dựng hình
	e. Cho 2 đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y – 1)2 = 4 và (C’) : x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0. Tìm tâm vị tự và tỉ số vị tự
Bài 1 : Cho hình vuông ABCD tâm O . 
	a. Dựng ảnh của ABCD qua phép tịnh tiến theo véc tơ AO .
	b. Dựng ảnh của qua phép đối xứng trục CD
	c. Dựng ảnh của qua phép đối xứng A
Bài 2 : Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục AG, G là trọng tâm tam giác ABC.
Bài 3 : Dựng ảnh của Ngũ giác đều ABCDE qua phép đối xứng tâm I là trung điểm cạnh AB.
Bài 4 : Dựng ảnh của Tam giác AMN qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết hình vuông ABCD tâm O có M là trung điểm AB, N là trung điểm OA.
Bài 5 : Dựng ảnh của Hình lục giác đều ABCDEF qua phép vị tự tâm I là trung điểm BC, tỉ số 
Bài 6 : Dựng ảnh của Đường tròn (O; R) qua phép vị tự tâm I, tỉ số -2 cho trước.
Bài 7 : Dựng ảnh của Cho 2 đường tròn (O; R) và (O’; 2R). Tìm các phép vị tự biến (O; R) thành (O’; 2R).
Dạng : Bài toán vẽ hình - dựng hình
Bài 1 : Cho hai điểm A, B cố định trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quỷ tích trực tâm H bằng phép :
	a. Phép tịnh tiến
	b. Phép đối xứng trục
	c. phép đối xứng tâm 
DH : a. Vẽ đường kính BB¢. Xét phép tịnh tiến theo . Quĩ tích điểm H là đường tròn (O¢) ảnh của (O) qua phép tịnh tiến đó.
	b. Gọi H¢ là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với (O). Xét phép đối xứng trục BC. Quĩ tích điểm H là đường tròn (O¢) ảnh của (O) qua phép ĐBC.
	c. Gọi I là trung điểm của BC. ĐI(H¢) = H Þ Quĩ tích điểm H là đường tròn (O¢) ảnh của (O) qua phép ĐI.
Bài 2 : Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B cắt AC tại E, AD tại F. Tìm tập hợp trực tâm các tam giác CEF và DEF.
HD : Gọi H là trực tâm DCEF, K là trực tâm DDEF. Xét phép tịnh tiến theo vectơ . Tập hợp các điểm H vàK là đường tròn (O¢) ảnh của (O) qua phép tịnh tiến đó (trừ hai điểm A và A' với ).
Bài 3 : Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong góc này. Tìm điểm B Î Ox, C Î Oy sao cho chu vi DABC là bé nhất.
HD: Xét các phép đối xứng trục: ĐOx(A) = A1; ĐOy(A) = A2. B, C là các giao điểm của A1A2 với các cạnh Ox, Oy.
Bài 4 : Cho đường tròn (O, R) và một dây cố định AB = R. Điểm M chạy trên cung lớn thoả mãn DMAB có các góc đều nhọn, có H là trực tâm. AH và BH cắt (O) theo thứ tự tại A¢ và B¢. A¢B cắt AB¢ tại N.
	a) Chứng minh A¢B¢ cũng là đường kính của đường tròn (O, R).
	b) Tứ giác AMBN là hình bình hành.
	c) HN có độ dài không đổi khi M chạy như trên.
	d) HN cắt A¢B¢ tại I. Tìm tập hợp các điểm I khi M chạy như trên.
HD:	a) = 1v	b) AM //A¢N, BM // AN	c) HN = B¢A¢ = 2R
	d) Gọi J là trung điểm AB. ĐJ(M) = N, ĐJ(O) = O¢. = 1v Þ Tập hợp các điểm I là đường tròn đường kính OO¢.
Bài 5 : Cho DABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông cân tại A. Gọi I, M, J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh DIMJ vuông cân.
HD: Xét phép quay Q(A,900).
Bài 6 : Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Lấy các đoạn thẳng AB, BC làm cạnh, dựng các tam giác đều ABE và BCF nằm cùng về một phía so với đường thẳng AB. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng AF, CE. Chứng minh DBMN đều.
HD: Xét phép quay Q(B,600).
Bài 7 : Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Từ một điểm M bất kì trên d, kẻ các tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O). 
	a) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định.
	b) Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, tâm O¢ của đường tròn ngoại tiếp DMPQ, trực tâm H của DMPQ.
HD: a) Kẻ OI ^ d, OI cắt PQ tại N. Þ N cố định.
	b) Tập hợp các điểm K là đường tròn (O1) đường kính NO. Tập hợp các điểm O¢ đường trung trực đoạn OI. Tập hợp các điểm H là đường tròn (O2) = V(O,2). 
ÔN TẬP CHƯƠNG I
Cho hình bình hành ABCD có CD cố định, đường chéo AC = a không đổi. Chứng minh rằng khi A di động thì điểm B di động trên một đường tròn xác định.
Cho 2 điểm A, B cố định thuộc đường tròn (C) cho trước. M là một điểm di động trên (C) nhưng không trùng với A và B. Dựng hình bình hành AMBN. Chứng minh rằng tập hợp các điểm N là một đường tròn.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài tam giác ABC hình vuông CBEF. Chứng minh điểm E chạy trên một nửa đường tròn cố định.
Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = AI.
	a) Xác định một phép dời hình biến A thành B, I thành E.
	b) Dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy.
Cho hai đường tròn (O; R) và (O¢; R¢). Xác định các tâm vị tự của hai đường tròn nếu R¢ = 2R và OO¢ = R.
Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Một đường thẳng d vuông góc với AB tại một điểm C ở ngoài đường tròn. Một điểm M chạy trên đường tròn. AM cắt d tại D, CM cắt (O) tại N, BD cắt (O) tại E.
	a) Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
	b) Tứ giác CDNE là hình gì?
	c) Tìm tập hợp trọng tâm G của DMAC.
	HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi)	b) NE // CD Þ CDNE là hình thang.
	c) Gọi I là trung điểm AC. Kẻ GK // MO. Tập hợp các điểm G là đường tròn (K, ) ảnh của đường tròn (O, R) qua phép .
Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C vuông góc với CM, cắt AB và AD tại E và F. CM cắt AD tại N. Chứng minh rằng:
	a) CM + CN = EF	b) 
	HD: Xét phép quay Q(C,900).
Cho = (–2; 1), các đường thẳng d: 2x – 3y + 3 = 0, d1: 2x – 3y – 5 = 0.
	a) Viết phương trình đường thẳng d¢ = (d).
	b) Tìm toạ độ vectơ vuông góc với phương của d sao cho d1 = (d).
Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. Tìm (C¢) = (C) với = (–2; 5).
Cho M(3; –5), đường thẳng d: 3x + 2y – 6 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0.
	a) Tìm ảnh của M, d, (C) qua phép đối xứng trục Ox.
	b) Tìm ảnh của d và (C) qua phép đối xứng tâm M.
Tìm điểm M trên đường thẳng d: x – y + 1 = 0 sao cho MA + MB là ngắn nhất với A(0; –2), B(1; –1).
Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn tâm A(–2; 3) bán kính 4 qua phép đối xứng tâm, biết:
	a) Tâm đối xứng là gốc toạ độ O	b) Tâm đối xứng là điểm I(–4; 2)
Cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d¢ là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O góc quay a, với:
	a) a = 900	b) a = 400.
Cho = (3; 1) và đường thẳng d: y = 2x. Tìm ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép tịnh tiến theo vectơ .
Cho đường thẳng d: y = . Viết phương trình đường thẳng d¢ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = và phép quay tâm O góc 450.
Cho đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4. Viết phương trình đường tròn (C¢) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = – 2 và phép đối xứng qua trục Oy.
Xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M¢(–2x + 3; 2y – 1). Chứng minh F là một phép đồng dạng.
Chúc các bạn học tốt môn hình học lớp 11!
Đoàn Ngọc Vũ