Chuyên đề: Một số dạng toán cơ bản về phép chia đa thức

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN 
VỀ PHÉP CHIA ĐA THỨC
Người thực hiện: Nguyễn Tấn Cường
Tổ: Toán – Tin. Trường THCS Nhơn Thọ 
Ngày báo cáo: 26/11/2015
	Phần 1: Tên chuyên đề
“ MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÉP CHIA ĐA THỨC ”
	Phần 2: Cơ sở xây dựng chuyên đề:
	Trong chương trình đại số 8 có đề cập đến phép chia đa thức, nhưng chỉ giới thiệu sơ lược về phép chia hết, phép chia có dư và cách thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp. Nhưng ở phần bài tập nâng cao trong SGK cũng như trong sách bài tập có đề cập đến một số bài toán tìm giá trị tham số để phép chia hết ( BT 74 SGK T8 tr 32 );
Tìm các giá trị nguyên của biến để các biểu thức có giá trị là một số nguyên ( BT 83SGK T8 tr 33 ). Hoặc trong quá trình bồi dưỡng HSG có một số dạng toán về đa thức như: Tìm dư của một phép chia; tìm đa thức thương; hay tìm nột đa thức thỏa mãn một số điều kiện cho trước Do đó bản thân tôi chọn chuyên đề này mục đích để nghiên cứu sâu hơn một số phương pháp giải các loại toán trên nhằm để phần nào cung cấp thêm cho quí thầy cô giáo chúng ta có thêm được một số phương pháp nữa để giảng dạy ngày càng tốt hơn.
	Phần 3: Nội dung 
 A.Lý thuyết
I.Chia đa thức.
 1.Khái niệm.
* A B A = B.Q ( với A, B, Q là các đa thức)
* Với 2 da thức một biến A và B tùy ý, tồn tại duy nhất 2 đa thức Q và R sao cho:
A = B.Q + R 
( R=0 hoặc R có bậc nhỏ hơn bậc của B )
R=0 ta có phép chia hết.
R 0 ta có phép chia có dư
 2. Tính chất.
a/ A(x) C(x); B(x) C(x) [ A(x) B(x) ] C(x)
b/ A(x) B(x) [ A(x).M(x) ] B(x) 
c/ A(x) M(x); B(x) N(x) [ A(x) . B(x) ] [ M(x). N(x) ]
II. Tìm dư của phép chia mà không thực hiện phép chia.
Đa thức chia có dạng x-a (a là hằng số)
*Phương pháp:
+ Sử dụng định lí Bơdu
+Sử dụng sơ đồ Hoocne
Định lí Bơdu
 a/ Định lí: Số dư của phép chia đa thức f (x) cho nhị thức x-a đúng bằng f(a)
Ví dụ: Tìm số dư của phép chia da thức f(x) = x243+x27+x9+x3+1 cho x+1
Giải:
Theo định lí Bơdu ta có số dư của phép chia f(x) cho x+1 đúng bằng f(-1)
 Ta có f(-1)= (-1)243+(-1)27+(-1)9+(-1)3+1= -1 -1 -1 -1 +1 = -3
Vậy số dư của phép chia đa thức f(x) cho x+1 bằng -3.
 b/ Hệ quả.
* f(x) (x- a) f(a) = 0.
* Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) (x-1)
* Đa thức f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) (x+1).
1.2. Sơ đồ Hooc-ne.
 	a/ Tổng quát:
Với đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+..+ a1x + a0 ; chia cho: x-a. Ta được thương 
Là: g(x) = bnxn-1 +bn-1xn-2+bn-2xn-3+..+ b1 ; r là số dư
Ta có sơ đồ Hoocne:
an
an-1
an-2
a1
a0
a
bn=an
bn-1=a.bn+an-1
bn-2=a.bn-1+an-2
b1=a.b2+a1
r=a.b1+a0
b/ Các ví dụ :
* Ví dụ1 : Tìm đa thức thương và dư cuả phép chia đa thức : 
 x3-5x2+8x-4 cho x-2 mà không cần thực hiện phép chia.
Ta thực hiện như sau:
1
-5
8
- 4
a= 2
1
-3
2
0
 Ta được thương là: x2 – 3 x + 2 và dư là r = 0 
*Ví dụ 2: (x3-7x+6):(x+3)	 . ( Tương tự như trên)
* Ví dụ 3: Chia x8 cho x + 0,5 được thương q1 (x); dư r1 . Chia q1(x) cho x + 0,5 được thương q2(x) ; dư r2 . Tìm r2 ? ( Dùng lược đồ hoocner ta tính được : ) 
2. Đa thức chia có bậc từ bậc hai trở lên
*Phương pháp
Cách1: Tách ra ở đa thức bị chia những đa thức chia hết cho đa thức chia 
Cách2: Xét giá trị riêng (sử dụng khi đa thức chia có nghiệm )
 Ví dụ:Tìm dư khi chia f(x) =x7+x5+x3+1 cho x2-1
* C1: f(x)=x7+x5+x3+1=(x7-x)+(x5-x)+(x3-x) +3x+1
	 =x(x6-1)+x(x4-1)+x(x2-1)+3x+1
Mà ta có : x6-1 x2-1; x4 -1x2-1; x2-1x2-1
f(x): (x2 -1) có dư là 3x+1
 * C2: Có f(x) = (x2-1).Q(x) + ax + b với mọi x (1)
Đẳng thức (1) đúng với mọi x ,nên 
 Với x=1 có f(1) = a+b = 4
 x=-1 có f(-1)= -a+b=-2
 suy ra : a=3; b=1 Vậy dư là : 3x+1
*Chú ý :
** an-bna-b ( ab)
 an+bna+b (n lẻ ;a-b)
** xn-1x-1
 x2n-1x2-1 x+1; x-1
 x4n-1x4-1 x2-1; x2 +1
 x3n-1x3-1 x2+x+1
 III Chứng minh một đa thức chia hết cho 1 đa thức 
*Phương pháp : có 4 cách 
C1:Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có chứa đa thức chia ( theo đn: A=B.Q )
C2:Biến đổi đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia(t/chất)
C3:Sử dụng các biến đổi tương đương 
 f(x) g(x) f(x)g(x) g(x)
C4:Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia 
B.Các dạng bài tập 
Dạng 1:Tìm dư của phép chia:
Bài1: Tìm dư của phép chia x41 cho x2+1 
Gv gợi ý để HS chọn được đúng phương pháp
 *HS: x41 = x41 – x + x = x(x40-1)+x
 = x[(x4)10-1] + x
 mà: x[(x4)10-1] (x4-1) nên (x2-1)
 x[(x2-1)(x2+1)]10 + x]:(x2+1) có dư là x
Bài 2:Tìm dư của phép chia f(x) = x50+x49+..........+x2+x+1 cho x2-1.
 Gv gợi ý để HS chọn được đúng phương pháp
HS: Chọn cách xét giá trị riêng vì đa thức có nghiệm
Bài 3: Cho đa thức:f(x) = 1 + x + x2 + .+ x2015 và g(x) = x3 – x 
	a/ Tìm đa thức dư R(x) khi chia f(x) cho g(x) 
b/ Tìm GTNN của R(x) .
( Gợi ý: a/ Gọi R(x) = ax2 + bx +c do đa thức chia có bậc 3 
Và g(x) có 3 nghiệm là: -1; 0; 1 nên: 
Vậy R(x) = 1008x2 + 1009x + 1 
b/ Đưa về dạng hằng đẳng thức )
Bài 4 : Tìm a để đa thức : 2x3 – 3x2 + x + a chia hết cho: x + 2 ( BT 74 SGK toan 8 tr 32 )
	( Gợi ý:* Cách 1 dùng định lý bơdu
 * Cách 2: ta thực hiện phép chia
Ta được thương: 2x2 - 7x+15 và dư : a – 30. Để phép chia hết thì dư bằng 0
Suy ra : a – 30 = 0 => a = 30 ) 
Bài 5 : Tìm các số nguyên n để: ( 2n2 – n + 2 ) chia hết cho: 2n+1( BT 83 SGKT8 tr33 )
	( gợi ý: thực hiện phép chia ta được: 2n2 – n + 2 = ( n – 1)(2n+1) +3
Để : (2n2 – n +2 ) ( 2n + 1 ) thì: 3( 2n + 1 ) => (2n + 1) phải là các ước của 3 
Suy ra: 
Bài 6: Cũng tương tự bài toán trên nhưng ở lớp 9 có dạng toán: Hãy tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức : có giá trị là một số nguyên.
( HD: ta có lí luận như trên ta được: )
Bài 7:Đa thức f(x) khi chia cho x+1 dư 4 , chia cho x2+1 dư 2x+3
Tìm phần dư khi chia f(x) cho (x+1)(x2+1)
HD: Có f(x)=(x+1).A(x)+4 (1)
 f(x)=(x2+1).B(x)+2x+3 (2)
 f(x)=(x+1)(x2+1).C(x) +ax2+bx+c (3)
 =(x+1)(x2+1).C(x)+a(x2+1)+bx+c-a
 =(x2+1)[C(x).(x+1)+a]+bx+(c-a) (4)
Từ (2) và (4) b=2;c-a=3. Kết hợp với (1), (3) ứng với x = -1
b=2;c= ;a=
Vậy đa thức dư là x2+2x+
 Dạng 2: Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước.
*Phương pháp: Xét giá trị riêng.
Bài 1: Với giá trị nào của a và b thì đa thức f(x)= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 thì dư 8. 
 **HD:
Vì f(x)= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 thì dư 8 nên ta có:
f(x)=(x+1).Q(x)+5
f(x)=(x+2).H(x)+8
Với x=-1 ta có f(-1)=-1+a-b+2=5 (1)
Với x=-2 ta có f(-2)=-8+4a-2b+2=8 (2)
Từ (1) và (2) ta có: a=3; b=-1.)
Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x-3 thì dư 7; chia cho x-2 thì dư 5; chia cho 
(x-3)(x-2) được thương là 3x và còn dư.
 **HD:
Theo bài ta có:
	f(x)= (x-3).A(x)+7
f(x)=(x-2).B(x)+5
f(x)=3x(x-3)(x-2)+ax+b.
các đẳng thức trên đúng với mọi x nên:
+Với x=2 có f(2)=5=> 2a+b=5
+Với x=3 có f(3)=7=> 3a+b=7
=>a=2; b=1.
Do đó dư là 2x+1
f(x)= 3x(x-2)(x-3)+2x+1= 3x3-15x2+20x+1
 Dạng 3: Chứng minh chia hết
Phương pháp: Sử dụng các pp trong phần III lí thuyết.
Bài 1: Chứng minh rằng: x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1
HD:Đặt x10=t=> cần chứng minh t5+t+1 chia hết cho t2+t+1
Có t5+t+1=t5-t2+t2+t+1=t2(t-1)(t2+t+1)+( t2+t+1) (t2+t+1)
Chứng tỏ x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1.
Bài 2: (x2-x9-x1945) (x2-x+1)
HD: 
x2-x9-x1945=(x2-x+1)+(-x9-1)+(-x1945+x)
Có x2-x+1 x2-x+1
x9+1x3+1 nên x9+1 x2-x+1
x1945-x=x(x1944-1)=x((x6)324-1) x6-1 nên x1945-x x3+1 nên x1945-x x2-x+1
Chứng tỏ (x2-x9-x1945) (x2-x+1)
Bài 3: Chứng minh rằng: f(x) = x2015+ x2014+1 chia hết cho x2+x+1
	HD:
Ta có: f(x) = x2015 + x2014+1=x2015 – x2 +x2014 – x + x2 +x+1
 = x2( x2013 –1) + x(x2013–1) +(x2 +x+1) 
Mà : x2013 –1= [ (x3)671 – 1 ] x3 – 1 x2+x+1 => f(x) (x2+x+1)
Bài 4 : Xác định m để ( x3 + y3 + z3 +mxyz ) chia hết cho : x+y+z 
	HD :
Đặt f(x) = x3 + mxyz + y3 + z3 . Để : f(x) ( x+y+z) hay f(x) [ x – (– y – z )] 
Thì : f (–y–z) = 0 y,z –(y+z)3 – myz ( y + z) + y3 + z3 = 0 
	 - 3yz (y+z) – m yz ( y + z ) = 0
 (m +3)(y +z )yz = 0 m+3 = 0 m = –3
 Các bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm a để ( x4 – x3 + 6x2 –x + a ) ( x2 – x + 5 )
Bài 2 : Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên:
Bài 3: Tìm dư khi chia các đa thức sau:
x43: (x2+1)
(x27+x9+x3+x):(x-1)
(x27+x9+x3+x):(x2-1)
(x99+x55+x11+x+7): (x+1)
(x99+x55+x11+x+7): (x2+1)
Bài 4: Chứng minh rằng:
x10-10x+9 chia hết cho (x-1)2
x8n+x4n +1 chia hết cho x2n+xn +1( với n là số tự nhiên)
x3m+1 +x3n+2 +1 chia hết cho x2+x +1( với m, n là số tự nhiên)
Bài 5: Cho đa thức f(x), các phần dư trong các phép chia f(x) cho x và cho x-1 lần lượt là 1 và 2. Hãy tìm phần dư trong phép chia f(x) cho x(x-1)
Bài 6 : T×m ®a thøc f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x - 3 th× dư 2, f(x) chia cho x + 4 th× dư 9, cßn f(x) chia cho x2 + x - 12 th× ®ưîc thư¬ng lµ x2 + 3 vµ cßn dư. 
	Phần 4: Kết luận 
	Trên đây là một số dạng toán về đa thức thường gặp mà bản thân đã sưu tầm và biên soạn lại, chắc cũng còn nhiều thiếu sót mong các đồng nghiệp đóng góp thêm để chuyên đề được hoàn thiện hơn! 
Duyệt của tổ chuyên môn:
Nhơn Thọ, ngày 01 tháng11 năm 2015.
 Người thực hiện:
Nguyễn Tấn Cường
Đánh giá, nhận xét chuyên đề: