Chuyên đề Một số bài toán cực trị trong tổ hợp

CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO BỒI DƯỠNG HSG LỚP 9 NĂM 2015
	MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP
TRẦN NGỌC THẮNG GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC, TỈNH VĨNH PHÚC
Chuyên ngành toán tổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của Toán học nói chung và toán rời rạc nói riêng. Nội dung của toán tổ hợp phong phú và được ứng dụng nhiều trong thực tế đời sống. Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng xuất hiện trong rất nhiều bài toán với độ khó rất cao. Tổ hợp có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích, đại số, hình học...
Với vai tròn quan trong toán học như vậy nên trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olimpic toán quốc tế, thi Olimpic sinh sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến tổ hợp thường là các bài toán rất khó, là những bài tập phân loại học sinh rất tốt.
Phương pháp giải các bài toán tổ hợp thường rất phong phú và đa dạng. Nhìn chung để giải một bài toán tổ hợp thông thường học sinh phải sáng tạo ra phương pháp và cách thức tiếp cận bài toán. Do đó khi giảng dạy phần tổ hợp thì điều quan trọng là với mỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một cách cụ thể để học sinh hiểu được ý tưởng cũng như mục đích của bài toán. Để cho việc giảng dạy toán phần tổ hợp đạt được kết quả tốt, chúng tôi mạnh dạn viết chuyên đề "sử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi với các thầy, cô giáo về phương pháp giảng dạy các bài toán tổ hợp.
Trong chuyên đề này, một số dạng bài tập được chọn lọc là các đề ra của các kì thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, Olimpic sinh viên giữa các trường đại học trên thế giới những năm gần đây.
Chuyên đề được chia làm hai phần chính:
Phần bài tập minh họa
Phần bài tập tương tự
Những bài toán tổ hợp xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi những năm gần đây thường là các bài tập hay và khó, có độ phân hóa cao giữa các đối tượng học sinh. Với thời gian ngắn thì học sinh thường rất khó để giải quyết được các bài toán dạng này và đây cũng là vấn đề rất nan giải trong công tác ôn luyện học sinh giỏi của đa số giáo viên. Số lượng cũng như số dạng bài toán tổ hợp là rất nhiều (có thể nói là vô hạn) nên giáo viên không thể dạy hết tất cả được, mà cần phải có phương pháp hiệu quả nhất để trang bị cho học sinh cách tiếp cận cũng như các kiến thức cơ sở trong việc giải quyết các bài toán tổ hợp. Chuyên đề được hoàn thành với sự giúp đỡ nhiệt tình cả về nội dụng và hình thức của các thầy, cô giáo trong tổ toán - tin, BGH trường THPT chuyên Vĩnh Phúc. Do thời gian và trình độ có hạn nên trong bài viết chỉ đề cập đến một khía cạnh rất nhỏ của dạng toán tổ hợp, rất mong nhận được góp ý và các phương pháp hiệu quả để việc giảng dạy phân môn này có hiệu quả hơn.
MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1. Cho tập hợp và là tập hợp con của tập có tính chất nếu: tích của 3 phần tử phân biệt bất kì trong đều không là số chính phương. Tìm số phần tử lớn nhất của .
Lời giải. Xét 4 tập hợp rời nhau có 3 phần tử và tích của 3 phần tử đều là số chính phương:
Nếu tập hợp có tính chất thì có ít nhất một phần tử trong mỗi tập trên không thuộc suy ra . Giả sử : Do có tính chất nên mỗi tập trong 4 tập hợp phải có đúng hai phần tử thuộc M và các phần tử . Khi đó với tập hợp ta xét các trường hợp sau:
+) . Do nên không được chứa một phần tử nào của vô lí.
+) . Do vô lí.
+) . Do nên không được chứa một phần tử nào của vô lí. Vậy . Mặt khác nếu ta lấy 
Vậy số phần tử lớn nhất của tập hợp là 10.
Bài 2. Cho tập hợp và là tập hợp con của tập có tính chất nếu: không chứa ba phần tử nào đôi một nguyên tố cùng nhau. Tìm số phần tử lớn nhất của .
Lời giải. Xét tập hợp số , ta thấy nếu tập hợp thỏa mãn tính chất thì chỉ chứa nhiều nhất 2 phần tử của . Mặt khác tập hợp gồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất : . Vậy số phần tử lớn nhất của là 11.
Bài 3 (VMO 2004). Cho tập hợp . Hãy tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm phần tử của đều tồn tại hai số phân biệt thỏa mãn là một số nguyên tố.
Lời giải. Xét tập hợp , ta thấy là một số chẵn lớn hơn 2 nên thỏa mãn yêu cầu bài toán thì . Ta sẽ chứng minh sẽ là số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán. Thật vậy, ta chia tập hợp thành 8 cặp hai phần tử sao cho là một số nguyên tố:
Do đó theo nguyên tắc Dirichlet thì trong 9 phần tử phân biệt của tập hợp phải tồn tại hai số thuộc cùng một cặp. Vậy nhỏ nhất bằng 9.
Bài 4. Cho tập hợp . Hãy tìm số m nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con chứa m phần tử của M đều tồn tại ít nhất hai số mà số này là bội của số kia.
Lời giải. Xét tập con của M. Do nên trong không có hai số mà số này chia hết cho số kia. Do đó , ta sẽ chứng minh là số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán. Thật vậy, xét tập con của M. Ta xét hai trường hợp chẵn và lẻ.
TH1. Nếu , ta viết , trong đó là số lẻ, . Do chỉ có đúng k số lẻ nên tồn tại sao cho một trong hai số có một số chia hết cho số kia.
TH2. Nếu , ta viết , trong đó là số lẻ, . Do chỉ có nhiều nhất k+1 số lẻ nên tồn tại sao cho một trong hai số có một số chia hết cho số kia.
Vậy số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu là .
Sau đây ta đưa ra một số ứng dụng của bài toán trên.
Bài 4.1. Cho tập hợp . Khi đó mọi tập hợp gồm phần tử của đều chứa hai phần tử là bội của nhau.
	Kết quả này khá hay và có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán liên quan. Sau đây tôi xin đưa ra một số bài tập vận dụng hệ quả đã nêu ở trên.
Bài 4.2 (Brasil 2015). Cho tập . Tìm số nguyên dương lớn nhất sao cho khẳng định sau đúng: mỗi tập con của , , có ít nhất cặp và .
Lời giải. 
Lấy . Nếu , ta có . Do đó thì cặp phải có dạng . Từ đó ta được .
Nếu , ta giả sử có cặp là của tập con . Xét tập . Vì mọi cặp và không là bội của nhau. Ta có . Từ đây, kết hợp với bài 4.1 ta suy ra trong tập có hai phần tử là bội của nhau, vô lí. Vậy số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn yệu cầu bài toán là .
Bài 4.3. Cho số nguyên dương sao cho . Chứng minh rằng .
Lời giải.
Giả sử . Xét tập hợp gồm phần tử của tập nên theo bài 4.1 ta có tồn tại hai số là bội của nhau. Giả sử vô lí. Nếu vô lí. Nếu vô lí. Vậy giả sử ban đầu là sai suy ra .
Bài 4.4. Cho số nguyên dương . Trên trục số lấy một khoảng có độ dài bằng . Chứng minh rằng khoảng này không chứa nhiều hơn phân số tối giản dạng , trong đó .
Lời giải.
	Giả sử trong khoảng có độ dài bằng có nhiều hơn phân số tối giản dạng , trong đó . Theo bài 4.1 thì tồn tại hai phân số sao cho . Đặt (1).
Ta nhận thấy nếu vô lí suy ra . Từ (1) ta được vô lí vì . Do đó bài toán được chứng minh.
Bài 5. Cho X là một tập con của tập , sao cho nếu nằm trong X thì không nằm trong X. Tìm số phần tử lớn nhất của tập X.
Lời giải. Xét tập hợp con của , do nên tập hợp M thỏa mãn yêu cầu bài toán, tập hợp M có 9900 phần tử. Ta sẽ chứng minh 9900 là số lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán. Thật vậy, xét tập con A gồm có 9901 phần tử, ta chứng minh tập A không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Xét 100 bộ số sau : ,. Dễ thấy nếu cả 3 số của mỗi bộ trên thuộc A thì vô lý suy ra phải có ít nhất một số trong mỗi bộ đó không thuộc A, vô lí. Vậy số phần tử lớn nhất của X bằng 9900.
Bài 6. Cho là một tập con của tập hợp , có phần tử nhỏ nhất là và phần tử lớn nhất là 100. Giả sử có tính chất: Với mỗi phần tử của , thì hoặc bằng tổng của hai phần tử thuộc hoặc bằng hai lần một phần tử thuộc . Tìm số phần tử nhỏ nhất có thể của tập hợp .
Lời giải. Giả sử tập hợp A gồm phần tử là . Với mỗi số ta có:
. Do đó 
, .Vì vậy .
Nếu , kết hợp với .
Do . Mặt khác vô lý.
Do đó , với ta lấy tập hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy số phần tử nhỏ nhất của tập hơp A là 9.
Bài 7. Cho tập hợp có phần tử . Xét tập con của thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất có thể có của .
Lời giải. Xét tập . Do nên . Do đó ta có tập con đôi một phân biệt của tập . Mặt khác số tập con của tập hợp là . Do đó 
Với , ta xét phần tử và gọi tập con của là . Khi đó là tập con của thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy giá trị lớn nhất của .
Bài 8. Cho là các số nguyên dương, . Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho bất kì một họ gồm tập hợp con của tập đều tìm được ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà một trong chúng là hợp của hai tập hợp còn lại.
Lời giải. Trước hết ta chứng minh hai bổ đề sau đây:
Bổ đề 1. Cho là một số nguyên . Khi đó luôn tồn tại một họ tập con của tập hợp sao cho bất kì ba tập hợp phân biệt khác rỗng của họ này đều không thỏa mãn tính chất một trong chúng là hợp của hai tập hợp còn lại.
Chứng minh. 
Ta sẽ chứng minh bổ đề này bằng quy nạp như sau: 
+) Khi đễ thấy thỏa mãn.
+) Ta giả sử bổ đề này đúng đến , tức là từ tập hợp luôn tồn tại tập hợp sao cho không có tập hợp nào là hợp của hai tập hợp phân biệt khác nó. Ta xét tập hợp . Khi đó tập sau:
Thỏa mãn không có tập hợp nào là hợp của hai tập hợp phân biệt khác nó.
Vậy bổ đề 1 được chứng minh.
Bổ đề 2. Cho là một số nguyên . Chứng minh rằng mọi họ gồm ít nhất tập hợp con của tập hợp đều tìm được ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà một trong chúng là hợp của hai tập hợp còn lại.
Chứng minh.
Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.
+) Khi đễ thấy bổ đề 2 là đúng.
+) Giả sử bổ đề 2 đúng đến , tức là mọi họ tập con của tập hợp luôn tồn tại ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà một trong chúng là hợp của hai tập hợp còn lại.
Ta chứng minh trong bất kì tập con của tập hợp luôn tồn tại ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà một trong chúng là hợp của hai tập hợp còn lại.
Thật vậy, số tập con chứa bằng . Gọi là số tập con trong tập con của tập hợp đã xét ở trên. Khi đó ta xét các trường hơp:
TH1. Nếu thì theo giả thiết quy nạp ta có đpcm.
TH2. Nếu thì có ít nhất tập con chứa trong tập đã xét ở trên. Giả sử ta xét tập dạng này là .
Đặt .
Nếu , thì theo giả thiết quy nạp ta có đpcm
Nếu tồn tại sao cho thì . Trong tập đã chọn ở trên phải có một tập con khác rỗng của giả sử nó là .
Nếu thì theo giả thiết quy nạp ta có đpcm.
Nếu thì ba tập thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy bổ đề 2 được chứng minh.
Trở lại Bài 8 thì dễ thấy nhỏ nhất bằng .
Bài 9 (Bài toán về khoảng cách Hamming). Cho . Gọi C là tập hợp chứa các xâu nhị phân có độ dài bằng n và khoảng cách Hamming có độ dài không nhỏ hơn . Kí hiệu là số phần tử lớn nhất của tập hợp C. Khi đó
Nếu thì
Nếu lẻ và thì
 Nếu chẵn thì 
 Nếu lẻ thì 
Chứng minh. 
1) 	
Ta sẽ đánh giá 
theo 2 cách khác nhau, ở đây kí hiệu là khoảng cách Hamming giữa hai xâu .
+) Số cách chọn bộ có thứ tự là suy ra:
+) Xét ma trận , trong đó mỗi dòng là một phần tử của . Gọi là số số 0 ở cột thứ i và tương ứng ở cột thứ i đó có số 1. Do xét quan hệ hai xâu x, y có tính đối xứng nên suy 
Do đó từ hai cách đánh giá ở trên ta được:
Hay 
 (1) .
Sau đó xét các trường hợp chẵn, lẻ của .
+) Nếu chẵn thì từ (1) ta có 
+) Nếu là số lẻ thì đạt giá trị lớn nhất khi hay ta có :
,
sử dụng ta được :
Kết hợp hai trường hợp trên ta được 
2) 
	Xét tập hợp và ta cho tương ứng mỗi xâu nhị phân của với một tập con của theo nguyên tắc : Nếu thì tập chứa phần tử và thì tập không chứa phần tử . Giả sử các tập con là . Khi đó ta có , và là giá trị lớn nhất của sao cho các tập con thỏa mãn tính chất . Hai tập thỏa mãn tính chất được gọi là hai tập không giống nhau. Xét tập . Ta thiết lập các tập theo nguyên tắc sau : Nếu chẵn thì , nếu lẻ thì . Khi đó chẵn với mọi . Do đó ta có
,
nên là số chẵn với mọi . Ta có 
 (2).
1) Nếu chẵn thì ta chứng minh giống như phần 1.
2) Nếu lẻ thì theo (2) ta được . 
Ta sẽ đánh giá 
theo 2 cách khác nhau, ở đây kí hiệu là khoảng cách Hamming giữa hai xâu .
+) Số cách chọn bộ có thứ tự là suy ra:
+) Xét ma trận , trong đó mỗi dòng là một phần tử của . Gọi là số số 0 ở cột thứ i và tương ứng ở cột thứ i đó có số 1. Do xét quan hệ hai xâu x, y có tính đối xứng nên suy 
Do đó từ hai cách đánh giá ở trên ta được:
Hay 
 (3) .
Sau đó xét các trường hợp chẵn, lẻ của .
+) Nếu chẵn thì từ (3) ta có 
+) Nếu là số lẻ thì đạt giá trị lớn nhất khi hay ta có :
,
sử dụng ta được :
Kết hợp hai trường hợp trên ta được 
.
Bài tập áp dụng khoảng cách Hamming
Bài 9.1 (Vĩnh Phúc 2012, vòng 2) Có 7 em học sinh được lập thành nhóm hoạt động ngoại khóa, mỗi học sinh có thể tham gia nhiều nhóm hoạt động. Biết rằng với hai nhóm tùy ý thì có ít nhất 4 học sinh chỉ tham gia vào một trong hai nhóm đó.
	Tìm giá trị lớn nhất có thể của .
Lời giải
Cách 1 (Đáp án chính thức)
Ta lập các “bộ ba”, mỗi bộ ba gồm hai nhóm nào đó cùng với một học sinh không tham gia vào một trong hai nhóm đó. Giả sử có bộ ba như vậy. Theo bài ra ta có bất đẳng thức sau:
Nếu học sinh nào đó tham gia nhóm, thì sẽ không tham gia nhóm. Như vậy, học sinh đó sẽ tham gia vào đúng bộ ba. Từ đó ta có:
Mặt khác 
Suy ra
Tức là .
Ví dụ sau đây cho một cách phân nhóm với , các học sinh là  :
Cách 2 (Sử dụng kết quả liên quan đến khoảng cách Hamming)
Giả sử 7 học sinh là và đặt . Ta coi mỗi nhóm là một xâu dạng , trong đó nếu nhóm đó chứa , nếu nhóm đó không chứa. Khi đó theo giả thiết khoảng cách Hamming không nhỏ hơn 4. Áp dụng kết quả phần 2.i ở trên với ta được .
Với ta có thể xây dựng 6 xâu nhị phân độ dài bằng 7 và khoảng cách Hamming giữa hai xâu bất kì bằng 4 như sau:
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
Bài 9.2. Cho là các tập con của tập thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
Xác định giá trị lớn nhất có thể có của .
Lời giải. 
	Ta coi mỗi tập con là một xâu nhị phân có dạng trong đó nếu tập chứa phần tử và tập hợp không chứa phần tử . Do , nên khoảng cách Hamming giữa hai tập hợp không nhỏ hơn 6. Do đó theo kết quả của định lí 	1 ta được .
	Với ta có thể xây dựng 6 xâu nhị phân thỏa mãn khoảng cách Hamming không nhỏ hơn 6 như sau :
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
Bài 9.3. Cho tập hợp . Hai tập con và của được gọi là không giống nhau nếu , trong đó . Cho tập hợp mà mỗi phần tử là một tập con của gồm phần tử đôi một không giống nhau.
Chứng minh rằng .
Chứng minh rằng .
Lời giải. Ta sẽ chứng minh phần b vì phần a là hệ quả của nó.
Ta coi mỗi tập là một xâu dạng , trong đó trong đó nếu chứa , nếu không chứa . Khi đó theo giả thiết khoảng cách Hamming không nhỏ hơn . Áp dụng kết quả phần 2.ii ở trên với ta được và trong đánh giá dễ dàng chỉ ra được dấu bằng.
Bài 9.4. Trong một cuộc thi có n thí sinh và p giám khảo, ở đó n, p là các số nguyên dương, . Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử k là số thỏa mãn điều kiện: Với hai giám khảo bất kì, số thí sinh mà họ cho kết quả giống nhau nhiều nhất là k. Chứng minh rằng .
Lời giải. 
Giả sử n thí sinh là . Mỗi giám khảo cho tương ứng với một xâu , trong đó nếu thí sinh đỗ, và nếu thí sinh trượt. Theo giả thiết thì khoảng cách Hamming giữa hai giám khảo bất kì sẽ không nhỏ hơn . Ta xét hai trường hợp sau :
TH 1. Nếu .
TH 2. Nếu thì ta xét hai khả năng sau:
+) Nếu chẵn thì theo kết quả của định lí 1 ta được:
.
+) Nếu lẻ thì theo kết quả của định lí 1 ta được:
Vậy ta luôn có đánh giá 
.
Bài 9.5. Cho là các tập hợp con của tập hợp , và . Chứng minh rằng .
Lời giải.
Ta coi mỗi tập con là một xâu nhị phân dạng , trong đó nếu tập chứa phần tử và tập hợp không chứa phần tử . Do nên hai tập bất kì sẽ có khoảng cách Hamming không nhỏ hơn . Theo kết quả định lí trên ta được 
Như vậy với mỗi cách tạo ra khoảng cách Hamming của hai đối tương nào đó ta được một dạng bài tập tương đối khó. Trong tất cả các dạng bài tập liên quan đến khoảng cách Hamming thì bài 3 thật tinh tế và sâu sắc.
Nhận xét. Như vậy với mỗi cách tạo ra khoảng cách Hamming của hai đối tương nào đó ta được một dạng bài tập tương đối khó. Trong tất cả các dạng bài tập liên quan đến khoảng cách Hamming thì bài 9.3 thật tinh tế và sâu sắc.
Bài 10 (THPT chuyên VP 2015). Điểm của mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên, nếu cả x và y đều là các số nguyên. Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho từ mỗi bộ n điểm nguyên, đều tìm được bộ ba điểm nguyên là đỉnh của một tam giác có diện tích nguyên (trong trường hợp ba điểm thẳng hàng thì coi diện tích tam giác bằng 0).
Lời giải. 
+ không thỏa mãn, vì ta có thể chọn bốn điểm nguyên là đỉnh của một hình vuông đơn vị, khi đó, mỗi tam giác có đỉnh là ba trong bốn điểm nguyên đang xét có diện tích bằng không phải là số nguyên.
+ Ta chứng minh là số nguyên bé nhất thỏa mãn. Ta chia các điểm nguyên của mặt phẳng thành 4 loại:
Loại 1: x chẵn, y chẵn; Loại 2: x chẵn, y lẻ; Loại 3: x lẻ, y lẻ; Loại 4: x lẻ, y chẵn.
Khi đó, trong 5 điểm nguyên đang xét, luôn có hai điểm cùng loại, ta gọi đó là hai điểm A, B. Ta sẽ chứng minh, với mọi điểm nguyên C, diện tích tam giác ABC luôn là số nguyên.
Thật vậy:
+ Nếu A và B có cùng hoành độ a, thì do A, B cùng loại, nên độ dài AB là số chẵn. Gọi h là khoảng cách với khi đó là số nguyên.
Tương tự với A, B cùng tung độ, ta cũng có diện tích tam giác ABC là số nguyên.
+ Xét trường hợp thuộc cùng một loại, nhưng . Chọn điểm thứ tư D, chẳng hạn . Khi đó, theo lập luận ở trên, các tam giác ABD, CAD, CBD có diện tích là số nguyên, suy ra là số nguyên.
Nhưng nên là số nguyên. Điều phải chứng minh.
Bài 11 (THPT chuyên VP 2013) Xét 20 số nguyên dương đầu tiên Hãy tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy được hai số phân biệt và sao cho là một số nguyên tố.
Lời giải. 
Xét tập hợp , ta thấy tổng của hai phần tử bất kì của tập hợp này đều không phải là số nguyên tố. 
Do đó , ta sẽ chứng minh là số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Thật vậy, ta chia tập hợp thành cặp số sau: 
.
Tổng của hai số trong mỗi cặp số trên là số nguyên tố. 
Khi đó mỗi tập con của có 11 phần tử thì tồn tại ít nhất hai phần tử thuộc cùng vào một trong 10 cặp số trên. Suy ra trong luôn có hai phần tử phân biệt có tổng là một số nguyên tố.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 12. Cho là các tập hợp có hữu hạn phần tử sao cho và . Giả sử có số nguyên dương thỏa mãn hợp của bất kì k tập hợp của họ trên bằng S, hợp của nhiều nhất tập của họ đã cho là một tập con thực sự của S. Tìm số phần tử nhỏ nhất của S.
Bài 13. Cho là một họ các tập con có h phần tử của tập hợp X. Chứng minh rằng bằng số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho .
Bài 14. Cho n là một số nguyên dương cho trước và là ba phân hoạch của tập hợp hữu hạn . Giả sử ta có bất đẳng thức sau đúng với mọi :. Tìm số phần tử nhỏ nhất có thể có của tập hợp .
Bài 15(Định lí Sperner). Cho X là một tập hợp có n phần tử, và là một họ các tập con của X thỏa mãn tính chất . Chứng minh rằng .
Bài 16(Định lí Erdos – Ko - Rado). Cho X là một tập hợp có n phần tử, và là một họ các tập con của X thỏa mãn các điều kiện sau:
.
Chứng minh rằng .
Bài 17. Cho X là một tập hợp có n phần tử, và Y là một tập con có k phần tử của X. Chứng minh rằng số lớn nhất các tập con đôi một khác nhau của tập X, mỗi tập có đúng r phần tử của Y và hai tập bất kì thì không chứa nhau bằng .
Bài 18(Balkan MO 2005). Cho là một số nguyên và là một tập con của tập hợp sao cho hoặc chứa hai phần tử mà phần tử này là bội của phần tử kia, hoặc chứa hai phần tử nguyên tố cùng nhau. Tìm số phần tử lớn nhất của tập hợp .
Bài 19(Balkan MO 1997). Cho tập hợp A có n phần tử và là một họ các tập hợp con của tập hợp A. Nếu với hai phần tử bất kì có một tập con chứa đúng một phần tử trong hai phần tử . Chứng minh rằng .
Bài 20(Balkan MO 1996). Cho tập , chứng minh rằng tồn tại tập con A của X thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
Với mọi phần tử khác 1 của A đều viết thành tổng của hai (có thể bằng nhau) phần tử thuộc A;
Số phần tử lớn nhất của tập A là 2012.
Bài 21(Balkan MO 1989). Cho F là một họ các tập con của tập hợp và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
Nếu A thuộc F, khi đó A có 3 phần tử;
Nếu A và B là hai phần tử khác nhau của S, khi đó A và B có nhiều nhất một phần tử chung.
Kí hiệu là số phần tử lớn nhất có thể có của F. Chứng minh rằng .
Bài 22. Cho S là một tập con của tập hợp và S thỏa mãn tính chất trong S không có hai phần tử mà hiệu của chúng bằng 4 hoặc 7. Tìm s