Chuyên đề Mũ – Logarit (Dùng cho ôn luyện TNPT và Đại học – Cao đẳng)

ThS. Lê Văn Đoàn 
07/2013 
Chuyên đề 
Mũ – Logarit 
(Dùng cho ôn luyện TNPT và Đại học – Cao đẳng) 
E m a i l : v a n d o a n _ a u t o m o b i l e @ y a h o o . c o m . v n 
MỤC LỤC 
 Trang 
A – Công thức mũ & logarit cần nhớ .................................................................................... 1 
B – Phương trình & Bất phương trình mũ ........................................................................... 3 
 Dạng toán 1. Giải bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa ..................................... 3 
 Các thí dụ ................................................................................................... 3 
 Bài tập tương tự ......................................................................................... 16 
 Dạng toán 2. Giải bằng cách đặt ẩn phụ .......................................................................... 25 
 Các thí dụ ................................................................................................... 25 
 Bài tập tương tự ......................................................................................... 67 
 Dạng toán 3. Giải bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số ....................................... 77 
 Các thí dụ ................................................................................................... 77 
 Bài tập tương tự ......................................................................................... 88 
C – Phương trình & Bất phương trình logarit ..................................................................... 92 
 Dạng toán 1. Giải bằng cách đưa về cùng cơ số ............................................................... 92 
 Các thí dụ ................................................................................................... 93 
 Bài tập tương tự ......................................................................................... 124 
 Dạng toán 2. Giải bằng cách đặt ẩn phụ .......................................................................... 138 
 Các thí dụ ................................................................................................... 138 
 Bài tập tương tự ......................................................................................... 154 
 Dạng toán 3. Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức .......................................... 164 
 Các thí dụ ................................................................................................... 165 
 Bài tập tương tự ......................................................................................... 175 
D – Hệ phương trình & Hệ bất phương trình mũ – logarit ................................................. 180 
 Dạng toán 1. Giải hệ bằng phép biến đổi tương đương .................................................... 180 
 Các thí dụ ................................................................................................... 180 
 Bài tập tương tự ......................................................................................... 192 
 Dạng toán 2. Giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ ...................................................................... 197 
 Các thí dụ ................................................................................................... 197 
 Bài tập tương tự ......................................................................................... 206 
 Dạng toán 3. Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức .......................................... 216 
 Các thí dụ ................................................................................................... 216 
 Bài tập tương tự ......................................................................................... 226 
E – Bài toán chứa tham số mũ – logarit ................................................................................ 230 
 Các thí dụ ................................................................................................... 231 
 Bài tập tương tự ......................................................................................... 250 
 www.MATHVN.com
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 1 - 
A – CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT CẦN NHỚ 

 
 Công thức mũ và lũy thừa: a và b là các số thực dương, x và y là những số thực tùy ý. 
 
na a.a.a...a= 
  
xx
x
a a
bb
  =    
 
x y x ya a .a+ = 
 
x
y x ya a= 
 
x
x y n
y n
a 1
a a
a a
− −= ⇒ =  ( )
( )
0
0 u xu x 1 x 1,
x 0
∀  = ⇒ =     ≠
	 ( ) ( )
y x
x.y x ya a a= = 
n n na. b ab=
 ( )
xx xa .b a.b= 
 ( )
mm
n nm na a a= = 
 Công thức logarit: Cho 0 a 1< ≠ và 
 b, c 0> . 
 
x
a
log b x b a= ⇔ =  
a a a
b
log log b log c
c
= −
 
10
lg b log b log b= = 
(logarit thập phân) 
 
a
a
a
log b khi
log b
log b khi
α
α α= 
α α
 
e
ln b log b= ( ) , e 2,718...= 
(logarit tự nhiên hay log nepe) 
 
aa
1
log b log bα =
α
a a
log 1 0, log a 1= =
b
a
b log a= 
 ( )a a alog b.c log b log c= +  alog bb a= 
Công thức đổi cơ số 
 c
a
c
log b
log b
log a
=  
log c log ab ba c= 
 
a
b
1
log b ,
log a
= 
a
ln b
log b
lna
=
	 ab
a b
1
log c
1 1
log c log c
=
+
 Hàm số mũ – logarit và đạo hàm 
a/ Hàm số mũ ( ) xy a , a 0, a 1= > ≠ . 
 Tập xác định: D =  . 
n số a 
lẻ 
chẳn 
 www.MATHVN.com
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 2 - 
 Tập giá trị: ( )T 0,= +∞ . 
 Tính đơn điệu 
 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. 
 Dạng đồ thị: 
b/ Hàm số logarit 
( ) ay log x , a 0, a 1= > ≠ . 
 Tập xác định: ( )D 0,= +∞ . 
 Tập giá trị: T =  . 
 Tính đơn điệu 
 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. 
 Dạng đồ thị 
c/ Đạo hàm của hàm mũ và logarit 
Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp 
 ( ) ( ) 
'
1x .x , x 0α α−= α > ( ) .
'
1u .u u 'α α−⇒ = α 
 ( )
'
x xa a .ln a= ( )
'
u ua a .u '. ln u⇒ = 
 ( )
'
x xe e= ( )
'
u ue e .u '⇒ = 
	 ( )
'
a
1
log x
x lna
= ( )
'
a
u '
log u
u lna
⇒ = 
 ( ) ( ) 
' 1
ln x , x 0
x
= > ( )
' u '
ln u
u
⇒ = 
● Khi 
hàm số đồng biến. 
● Khi : hàm số nghịch biến. 
● Khi : hàm số đồng biến. 
● Khi : hàm số nghịch biến. 
1 1 
O O 
O 1 O 
1 
 www.MATHVN.com
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 3 - 
B – PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
 
I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN 
II – CÁC THÍ DỤ 
Thí dụ 1. Giải phương trình: ( ) 
2x 3 x 8
4 x 8 x 213.243 .9
9
+ +
+ += ∗ 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: 
x 8
x 2
 ≠ −

 ≠ −
. 
● Ta có: 
1
4 5 2 24
1
3 3 ; 243 3 ; 9 3 ; 3
9
−= = = = nên: 
( )
2x 3 x 81 5 2
x 8 x 2243 .3 3 .3
   + +        + +  −  ∗ ⇔ = 
1 2x 3 x 8
5 2 2
4 x 8 x 23 3
   + +    + − +    + +   ⇔ = 
1 2x 3 x 8
5 2 2
4 x 8 x 2
   + +   ⇔ + = − +     + +   
Dạng 1. Giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa 
 Đưa về cùng cơ số: 
Phương trình mũ: 
 Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng . 
Với thì . 
 Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì: . 
Bất phương trình mũ: 
 Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng . 
Nếu thì . 
Nếu thì . 
 Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì . 

 Logarit hóa: . 
 Lưu ý: Khi giải phương trình, bất phương trình cần đặt điều kiện để phương trình có 
nghĩa. Sau khi giải xong cần so sánh nghiệm (tập nghiệm) với điều kiện để 
nhận nghiệm (tập nghiệm) thích hợp. 
 www.MATHVN.com
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 4 - 
241x 102x 248 0⇔ + − = 
62
x 4 x
41
⇔ =− ∨ = . 
● Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: 62x 4 x
41
= − ∨ = . 
Thí dụ 2. Giải phương trình: ( ) 
3x 1 6x 7
3 33 43 3 3 3 3 3 9 27
− +     = ∗      
Bài giải tham khảo 
● Ta có: 
1
1 2
1 33x 1
1 162
3 3 3 93 3 3 3 3 3 3 3 3.3 3
−
                    = =                       
 và 
1
1 2
6x 7 3 233
3 4 2 4 243 9 27 3 3 .3 3
+
           = =             
. 
( )
( ) ( )16 233x 1 6x 7
9 243 3
− +
∗ ⇔ = 
( ) ( ) 
16 23
3x 1 6x 7
9 24
⇔ − = +
611
x
30
⇔ =− . 
● Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 611x
30
= − . 
Thí dụ 3. Giải phương trình: ( ) 
22x 1 4x 3 2x 3x 784 .5 5.10+ + + −= ∗ 
Bài giải tham khảo 
● Tập xác định: D =  . 
( )
24x 2 4x 2 2x 3x 782 .5.5 5.10+ + + −∗ ⇔ = 
24x 2 2x 3x 785.10 5.10+ + −⇔ =
24x 2 2x 3x 78⇔ + = + − 
1 641
x
4
±
⇔ = . 
● Vậy phương trình có hai nghiệm 1 641x
4
±
= . 
Thí dụ 4. Giải phương trình: ( ) x x x x5.3 3.2 7.2 4.3+ = − ∗ 
Bài giải tham khảo 
● Tập xác định: D =  . 
 www.MATHVN.com
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 5 - 
( ) x x x x5.3 4.3 7.2 3.2∗ ⇔ + = − 
x x3 .9 2 .4⇔ = 
x 2
3 3
2 2
−      ⇔ =        
. 
 x 2⇔ =− . 
● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2= − . 
Thí dụ 5. Giải phương trình: ( ) x x 1 x 2 x 1 x 1 x 25 5 5 3 3 3− − + − −+ + = + + ∗ 
Bài giải tham khảo 
● Tập xác định: D =  . 
( )
x x x x
x x
2 2
5 5 3 3
5 3.3
5 35 3
∗ ⇔ + + = + + 
x x1 1 1 15 1 3 3
5 25 3 9
      ⇔ + + = + +        
x x31 31.5 .3
25 9
⇔ =
x 2
5 25 5
3 9 2
      ⇔ = =        
 x 2⇔ = . 
● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2= . 
Thí dụ 6. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 
2x 1 x 1
3x x 1
17 4 17 4
− −
+
+ = − ∗ 
Bài giải tham khảo 
● Ta có: ( )( ) ( )
( )
( )
11
17 4 17 4 1 17 4 17 4
17 4
−
+ − = ⇒ − = = +
+
. 
( ) ( ) ( )
2x 1 x 1
3x x 1
17 4 17 4
− −
−
+
∗ ⇔ + = + 
2x 1 x 1
3x x 1
− −
⇔ =−
+
2 1 55x 2x 1 0 x
6
±
⇔ − − = ⇔ = . 
● Vậy phương trình có hai nghiệm: 1 5 1 5x x
6 6
− +
= ∨ = . 
 Nhận xét: Dạng tổng quát của bài toán là ( ) ( )f x g xa b= với a.b 1= . 
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x1
1
a.b 1 b a a a f x g x
a
−−= ⇒ = = ⇒ ∗ ⇔ = ⇔ =− . 
 www.MATHVN.com
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 6 - 
Thí dụ 7. Giải phương trình: ( ) x 2 x 1 x 12 2 1 2 1+ + +− − = + ∗ 
Bài giải tham khảo 
● Tập xác định: D =  . 
( ) x x x4.2 2.2 1 2.2 1∗ ⇔ − − = + 
x x2.2 1 2.2 1⇔ − = − 
x
x x
x x
2.2 1 0
2.2 1 2.2 1
2.2 1 2.2 1
 − ≥
 − = −⇔ 

 − = − +
x 1
x
1
2 2
2
4.2 2
−
 ≥ =⇔ 
 =
x 1
x 1
1
2 2
2
−
 ≥−⇔ 
 = =
 x 1⇔ =− . 
● Vậy nghiệm của phương trình là x 1= − . 
Thí dụ 8. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 
x 1 x 3
x 2 x 2
− −
+ = + ∗ 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: x 1 0 x 1− ≥ ⇔ ≥ . 
( ) ( ) ( )x 2 1 x 1 x 3 0  ∗ ⇔ + − − − − =      
x 1 0
x 1 x 3
 + =⇔ 
− = −
2
x 1
x 3 0
x 1 x 6x 9
 = −
 − ≥⇔ 
 − = − +
x 1
x 3
x 5 x 2
 = −
 ≥⇔ 
 = ∨ =
x 1
x 5
 = −⇔  =
. 
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x 5= . 
Thí dụ 9. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 
2x 5x 4 x 4
2 2x 3 x 3
− + +
+ = + ∗ 
 www.MATHVN.com
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 7 - 
Bài giải tham khảo 
● Tập xác định: D =  . 
( ) ( ) ( )2 2x 3 1 x 5x 4 x 4 0   ∗ ⇔ + − − + − + =       
( ) 
2
2
x 3 1 0 VN
x 5x 4 x 4
 + − =⇔ 
− + = +
( )
2
2
x 4 0
x 5x 4 x 4
x 5x 4 x 4 VN
 + ≥ − + = +⇔  − + = − −
x 4
x 0 x 6
 ≥−⇔ 
 = ∨ =
 x 0 x 6⇔ = ∨ = . 
● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x 0 x 6= ∨ = . 
Thí dụ 10. Giải phương trình: ( ) 
2x 3 x 5x 62 3− − += ∗ 
Bài giải tham khảo 
● Tập xác định: D =  . 
● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: 
( )
2x 3 x 5x 6
2 3
log 2 log 3− − +∗ ⇔ = 
( ) ( ) 22 2x 3 log 2 x 5x 6 log 3⇔ − = − + 
( ) ( )( ) 2x 3 x 2 x 3 log 3 0⇔ − − − − = 
( ) ( ) 2x 3 . 1 x 2 log 3 0 ⇔ − − − =   
( )
2
x 3 0
1 x 2 log 3
 − =⇔  − −
3 3
x 3
x log 2 2 log 18
 =⇔  = + =
. 
● Vậy phương trình có hai nghiệm là 
3
x 3 x log 18= ∨ = . 
Thí dụ 11. Giải phương trình: ( ) 
2
4 2
3
x
2x 5x 3 25 7 0
−
− + − = ∗ 
Bài giải tham khảo 
● Tập xác định: D =  . 
● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được: 
( )
2
4 2
3
x
2x 5x 3 2
5 5
log 5 log 7 0
−
− +∗ ⇔ − = 
 www.MATHVN.com
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 8 - 
( ) 4 2 25 5
3
2x 5x 3 log 5 x log 7 0
2
  ⇔ − + − − =   
( ) 2 2 2 5
3 3
2 x 1 x x log 7 0
2 2
      ⇔ − − − − =        
( ) 2 2 5
3
x . 2 x 1 log 7 0
2
    ⇔ − − − =      
( )
2
2
2 2 5
5 5
3 63 x xx 0 2 22
log 7 12 x 1 log 7 0 x 1 x 2 log 175
2 2
  = = ± − = ⇔ ⇔ ⇔  − − = = + = ±  
. 
● Vậy phương trình có các nghiệm là 
5
6 1
x x 2 log 175
2 2
= ± ∨ = ± . 
Thí dụ 12. Giải phương trình: ( ) 
2x 4 2 x2 .5 1− − = ∗ 
Bài giải tham khảo 
● Tập xác định: D =  . 
● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: 
( ) ( )
2x 4 2 x
2 2
log 2 .5 log 1− −∗ ⇔ = 
2x 4 2 x
2 2
log 2 log 5 0− −⇔ + = 
( ) 2 2x 4 2 x log 5 0⇔ − + − = 
( )( ) ( ) 2x 2 x 2 x 2 log 5 0⇔ − + − − = 
( )( ) 2x 2 x 2 log 5 0⇔ − + − = 
2
x 2
x 2 log 5
 =⇔  = − +
. 
● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 
2
x 2 x 2 log 5= ∨ = − + . 
Thí dụ 13. Giải phương trình: ( ) 
2x 2x 32
2
− = ∗
Bài giải tham khảo 
● Tập xác định: D =  . 
● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: 
( )
2x 2x
2 2
3
log 2 log
2
−∗ ⇔ =
2
2 2 2
x 2x.log 2 log 3 log 2⇔ − = − 
( ) 2 2x 2x 1 log 3 0 1⇔ − + − = 
 www.MATHVN.com
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 9 - 
( ) 22 2
2
x 1 log 3
' 1 1 log 3 log 3 0
x 1 log 3
 = −
∆ = − − = > ⇒ 
 = +

. 
● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 
2 2
x 1 log 3 x 1 log 3= − ∨ = + . 
Thí dụ 14. Giải phương trình: ( ) 
x 1
x x5 .8 500
−
= ∗ 
Đại học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: x 0≠ . 
( )
x 1
3
x 3 2x5 .2 5 .2
−
∗ ⇔ = 
3x 3
x x
3 2
5 2
. 1
5 2
−
⇔ = 
3x 3
2
x 3 x5 .2 1
−
−
−⇔ = 
( ) 
x 3
x 3 x5 .2 1 1
−
−⇔ = 
● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được: 
( )
x 3
x 3 x
5 5
1 log 5 .2 log 1
−
−
  ⇔ =  
x 3
x 3 x
5 5
log 5 log 2 0
−
−⇔ + = 
( ) 5
x 3
x 3 log 2 0
x
−
⇔ − + = 
( ) 5
1
x 3 1 log 2 0
x
 
 ⇔ − + =
 
 
5
x 3
1
1 log 2 0
x
 =
⇔
 + =
5
x 3
1 1
x log 2
 =
⇔  = −

5
x 3
x log 2
 =⇔  = −
. 
● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: 
5
x 3 x log 2= ∨ = − . 
Thí dụ 15. Giải phương trình: ( ) 
2
2x 3
x 2 x3 .4 18
−
− = ∗ 
 www.MATHVN.com
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 10 - 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: x 0≠ . 
● Lấy logarit cơ số 3 hai vế, ta được: 
( )
2
2x 3
x 2 x
3 3
log 3 .4 log 18
−
−
  ∗ ⇔ =  
2
2x 3
x 2 x
3 3 3
log 3 log 4 log 18
−
−⇔ + = 
( ) 
4x 6
2 x
3 3
x 2 log 2 log 9.2
−
⇔ − + = 
( ) 2 3 3 3
4x 6
x 2 log 2 log 9 log 2
x
 −  ⇔ − + = +   
( ) 2 3 3
4x 6
x 2 log 2 2 log 2 0
x
 −  ⇔ − + − − =   
( ) 2 3
4x 6
x 4 1 log 2 0
x
 −  ⇔ − + − =   
( ) 2 3
3x 6
x 4 log 2 0
x
−
⇔ − + =
( )( )
( )
3
3 x 2
x 2 x 2 log 2 0
x
−
⇔ − + + = 
( ) 3
3
x 2 x 2 log 2 0
x
  ⇔ − + + =   
 2
3
x 2
x 2x 3 log 2 0 : VN
 =⇔  + + =
 x 2⇔ = . 
● So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 2= . 
Thí dụ 16. Giải phương trình: ( ) 
x
4 xx 28 4.3 −+ = ∗ 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: x 2≠− . 
( )
3x
x 2
4 x
2
2
3
2
+
−∗ ⇔ = 
3x
2
4 xx 22 3
−
−+⇔ = 
( ) 
x 4
4 xx 22 3 1
−
−+⇔ = 
● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: 
 www.MATHVN.com
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 11 - 
( )
x 4
4 xx 2
2 2
1 log 2 log 3
−
−+⇔ = 
( ) 2
x 4
4 x log 3
x 2
−
⇔ = −
+
( ) 2
x 4
x 4 log 3 0
x 2
−
⇔ + − =
+
( ) 2
1
x 4 log 3 0
x 2
  ⇔ − + =   + 
2
x 4 0
1
log 3
x 2
 − =
⇔
 = − +
2
x 4
x 2 log 3
 =⇔  = − −
. 
● So với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: 
2
x 4 x 2 log 3= ∨ = − − . 
Thí dụ 17. Giải bất phương trình: ( ) 
29x 17x 11 7 5x
1 1
2 2
− + −      ≥ ∗        
Bài giải tham khảo 
● Tập xác định: D =  . 
( ) 29x 17x 11 7 5x∗ ⇔ − + = − 
( ) 
2
29x 12x 4 0 3x 2 0⇔ − + ≤ ⇔ − ≤ 
2
x
3
⇔ = . 
● Vậy 2x
3
=
 là nghiệm của bất phương trình. 
Thí dụ 18. Giải bất phương trình: ( ) 
x 2x
x 11 3
9
+
   > ∗   
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: x 1≠− . 
( )
2x
2x x 13 3− +∗ ⇔ > 
2x
2x
x 1
⇔− >
+
22x 4x
0
x 1
+
⇔ <
+
 www.MATHVN.com
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 12 - 
x 2
1 x 0
 < −⇔ − < <
. 
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là ( ) ( )x ; 2 1;0∈ −∞ − ∪ − . 
Thí dụ 19. Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( ) 
x 3 x 1
x 1 x 3
10 3 10 3
− +
− +
+ < − ∗ 
Đại học Giao Thông Vận Tải năm 1998 – Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang năm 2002 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: 
x 1 0 x 1
x 3 0 x 3
  − ≠ ≠ ⇔ 
 + ≠ ≠ −  
. 
● Ta có: ( )( ) ( )
( )
( )
11
10 3 10 3 1 10 3 10 3
10 3
−
+ − = ⇔ − = = +
+
. 
( ) ( ) ( )
x 3 x 1
x 1 x 3
10 3 10 3
− +
−
− +
∗ ⇔ + < + 
x 3 x 1
x 1 x 3
− +
⇔ <−
− +
( )( )
22x 10
0
x 1 x 3
−
⇔ <
− +
3 x 5
1 x 5
− < <−
⇔ 
 < <

. 
● So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: ( ) ( )x 3; 5 1; 5∈ − − ∪ . 
Thí dụ 20. Giải bất phương trình: ( ) x 1 x 2 x 2 x 13 5 3 5+ + + ++ ≥ + ∗ 
Bài giải tham khảo 
● Tập xác định: D =  . 
( ) x x x x25.5 5.5 9.3 3.3∗ ⇔ − > − 
x x20.5 6.3⇔ > 
x
5 3
3 10
  ⇔ >   
5
3
3
x log
10
⇔ > . 
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
5
3
3
x log ;
10
  ∈ +∞  
. 
Thí dụ 21. Giải bất phương trình: ( ) x x 1 x 2 x x 1 x 24 4 4 9 9 9+ + + ++ + > + + ∗ 
 www.MATHVN.com
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 13 - 
Bài giải tham khảo 
● Tập xác định: D =  . 
( ) x x 2 x x x 2 x4 4.4 4 .4 9 9.9 9 .9∗ ⇔ + + > + + 
x x4 .21 9 .91⇔ > 
x
4
9
4 91 91
x log
9 21 21
  ⇔    
. 
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
4
9
91
x log ;
21
  ∈ +∞  
. 
Thí dụ 22. Giải bất phương trình: ( ) 
2
x 1
x 2x
1
2
2
−
−
≤ ∗ 
Bài giải tham khảo 
( )
2
x 1
x 2x
1
2
2
−
−
∗ ⇔ ≤ 
2x 2x x 12 2− − −⇔ ≤ 
2x 2x x 1⇔− − ≤ − 
2x 2x 1 x⇔ − ≥ − 
( )
 22 2
1 x 01 x 0
x 2
x 2x 0 x 2x 1 x
  − > − ≤  ⇔ ∨ ⇔ ≥ 
 − ≥ − ≥ −  
. 
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là )x 2;∈ +∞ . 
Thí dụ 23. Giải bất phương trình: ( ) 
x x 2
x x
2.3 2
1
3 2
+−
≤ ∗
−
Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B, M, T năm 2001 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: 
x
x x x x 33 2 0 3 2 1 x 0
2
  − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠   
. 
● Với x xx 0 3 2 0< ⇔ − < . 
( )
x x x x2.3 4.2 3 2
x 0
 − ≥ −∗ ⇔ 
 <
x x3 3.2
x 0
 ≥⇔ 
 <
 www.MATHVN.com
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 14 - 
x
3
3
2
x 0
    ≥ ⇔   <
3
3
x log
x2
x 0
     ≥    ⇔ ⇒ ∈∅  
 <
. 
● Với x xx 0 3 2 0> ⇔ − > . 
( )
x x x x2.3 4.2 3 2
x 0
 − ≤ −∗ ⇔ 
 >
x x3 3.2