Chuyên đề Nhị thức Newton và ứng dụng

 NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG 
 Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 1 
CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG 
A.LÍ THUYẾT: 
1.Các hằng đẳng thức 
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
2 2 2
3 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4
1
2
3 3
4 6 4
...
a b
a b a b
a b a ab b
a b a a b ab b
a b a a b a b ab b
+ =
+ = +
+ = + +
+ = + + +
+ = + + + +
2.Nhị thức Newton( Niu-tơn) 
a.Định lí: 
( ) 0 1 1 1 1
0
...
n
n n n n n n n k n k k
n n n n n
k
a b C a C a b C ab C b C a b− − − −
=
+ = + + + + =∑ 
 Kết quả: 
* ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
1
kn n
nn kk n k k n k k
n n
k k
a b a b C a b C a b− −
= =
− = + − = − = −   ∑ ∑ 
* ( ) 0 1
0
1 . . ... .
n
n k k n n
n n n n
k
x C x C C x C x
=
+ = = + + +∑ 
b.Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn ( )na b+ : 
-Số các số hạng của công thức là n+1 
-Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: (n-k)+k=n 
-Số hạng tổng quát của nhị thức là: 1
k n k k
k nT C a b
−
+ = 
(Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển ( )na b+ ) 
-Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau. 
-
1 02 ...n n n
n n n
C C C−= + + + 
- ( )0 10 ... 1 n nn n nC C C= − + + − 
-Tam giác pascal: 1 
Khi viết các hệ số lần lượt với n = 0,1,2,... ta được bảng 
n k 
 NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG 
 Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 2 
 0 1 2 3 4 5 .... 
0 1 
1 1 1 
2 1 2 1 
3 1 
3 1 
4 1 4 6 4 1 
5 1 5 10 10 5 1 
Trong tam giác số này, bắt đầu từ hàng thứ hai, mỗi số ở hàng thứ n từ cột thứ hai 
đến cột n-1 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cột và cột trước nó. Sơ dĩ có quan hệ 
này là do có công thức truy hồi 
1
1 1
k k k
n n n
C C C−
− −
= + (Với 1 < k < n) 
3.Một sô công thức khai triển hay sử dụng: 
• ( ) 1 0
0
2 1 1 ...
n
nn k n n
n n n n
k
C C C C−
=
= + = = + + +∑ 
• ( ) ( ) ( )0 1
0
0 1 1 1 ... 1
n
n k nk n
n n n n
k
C C C C
=
= − = − = − + + −∑ 
• ( ) 0 1 1 0
0
1 ...
n
n k n k n n n
n n n n
k
x C x C x C x C x− −
=
+ = = + + +∑ 
• ( ) ( ) ( )0 0 1 1
0
1 1 ... 1
n
n n nk k n n
n n n n
k
x C x C x C x C x
=
− = − = − + + −∑ 
• ( ) ( ) ( )0 1 1 0
0
1 1 ... 1
n
n k nk n k n n n
n n n n
k
x C x C x C x C x− −
=
− = − = − + + −∑ 
4.Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton. 
a.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có 
1
n
i
n
i
C
=
∑ với i là số tự nhiên liên 
tiếp. 
b. Trong biểu thức có ( )
1
1
n
i
n
i
i i C
=
−∑ thì ta dùng đạo hàm ( )i ∈ℕ 
• Trong biểu thức có ( )
1
n
i
n
i
i k C
=
+∑ thì ta nhân 2 vế với xk rồi lấy đạo hàm 
• Trong biểu thức có 
1
n
k i
n
i
a C
=
∑ thì ta chọn giá trị của x=a thích hợp. 
 NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG 
 Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 3 
• Trong biểu thức có 
1
1
1
n
i
n
i
C
i
=
−
∑ thì ta lấy tích phân xác định trên [ ];a b thích hợp. 
• Nếu bài toán cho khai triển ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
in n
n n i a n i iba b i a b i
n n
i i
x x C x x C x
−
− +
= =
+ = =∑ ∑ thì hệ 
số của xm là Cin sap cho phương trình ( )a n i bi m− + = có nghiệm i ∈ℕ 
• 
i
n
C đạt MAX khi 1
2
ni −= hay 1
2
ni += với n lẽ, 
2
ni = với n chẵn. 
B.ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON. 
I.Các bài toán về hệ số nhị thức. 
1.Bài toán tìm hệ số trong khai triển newton. 
Ví dụ 1:(Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức: 
( ) ( ) ( ) ( )9 10 141 1 ... 1Q x x x x= + + + + + + 
Ta được đa thức: ( ) 140 1 14...Q x a a x a x= + + + 
Xác định hệ số a9. 
Giải: 
Hệ số x9 trong các đa thức ( ) ( ) ( )9 10 141 , 1 ,..., 1x x x+ + + lần lượt là: 9 5 99 10 14, ,...,C C C 
Do đó: 
9 5 9
9 9 10 14
1 1 1 1
... 1 10 .10.11 .10.11.12 .10.11.12.13 .10.11.12.13.14
2 6 24 20
a C C C= + + + = + + + + +
=11+55+220+715+2002=3003 
Ví dụ 2:(ĐHBKHN-2000) Giải bất phương trình: 2 2 32
1 6 10
2 x x x
A A C
x
− ≤ + 
Giải: 
Điều kiện: x là số nguyên dương và 3x ≥ 
Ta có: dất phương trình đã cho tương đương với: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 6 2 1
1 10
2 3!
2 2 1 2 2 1 10
3 12 4
x x x x
x x
x
x x x x x x
x x
− − −
− − ≤ +
⇔ − − − ≤ − − +
⇔ ≤ ⇔ ≤
Vì x là nghiệm nguyên dương và 3x ≥ nên { }3;4x ∈ 
Ví dụ 3: (ĐH KA 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của: ( )821 1x x + −  
Giải: 
Cách 1: Ta có: ( ) ( ) ( )8 82 28 8
0 0 0
1 1 .
kk k
ik k k i i
k
k k i
f x C x x C x C x
= = =
 
 = − = −  
 
∑ ∑ ∑ 
 NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG 
 Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 4 
Vậy ta có hệ số của x8 là: ( ) 81 i k ikC C− thoã 
0
0 8
4
2 8
2
,
3
i
i k k
k i
ii k
k
 =
≤ ≤ ≤ 
= + = ⇒ 
= ∈ 
=
ℕ
Hệ số trong khai triển của x8 là: ( ) ( )0 24 0 3 28 4 8 31 1C C C C− + − =238 
Cách 2: Ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )3 4 80 3 2 4 2 8 28 8 8 8... 1 1 ... 1f x C C x x C x x C x x     = + + − + − + + −      
Nhận thấy: x8 chỉ có trong các số hạng: 
• Số hạng thứ 4: ( ) 33 28 1C x x −  
• Số hạng thứ 5: ( ) 44 28 1C x x −  
Với hệ số tương đương với: A8= 3 2 4 08 3 8 4C C C C+ =238 
Ví dụ 4:(ĐH HCQG, 2000) 
a) Tìm hệ số x8 trong khai triển 
1211
x
 
+ 
 
b) Cho biết tổng tất cả các hệ sô của khai triển nhị thức ( )2 1 nx + bằng 1024. Hãy 
tìm hệ số a ( )*a ∈ℕ của số hạng ax12 trong khai triển đó.( ĐHSPHN, khối 
D,2000) 
Giải: 
a) Số hạng thứ (k+1) trong khai triển là: 
12 12 2
12 12
1 kk x k k
ka C x C x
x
− −
 
= = 
 
 ( )0 12k≤ ≤ 
Ta chọn 12 2 8 2k k− = ⇔ = 
Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x8 và có hệ số là: 212 66C = 
b) Ta có: ( )2 2 1 2 12 2
0
1 ...
n
k n k k k
n n n n
k
x C x C C x C x −
=
+ = = + + +∑ 
Với x=1 thì: 0 12 ... 1024n n
n n n
C C C= + + + = 102 2 10n n⇔ = ⇔ = 
Do đó hệ số a (của x12) là: 610 210C = 
Ví dụ 5:(HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức: 
( ) 12 120 1 12(1 2 ) ...P x x a a x a x= + = + + + 
Tìm max ( )0 1 2 12, , ,...,a a a a 
Giải: 
Gọi ak là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra: 1k ka a −> 
Từ đây ta có hệ phương trình: 
 NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG 
 Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 5 
1 1
12 12
1 1
12 12
2 1
2 2 12 1
1 22 2
12 1
k k k k
k k k k
C C k k
C C
k k
− −
+ +
 ≥ ≥ 
− +⇔ 
≥  ≥

− +
( ) 8 180 1 2 12 8 12ax , , ,..., 2 126720m a a a a a C⇒ = = = 
2.Bài toán tìm sô hạng trong khai triển newton. 
Ví dụ 6: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: ( )252 3x− 
Giải: 
Số hạng thứ 21 trong khai triển là: ( )2020 5 20 5 20 2025 252 3 2 3C x C x− = 
Ví dụ 7: 
a. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau ( )213x xy+ 
b. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau 
( )
20
4
23
1
x x
xy
 
 +
 
 
Giải: 
a. Khai triển ( )203x xy+ có 21+1=22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số thứ 
11 và 12. 
• Số hạng thứ 11 là: ( ) ( )11 1010 3 10 43 1021 21C x xy C x y= 
• Số hạng thứ 12 là: ( ) ( )10 1111 3 10 41 1121 21C x xy C x y= 
b. Khai triển 
( )
20
4
23
1
x x
xy
 
 +
 
 
 có 20+1=21 số hạng. Nên số hạng đứng giữa 2 số 
là số hạng thứ ( )
10 10 65 207 2
10 10 6 34 3
20 20
21 1 16 :
2
C x xy C x y
−
−
    
+ = =        
( Với [x] là ký hiệu phần nguyên của x nghĩa là sô nguyên lớn nhất không vượt quá x). 
Ví dụ 8: (ĐH Khối D-2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển. 
( )
7
3
4
1f x x
x
 
= + 
 
với 0x > 
Giải: 
Số hạng tổng quát trong khai triển: ( ) ( )7 773 3 121 7 741 , 7
k
k kk k
kT C x C x k k
x
−
−
+
 
= = ∈ ≤ 
 
ℕ 
Ứng với số hạng không chứa x ta có: 7 7 0 4
3 12
k k− = ⇔ = 
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển ( )f x là: 47 35C = 
Ví dụ 9: (ĐH SPHN-2001) Cho khai triển nhị thức: 
 NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG 
 Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 6 
10
9 10
0 1 9 10
1 2
... .
3 3
x a a x a x a x
 
+ = + + + + 
 
Hãy tìm số hạng ka lớn nhất. 
Giải: 
Ta có: ( ) ( )
10
10
10 1010 10 10
0
1 2 1 1 11 2 2 2
3 3 3 3 3
n
kk k k
k
k
x x C x a C
=
 
+ = + = ⇒ = 
 
∑ 
Ta có ak đạt được max 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]( )
1 1
1 10 10
1 1
1 10 10
2 2
2 2
2 10! 2 10! 1 2
! 10 ! 1 ! 9 ! 19 2210 1
2 2 3 32 10! 2 10!
11! 10 ! 1 ! 11 !
7 , 0,10
k k k k
k k
k k k k
k k
k k
k k
a a C C
a a C C
k k k k k k k
k kk k k k
k k k
+ +
+
− −
−
≥ ≥ 
⇒ ⇔ ≥ ≥ 
 ≥ ≥− + − 
− +⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤ 
  ≥≥

−
− − −
⇒ = ∈ ∈ℕ
Vậy max 
7
7
7 1010
2
3k
a a C= = 
Bài tập áp dụng 
Bài 1: (ĐH TK-2002) Gọi a1, a2,, a11 là các hệ số trong khai triển sau: 
( )( ) 11 101 111 2 ...x x x a x a+ + = + + + 
Hãy tìm hệ số a5 
Bài 2: Tìm hệ số của x5 trong khai triển ( ) ( )5 1021 2 1 3x x x x− + + ( Khối D-2007) 
Bài 3: Tìm hệ số của x5y3z6t6 trong khai triển đa thức ( )20x y z t+ + + ( Đề 4 “TH&TT” -
2003) 
Bài 4: (TT ĐH- chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An) Xác định hệ số của x11 trong khai triển 
đa thức: ( ) ( )2 32 3 1n nx x+ + biết: 
 ( )2 2 1 2 2 02 2 2 23 ... 1 3 ... 3 1024kn n k n k nn n n nC C C C− −− + + − + + = 
Bài 5: (LAISAC) Khai triển ( ) 3 212
n
P x x
x
 
= + 
 
 ta được 
( ) 3 3 5 3 100 1 2 ...n n nP x a x a x a x− −= + + + Biết rằng ba hệ số đầu a0, a1, a2 lập thành cấp số 
cộng. Tính số hạng thứ x4 
II. Áp dụng nhị thứ Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp. 
1. Thuần nhị thức Newton 
Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng đó có dạng k n k knC a b
−
 thì ta sẽ 
dùng trực tiếp nhị thức Newton: ( )
0
n
n k n k k
n
k
a b C a b−
=
+ =∑ . Việc còn lại chỉ là 
 NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG 
 Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 7 
khéo léo chọn a,b. 
Ví dụ 10: Tính tổng 16 0 15 1 14 2 1616 16 16 163 3 3 ...C C C C− + − + 
Giải: 
Dễ dàng thấy tổng trên có dạng như dấu hiệu nêu trên. Ta sẽ chọn a=3, b=-1. Khi đó tổng 
trên sẽ bằng (3-1)16=216 
Ví dụ 11: ( ĐH Hàng Hải-2000) Chứng minh rằng: 
( )0 2 2 4 4 2 2 2 1 22 2 2 23 3 ... 3 2 2 1n n n nn n n nC C C C −+ + + + = + 
Giải: 
( ) ( )
( ) ( )
2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2
2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2
1 ... 1
1 ... 2
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
x C C x C x C x C x
− −
− −
+ = + + + + +
− = − + + − +
Lấy (1) + (2) ta được: 
( ) ( )2 2 0 2 2 2 22 2 21 1 2 ...n n n nn n nx x C C x C x + + − = + + +  
Chọn x=3 suy ra: 
( ) ( )
( )
2 2 0 2 2 2 2
2 2 2
4 2
0 2 2 2 2
2 2 2
2 2
0 2 2 2 2
2 2 2
2 1 2 0 2 2 2 2
2 2 2
4 2 2 3 ... 3
2 2 3 ... 3
2
2 2 1
3 ... 3
2
2 (2 1) 3 ... 3
PCM
n n n n
n n n
n n
n n
n n n
n n
n n
n n n
n n n n
n n n
C C C
C C C
C C C
C C C
Đ
−
 + − = + + + 
+
⇔ = + + +
+
⇔ = + + +
⇔ + = + + +
⇒
2.Sử dụng đạo hàm cấp 1,2. 
a.Đạo hàm cấp 1. 
Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1,2,3,,n hay 
n,,3,2,1 tức là số hạng đó có dạng knkC hoặc 
1k n k k
nkC a b
− −
 thì ta có thể dùng đạo hàm 
cấp 1 để tính. Cụ thể: 
( ) 0 1 12 ...n n n n nn n na x C a C a x nC ax−+ = + + + 
Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được: 
( ) ( )1 1 1 2 2 12 ... 1n n n n nn n nn a x C a C a nC ax− − − −+ = + + + 
Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm. 
Ví dụ 12:(ĐH BKHN-1999) Tính tổng ( ) 11 2 3 42 3 4 ... 1 n nn n n n nC C C C nC−− + − + + − 
Giải: 
Ta thấy tổng cần tính có dạng như VP(1). Việc còn lại chỉ cần chọn a=1,x=-1 ta tính được 
tổng băng 0. 
 NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG 
 Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 8 
Cách khác: Sử dụng đẳng thức 11k kn nkC nC −−= ta tính được tổng bằng: 
( ) ( )1 10 1 2 11 1 1 1... 1 1 1 0n nnn n n nnC nC nC nC n− −−− − − −− + + + − = − = 
Ví dụ 13:Tính tổng: 0 1 20072007 2007 20072008 2007 ...C C C+ + + 
Giải: 
Hệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2008,2007,,1 nên dùng đạo hàm là điều dễ hiểu: 
( )2007 0 2007 1 2006 20072007 2007 20071 ...x C x C x C+ = + + + 
Bây giờ nếu đạo lấy đạo hàm thì chỉ được 0 200620072007C x trong khi đó đề đến 2008 do đó 
ta phải nhân thêm với x vào đẳng thức trên rồi mới dùng đạo hàm: 
( )
( ) ( )
2007 0 2008 1 2007 2007
2007 2007 2007
2006 0 2007 1 2006 2007
2007 2007 2007
1 ...
1 2008 1 2008 2007 ...
x x C x C x C x
x x C x C x C
+ = + + +
⇔ + + = + + +
Thay x=1 vào ta tìm được tổng là 2009.22006 
b.Đạo hàm cấp 2. 
Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,,(n-1)n hay (n-
1)n,,3.2,2.1 hay 12,22,,n2 (không kể dấu) tức có dạng ( 1) k n knk k C a −− hay tổng quát 
hơn ( )1 k n k knk k C a b−− thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính. Xét đa thức 
( ) 0 1 1 ...n n n n nn n na bx C C a bx C b x−+ = + + + 
Khi đó đạo hàm hai vế theo x ta được: 
( ) 1 1 1 2 2 2 12 ...n n n n n nn n nbn a bx C a b C a b x nC b x− − − −+ = + + 
Đạo hàm lần nữa: 
( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 11 2.1 ... 1 2n n n n nn nb n n a bx C a b n n C b x− − −− + = + + − 
Đến đây ta gần như giải quyết xong ví dụ toán chỉ việc thay a,b,x bởi các hằng số thích 
hợp nữa thôi. 
Ví dụ14: (ĐH AN-CS Khối A 1998) Cho ( ) ( ) ( )1 , 2nf x x n= + ≤ ≤ ℤ 
a.Tính ( )1f ′′ 
b.Chứng minh răng: 
( ) ( )2 3 22.1 3.2 ... 1 1 2n nn n nC C n nC n n −+ + + − = − 
Giải: 
a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 21 1 1 (1) (1 )n n nf x n x f x n n x f n x− − −′′ ′′ ′′= + ⇒ = − + ⇒ = + 
b. Ta có 
 NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG 
 Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 9 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 1
1 2
1 1
2
2
2
2
1
1 2 2 1
1
1
1 1 2
2.1 3.2 ... 1 ... 1 1 2 PCM
n n
n k k k k
n n n n
k k
n
k k
n n
k
n
k k
n
k
n
k n
n
k
p n n
n n n n
f x x C x C C x C x
f x C kC x
f x k k C x
f k k C
C C p C n nC n n Đ
= =
−
=
−
=
−
=
−
= + = = + +
′ = +
′′ = −
′′⇒ = − =
⇒ + + + + + + + = +
∑ ∑
∑
∑
∑
Từ câu b thay (n-1)=(n+1) thì ta có một bài toán khác: 
b’. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( )1 2 22.1 3.2 ... 1 ... 1 1 2p n nn n n nC C n pC n nC n n −+ + + + + + + = + 
Với bài toán này ta giải như sau: 
Xét nhị thức: ( ) 0 11 ...n n nn n nx C C x C x+ = + + + 
Nhân 2 vế của đẳng thức với 0x ≠ đồng thời lấy đạo hàm cấp 2 hai vế theo biến x ta 
được: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 12 1 1 1 2 3.2 ... 1n n n nn n nn x n n x x C x C x n nC x− − −+ + − + = + + + + 
Cho x=2 ta được ĐPCM 
Bài tập áp dụng 
Bài 1:(CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng: 1 1 19 1920 20 20... 2C C C+ + + = 
Bài 2:(CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh rằng : 
2004
0 2 1 2004 2004
2004 2004 2004
3 12 ... 2
2
C C C ++ + + = 
Bài 3:(ĐHKTQD-2000) Chứng minh: 
( ) ( )1 1 2 2 2 2 12 1.2 . 2.2 . 3.2 . ... .3 1n n n n n nn n n nx C C C nC n n− − − −+ = + + + + = ∀ ≤ ∈ℤ 
Bài 4: Rút gọn tổng: 2 1 2008 2 2 2007 2 20092009 2009 20091 2 2 2 ... 2009C C C+ + + 
III.Một số phương pháp khác: 
Ví dụ 15: (ĐHQG TP.HCM 1997) Cho 0
, ,
m k n
k m n Z
≤ ∈ ≤

∈
Chứng minh: 0 1 1. ...k k k m m kn m n m n m n mC C C C C C C
− −
++ + + = 
Giải: 
( )
( )
( )
0 1
0 1 1
0 1
1 ...
Ta c : 1 ...
1 ...
m m m
m m m
n n n n
n n n
m n m n m n
m n m n m n
x C C x C x
ó x C x C x C
x C C x C x
−
+ + +
+ + +
 + = + + +


+ = + + +

+ = + + +
Suy ra hệ số xk trong (1+x)n .(1+x)m là 0 1 1 ...k k m k mm n m n m nC C C C C C− −+ + + 
Và hệ số xk trong khai (1+x)m+n là km nC + 
Đồng nhất thức: (1+x)n .(1+x)m = (1+x)n+m 
 NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG 
 Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 10 
Ta được: 0 1 1. ...k k k m m kn m n m n m n mC C C C C C C
− −
++ + + = ⇒ĐPCM 
Ví dụ16: (Đề2-TH&TT-2008) S2= ( ) ( ) ( )2 2 21 22 ... nn n nC C n C+ + + với n là số tự nhiên lẽ 
Giải: 
Ta có: 
( ) ( )( )( ) ( )2 21 12 2 21 1 2 21 11 ... 2 2n nn nn n n n nn nS C n C C C n C− +−       − +   = + − + + + +                      
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2 2 21 2 1
2 2 21 2 1
2 2 21 2
...
...
2 ...
n
n n n
n n
n n n
n
n n n n
n C C C n
n C C C n
S n C C C n
−
+ −
+ + + +
= + + + +
 ⇒ = + + + +  
Mặt khác ta có: ( )2 0 1 2 22 2 21 ...n n nn n nx C C x C x+ = + + + ⇒ hệ số của xn là: 2 (*)nnC 
Trong khi đó: ( ) 0 11 ...n n nn n nx C C x C x+ = + + + 
Nên hệ số của xn là ( ) ( ) ( )2 2 21 2 ... nn n nC C C+ + + (**) 
Từ (*) và (**) ( ) ( ) ( )2 2 21 22 1 ...n nn n n nC n C C C ⇒ − = + + +   
2 PCM2
n
n n
nS C Đ⇒ = ⇒ 
Bài tập áp dụng 
Bài 1: Chứng minh rằng: 
a) 1 1 2 1 13 2 3 ... .4n n n n
n n n
C C nC n− − −+ + + = (ĐH Luật-2001) 
b) ( )2 1 2 2 2 21 2 ... 1 2n nn n nC C n C n n −+ + + = + ( Đề 1-TH&TT-2008) 
Bài 2: Tính các tổng sau: 
a) 1 2 3 4 5 28 2930 30 30 303.2 5.2 ... 29.2C C C C+ + + + 
b) ( )
1 2
0
... 1
2 3 1
n
nn n n
n
C C CC
n
− + − + −
+
Bài 3: Đặt ( ) 1 2 161 3k k kk nT C+ += − . Chứng minh
3
1
0
n
k
k
T
=
=∑