Chuyên đề ôn tập Hình học lớp 9

TÀI LIỆU THAM KHẢO
CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP HÌNH HỌC 9
(Nguyễn Mạnh Hưng – PGD & ĐT Nam Trực)
Bài 1. Cho (O; R), một dây AB < 2R. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB, kẻ 2 dây MC, MD lần lượt cắt AB tại E và F. CMR:
a) MAE đồng dạng với MCA
b) ME.MC = MF.MD
c) Tứ giác CEFD nội tiếp được 
d) Khi AB = R thì OAM đều.
Giải
a) chung => đpcm
b) Câu a => MA.MC = MA2 (1)
MBF đồng dạng với MDB => MF.MD = MB2 (2)
(1)(2) => đpcm
c) Chứng minh => đpcm
d) Chứng minh : AI = AB = 
=>OI = OA = R/2 và OAM cân => Đpcm
Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính BD. Kéo dài AB, DC cắt nhau tại E; CB và DA cắt nhau tại F.
a) CMR: DB EF (Gọi chân đường vuông góc là G)
b) CMR: BA.BE = BC.BF = BD.BG
c) c/m: B là tâm đường tròn nội tiếp ACG
d) Cho . Tính AC theo BD.
Giải:
a) B là trực tâm của DFE
b) BCE đồng dạng với BAF 
BCD đồng dạng với BGF
c) Tứ giác ABGF nội tiếp => 
Tương tự, ; 
Suy ra, => AB là phân giác
Tương tự, CB là tia phân giác => đpcm
d) 
Bài 3: Cho (O), đường kính AB = 2R, tiếp tuyến xBx’. Gọi C; D là 2 điểm thuộc đường tròn và ở 2 nửa mặt phẳng bờ AB đối nhau. Tia AC cắt xBx’ tại M, tia AD cắt xBx’ tại N. Chứng minh:
a) ADC đồng dạng với AMN
b) Tứ giác MNDC nội tiếp
c) AC.AM = AD.AN = AB2
d) Xác định vị trí của C và D để SACBD max
e) CMR: AD + AC + AM + AN > 8R (Với M B N )
Giải:
a,b) So sánh góc D1 và M1
c) vuông ABM có: BC AM => 
AC.AM = AB2
Tương tự, AD.AN = AB2 => đpcm
d) C;D;O thẳng hàng và CD AB
e) 
Bài 4: Cho hình chưc nhật ABCD nội tiếp (O). tiếp tuyến tại C với đường tròn cắt AB, AD kéo dài lần lượt tại E và F
a) CMR: AB.AE = AD.AF (bằng 2 pp)
b) Gọi M là trung điểm của EF. C/m: AMBD
c) Tiếp tuyến tại B và D với (O) cắt E, F lần lượt tại I và J. C/m: IJ = EF
d) Cho CE = 6 cm; CF = 2 cm. Tính SBDJI; SBDFE
Giải:
a) pp 1: ABD đồng dạng với AFE
pp 2: hệ thức lượng trong ACE; ACF
b) mà => đpcm
c) IB = IC; BI = IE => đpcm
d) ghi nhớ 
Bài 5. Cho 2 đường tròn (O; R) và (O’; 2R) tiếp xúc trong tại A. Qua A kẻ 2 cát tuyến AMN và APQ; M, P (O); N,Q(O’)
a) C/m: O’(O) và MP// NQ
b) Tia O’M cắt (O’) tại S. Gọi H là trực tâm SAO’. C/m: Tứ giác SHO’N nội tiếp
c) So sánh độ dài MP, NQ
Giải:
a) OO’ = 2R- R = R
* Kể tiếp tuyến chung ngoài Ax. 
Có => đpcm
b) So sánh 
c) NQ = 2MP
Bài 6. Cho (O), một dây AB. Một điểm C ở ngoài đường tròn nằm trên tia AB. Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn cát AB tai D. Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I; AB cắt QI tại K.
a) C/m: Tứ giác PDKI nội tiếp
b) C/m: CI.CP = CK.CD
c) C/m: IC là phân giác của góc ngoài tại đỉnh I của AIB (thay bằng c/m: )
Giải:
a) 
b) CIK đồng dạng với CDP
c) sđ 
sđ
Mà = nên => đpcm
Bài 7: Cho (O;R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên AB lấy M khác O. Đường thẳng CM cắt (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của (O) ở P. CMR:
a) T/g OMNP nội tiếp
b) T/g CMPO là hbh
c) Tính CM.CN không phụ thuộc vị trí M
d) Khi M di động trên AB thì P chạy trên 1 đoạn thẳng cố định
Giải:
a) 
b) => MC // OP ; MP // OC
c) Dùng đồng dạng để c/m CM.CN = CO.CD = 2R2
d) C/m: ONP = ODP (cgc) => nên P chạy trên 1 đường thẳng cố định
Do OM AB nên P EF
Bài 8: Cho đoạn thẳng AB. P nằm giữa A và B. Trên nửa mp bờ AB, kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB và lần lượt lấy trên 2 tia đó hai điểm C và D sao cho:
 AC.BD = AP.BP (1)
a) C/m: ACP đồng dạng với PBD 
b) C/m: góc CPD = 90o. từ đó suy ra, cách dựng điểm C và D thỏa mãn (1)
c) Gọi M là hình chiếu của P trên CD. CMR: góc AMB = 90o
d) CMR: Khi C, D chạy trên Ax, By nhưng vẫn thỏa mãn (1) thì M chạy trên nửa đường tròn cố định.
e) Gọi E, F Tìm vị trí của M để EF = R
Giải:
a) (1) => => Đpcm
b) Có => Đpcm
Lấy C tùy ý trên Ax. Nối CP . Kẻ 
c) Sử dụng 2 tứ giác nội tiếp MCAP, MDBP sẽ c/m: 
d) Do và AB cố định => đpcm
e) C/m: tam giác PMB và PMA cân
=> PA = PB (=PM) => P là trung điểm của AB
Bài 9: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. M tùy ý trên (O), M khác A; B. Kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax, By tại C, D
a) C/m: CD = AC + BD; 
b) AC.BD không đổi
c) OC cắt AM tại E; OD cắt BM tại F. C/m: EF = R
d) Tìm vị trí của M để tứ giác ACDB có diện tích nhỏ nhất
e) Tìm vị trí của M để tam giác MAB có chu vi lớn nhất. Tính chu vi theo R
Giải:
a) CA = CM; DB = DM => Đpcm
b) 
c) vuông COD có: CM.DM = OM2
d) ACDB là hình thang vuông => 
Vậy Smin ó (AC + BD) min
Mà AC + BD = 2OM1 (OM1 là trung bình)
OM1 > OM Vậy Smin ó M MM1 ó M là điểm chính giữa của cung AB
e) P = MA + MB + AB
P max ó (MA + MB) max ó (MA + MB)2 max
ó (MA2 + MB2 + 2MA.MB) max
ó (AB2 + 2.MA.MB) max ó MA.MB max ó MH.AB max Mà MH < R 
Vậy MH max ó MH = R ó M là điểm chính giữa cung AB
Bài 10: Cho ABC vuông tại A (AB > AC). Đường cao AH. Trên nửa mp bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F, nửa đtròn đường kính BC
a) C/m: T/g AFHE là hcn
b) C/m: T/g BEFC nội tiếp
c) C/m: AE.AB = AF.AC
d) C/m: EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn
e) Cho HC = 2cm; HB = 6cm. Tính diện tích mp giới hạn bởi 3 nửa đường tròn và diện tích hình viên phân giới hạn bởi 
Giải:
a) C/m: 
b) C/m: 
c) Dùng hệ thức lượng với các tam giác vuông AHB, AHC
d) Hcn => ; (tam giác O1EH cân)
Mà => EF là tiếp tuyến của (O1)
Tương tự, EF là tiếp tuyến của (O2)
Bài 11: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). P là điểm chính giữa cung nhỏ AB (phần không chứa C và D). Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD , PC kéo dài cắt nhau tại I. Các dây BC, PD kéo dài cắt nhau tại K. CMR:
a) 
b) T/g CDFE nội tiếp
c) IK // AB
d) PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD
Giải:
a) sđ - sđ = sđ - sđ
b) C/m: 
c) T/g DIKC nội tiếp => mà => => AB // IK
d) Kẻ tiếp tuyến Ax với (AFD)
=> Ax AP. Vậy AP là tiếp tuyến.
Bài 12: Cho ABC vuông tại A và D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E, các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. C/m:
a) ABC đồng dạng với EBD
b) T/g ADEC , AFBC nội tiếp
c) AC// FG
d) Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy tại 1 điểm ( Gọi điểm đó là S)
e) C/m: 
g) D là tâm đường tròn nội tiếp AEF
Giải:
a) Chung góc B
b) => ADEC nội tiếp
A; F nhìn BC dưới 1 góc vuông => AFBC nội tiếp 
c) => AC // FG
d) D là trực tâm tam giác SBC
e) Quy về diện tích tam giác SBC
g) Giao điểm 3 đường p/g
Bài 13: Cho 2 đường tròn (O1); (O2) tiếp xúc ngoài tại A. Một đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O1) ; (O2) tại B; C
a) ABC vuông
b) Gọi M là trung điểm của BC. C/m: AM là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn
c) C/m: 
d) Các tia BA, CA lần lượt cắt (O2);(O1) tại các giao điểm thứ hai D và E. C/m: 
SADE = SABC
Giải:
a) (= sđ). Tương tự, 
Mà (2 góc trong cùng phía) => => Đpcm
b) C/m: O1AM = O1BM (ccc)
=> 
c) O1M là p/g góc AO1B => 
Tương tự, 
=> => Đpcm
d) C/m: E, O1, B thẳng hàng
D, O2, C thẳng hàng
Có EB // DC , áp dụng Ta- lét
=>AC. AB = AD.AE => đpcm
Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A; B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn người ta kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I, tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt tia BM tại F. Tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
a) C/m: IA2 = IM.IB
b) C/m: BAF cân
c) C/m: T/g AKFH là hình thoi
d) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp
Giải:
a) Sử dụng HTLượng 
b) C/m BE vừa là p/g vừa là đường cao
c) K là trực tâm AFB
=>FK //HA
Vì EA = EF + Ta – lét => EH = EK => đpcm
d) Hình thang AKFI nội tiếp ó Nó là hình thang cân ()
Mặt khác, (đồng vị) => IHF vuông cân tại F và 
Vị trí cân tìm của M là điểm chính giữa của cung AB
Bài 15: Cho (O;R). Một dây CD có trung điểm H. Trên tia đối của tia DC lấy 1 điểm S. Qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn. Đường thẳng AB cắt các đường thẳng SO, OH lần lượt tại E,F
a) C/m: T/g SEHF nội tiếp
b) C/m: OE.OS = R2
c) C/m: OH.OF = OE.OS
d) Khi S di động trên tia đối của tia DC . C/m đường thẳng AB luôn đi qua 1 điểm cố định
Giải:
a) => đpcm
b) OE.OS = OA2 = R2 
c) HOS đồng dạng với EOF => đpcm
d) Có OH cố định . 
Từ c/m trên => không đổi => F cố định.
Bài 16: Cho (O;R) và dây cung AB (AB AB. Từ C kẻ 2 tiếp tuyến với đường tròn tại P; K. Gọi I là trung điểm của AB
a) C/m: T/g CPIK nội tiếp
b) C/m: CP2 = CB.CA
c) Gọi H là trực tâm CPK. Tính PH theo R
d) Giả sử PA // CK. C/m: tai đối của tia BK là tia p/g của góc CBP
Giải:
a) Đường kính OC
b) ACP đồng dạng với PCB (gg)
c) OPHK là hbh, OHPK => hình thoi
=> PH = OP = R
d) KBP và CBK có: 
(= sđ) 
=>=> đpcm
Bài 17: Cho ABC vuông ở A có AB = c, AC = b. Vẽ đường cao AH. Hạ HDAB, HF AC
a) C/m: BC = c.cosB + b.cosC
b) C/m: BD = BC.cos3B
c) C/m: 
d) C/m: cos2 C – cos2B = sin2B – sin2C = 
Giải:
a) HB = c.cosB; HC = b.cosC => HB + HC = BC
b) BD = BH.cosB
BH = AB.cosB
AB = BC.cosB
=>đpcm
c) BD = BC.cos3B (cmt)
BD2 = BC2.cos6B (1). Vì góc B và góc C phụ nhau nên cosC = sin B
Ta có: CE = BC. sin3B => CE2 = BC2.sin6B (2)
Từ (1) => 
 (2)=> 
=>(đpcm)
c) cos2C – cos2B = (1-sin2C) – (1 – sin2B) = sin2B – sin2C (1)
 (2)
Từ (1)(2) => đpcm
Bài 18: Cho ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi I,K tương ứng là tâm các đường tròn nội tiếp ABH và ACH
1) C/m: AKH đồng dạng với BIH và AIH đồng dạng với CKH
2) C/m: ABC đồng dạng với HIK
3) Đường thẳng IK cắt AB,AC lần lượt tại M,N
a) C/m: T/g HCNK nội tiếp
b) C/m: AM = AN
c) C/m: S’ < S trong đó S,S’ lần lượt là diện tích ABC , AMN
Giải:
1) Có AHB đồng dạng với CHA (g.g) => (tỉ số k, p/g tương ứng)
=> (1) 
 có (1) => IHK đồng dạng với ABC (cgc)
2) IHK đồng dạng với ABC (cmt) 
a) 
b) Có (cùng bù với góc KNC)
tương tự, (cùng bù với góc INB)
=>=> đpcm
c) Ta có: KAH = KAN (gcg)=> AH = AN (2)
AIH = AIM (gcg) => AH = AM (3)
(2)(3) => AH = AM = AN => S’ = AM.AN = AH2 
Có SABC = AB.AC
Mà 
(Có thể c/m OH < OM = BC/2)
Bài 19: Cho (O), đường kính AB = 2R và M di động trên nửa đường tròn. Người ta vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB tại N. Đường tròn này cắt MA,MB lần lượt tại các điểm thứ hai là C,D
a) C/m: CD//AB
b) C/m: MN là tia p/g góc AMB và đường thẳng Mn đi qua một điểm K cố định.
c) C/m: Tích KM.KN không đổi.
d) Gọi giao điểm CN,DN với KB,KA lần lượt tại C’,D’. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NC’D’ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó theo R.
Giải:
a) => C,E,D thẳng hàng
(O) tiếp xúc trong với (O’) => O,E, M thẳng hàng 
=> => đpcm
b) EN AB (t/c t2) => EN CD hay 
=> =>đpcm
=> => K cố định
c) AMK đồng dạng với NAK (gg) => KM.KN = AK2 không đổi
d) C/m: NC’KD’là hcn, các ND’A, NC’B vuông cân
=>P = Chu vi NC’D’ = (NC’ + ND’) + C’D’ = AK + NK 
Pmin ó NK min . vì NK > OK. Do đó, NK min khi N O ó M là điểm chính giữa cung AB
*) P = R2 + 
Bài 20: Cho đường tròn đường kính AB, các điểm C,D ở trên đường tròn đó sao cho C,D không cùng nằm trên nửa mp bờ AB đồng thời AD>AC. Gọi các điểm chính giữa của các cung nhỏ AC,AD lần lượt là M,N. Giao điểm của MN với AC,AD lần lượt là H,I. Giao điểm của MD với CN là K
a) C/m: NKD và MAK cân
b) C/m: T/g MCKH nội tiếp . Suy ra, KH // AD
c) So sánh 
d) Tìm 1 hệ thức giữa sđ và sđlà điều kiện cần và đủ để AK//ND
Giải:
a) Dựa vào góc nội tiếp và góc có đỉnh ở trong đường tròn 
=> =>đpcm
*) Tương tự, MCK cân tại M => MK = MC mà MC = MA => MK = MA
=> MAK cân
b) MAN = MKN (ccc) => 
mà (= sđ) => => 4 đỉnh H,C,M,K cùng thuộc 1 đtròn
=>=> HK // AD
c) Xét ACD có CK,DK là p/g trong 
=>AK là p/g => (đpcm)
d) MAK cân ó MN vừa là p/g vừa là trung trực
=>MN AK Mà AK // ND ó MN ND
ó MD là đường kính ó sđ + sđ= 180o
Bài 21: Cho 3 điểm A,B,C trên 1 đường thẳng theo thứ tự đó. Một đường thẳng d vuông góc với AC tại A. Vẽ đ/tròn đường kính BC và trên đó lấy 1 điểm M bất kì . Tia CM cắt đường thẳng d tại D, tia AM cắt đ/tròn tại điểm thứ hai N, tia DB cắt đ/tròn tại điểm thứ hai P
a) C/m: T/g ABMD nội tiếp
b) C/m: Tích CM.CD không phụ thuộc vị trí M
c) T/g APND là hình gì? Vì sao?
d) C/m: G(là trọng tâm tam giác AMC) chạy trên 1 đường tròn cố định khi M di động.
Giải:
a) 
b) CAD đồng dạng với CMB => CM.CD = CA.CB không đổi
c) => AD //NP => hình thang
d) Gọi K là trung điểm AC => K cố định
Qua G kẻ GI //MO cắt OK tại I => I cố định => GI = OM = BC
Vậy G chạy trên (I; BC/6)
Bài 22: Cho hai đ/tròn (O); (O’) bán kính lần lượt là R; R’(R> R’) tiếp xúc ngoài tại A và dây cung AB cố định của (O). Một cát di động luôn qua A cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N. Đường thẳng qua N song song với AB cắt đường thẳng MB tại Q và cắt (O’) tại điểm thứ hai P
a) C/m: OM // O’N
b) C/m: 
c) T/g ABQP là hình gì? Tại sao?
d) C/m: trọng tâm G của tam tam giác MAB chạy trên đ/tròn cố định
Giải:
a) => đpcm
b) AB // NQ => 
AOM đồng dạng với AO’N => 
=>đpcm
c) Kẻ tiếp tuyến chung xAx’ có:
 ; AB // PQ => hình thang cân
d) Gọi I là trung điểm của AB, kẻ GJ // OM (J thuộc IO). Ta có:
 => J cố định
Mặt khác, 
Vậy G chạy trên đ/tròn (J;R/3) cố định
Bài 23: Cho 2 đ/tròn (O1); (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại A và tiếp tuyến chung Ax. Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1); (O2) thứ tự tại B và C và cắt Ax tại M. Kẻ các đường kính BO1D; CO2E.
a) C/m: M là trung điểm của BC
b) C/m: O1MO2 vuông
c) C/m: A,B,E thẳng hàng; C,A,D thẳng hàng
d) Gọi I là trung điểm của DE. C/m: đ/tròn ngoại tiếp IO1O2 tiếp xúc với đường thẳng d.
Giải:
a) MB = MC = MA (t/c 2 t2 cắt nhau)
b) MO1; MO2 là 2 tia p/g của 2 góc kề bù
c) => đpcm
Tương tự, C,A,D thẳng hàng
d) *) C/m T/g IO1MO2 là hcn (hbh + 1 góc vuông)
=> (O1IO2) (O1IO2M) vì O là tâm
*) C/m: CEDB là hình thang vuông => OM d => đpcm
Bài 24: Cho (O;R). Một dây AB = Rcố định và điểm M di động chạy trên cung lớn BA sao cho AMB nhọn. H là trực tâm AMB. P,Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của các đường thẳng AH,BH với (O). S là giao điểm các đường thẳng PB,QA
a) C/m: PQ là đường kính của (O)
b) T/g AMBS là hình gì? Vì sao?
c) C/m độ dài SH không đổi
d) Gọi I là giao điểm của SH,QP. C/m I chạy trên 1 đường tròn cố định
Giải:
a) AB = R=> sđ 
Do AP MB;BQMA => sđ =sđ (Góc có đỉnh ở trong đ/tròn)
=>sđ 
b) MA // BS (BQ); MB //AS(AP)
=>T/g AMBS là hbh
c) C/m: tam giác AQH,APS vuông cân ()
=> QA = AH;AP = AS
=> QAP = HAS (cgc) => SH = PQ = 2R không đổi
d) cách 1: Gọi O’ là tâm đ/tròn ngoại tiếp tứ giác AHBS ()
O’ là trung điểm HS => O’A = O’B = SH/2 = R(= BC/2)
Mà OA = OB = R=> OAO’B là hthoi
Gọi K là trung điểm của AB => O,K,O’ thẳng hàng. 
Do O,K cố định nên O’ cố định (OK = KO’)
Do => I thuộc đường tròn đường kính OO’ cố định
Cách 2: C/m: AQIH, BPIH nội tiếp
=> 
=> I thuộc đ/tròn đường kínhAB cố định
Bài 25: Cho một nửa đ/tròn tâm O đ/kính AB. Một điểm M nằm trên cung AB. Gọi H là điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại 1 điểm I và cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại điểm K. Các tia AH, BM cắt nhau tại 1 điểm S
a) C/m: BSA cân, suy ra S nằm trên 1 đ/tròn cố định
b) C/m: KS là tiếp tuyến của (B;BA)
c) Đ/tròn ngoại tiếp BIS cắt (B;BA) tại N. C/m: 3 điểm A,M,N thẳng hàng.
d) Xác định vị trí của M sao cho 
Giải:
a) ABS cân tại B vì BH vừa là đường cao, vừa là p/g
=> S thuộc đ/tròn (B;BA)
b) BAK = BSK (cgc) => 
=> KS là tiếp tuyến tại S của (B;BA)
c) Gọi N’ là giao điểm của AM và (B;BA)
=> BAN’ cân => 
Do I là trực tâm ASB => 1 đ/tròn
=>T/g ISN’B nội tiếp => N’ thuộc (ISB). Theo cách dựng N’ thuộc (B;BA)
Vậy N’ là giao điểm của (ISB) và (B;BA)
Vậy N N’ => A,M,N thẳng hàng
d) ó NK // AB => (So le trong)
=>MKB cân tại M. Hạ MP AB => MPAK là hcn=> KM = AP
Đặt AB = 2R, MB = x => MB2 = AB.PB = AB(AB - AP)
Hay x2 = 2R(R - x) => x = R(- 1) = MB
Vậy M thuộc cung AB sao cho MB = = R(- 1) thì 
Bài 26: Cho (O;R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho AP > R. Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm)
a) C/m: BM // OP
b) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BM tại N. T/g OBNP là hình gì? Tại sao?
c) Gọi K là giao điểm của AN với OP, I là giao điểm của ON với PM, J là giao điểm của PN với OM. C/m: 3 điểm K,I,J thẳng hàng.
d) Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên (O)
Giải:
a) BM // OP (AM)
b) PAO = NOB => OBNP là hbh
c) I là trực tâm OPJ và IPO cân tại I
=>JI là trung trực của PO => K,O,P thẳng hàng
d) T/g OANP là hcn => KAO cân tại K
Điểm K thuộc đ/tròn ó OK = R ó OAK đều ó 
=>AP = 
Bài 27: Cho đ/tròn (O;R). Trên đó có 1 điểm A cố định . Kẻ tia Ax tiếp xúc với (O) tại A. Lấy M thuộc Ax. Kẻ tiếp tuyến MB với đ/ tròn (O). Gọi I là trung điểm của MA và K là giao điểm thứ hai của BI với đ/tròn (O). Tia MK cắt (O) tại điểm thứ hai C
a) C/m: MIK đồng dạng với BIM
b) C/m: BC //MA
c) Xác định vị trí của M để T/g AMBC là hình thoi
d) Gọi H kà trực tâm MAB.C/m: Khi M di động trên tia Ax thì H chạy trên 1 đ/tròn cố định
Giải:
a) C/m: IA2 = IK.IB => IM2 = IK.IB => mà góc I chung => đpcm
b) Từ a) ta có mà 
(= sđ) => => BC // MA
c) AMBC có BC // MA nên AMBC là hình thoi ó MB // AC Vì MC MO nên K thuộc MO (K là chính giữa cung AB)
Khi đó, 
=> MAB cân tại A. Mặt khác, MAB cân tại M => MAB đều 
=>ABC đều => AM = AB = 
Vậy M thuộc Ax sao cho AM = thì AMBC là hình thoi
d) Gọi H là giao điểm MO với BE => AOBH là hình thoi => HA = R
Vì A cố định => H thuộc (A;R)
Giới hạn: H thuộc nửa mp bờ OA chứa M
Bài 28: Cho ABC có các góc B,C nhọn. Các đường tròn đường kính AB,AC cắt nhau tại điểm thứ hai H. Một đường thẳng d qua A lần lượt cắt 2 đường tròn nói trên tại M,N sao cho A nằm giữa M và N
a) H thuộc BC
b) T/g BCNM là hình gì?Tại sao?
c) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của BC,MN. C/m: 4 điểm A,H, P,Q cùng thuộc 1 đ/tròn
d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất
Giải:
a) 
b) Hình thang vuông
c) PQ MN => ,=> đpcm
d) MN < BC. Vậy MN max ó MN = BC. Khi đó BCNM là hình chữ nhật và MN //BC
vậy d // BC thì MN max
Bài 29: Cho (O) và 1 dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và C là điểm bất kì nằm giữa A và B. Tia MC cắt (O) tại D
a) C/m: MA2 = MC.MD
b) C/m: MB.BD = MD.BC
c) C/m: Đ/tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB tại B
d) Chứng minh khi C di động trên AB thì các đ/tròn (O1); (O2) ngoại tiếp tam giác BCD, ACD có tổng bán kính không đổi
Giải:
a) MAC đồng dạng với MDA => đpcm
b) MBC đồng dạng với MDB
c) kẻ tiếp tuyến Bx với (BCD) => sđ => Bx BM
d) Vẽ đường kính MN, nối NA, NB
Do BM là tiếp tuyến của (BCD) mà NB Bx nên O1 NB
Mặt khác, O1 nằm trên trung trực của BC 
Vậy O1 là giao của NB với đường trung trực của BC
=>O1BC cân tại O1 (1)
Tương tự, AM là tiếp tuyến của (ADC) => NA AM => O2 NA
Vậy O2 là giao điểm của đường trung trực đoạn AC
*Với NA => O2AC cân tại O2 (2)
Mặt khác, NAB cân tại N (3)
Từ (1)(2)(3) => => O2C // O1N và O1C // O2N
=>O2C = O1N 
Khi đó, O2C + O1B = O1N + O1B = NB không đổi
Bài 30: Cho ABC (AB = AC) nội tiếp (O). Một điểm M bất kì trên cung nhỏ AC. Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D.
a) C/m: 
b) C/m: BMD cân
c) C/m: M di động thì D chạy trên 1 đ/tròn cố định và độ lớn góc BDC không đổi
d) Xác định vị trí của M để tứ giác ABMD là hình thoi. Tính AM ở vị trí đó biết và bán kính (O) là R
Giải:
a) (vì cùng bù )
b) Tia MA là p/g vừa là đường cao => đpcm
c) AM là trung trực BD => AD = AB không đổi , A cố định
=> D thuộc (A;AB) không đổi
d) Do IB = ID nên ABMD là hình thoi ó IA = IM
ó AM vuông góc với đường kính đi qua B của (O)
Khi đó, T/g AMCB là hình thang cân (tam giác BAM cân => BM = AB = AC)
ó AM = BC
Kẻ đường kính CC’ => tam giác BCC’ vuông tại B có: 
=>BC = AM = CC’.sin C = 2R.sinC
Bài 31: Cho 2 đường tròn