Chuyên đề luyện thi Đại học: Tích phân

1 
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN 
CƠNG THỨC 
Bảng nguyên hàm 
Nguyên hàm của những 
hàm số sơ cấp thƣờng gặp 
Nguyên hàm của những hàm số 
thƣờng gặp 
Nguyên hàm của những 
hàm số hợp 
Cxdx 
 1
1
1




 

 C
x
dxx
 0ln  xCxx
dx
Cedxe xx 
 10
ln
 aCa
a
dxa
x
x
Cxxdx  sincos
Cxxdx  cossin
Cxdx
x
 tancos
1
2
Cxdx
x
 cotsin
1
2
    Cbax
a
baxd 
1
 
 
 1
1
1
1





 


C
bax
a
dxbax
 0ln
1


xCbax
abax
dx
Ce
a
dxe baxbax  
1
    Cbax
a
dxbax  sin
1
cos
    Cbax
a
dxbax  cos
1
sin
 
  Cbax
a
dx
bax


tan
1
cos
1
2
 
  Cbax
a
dx
bax


cot
1
sin
1
2
Cudu 
 1
1
1




 

 C
u
duu
 0ln  uCuu
du
Cedue uu 
 10
ln
 aCa
a
dxa
u
u
Cuudu  sincos
Cuudu  cossin
Cudu
u
 tancos
1
2
Cudu
u
 cotsin
1
2
I. ĐỔI BIẾN SỐ 
TĨM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TỐN 
1. Đổi biến số dạng 2 
Để tính tích phân 
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx ta thực hiện các bước sau: 
Bƣớc 1. Đặt t = u(x) và tính /dt u (x)dx . 
Bƣớc 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b) . 
Bƣớc 3. 
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt . 
Ví dụ 7. Tính tích phân 
2e
e
dx
I
x ln x
. 
Giải 
Đặt 
dx
t ln x dt
x
2x e t 1, x e t 2
2
2
1
1
dt
I ln t ln 2
t
. 
Vậy I ln2 . 
2 
Ví dụ 8. Tính tích phân 
4
3
0
cos x
I dx
(sin x cos x)
. 
Hƣớng dẫn: 
4 4
3 3 2
0 0
cos x 1 dx
I dx .
(sin x cos x) (tan x 1) cos x
. Đặt t tan x 1
ĐS: 
3
I
8
. 
Ví dụ 9. Tính tích phân 
3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
. 
Hƣớng dẫn: 
Đặt t 2x 3
ĐS: 
3
I ln
2
. 
Ví dụ 10. Tính tích phân 
1
0
3 x
I dx
1 x
. 
Hƣớng dẫn: 
Đặt 
3 2
2 2
1
3 x t dt
t 8
1 x (t 1)
; đặt t tanu
ĐS: I 3 2
3
. 
Chú ý: 
Phân tích 
1
0
3 x
I dx
1 x
, rồi đặt t 1 x sẽ tính nhanh hơn. 
2. Đổi biến số dạng 1 
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ( )
b
a
f x dx ta thực hiện các bước sau: 
Bƣớc 1. Đặt x = u(t) và tính / ( )dx u t dt . 
Bƣớc 2. Đổi cận: , x a t x b t       . 
Bƣớc 3. /( ) [ ( )] ( ) ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
 
 
    . 
Ví dụ 1. Tính tích phân 
1
2
2
0
1
I dx
1 x
. 
Giải 
Đặt x sin t, t ; dx cos tdt
2 2
1
x 0 t 0, x t
2 6
3 
6 6
2
0 0
cos t cos t
I dt dt
cos t1 sin t
6
6
0
0
dt t 0
6 6
. 
Vậy I
6
. 
Ví dụ 2. Tính tích phân 
2
2
0
I 4 x dx . 
Hƣớng dẫn: 
Đặt x 2sin t
ĐS: I . 
Ví dụ 3. Tính tích phân 
1
2
0
dx
I
1 x
. 
Giải 
Đặt 2x tan t, t ; dx (tan x 1)dt
2 2
x 0 t 0, x 1 t
4
4 42
2
0 0
tan t 1
I dt dt
41 tan t
. 
Vậy I
4
. 
Ví dụ 4. Tính tích phân 
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
. 
Hƣớng dẫn: 
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
. 
Đặt x 1 tan t
ĐS: I
12
. 
Ví dụ 5. Tính tích phân 
2
2
0
dx
I
4 x
. 
ĐS: I
2
. 
Ví dụ 6. Tính tích phân 
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
. 
ĐS: I
12
. 
3. Các dạng đặc biệt 
3.1. Dạng lƣợng giác 
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân 
2
2 3
0
I cos x sin xdx . 
Hƣớng dẫn: 
4 
Đặt t cos x
ĐS: 
2
I
15
. 
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân 
2
5
0
I cos xdx . 
Hƣớng dẫn: 
Đặt t sin x
ĐS: 
8
I
15
. 
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân 
2
4 2
0
I cos x sin xdx . 
Giải 
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx
16 4
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)
16 8
3 2
0
x 1 sin 2x
sin 4x
16 64 24 32
. 
Vậy I
32
. 
Ví dụ 14. Tính tích phân 
2
0
dx
I
cos x sin x 1
. 
Hƣớng dẫn: 
Đặt 
x
t tan
2
. 
ĐS: I ln2 . 
Biểu diễn các hàm số LG theo tan
2
a
t  : 
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t

  
  
3.2. Dạng liên kết 
Ví dụ 15. Tính tích phân 
0
xdx
I
sin x 1
. 
Giải 
Đặt x t dx dt
x 0 t , x t 0
0
0
( t)dt t
I dt
sin( t) 1 sin t 1 sin t 1
0 0
dt dt
I I
sin t 1 2 sin t 1
2
2
0 0
dt dt
tt t2 4 cossin cos 2 42 2
2 00
t
d
2 4 t
tan
2 t 2 2 4
cos
2 4
. 
5 
Vậy I . 
Tổng quát: 
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
. 
Ví dụ 16. Tính tích phân 
2 2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
. 
Giải 
Đặt x t dx dt
2
x 0 t , x t 0
2 2
20070
2007 2007
2
sin t
2I dx
sin t cos t
2 2
2 2007
2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t
(1). 
Mặt khác 
2
0
I J dx
2
(2). Từ (1) và (2) suy ra I
4
. 
Tổng quát: 
2 2n n
n n n n
0 0
sin x cos x
dx dx , n
sin x cos x sin x cos x 4
. 
Ví dụ 17. Tính tích phân 
6 2
0
sin x
I dx
sin x 3 cos x
và 
6 2
0
cos x
J dx
sin x 3 cos x
. 
Giải 
I 3J 1 3 (1). 
6 6
0 0
dx 1 dx
I J dx
2sin x 3 cos x sin x
3
Đặt t x dt dx
3

1
I J ln 3
4
(2). 
Từ (1) và (2)
3 1 3 1 1 3
I ln 3 , J ln 3
16 4 16 4
. 
Ví dụ 18. Tính tích phân 
1
2
0
ln(1 x)
I dx
1 x
. 
Giải 
Đặt 2x tan t dx (1 tan t)dt
x 0 t 0, x 1 t
4
4 4
2
2
0 0
ln(1 tan t)
I 1 tan t dt ln(1 tan t)dt
1 tan t
. 
6 
Đặt t u dt du
4
t 0 u , t u 0
4 4
04
0
4
I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du
4
4 4
0 0
1 tan u 2
ln 1 du ln du
1 tan u 1 tan u
4 4
0 0
ln 2du ln 1 tan u du ln 2 I
4
. 
Vậy I ln2
8
. 
Ví dụ 19. Tính tích phân 
4
x
4
cos x
I dx
2007 1
. 
Hƣớng dẫn: 
Đặt x t
ĐS: 
2
I
2
. 
Tổng quát: 
Với a > 0 , 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn ; thì 
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a 1
. 
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa f( x) 2f(x) cos x . 
Tính tích phân 
2
2
I f(x)dx . 
Giải 
Đặt 
2
2
J f( x)dx , x t dx dt
x t , x t
2 2 2 2
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
2 2
0
2
cos xdx 2 cos xdx 2 . 
7 
2
I
3
Vậy 
 . 
a > 0
3.3. Các kết quả cần nhớ
i/ Với f(x), hàm số 
a
a
f(x)dx 0lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì 
 . 
a > 0ii/ Với f(x), hàm số 
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dxchẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì 
 . 
2 2
n n
0 0
(n 1)!!
, 
n !!cos xdx sin xdx
(n 1)!!
. ,
n !! 2
nếu n lẻ
 nếu n chẵn
iii/ Cơng thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) 
. 
Trong đĩ 
0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;
6!! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10
n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 
 !! 1; 2 ! 2; 3 !! 1.3; 4 !! 2.4; 5 !! 1 3 
 . ; 7 ! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9 !! 1 3 ; 0 ! 2.4.6.8.10. 
2
11
0
10!! 2.4.6.8.10 256
cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693
Ví dụ 21. 
. 
2
10
0
9!! 1.3.5.7.9 63
sin xdx . .
10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512
Ví dụ 22. 
. 
u(x), v(x)
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
1. Cơng thức 
Cho hai hàm số 
/ / / // /uv u v uv uv dx u vdx uv dx
b b b
a a a
d uv vdu udv d(uv) vdu udv
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu
liên tục và cĩ đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta cĩ 
 v d(uv) vdu udv 
 . 
b b
b
a
a a
udv uv vdu
Cơng thức: 
 (1). 
b b
b/ /
a
a a
f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx
Cơng thức (1) cịn đƣợc viết dƣới dạng: 
 (2). 
b
a
f(x)g(x)dx
2. Phƣơng pháp giải tốn 
Giả sử cần tính tích phân 
ta thực hiện 
Cách 1. 
8 
Bƣớc 1. Đặt u f(x), dv g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân 
/du u (x)dx khơng quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân 
b
a
vdu phải tính được. 
Bƣớc 2. Thay vào cơng thức (1) để tính kết quả. 
Đặc biệt: 
i/ Nếu gặp 
b b b
ax
a a a
P(x)sin axdx, P(x)cos axdx, e .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt u P(x). 
ii/ Nếu gặp 
b
a
P(x) ln xdx thì đặt u ln x . 
Cách 2. 
Viết lại tích phân 
b b
/
a a
f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx và sử dụng trực tiếp cơng thức (2). 
Ví dụ 1. Tính tích phân 
1
x
0
I xe dx . 
Giải 
Đặt x x
u x du dx
dv e dx v e
(chọn C 0 ) 
1 1
11x x x x
0 0
0 0
xe dx xe e dx (x 1)e 1. 
Ví dụ 2. Tính tích phân 
e
1
I x ln xdx . 
Giải 
Đặt 
2
dx
duu ln x x
dv xdx x
v
2
e ee2 2
11 1
x 1 e 1
x ln xdx ln x xdx
2 2 4
. 
Ví dụ 3. Tính tích phân 
2
x
0
I e sin xdx . 
Giải 
Đặt x x
u sin x du cos xdx
dv e dx v e
2 2
x x x2 2
0
0 0
I e sin xdx e sin x e cos xdx e J . 
Đặt x x
u cos x du sin xdx
dv e dx v e
9 
2 2
x x x2
0
0 0
J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I
2
2
e 1
I e ( 1 I) I
2
. 
Chú ý: 
Đơi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. 
Ví dụ 7. Tính tích phân 
2
4
0
I cos xdx . 
Hƣớng dẫn: 
Đặt t x
2
0
I 2 t cos tdt 2 . 
Ví dụ 8. Tính tích phân 
e
1
I sin(ln x)dx . 
ĐS: 
(sin1 cos1)e 1
I
2
. 
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phƣơng pháp giải tốn 
1. Dạng 1 
Giả sử cần tính tích phân 
b
a
I f(x) dx , ta thực hiện các bước sau 
Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) cĩ BXD: 
x a 1x 2x b
f(x) 0 0 
Bƣớc 2. Tính 
1 2
1 2
b x x b
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx . 
Ví dụ 9. Tính tích phân 
2
2
3
I x 3x 2 dx . 
Giải 
Bảng xét dấu 
x 3 1 2
2x 3x 2 0 0
1 2
2 2
3 1
59
I x 3x 2 dx x 3x 2 dx
2
. 
Vậy 
59
I
2
. 
10 
Ví dụ 10. Tính tích phân 
2
2
0
I 5 4 cos x 4 sin xdx . 
ĐS: I 2 3 2
6
. 
2. Dạng 2 
Giả sử cần tính tích phân 
b
a
I f(x) g(x) dx , ta thực hiện 
Cách 1. 
Tách 
b b b
a a a
I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên. 
Cách 2. 
Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). 
Ví dụ 11. Tính tích phân 
2
1
I x x 1 dx . 
Giải 
Cách 1. 
2 2 2
1 1 1
I x x 1 dx x dx x 1 dx
0 2 1 2
1 0 1 1
xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
0 2 1 22 2 2 2
1 0 1 1
x x x x
x x 0
2 2 2 2
. 
Cách 2. 
Bảng xét dấu 
x –1 0 1 2
x – 0 +  + 
x – 1 – – 0 + 
0 1 2
1 0 1
I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx
120 2
1 10
x x x x 0 . 
Vậy I 0 . 
3. Dạng 3 
Để tính các tích phân 
b
a
I max f(x), g(x) dx và 
b
a
J min f(x), g(x) dx , ta thực hiện các 
bước sau: 
Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x) trên đoạn [a; b]. 
Bƣớc 2. 
+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) f(x) và min f(x), g(x) g(x) . 
+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) g(x) và min f(x), g(x) f(x) . 
11 
Ví dụ 12. Tính tích phân 
4
2
0
I max x 1, 4x 2 dx . 
Giải 
Đặt 2 2h(x) x 1 4x 2 x 4x 3 . 
Bảng xét dấu 
x 0 1 3 4 
h(x) + 0 – 0 + 
1 3 4
2 2
0 1 3
80
I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx
3
. 
Vậy 
80
I
3
. 
Ví dụ 13. Tính tích phân 
2
x
0
I min 3 , 4 x dx . 
Giải 
Đặt x xh(x) 3 4 x 3 x 4 . 
Bảng xét dấu 
x 0 1 2 
h(x) – 0 + 
1 2 21x 2
x
0 10 1
3 x 2 5
I 3 dx 4 x dx 4x
ln 3 2 ln 3 2
. 
Vậy 
2 5
I
ln 3 2
. 
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 
Phƣơng pháp giải tốn 
1. Dạng 1 
Để chứng minh 
b
a
f(x)dx 0 (hoặc 
b
a
f(x)dx 0 ) ta chứng minh f(x) 0 (hoặc f(x) 0 ) với 
x a; b . 
Ví dụ 14. Chứng minh 
1
3 6
0
1 x dx 0 . 
Giải 
Với 
1
3 36 6 6
0
x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0 . 
2. Dạng 2 
Để chứng minh 
b b
a a
f(x)dx g(x)dx ta chứng minh f(x) g(x) với x a; b . 
Ví dụ 15. Chứng minh 
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
. 
Giải 
Với 11 10x 0; : 0 sin x 1 0 sin x sin x
2
12 
10 11
10 11
1 1
1 sin x 1 sin x 0
1 sin x 1 sin x
. 
Vậy 
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
. 
3. Dạng 3 
Để chứng minh 
b
a
A f(x)dx B ta thực hiện các bước sau 
Bƣớc 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m f(x) M . 
Bƣớc 2. Lấy tích phân 
b
a
A m(b a) f(x)dx M(b a) B . 
Ví dụ 16. Chứng minh 
1
2
0
2 4 x dx 5 . 
Giải 
Với 2 2x 0; 1 : 4 4 x 5 2 4 x 5 . 
Vậy 
1
2
0
2 4 x dx 5 . 
Ví dụ 17. Chứng minh 
3
4
2
4
dx
4 23 2 sin x
. 
Giải 
Với 2
3 2 1
x ; : sin x 1 sin x 1
4 4 2 2
2
2
1 1
1 3 2 sin x 2 1
2 3 2 sin x
3
4
2
4
1 3 dx 3
1
2 4 4 4 43 2 sin x
. 
Vậy 
3
4
2
4
dx
4 23 2 sin x
. 
Ví dụ 18. Chứng minh 
3
4
3 cotx 1
dx
12 x 3
. 
Giải 
Xét hàm số 
cotx
f(x) , x ; 
x 4 3
ta cĩ 
2
/
2
x
cotx
sin xf (x) 0 x ; 
4 3x
13 
f f(x) f x ; 
3 4 4 3
3 cotx 4
 x ; 
x 4 3
3
4
3 cotx 4
dx
3 4 x 3 4
. 
Vậy 
3
4
3 cotx 1
dx
12 x 3
. 
4. Dạng 4 (tham khảo) 
Để chứng minh 
b
a
A f(x)dx B (mà dạng 3 khơng làm được) ta thực hiện 
Bƣớc 1. Tìm hàm số g(x) sao cho 
b
b
a
a
f(x) g(x) x a; b
f(x)dx B
g(x)dx B
. 
Bƣớc 2. Tìm hàm số h(x) sao cho 
b
b
a
a
h(x) f(x) x a; b
A f(x)dx
h(x)dx A
. 
Ví dụ 19. Chứng minh 
2
2
2007
0
2 dx
2 41 x
. 
Giải 
Với 2007 2
2 1
x 0; : 0 x x
2 2
2 2007
2007 2
1 1 1
1 x 1 x 1 1
2 1 x 1 x
2 2 2
2 2 2
2007 2
0 0 0
dx dx
dx
1 x 1 x
. 
Đặt x sin t dx cos tdt
2
x 0 t 0, x t
2 4
2
2 4
2
0 0
dx cos tdt
cos t 41 x
. 
Vậy 
2
2
2007
0
2 dx
2 41 x
. 
14 
Ví dụ 20. Chứng minh 
1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2x 2 1
. 
Giải 
Với 2x 0; 1 : 2 1 x 2 1 3 1
2
x x x
3 1 2 1x 2 1
1 1 1
2
0 0 0
xdx xdx xdx
3 1 2 1x 2 1
. 
Vậy 
1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2x 2 1
. 
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 
1. Diện tích hình thang cong 
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường 
y f(x), x a, x b và trục hồnh là 
b
a
S f(x) dx . 
Phƣơng pháp giải tốn 
Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. 
Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân 
b
a
f(x) dx . 
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ln x, x 1, x e và Ox. 
Giải 
Do ln x 0 x 1; e nên 
e e
e
1
1 1
S ln x dx ln xdx x ln x 1 1. 
Vậy S 1 (đvdt). 
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3, x 0, x 3 và Ox. 
Giải 
Bảng xét dấu 
x 0 1 3
y – 0 + 0 
1 3
2 2
0 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx
1 33 3
2 2
0 1
x x 8
2x 3x 2x 3x
3 3 3
. 
Vậy 
8
S
3
(đvdt). 
2. Diện tích hình phẳng 
2.1. Trƣờng hợp 1. 
15 
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
y f(x), y g(x), x a, x b là 
b
a
S f(x) g(x) dx . 
Phƣơng pháp giải tốn 
Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn [a; b]. 
Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân 
b
a
f(x) g(x) dx . 
2.2. Trƣờng hợp 2. 
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
y f(x), y g(x) là S f(x) g(x) dx . Trong đĩ , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của 
phương trình f(x) g(x) a b . 
Phƣơng pháp giải tốn
Bƣớc 1. Giải phương trình f(x) g(x) . 
Bƣớc 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn ; . 
Bƣớc 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx . 
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x , 
x 0, x 2 . 
Giải 
Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6
h(x) 0 x 1 x 2 x 3 (loại). 
Bảng xét dấu 
x 0 1 2
h(x) – 0 + 0 
1 2
3 2 3 2
0 1
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx
1 24 2 4 2
3 3
0 1
x 11x x 11x 5
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
. 
Vậy 
5
S
2
(đvdt). 
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x . 
Giải 
Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6
h(x) 0 x 1 x 2 x 3 . 
Bảng xét dấu 
x 1 2 3
h(x) 0 + 0 – 0 
2 3
3 2 3 2
1 2
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx
16 
2 34 2 4 2
3 3
1 2
x 11x x 11x 1
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
. 
Vậy 
1
S
2
(đvdt). 
Chú ý: 
Nếu trong đoạn ; phương trình f(x) g(x) khơng cịn nghiệm nào nữa thì ta cĩ thể dùng cơng 
thức f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx . 
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3y x , y 4x . 
Giải 
Ta cĩ 3x 4x x 2 x 0 x 2
0 2
3 3
2 0
S x 4x dx x 4x dx
0 24 4
2 2
2 0
x x
2x 2x 8
4 4
. 
Vậy S 8 (đvdt). 
Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4 x 3 và trục hồnh. 
Giải 
Ta cĩ 2 2x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0
t 1 x 1 x 1
t 3 x 3 x 3
3 3
2 2
3 0
S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx
1 3
2 2
0 1
2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx
1 33 3
2 2
0 1
x x 16
2 2x 3x 2x 3x
3 3 3
. 
Vậy 
16
S
3
(đvdt). 
Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3 và y x 3 . 
Giải 
Phương trình hồnh độ giao điểm 
2x 4x 3 x 3
2
2
x 3 0
x 0
x 4x 3 x 3
x 5
x 4x 3 x 3
. 
Bảng xét dấu 
x 0 1 3 5 
2x 4x 3 + 0 – 0 + 
17 
1 3 5
2 2 2
0 1 3
S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx
1 3 53 2 3 2 3 2
0 1 3
x 5x x 3x x 5x 109
6x
3 2 3 2 3 2 6
. 
Vậy 
109
S
6
(đvdt). 
Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 1 , y x 5 . 
Giải 
Phương trình hồnh độ giao điểm 
2 2x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0
2
2
t x 0
t x 0
t 1 t 5 x 3
t 3
t 1 t 5
3 3
2 2
3 0
S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx
Bảng xét dấu 
x 0 1 3 
2x 1 – 0 + 
1 3
2 2
0 1
S 2 x x 4 dx x x 6 dx
1 33 2 3 2
0 1
x x x x 73
2 4x 6x
3 2 3 2 3
. 
Vậy 
73
S
3
(đvdt). 
Chú ý: 
Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì khơng cĩ). 
B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÕN XOAY 
1. Trƣờng hợp 1. 
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x) 0 x a;b , y 0 , 
x a và x b (a b) quay quanh trục Ox là 
b
2
a
V f (x)dx . 
Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình trịn 2 2 2(C) : x y R quay quanh Ox. 
Giải 
Hồnh độ giao điểm của (C) và Ox là 2 2x R x R . 
Phương trình 2 2 2 2 2 2(C) : x y R y R x
R R
2 2 2 2
R 0
V R x dx 2 R x dx
R3 3
2
0
x 4 R
2 R x
3 3
. 
18 
Vậy 
34 R
V
3
(đvtt). 
2. Trƣờng hợp 2. 
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x g(y) 0 y c;d , x 0 , 
y c và y d (c d) quay quanh trục Oy là 
d
2
c
V g (y)dy . 
Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse 
2 2
2 2
x y
(E) : 1
a b
quay quanh Oy. 
Giải 
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là 
2
2
y
1 y b
b
. 
Phương trình 
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x y a y
(E) : 1 x a
a b b
b b2 2 2 2
2 2
2 2
b 0
a y a y
V a dy 2 a dy
b b
R2 3 2
2
2
0
a y 4 a b
2 a y
33b
. 
Vậy 
24 a b
V
3
(đvtt). 
3. Trƣờng hợp 3. 
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y g(x) , x a và 
x b (a b, f(x) 0,g(x) 0 x a; b ) quay quanh trục Ox là 
b
2 2
a
V f (x) g (x) dx . 
Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x , 2y x quay quanh 
Ox. 
Giải 
Hồnh độ giao điểm 
4
x 0 x 0
x 1x x
. 
1 1
4 4
0 0
V x x dx x x dx
1
5 2
0
1 1 3
x x
5 2 10
. 
Vậy 
3
V
10
(đvtt). 
4. Trƣờng hợp 4. 
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x f(y), x g(y) , y c và 
y d (c d, f(y) 0,g(y) 0 y c; d ) quay quanh trục Oy là 
d
2 2
c
V f (y) g (y) dy . 
Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2x y 5 , x 3 y
quay quanh Oy. 
19 
Giải 
Tung độ giao điểm 2
y 1
y 5 3 y
y 2
. 
2
2 22
1
V y 5 3 y dy
2
4 2
1
y 11y 6y 16 dy
25 3
2
1
y 11y 153
3y 16y
5 3 5
. 
Vậy 
153
V
5
(đvtt). 
VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP 
1. Tính I=  
1
10
0
1 x dx Áp dụng kết quả đĩ hãy tính tổng sau: 
1 2 10
10 10 10
1 1 1
1 ...
2 3 11
    S C C C
2. Tính:  
1
19
0
1I x x dx  . Áp dụng kết quả đĩ hãy tính tổng sau: 
0 1 2 18 19
19 19 19 19 19
1 1 1 1 1
...
2 3 4 20 21
S C C C C C     . 
3. Chứng minh rằng:
1
1 21 1 1 2 11 ...
2 3 1 1
n
n
n n nC C C
n n
 
    
 
BÀI TẬP TỰ GIẢI 
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)= sin cos
sin cos
x x
x x


, biết rằng ln2
4
F
 
 
 
 
2. Tính các tích phân sau: 
A=
2
1
2 5-7
e
x x
dx
x

 B=
2
2
-2
-1x dx C=
2
0
2 ln 2x dx
3. Tính các tích phân sau:
A=
3
3 cos
0
sinxe xdx

 B=
4
1
ln
e
x
dx
x
C
*
=
2 3
2
5 4
dx
x x 
 D
*
=
2
1 1 -1
x
dx
x

4. Tính các tích phân sau:
I=
1
sin(ln )e x
dx
x
J=
4
2
6
sin cot
dx
x x



K=
10
1
lg xdx
L=
ln 5
ln 3 2 3
x x
dx
e e 
M=
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
xdx
x x


 N=
2
2
1
- 9
dx
x
C=
2
2 2
0
sin 2
(1 cos )
x
dx
x


5. Tính các tích phân sau: 
20 
A=
1
2
0 4 -
dx
x
 B=
3
2
3
3
dx
x 
C=
4
2
0
16- dxx
D=
ln 2
0
1-
1
x
x
e
dx
e
E=
3
2
2
2
1
dx
x 
6. Tính các tích phân sau: 
A=
2
1
ln
e
x
dx
x
 B
*
=
2
0
sin
1 cos
x x
dx
x


C
*
=
2
2
1
ln x
dx
x
D
*
=
1
cos(ln )
e
x dx

 E=
2 4
3
1
3 2x x
dx
x


1 2
*
4
1
1
1
x
F dx
x




7