Chuyên đề môn Toán học kì I năm 2016 - 2017

Phần I. lời nói đầu
 Phân tích đa thức thành nhân tử là một phần quan trọng cả về mặt kiến thức lẫn kĩ năng thực hiện đối với học sinh bậc THCS.
 Nội dung này được giới thiệu trong chương trình Toán lớp 8 và có thể coi là nội dung nòng cốt của chương trình. Vì nó được vận dụng rất nhiều ở các chương sau, trong các phần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, giải phương trình, bất phương trình. Thực tế giảng dạy cho thấy, số tiết giảng dạy cho phần này không nhiều nên đa số học sinh còn lúng túng và đối với học sinh khá giỏi thì còn rất nhiều vấn đề của kiến thức chưa được đề cập tới .
 Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng cơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh có khả năng giải quyết được nhiều vấn đề trong chương trình Đại số lớp 8 và lớp 9 cũng như nhiều vấn đề Toán học khác có liên quan, tìm được lời giải hay và ngắn gọn cho một bài toán. Nhưng nhiều lúc việc phân tích đa thức thành nhân tử thật không dễ chút nào, nhất là trong trường hợp các đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp.
 Với nội dung và cách trình bày trên, hy vọng đề tài này không chỉ là tài liệu hướng dẫn đối với học sinh THCS mà còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn trong việc giảng dạy ở các trường THCS sau này.
Phần II. NộI DUNG
 	Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của các đơn thức và đa thức có bậc nhỏ hơn. 
Ví dụ:
 	a) x2 – xy + x – y =(x – y)(x + 1).
x5 + x4 + 1 = (x2 + x + 1)(x3 – x + 1).
 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
	Để phân tích một đa thức thành nhân tử có rất nhiều phương pháp khác nhau, nhưng chúng ta thường sử dụng một số phương pháp thông dụng như sau:
 	- Đặt nhân tử chung.
 	- Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ. 
 	- Nhóm các hạng tử.
 	- Tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.
 	- Thêm bớt cùng một hạng tử.
 	 Trừ một số trường hợp các bài toán đơn giản, còn đối với nhiều bài toán nhất là những bài toán phức tạp, có bậc cao ta phải vận dụng tổng hợp các phương pháp trên một cách linh hoạt để giải.
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
 	a) Phương pháp :
	+ Trước hết, ta tìm nhân tử chung có mặt trong tất cả các hạng tử của đa thức.
	+ Phân tích mỗi hạng tử của đa thức thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.
	+ Đưa nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc. Các hạng tử trong dấu ngoặc là thương của phép chia các hạng tử của đa thức cho nhân tử chung.
 	b) Ví dụ: 
 	Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
	1) A = 5x2y – 10xy2
Ta thấy các hạng tử của đa thức đều chứa thừa số chung 5xy, ta có 
 	 A = 5x2y – 10xy2 = 5xy.x – 5xy.2y 
 	 = 5xy(x - 2y).
2) 	B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y)
Đổi dấu hạng tử 6y(7z – 3y) = - 6y(3y – 7z), ta có thừa số (3y – 7z) chung :
 	B 	= 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y) 
 	= 2x(3y – 7z) - 6y(3y - 7z)
 	 = (3y – 7z)( 2x – 6y) 
 	= (3y – 7z).2(x – 3y)
 	 = 2(3y – 7z)(x – 3y).
	Khai thác bài toán: 
	 Nếu chú ý đến các hạng tử của các biểu thức và bằng cách đặt thừa số chung , ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:
	Bài toán 1.1: Phân tích đa thức
 	 Q = (x + 2z)(3x2 + 5x2y) – (7x2 – 3x2y)(2z + x)
 Bài toán 1.2: Phân tích đa thức
 	 P = 3a(b2 – 2c) – (a – 4)(2c – b2)
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
	a) Phương pháp: 
 	Để áp dụng phương pháp này, ta cần biến đổi các hạng tử để làm xuất hiện các hằng đẳng thức (nếu có thể). Sau đó dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.
	b) Ví dụ : 
 	Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
	1) 	 D = x2 – x + = 
	2) 	E = 9(x + 5)2 – (x + 7)2 
 	 = [3(x + 5)]2 – (x + 7)2
 	 = [3(x+5) + x +7][3(x+5) – (x+7)]
 	 = (4x + 22)(2x + 8)
 	 = 4(2x + 11)(x + 4) 
	Khai thác bài toán: 
	Bằng cách dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ , ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:
 Bài toán 1.1: Phân tích đa thức M = 
 Bài toán 1.2: Phân tích đa thức N = 
3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
	a)Phương pháp: 
 	Sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng các đơn thức, ta có thể kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm. Trong mỗi nhóm này, ta áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức để tiếp tục phân tích.
 	Lưu ý: Thường thì ta sẽ có nhiều cách nhóm các hạng tử khác nhau
	b)Ví dụ :
 	Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
 	 x2 – xy + x – y 
 * Cách 1: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ ba với hạng tử thứ tư ta có :
 	 x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
 = x(x – y) + (x – y)
 =(x – y)(x + 1).
* Cách 2: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ 3, hạng tử thứ hai với hạng tử thứ tư, ta có :
 	 x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)
 = x(x + 1) – y(x + 1)
 = (x + 1)(x – y).
Khai thác bài toán: 
 	Nếu chú ý đến phương pháp nhóm các hạng tử, ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:
Bài toán : Phân tích đa thức	E = 3x3 – 75x + 6x2 – 150
4. Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.
	a) Phương pháp: 
 	Có một số đa thức không có nhân tử chung cũng không có dạng hằng đẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử là rất khó. Vì thế ta nên tách một hạng tử thành hai hoặc nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để phân tích tiếp.
	b) Ví dụ: Phân tích: x2 – 6x + 8
 	Nhận xét: 
 	Đa thức trên không chứa thừa số chung. Không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ, cũng không thể nhóm các số hạng. Ta biến đổi đa thức này thành đa thức có nhiều số hạng hơn sau đó nhóm các hạng tử lại với nhau một cách phù hợp:
Cách 1: Tách số hạng thứ hai 
 	x2 – 6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8
	 = x(x – 2) – 4( x – 2) 
 = (x – )(x – 4).
Cách 2: Tách số hạng thứ 3
 	x2 - 6x + 8 = x2 – 6x + 9 – 1
	 = (x – 3)2 – 1 = ( x – 3 – 1)(x – 3 + 1)
	 = (x – 4)( x – 2).
 Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm như sau:
	+ Tìm tích ac
	+ Phân tích tích ac thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách.
	+ Chọn hai thừa số có tổng bằng b.
	Khi đó hạng tử bx đã được tách thành 2 hạng tử bậc nhất.
	Ví dụ 2: 4x2 – 4x – 3
	Ta có tích: ac = 4.( –3) = – 12
Phân tích : – 12 = –1.12 = 1.( –12) = – 2.6 = –3.4 = 3.( – 4)
Chọn 2 thừa số có tổng là : – 4 đó là 2 và (–6)
	4x2 – 4x – 3 = 4x2 + 2x – 6x – 3 
 = 2x(2x + 1) – 3(2x + 1)
 = (2x + 1)(2x – 3)
	Khai thác bài toán: 
 	 Bằng phương pháp tách hạng tử (chủ yếu là hạng tử tự do và các hạng tử bậc thấp), ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:
Bài toán : Phân tích đa thức	H = x2 – 21x + 38
5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
	a) Phương pháp :
 	Thêm bớt cùng một hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn có dạng hằng đẳng thức rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để tiếp tục phân tích. Thông thường hay đưa về dạng các hằng đẳng thức đáng nhớ sau khi thêm bớt.
	b) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
1) 	a3 + b3 + c3 – 3abc 
Ta sẽ thêm và bớt 3a2b +3ab2 sau đó nhóm để phân tích tiếp
	 a3 + b3 + c3 – 3abc = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc)
	 	 = (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c)
	 	 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]
	 	 = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]
	 	 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
2)	 x5 – 1 
Ta sẽ thêm và bớt x sau đó dùng phương pháp nhóm: 
 	x5 – 1 = x5 – x + x – 1 
 	 = (x5 – x) + (x – 1)
 	 = x(x4 – 1) + ( x – 1)
	 = x(x2 – 1)(x2 + 1) + (x - 1)
	 	 = x(x +1)(x – 1)(x2 + 1) + ( x – 1)
	 	 = (x – 1)[x(x + 1)(x2 + 1) + 1].
	Khai thác bài toán: 
 Bằng phương pháp thêm bớt hạng tử, ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:
Bài toán 1.1: Phân tích đa thức
 	M = x4 + 4y4
Bài toán 1.2: Phân tích đa thức
 	N = x4 + x2 + 1
6. Phối hợp các phương pháp.
	a) Phương pháp:
	 Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp, ta nên chú ý chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên như sau :
 	b) Ví dụ :
 	Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
 1) 2x2 + 4x + 2 – 2y2
 	2) 2a2 – 12ab + 18b2 
 	3) 5x3z – 10x2z – 5xz3 – 5xy2z + 5xz + 10xyz2 . 
Giải:
	1) Ta thấy các hạng tử đều có thừa số chung, ta đặt thừa số chung ra ngoài và tiếp tục phân tích đa thức ở trong ngoặc:
 	2x2 + 4x + 2 – 2y2
 	= 2(x2 + 2x + 1 – y2) Đặt nhân tử chung
 	= 2 [(x2 + 2x + 1) – y2] Nhóm các hạng tử thích hợp của đa thức trong ngoặc.
 	= 2[(x + 1)2 – y2] Xuất hiện hằng đẳng thức
 	= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y) Dùng hằng đẳng thức
 	Như vậy thứ tự ưu tiên là: Đặt nhân tử chung dùng hằng đẳng thức nhóm hạng tử.
 	Vậy 2x2 + 4x + 2 – 2y2 = 2(x + 1 – y)(x + 1 + y).
	2) 	2a2 – 12ab + 18b2 
 	Cách giải tương tự câu a) :
	2a2 – 12ab + 18b2 = 2(a2 – 6ab + 9b2)
 = 2(a – 3b)2
	3) 	5x3z – 10x2z – 5xz3 - 5xy2z + 5xz + 10xyz2 
 	= 5xz(x2 – 2x – z2 – y2 + 1 + 2yz)
 	= 5xz[ (x2 – 2x + 1) – (y2 – 2yz + z2)]
 	= 5xz[(x – 1)2 – (y – z)2]
 	= 5xz(x – 1 – y + z)(x – 1 + y – z).
	Khai thác bài toán: 
 Bằng phương pháp phối hợp các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử, ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:
Bài toán 1.1: Phân tích đa thức
 	I = 
Bài toán 1.2: Phân tích đa thức
 	K = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
Bài toán 1.3: Phân tích đa thức 
 	L = .
Phần III. KếT LUậN 
 Phân tích đa thức thành nhân tử chỉ là một trong những nội dung kiến thức mà học sinh được học với thời lượng không nhiều trong chương trình đại số 8 nhưng nó lại được ứng dụng rộng rãi và xuyên suốt chương trình học tập của các em, học sinh thường xuyên phải sử dụng đến kỹ năng này trong việc xây dựng một số các nội dung kiến thức sau này trong việc giải toán. Các phương pháp được nêu từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích đa thức thành nhân tử. Qua đó , giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác , năng lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức.
 Trong đề tài này tôi mới chỉ đề cập đến những đa thức một ẩn là chủ yếu. Các bài tập đưa ra trong đề tài mới dừng ở mức ví dụ minh hoạ, chưa phải là hệ thống bài tập vận dụng đầy đủ các kiến thức đưa ra.Ngoài ra có một số bài tập tổng hợp và bài tập nâng cao nhằm vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải.