Chuyên đề Mặt nón – Mặt trụ - Mặt cầu

CHƯƠNG 2
MẶT NÓN – MẶT TRỤ - MẶT CẦU
BÀI 1
MẶT NÓN
1/ Mặt nón tròn xoay
	Trong mặt phẳng , cho 2 đường thẳng , cắt nhau tại và chúng tạo thành góc với . Khi quay xung quanh trục với góc không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh (hình 1).
	+ Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.
	+ Đường thẳng gọi là trục, đường thẳng được gọi là đường sinh và góc gọi là góc ở đỉnh.
	hình 1	 hình 2
2/ Hình nón tròn xoay	
	Cho vuông tạiquay quanh cạnh góc vuông thì đường gấp khúc tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).
	+ Đường thẳnggọi là trục, là đỉnh, gọi là đường cao và gọi là đường sinh của hình nón.
	+ Hình tròn tâm, bán kínhlà đáy của hình nón.
3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón
	Cho hình nón có chiều cao là , bán kính đáyvà đường sinh là thì có: 
	+ Diện tích xung quanh: 	+ Diện tích đáy (hình tròn): 
	+ Diện tích toàn phần hình nón: 
	+ Thể tích khối nón: .
4/ Tính chất: 
	* Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
	+ Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinhThiết diện là tam giác cân.
	+ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
	* Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
	+ Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nóngiao tuyến là một đường tròn.
	+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nóngiao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
	+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nóngiao tuyến là 1 đường parabol.
Một hình nón tròn xoay có đường cao , bán kính đáy .
	a/ Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho.
	b/ Tính thể tích khối nón tạo nên bởi hình nón đó.
	c/ Một thiết diện đi qua đỉnh có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là. Tính diện tích thiết diện đó.
ĐS: a/ .	b/ .	c/ .
Cho hình lập phương có cạnh là . Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnh là tâmcủa hình vuông và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông.
ĐS: . .
Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền bằng .
	a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón, giả sử nó có đỉnh là .
	b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.
	c/ Cho dây cung của đường tròn đáy hình nón, sao cho tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc . Tính diện tích tam giác .
ĐS: a/ ; 	b/ 	c/ .
Mặt nón tròn xoay có đỉnh là,là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằngvà góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng .
	a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên.
	b/ Gọilà một điểm trên đường cao của hình nón sao cho tỉ số . Tính diện tích của thiết diện qua và vuông góc với trục của hình nón.
ĐS: a/ ; .; .	b/ .
Cho hình nón đỉnhvới đáy là đường tròn tâm, bán kính, chiều cao của hình nón bằng . Gọi là một điểm nằm trên mặt phẳng đáy sao cho. Giả sửlà điểm nằm trên đường tròn sao cho .
	a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo thành.
	b/ Gọilà một điểm di động trên cắt mặt nón tại điểm thứ hai là. Chứng minh rằng di động trên một đường thẳng cố định.
	c/ Chứng minh rằng hình chiếu của trên di động trên một đường tròn cố định đi qua trực tâm của .
ĐS: ; .
Cho hình nón tròn xoay có bán kính đáy và chiều cao . Trong tất cả các mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón, hãy xác định mặt phẳng cắt hình nón theo thiết diện có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất đó.
ĐS: Nếu , . Nếu , .
Cho khối nón tròn xoay có đường cao và bán kính đáy là . Một mặt phẳngđi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm của đáy bằng .
	a/ Hãy xác định thiết diện củađối với khối nón. Tính diện tích khối thiết diện đó.
	b/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối nón.
	c/ Tính thể tích của khối nón tạo nên hình nón đó.
Trong không gian cho vuông tại có và cạnh . Khi quay tam giác quanh cạnh góc vuông thì đường gấp khúc tạo thành một hình nón tròn xoay.
	a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.
	b/ Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón trên.
Một hình nón tròn xoay có chiều cao và bán kính đáy bằng .
	a/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng chứa đường cao. Tính diện tích của thiết diện.
	b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, ta được một thiết diện là một tam giác đều. Tính diện tích của thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện.
Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng.
	a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
	b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.
	c/ Một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc. Tính diện tích của thiết diện được tạo nên.
Hình nón có bán kính đáy bằng , thiết diện qua trục là một tam giác đều.
	a/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối nón.
	b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, ta được thiết diện là một tam giác vuông. Tính diện tích của thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện.
Một hình nón có bán kính đáy bằng , góc ở đỉnh bằng .
	a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
	b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.
Một hình nón có đỉnh , bán kính đáy .
	a/ Tính diện tích thiết diện do cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc nhau.
	b/ Gọi là trọng tâm của thiết diện và mặt phẳngqua , đồng thời vuông góc với trục của hình nón. Tính diện tích của thiết diện do mặt phẳngcắt hình nón.
Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân, thiết diện này có diện tích bằng .
	a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
	b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.
	c/ Mặt phẳngđi qua đỉnh của hình nón, cắt mặt phẳng đáy theo một dây cung có độ dài bằng . Tính góc tạo bởi mặt phẳngvà mặt phẳng đáy.
Mặt nón tròn xoay có đỉnh là , là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng .
	a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên.
	b/ Gọilà một điểm trên đường cao của hình nón sao cho tỉ số . Tính diện tích của thiết diện quavà vuông góc với trục của hình nón.
Cho hình chóp tam giác đềucó cạnh bên bằng, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng. Hình nón đỉnhcó đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều (được gọi là hình nón nội tiếp hình chóp).
	a/ Tính thể tích của hình chóp.
	b/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên.
Cho hình chóp đều có chiều cao . Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh làvà có đường tròn đáy ngoại tiếp đáycủa hình chóp.
Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng.
	a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên.
	b/ Thiết diện qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng là . Tính diện tích của thiết diện tạo thành đó.
Đường sinh của hình nón bằng, chiều cao là. Một đường thẳngsong song với đáy của hình nón và cắt hình nón. Khoảng cách từ đường thẳngấy đến mặt phẳng đáy và chiều cao hình nón lần lượt là và. Tính độ dài đoạn thẳngnằm trong phần hình nón.
Cho hình nón đỉnh và đáy là hình tròn tâm . Mặt phẳng đi qua đỉnh, cắt đáy theo một dây cung , sao cho vàhợp với mặt phẳng chứa đáy một góc .
	a/ Tính góc .
	b/ Cho diện tích của tam giác bằng . Tính diện tích xung quanh của hình nón.
Cho hình chóp tam giác đều nội tiếp hình nón. Tính thể tích hình nón biết thể tích hình chóp tam giác đều là .
Trên một hình tròn làm đáy chung ta dựng hai hình nón (hình này chứa hình kia). Sao cho hai đỉnh cách nhau một đoạn là . Góc ở đỉnh của thiết diện qua trục của hình nón lớn là và của hình nón nhỏ là .Tính thể tích phần ở ngoài hình nón nhỏ và ở trong hình nón lớn.
Cho hình nón có đường caovà bán kính đáy . Gọilà điểm trên đoạn , đặt .
 a/ Tính diện tích thiết diện vuông góc với trục tại.
 b/ Tính thể tích của khối nón đỉnhvà đáytheo. Xác địnhsao cho thể tích đạt giá trị lớn nhất.
Cho hình nón tròn xoay đỉnh. Trong đáy của hình nón đó có hình vuông nội tiếp, cạnh bằng . Biết rằng: . Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón.
BÀI 2
MẶT TRỤ
∆
A
D
B
C
r
r
1/ Mặt trụ tròn xoay
	Trongcho hai đường thẳngvàsong song nhau, 
cách nhau một khoảng. Khi quayquanh trục cố 
địnhthì đường thẳngsinh ra một mặt tròn xoay được 
gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.
	+ Đường thẳng được gọi là trục.
	+ Đường thẳngđược gọi là đường sinh.
	+ Khoảng cáchđược gọi là bán kính của mặt trụ.
2/ Hình trụ tròn xoay
	Khi quay hình chữ nhậtxung quanh đường thẳng
chứa một cạnh, chẳng hạn cạnhthì đường gấp khúc
 tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ 
tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
	+ Đường thẳngđược gọi là trục.
	+ Đoạn thẳngđược gọi là đường sinh.
	+ Độ dài đoạn thẳngđược gọi là chiều cao của hình trụ.
	+ Hình tròn tâm, bán kínhvà hình tròn tâm, bán kínhđược gọi là 2 đáy của hình trụ.
	+ Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.
3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ
Cho hình trụ có chiều cao là và bán kính đáy bằng , khi đó:
+ Diện tích xung quanh của hình trụ: 
+ Diện tích toàn phần của hình trụ: 
+ Thể tích khối trụ: 	 	
4/ Tính chất:
+ Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là) bởi một vuông góc với trục thì ta được đường tròn có tâm trên và có bán kính bằng với cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
+ Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là) bởi một không vuông góc với trục nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng và trục lớn bằng , trong đó là góc giữa trục và với.
+ Chosong song với trụccủa mặt trụ tròn xoay và cáchmột khoảng.
	- Nếuthìcắt mặt trụ theo hai đường sinhthiết diện là hình chữ nhật.
	- Nếuthìtiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
	- Nếuthìkhông cắt mặt trụ.
Một khối trụ có chiều cao bằng và có bán kính đáy bằng . Người ta kẻ hai bán kính đáy và lần lượt nằm trên hai đáy, sao cho chúng hợp với nhau một góc bằng. Cắt mặt trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với trục của khối trụ đó.
	a/ Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng cắt hình trụ trên.
	b/ Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ
ĐS: a/ . b/ ; ..
Một khối trụ có bán kính đáy bằng và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
	a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó.
	b/ Tính thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho.
	c/ Gọilà thể tích hình lăng trụ đều nội tiếp trong hình trụ và là thể tích khối trụ. Hãy tính tỉ số .
ĐS: a/ .	b/ .	c/ .
Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông cạnh có hai đỉnh liên tiếp nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng tạo với đáy hình trụ góc. Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích của khối trụ.
ĐS: 
Trong số các khối trụ có diện tích toàn phần bằng , khối trụ nào có thể tích lớn nhất ?
ĐS: khối trụ có thể tích lớn nhất là khối trụ có và .
Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình trònvà. Biết rằng tồn tại dây cungcủa đường trònsao chođều vàhợp với mặt phẳng chứa đường trònmột góc . Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ.
ĐS: 
Trong không gian cho hình vuông cạnh . Gọilần lượt là trung điểm của các cạnhvà . Khi quay hình vuông đó xung quanh trục, ta được một hình trụ tròn xoay.
	a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
	b/ Tính thể tích khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ nói trên.
Một khối trụ có bán kính đáy bằngvà có thiết diện qua trục là một hình vuông.
	a/ Tính diện tích xung, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.
	b/ Tính thể tích hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đã cho (hình lăng trụ này có đáy là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ).
Một hình trụ có bán kính đáy là , chiều cao là .
	a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
	b/ Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
	c/ Cho hai điểmvàlần lượt nằm trên hai đường tròn đáy, sao cho góc giữa đường thẳngvà trục của hình trụ bằng . Tính khoảng cách giữa đường thẳngvà trục của hình trụ.
Một khối trụ có bán kính đáy bằng và chiều cao bằng . Gọilần lượt là hai điểm trên hai đường tròn đáy, sao cho góc được tạo thành giữa 2 đường thẳngvà trục của khối trụ bằng .
	a/ Tính diện tích của thiết diện quavà song song với trục của khối trụ.
	b/ Tính góc giữa hai bán kính đáy quavà qua.
	c/ Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung củavà trục của khối trụ.
Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm và , có bán kínhvà có đường cao . Gọilà một điểm trên đường tròn tâm và là một điểm trên đường tròn tâm sao cho vuông góc với .
	a/ Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện là những tam giác vuông. Tính thể tích tứ diện này.
	b/ Gọi đi quavà song song với . Tính khoảng cách giữa trục và .
	c/ Chứng minh rằng tiếp xúc với mặt trụ trục có bán kính bằng dọc theo 1 đường sinh.
Một hình trụ có bán kính đáy bằng và có chiều cao .
	a/ Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.
	b/ Một đoạn thẳng có chiều dàivà có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ.
Hình chóp tam giác đều cóvà góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng. 
	a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác đáy của hình chóp và có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp.
	b/ Các mặt bên cắt hình trụ theo những giao tuyến như thế nào?
Một hình trụ có thiết diện qua trụ là một hình vuông, diện tích xung quanh bằng .
	a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên.
	b/ Mộtsong song với trục của hình trụ và cắt hình trụ đó theo thiết diện. Biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của một đường tròn đáy và căng một cung . Tính diện tích của thiết diện này.
Cho hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng , chiều cao .
	a/ Tính diện tích xung quanh và thể thể tích hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.
	b/ Tính diện tích toàn phần và thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng trụ.
Cho hình lăng trụ đứngcó đáylà hình thang cân với đáy nhỏ, đáy lớn , cạnh bên bằng và chiều cao hình lăng trụ là.
	a/ Chứng minh rằng có một hình trụ nội tiếp được trong hình lăng trụ đã cho.
	b/ Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ đó.
Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm và , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng .Trên đường tròn đáy tâm lấy điểm , trên đường tròn đáy tâm lấy điểm sao cho .Tính thể khối tứ diện .
Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuôngcạnhnội tiếp mà 2 đỉnh liên tiếpnằm trên đường tròn đáy thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ 2 của hình trụ. Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc .Tính diện tích và thể tích của hình trụ đó.
BÀI 3
MẶT CẦU - MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
I. Mặt cầu
1/ Định nghĩa: Tập hợp các điểmtrong không gian cách điểmcố định một khoảnggọi là mặt cầu tâm, bán kính, kí hiệu là: hay.
2/ Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu
A
A
A
B
O
Cho mặt cầuvà một điểmbất kì, khi đó:
	+ Nếu . Khi đó gọi là bán kính mặt cầu. Nếu và là hai bán kính sao cho thì đoạn thẳng gọi là 1 đường kính của mặt cầu.
	+ Nếu nằm trong mặt cầu.
	+ Nếu nằm ngoài mặt cầu.
Khối cầu là tập hợp tất cả các điểm sao cho .
3/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
	Cho mặt cầu và một . Gọi là khoảng cách từ tâmcủa mặt cầu đến và là hình chiếu của trên .
	+ Nếu cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn nằm trên có tâm là và bán kính (hình a).
	+ Nếu không cắt mặt cầu (hình b)
	+ Nếu có một điểm chung duy nhất. Lúc này, ta gọi mặt cầu tiếp xúc . Do đó, điều kiện cần và đủ để tiếp xúc với mặt cầu là (hình c).
d
d =
	 Hình a	Hình b	 Hình c
4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
	Cho mặt cầu và một đường thẳng . Gọi là hình chiếu của trên đường thẳng và là khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến đường thẳng . Khi đó:
	+ Nếu không cắt mặt cầu .
	+ Nếu cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
	+ Nếu và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu là .
Định lí: Nếu điểmnằm ngoài mặt cầu thì:
	+ Quacó vô số tiếp tuyến với mặt cầu .
	+ Độ dài đoạn thẳng nối với các tiếp điểm đều bằng nhau.
	+ Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu .
II. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
1/ Các khái niệm cơ bản
	a/ Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
	 Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
	b/ Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
	 Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
	c/ Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
	 Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.