Chuyên đề Kiến thức cơ bản về đại số

1Chuyeân ñeà 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ 
CAÙC HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC CÔ BAÛN 
1. + = + +2 2 2( ) 2a b a ab b abbaba 22)(22 −+=+
2. − = − +2 2 2( ) 2a b a ab b abbaba 22)(22 +−=+
3. − = + −2 2 ( )( )a b a b a b
4. + = + + +3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b )(33)(33 baabbaba +−+=+
5. − = − + −3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b
6. + = + − +3 3 2 2( )( )a b a b a ab b
7. − = − + +3 3 2 2( )( )a b a b a ab b
8. ( )2 2 2 2a+b+c =a +b +c +2ab+2ac+2bc
A. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ 
Nhắc lại: 
1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng
a) Chuyển vế một biểu thức từ vế này sang vế kia (nhớ đổi dấu của biểu thức).
b) Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một hằng số (khác 0) hoặc với một biểu thức
(khác không).
c) Thay thế một biểu thức bởi một biểu thức khác bằng với biểu thức đó.
 Lưu ý: 
+ Chia hai vế của phương trình cho biểu thức chứa ẩn đề phòng mất nghiệm. 
+ Bình phương hai vế của phương trình đề phòng dư nghiệm. 
2) Caùc böôùc giaûi moät phöông trình
Böôùc 1: Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa aån soá ñeå hai veá cuûa pt coù nghóa 
Böôùc 2: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông ñeå bieán ñoåi pt ñeán moät pt ñaõ bieát caùch giaûi 
Böôùc 3: Giaûi pt vaø choïn nghieäm phuø hôïp ( neáu coù) 
Böôùc 4: Keát luaän 
 2
I. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình ax+b=0: 
 1. Daïng : ax + b = 0 (1) 
⎩
⎨
⎧
soá tham : ba,
soá aån : x
 2. Giaûi vaø bieän luaän: 
 Ta coù : (1) ⇔ ax = -b (2) 
 Bieän luaän: 
• Neáu a ≠ 0 thì (2) ⇔
a
b
x −= 
• Neáu a = 0 thì (2) trôû thaønh 0.x = -b 
 * Neáu b ≠ 0 thì phöông trình (1) voâ nghieäm 
 * Neáu b = 0 thì phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x 
 Toùm laïi : 
• a ≠ 0 : phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát 
a
b
x −= 
• a = 0 vaø b ≠ 0 : phöông trình (1) voâ nghieäm 
• a = 0 vaø b = 0 : phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x 
3. Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình: 
Ñònh lyù: Xeùt phöông trình ax + b = 0 (1) ta coù: 
• (1) coù nghieäm duy nhaát ⇔ a ≠ 0 
• (1) voâ nghieäm ⇔ 
⎩
⎨
⎧
≠
=
0
0
b
a
• (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x ⇔ 
⎩
⎨
⎧
=
=
0
0
b
a
 3
II.Giaûi vaø bieän luaän phöông trình ax2+bx+c=0: 
1. Daïng: 2 0ax bx c+ + = (1) 
⎩
⎨
⎧
soá tham : c, ba,
soá aån : x
 2. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : 
 Xeùt hai tröôøng hôïp 
 Tröôøng hôïp 1: Neáu a 0= thì (1) laø phöông trình baäc nhaát : bx + c = 0 
• b ≠ 0 : phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát 
b
c
x −= 
• b = 0 vaø c ≠ 0 : phöông trình (1) voâ nghieäm 
• b = 0 vaø c = 0 : phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x 
Tröôøng hôïp 2: Neáu a ≠ 0 thì (1) laø phöông trình baäc hai coù 
 Bieät soá 2 4b acΔ = − ( hoaëc ' 2 '' vôùi b
2
bb acΔ = − = ) 
Bieän luaän: 
 Neáu 0Δ < thì pt (1) voâ nghieäm 
 Neáu 0Δ = thì pt (1) coù nghieäm soá keùp 1 2 2
bx x
a
= = − ( 
'
1 2
bx x
a
= = − ) 
 Neáu 0Δ > thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät 1,2 2
bx
a
− ± Δ
= ( 
' '
1,2
bx
a
− ± Δ
= ) 
3. Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai: 
 Ñònh lyù : Xeùt phöông trình : 2 0ax bx c+ + = (1) 
 Pt (1) voâ nghieäm ⇔ 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠
=
=
0
0
0
c
b
a
 hoaëc 
⎩
⎨
⎧
<Δ
≠
0
0a
 Pt (1) coù nghieäm keùp ⇔ 
⎩
⎨
⎧
=Δ
≠
0
0a
 Pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät ⇔ 
⎩
⎨
⎧
>Δ
≠
0
0a
 Pt (1) coù hai nghieäm ⇔ 
⎩
⎨
⎧
≥Δ
≠
0
0a
 Pt (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x ⇔ 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
0
0
0
c
b
a
 Ñaëc bieät 
 Neáu pt(1) coù heä soá a,c thoaû a.c < 0 thì pt(1) luoân coù hai nghieäm phaân bieät. 
 4
4. Ñònh lyù VIEÙT ñoái vôùi phöông trình baäc hai: 
  Ñònh lyù thuaän: Neáu phöông trình baäc hai : 2 0ax bx c+ + = ( 0a ≠ ) coù hai nghieäm x1, x2 thì 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
==
−=+=
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21
.
 Ñònh lyù ñaûo : Neáu coù hai soá ,α β maø + = Sα β vaø . P=α β )4( 2 PS ≥ thì ,α β laø nghieäm cuûa 
 phöông trình 
 x2 - Sx + P = 0 
 Chuù yù: 
 Neáu pt (1) coù caùc heä soá thoaû maõn a+b+c=0 thì pt (1) coù hai nghieäm laø 1 21 vaø x
cx
a
= = 
 Neáu pt (1) coù caùc heä soá thoaû maõn a-b+c=0 thì pt (1) coù hai nghieäm laø 1 21 vaø x
cx
a
= − = − 
5. Daáu nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai: 
 Döïa vaøo ñònh lyù Vieùt ta coù theå suy ra ñònh lyù sau: 
 Ñònh lyù: Xeùt phöông trình baäc hai : 2 0ax bx c+ + = (1) ( 0a ≠ ) 
 Pt (1) coù hai nghieäm döông phaân bieät 
> 0
 P > 0
S > 0
Δ⎧
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎩
 Pt (1) coù hai nghieäm aâm phaân bieät 
> 0
 P > 0
S < 0
Δ⎧
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎩
 Pt (1) coù hai nghieäm traùi daáu P < 0⇔ 
II. Phöông trình truøng phöôngï: 
1.Daïng : 4 2 0 ( a 0 )ax bx c+ + = ≠ (1) 
2.Caùch giaûi: 
  Ñaët aån phuï : t = x2 ( 0≥t ). Ta ñöôïc phöông trình: 02 =++ cbtat (2) 
 Giaûi pt (2) tìm t. Thay t tìm ñöôïc vaøo t = x2 ñeå tìm x 
 Tuøy theo soá nghieäm cuûa phöông trình (2) maø ta suy ra ñöôïc soá nghieäm 
 cuûa phöông trình (1) 
 5
III . Phöông trình baäc ba: 
 1. Daïng: 3 2 0ax bx cx d+ + + = (1) ( 0a ≠ ) 
 2 .Caùch giaûi: AÙp duïng khi bieát ñöôïc moät nghieäm cuûa phöông trình (1) 
Böôùc 1: Nhaåm moät nghieäm cuûa phöông trình (1). Giaû söû nghieäm laø x = x0 
Böôùc 2: Söû duïng pheùp CHIA ÑA THÖÙC hoaëc sô ñoà HOOÙCNE ñeå phaân tích veá traùi thaønh nhaân 
 töû vaø ñöa pt (1) veà daïng tích soá : 
 Sô ñoà 
 Trong ñoù: 
 0 x0 0a A, x .A b B, x .B c C, .C d 0= + = + = + =
 (1) ⇔ (x-x0)(Ax2+Bx+C) = 0 
 0
2
0 (2)
x x
Ax Bx C
=⎡
⇔ ⎢
+ + =⎣
Böôùc 3: Giaûi phöông trình (2) tìm caùc nghieäm coøn laïi ( neáu coù). 
 a b c d 
x0 A B C 0 (soá 0) 
 6
 B. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ
I. Baát phöông trình baäc nhaát: 
1. Daïng : (1) 0>+ bax (hoaëc ≤<≥ ,, ) 
 Nhaéc laïi: Caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông bất phöông trình thöôøng söû duïng: 
 1) Chuyeån veá moät bieåu thöùc cuûa bpt töø veá naøy sang veá kia (nhôù ñoåi daáu bieåu thöùc) 
 2) Nhaân hoaëc chia hai veá cuûa bpt vôùi moät haèng soá hoaëc moät bieåu thöùc khaùc 0 
 Ghi nhớ quan trọng: 
 + Âm thì đổi chiều 
 + Dương thì không đổi chiều
 3) Thay thế moät bieåu thöùc trong bpt bôûi moät bieåu thöùc khaùc baèng vôùi bieåu thöùc ñoù. 
2. Giaûi vaø bieän luaän: 
 Ta coù : (2) )1( bax −>⇔ 
 Bieän luaän: 
• Neáu 0>a thì 
a
b
x −>⇔)2( 
• Neáu 0<a thì 
a
b
x −<⇔)2( 
• Neáu 0=a thì (2) trôû thaønh : bx −>.0 
 * 0≤b thì bpt voâ nghieäm 
 * 0>b thì bpt nghieäm ñuùng vôùi moïi x 
II. Daáu cuûa nhò thöùc baäc nhaát: 
1. Daïng: 0)(a )( ≠+= baxxf 
2. Baûng xeùt daáu cuûa nhò thöùc: 
x 
∞− 
a
b
− ∞+ 
ax+b Traùi daáu vôùi a 0 Cuøng daáu vôùi a 
 7
III. Daáu cuûa tam thöùc baäc hai: 
1. Daïng: 0)(a 2)( ≠++= cbxaxxf 
2. Baûng xeùt daáu cuûa tam thöùc baäc hai: 
3. Ñieàu kieän khoâng ñoåi daáu cuûa tam thöùc: 
 Ñònh lyù: Cho tam thöùc baäc hai: 0)(a 2)( ≠++= cbxaxxf 
•
⎩
⎨
⎧
>
<Δ
⇔∈∀>
0a
0
 Rx 0)(xf 
•
⎩
⎨
⎧
<
<Δ
⇔∈∀<
0a
0
 Rx 0)(xf 
•
⎩
⎨
⎧
>
≤Δ
⇔∈∀≥
0a
0
 Rx 0)(xf 
•
⎩
⎨
⎧
<
≤Δ
⇔∈∀≤
0a
0
 Rx 0)(xf 
IV. Baát phöông trình baäc hai: 
1. Daïng: 02 >++ cbxax ( hoaëc ≤<≥ ,, ) 
2. Caùch giaûi: Xeùt daáu tam thöùc baäc hai ôû veá traùi roài choïn nghieäm thích hôïp. 
x ∞− 1x 2x ∞+ 
f(x) Cuøng daáu a 0 Traùi daáu a 0 Cuøng daáu a 
x 
∞− 
a
b
2
− ∞+ 
f(x) Cuøng daáu a 0 Cuøng daáu a 
x ∞− ∞+ 
f(x) Cuøng daáu a 
acb 42 −=Δ
0<Δ
0=Δ
0>Δ
 8
V. Các phương trình, bất phương trình căn thức cơ bản và cách giải: 
 * Daïng 1 : 
A 0 (hoaëc B 0 )
A B
A B
≥ ≥⎧
= ⇔ ⎨
=⎩
 * Daïng 2 : 2
B 0
A B
A B
≥⎧⎪
= ⇔ ⎨
=⎪⎩
 * Daïng 3 : 
2
A 0
A B B 0
A B
⎧ ≥
⎪
⎨
⎪
<⎩
 * Daïng 4: 
2
A 0
B 0
A B
B 0
A B
⎡ ≥⎧
⎨⎢
<⎩⎢
> ⇔ ⎢ ≥⎧⎪⎢⎨⎢ >⎪⎩⎣
Minh họa: (TN-2010) 
VI. Các phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối cơ bản và cách giải: 
 * Daïng 1 : 22 BABA =⇔= , BABA ±=⇔= 
 * Daïng 2 : 
⎩
⎨
⎧
=
≥
⇔= 22
0
BA
B
BA , 
⎩
⎨
⎧
±=
≥
⇔=
BA
B
BA
0
 * Daïng 3: 
2 2
B 0
A B
A B
>⎧
< ⇔ ⎨
<⎩
 , 
B 0
A B
B A B
>⎧
< ⇔ ⎨
− < <⎩
 * Daïng 4: 
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
>
≥
<
⇔>
22
0
0
BA
B
B
BA , 
B 0
A B B 0
A B A B
<⎡
⎢
> ⇔ ≥⎧⎢⎨⎢ ⎩⎣
 9
Chuyên đề 2: GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM 
A. Giới hạn 
 1. Các giới hạn cơ bản: 
 1) 
x x0
lim C C
→
= (C laø haèng soá) 
 2) 0x x0
lim f(x) f(x )
→
= (f(x0) phaûi xaùc ñònh) 
 3) 
x
lim C C
→∞
= , 
x
1
lim 0
x→∞
= , 
kx
1
lim 0
x→∞
= , 
kx
C
lim 0
x→∞
= 
 Một vài giới hạn đặc biệt 
 a) k
x
lim x
→+∞
= +∞ với k nguyên dương
 b) k
x
lim x
→−∞
= −∞ với k là số lẻ 
 a) k
x
lim x
→−∞
= +∞ với k là số chẵn. 
 2. Các quy tắc tính giới hạn: 
 1) [ ]
x x x x x x0 0 0
lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)
→ → →
± = ± 
 2) [ ]
x x x x x x0 0 0
lim f(x).g(x) lim f(x). lim g(x)
→ → →
= 
 3) →
→
→
⎡ ⎤
=⎢ ⎥
⎣ ⎦
x x0
x x0
x x0
lim f(x)f(x)
lim
g(x) lim g(x)
 Quy tắc 1: Nếu 
0x x
lim f (x)
→
= ±∞ và 
0x x
lim g(x) L 0
→
= ≠ thì [ ]
0x x
lim f (x).g(x) ?
→
= được cho trong bảng sau: 
0x x
lim f (x)
→
= ±∞ Dấu của L [ ]
0x x
lim f (x).g(x)
→
+∞
+∞
−∞
−∞
+ 
−
+ 
−
+∞
−∞
−∞
+∞
 (Quy tắc nầy vẫn đúng cho các trường hợp sau: 0 0x x ; x x ; x ; x+ −→ → → +∞ → −∞ ) 
 Quy tắc 2: Nếu 
0x x
lim f (x) L 0
→
= ≠ và 
0x x
lim g(x) 0
→
= và g(x) 0> hoặc g(x) 0< với mọi { }0x I\ x∈ , 
 trong đó I là một khoảng nào đó chứa x0 thì 
0x x
f (x)lim ?
g(x)→ = được cho trong bảng sau: 
Dấu của L Dấu của g(x) 
0x x
f (x)lim
g(x)→
+ 
+ 
− 
−
+ 
−
+ 
−
+∞
−∞
−∞
+∞
 (Quy tắc nầy vẫn đúng cho các trường hợp sau: 0 0x x ; x x ; x ; x+ −→ → → +∞ → −∞ ) 
 10
3. Các ví dụ: 
 Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau 
 a) ( )3 2
x
lim x 3x 4x 2
→−∞
− + − + b) ( )3 2
x
lim x 3x 4
→+∞
+ +
 c) ( )4 2
x
lim x 2x 3
→−∞
− + + d) 
4
2
x
x 3lim x
2 2→+∞
⎛ ⎞
− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau 
 a) 
x
2x 1lim
x 2→−∞
+
−
 b) 
x
2 xlim
2x 1→+∞
−
+
 a) 
x 2
2x 1lim
x 2+→
+
−
 b) 
1
x
2
2 xlim
2x 1−⎛ ⎞→ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
+
 Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau 
 a) 
2
2x
2x 3x 1lim
x 2x→+∞
− −
−
 b) 
2
x
2x 3x 1lim 2x
x 2→+∞
⎡ ⎤− −
−⎢ ⎥
−⎣ ⎦
 a) 
2
x 2
x 2x 3lim
x 2−→
− −
−
 b) 
2
x 2
x 2x 3lim
x 2+→
− −
−
B. Liên tục 
 Các định nghĩa: 
• Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng ( )a;b và ( )0x a;b∈ . 
 Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu 
0
0
x x
lim f (x) f (x )
→
=
• Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng ( )a;b . 
 Hàm số f được gọi là liên tục trên khoảng ( )a;b nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ( )a;b
• Định nghĩa 3: Giả sử hàm số f(x) xác định trên đoạn [ ]a;b . 
 Hàm số f được gọi là liên tục trên đoạn [ ]a;b nếu nó liên tục trên khoảng ( )a;b và x a
x b
lim f (x) f (a)
lim f (x) f (b)
+
−
→
→
=⎧⎪
⎨
=⎪⎩
Định lý: 
1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó. 
2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng 
 (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng). 
3) Các hàm lượng giác y sin x, y cos x, y tan x, y cot x= = = = liên tục trên tập xác định của chúng. 
C. Đạo hàm 
 1) Ñònh nghóa ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi moät ñieåm: 
 Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø 0x (a; b)∈ . 
 Ñaïo haøm cuûa haøm soá y=f(x) taïi ñieåm x0, kyù hieäu laø f'(x0) hay y'(x0) laø giôùi haïn höõu haïn (neáu coù) 
 cuûa 
→
−
−
0
x x0 0
f(x) f(x )
lim
x x
 00 x x0 0
f(x) f(x )f '(x ) lim
x x→
−
=
−
 11
2. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: 
• Cho haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 laø f'(x0) . (C) laø ñoà thò cuûa haøm soá 
 0 0 0M (x ;f(x )) (C)∈ vaø Δ laø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M 
 a) YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: 
• Ñaïo haøm cuûa haøm soá y=f(x) taïi ñieåm x0 laø heä soá goùc k cuûa tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñoù taïi ñieåm 
0 0 0M (x ;f(x )) 
0k f '(x )= (k tan= α với ( )ox;α = Δ ) 
 b) Phöông trình tieáp tuyeán: 
• Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 thì phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñoù taïi ñieåm 
M0(x0;f(x0)) laø: 
0 0 0y f '(x )(x x ) f(x )= − + 
 hay: ( )0 0y y k x x− = − trong đó : 0 0
0
y f(x )
k f '(x )
=⎧⎪
⎨
=⎪⎩
 3. Caùc quy taéc tính ñaïo haøm: 
Ñaïo haøm cuûa toång hieäu tích thöông caùc haøm soá 
 a. Ñaïo haøm cuûa toång ( hieäu ): ( ) vuvu ′±′=′± 
 b. Ñaïo haøm cuûa tích: 
 ( ) v.uv.uv.u ′+′=′ Ñaëc bieät ( )C.u C.u′ ′= Vôùi C laø haèng soá. 
 c. Ñaïo haøm cuûa thöông: 
 2v
v.uv.u
v
u ′−′
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Ñaëc bieät 2
1 1
v v
′
−⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
 và 
′
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
C C.v '
v v
 d. Ñaïo haøm cuûa haøm soá hôïp: 
 Cho hai haøm soá ( )ufy = vaø ( )xgu = khi ñoù ( )[ ]xgfy = ñöôïc goïi laø haøm hôïp cuûa hai 
 haøm soá treân, khi ñoù: xux u.yy ′′=′ 
(C): y=f(x) 
0x
x
0f(x )
y
0M Δ
 12
 3. Ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá cô baûn: 
 ( ) 0=′C ( C laø haèng soá ) 
 ( )x ' 1= ( )C.x ' C= 
Với u là một hàm số 
 ( )n n 1x n.x −′ = ( )n N,n 2∈ ≥ ( )n n 1u n.u .u−′ ′= 
2
1 1
x x
′
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (x 0)≠ 2
1 u
u u
′
′⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 ( )
x
x
2
1
=
′
 ( )x 0> ( )
u
u
u
2
′
=
′
 ( ) xcosxsin =′ ( ) ucosuusin ′=′ 
 ( ) xsinxcos −=′ ( ) usinuucos ′−=′ 
 ( ) 221tan x 1 tan xcos x
′
= = + ( ) 22utan u (1 tan u).ucos u
′′
′= = + 
 ( ) ( )221cot x 1 cot xsin x
′
= − = − + ( ) ( )22ucot u 1 cot u .usin u
′′
′= − = − + 
( )2dcx
b.cd.a
dcx
bax
+
−
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+ ( )211
111
2
1
11
2 2
bxa
cabbxbaxaa
bxa
cbxax
+
−++
=
′
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
++ ....
 Ví duï 1 : Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau 
= − + − − = − −
− − −
=
+ +
4
3 2 2
2
1 x 31) y x 4x 5x 11 2) y x
3 2 2
2x 1 3x 2x 13) y= 4) y 
3x 2 2x 1
 Ví duï 2 : Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: 
= + = +
− = +3 2
1) y 2sin x s in2x 2) y 3cos2x 2 cosx
4 x3) y= 2sinx sin x 4) y sin x
3 2
 Ví duï 3 : Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: 
 = + + = + − −2 21) y x 2x 5 2) y x 1 4 x 
 ( )− +2 3) y= 3 x x 1 4) 
12
2
−
=
x
xy 
 Ví duï 4: Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: 
 1) xxy −= 4 2) 
12
3
+
+
=
x
xy 
 3) xxy −+−= 42 4) 22 xxy −+= 
 Ví dụ 5: Tính f '(x) và giải phương trình f '(x) 0= khi biết 
 1) 3 2f (x) 2x 3x 36x 10= + − − 2) 4 2f (x) x 2x 3= − +
 3) 
2
x 2x 2f (x)
x 1
+ +
=
+
 4) 
2
2
x 8x 7f (x)
x 1
− +
=
+
 13
 Ví dụ 6: Tính f '(x) và lập bảng xét dấu của f '(x) khi biết 
 1) 3 21 3f (x) x x 5
4 2
= − + 2) 4 2f (x) x 8x 6= − + +
 3) 3x 1f (x)
1 x
+
=
−
 4) 
2
x x 1f (x)
x 1
− +
=
−
 Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
 1) 3y x 3x 2= − + tại điểm trên (C) có hoành độ bằng 2. 
 2) 4 2y x 2x= − tại điểm trên (C) có tung độ bằng 8. 
 3) 2x 3y
2x 1
+
=
−
 tại giao điểm của (C) với trục tung. 
 Ví dụ 8 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
 1) 3y x 3x 2= − + biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9. 
 2) 4 2y x 2x= − biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 24x= . 
 3) 2x 3y
2x 1
+
=
−
 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1y x
2
= . 
C. VI PHÂN 
 Nếu hàm số f có đạo hàm f' thì tích f '(x). xΔ gọi là vi phân của hàm số y f (x)= , ký hiệu là 
 df (x) f '(x). x= Δ (1) . Đặc biệt với hàm số y x= ta có ( )dx x '. x x= Δ = Δ nên (1) có thể viết thành: 
 df (x) f '(x).dx= hay dy f '(x).dx=
--------------------Hết---------------------- 
 14
Chuyeân ñeà 3: KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
Sơ đồ chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức 
Dựa vào chương trình SGK + đáp án của BGD để biên soạn 
Chương trình Cơ bản + Nâng cao 
1. Hàm số ( )3 2y ax bx cx d a 0= + + + ≠
1) Tập xác định: D = 
2) Sự biến thiên: 
• a) Chiều biến thiên: 
 + y ' ?=
 = ⇔ =y ' 0 x ?
 + Xét dấu y': 
x −∞ ? +∞
y' ? 
 - Kết luận về các khoảng đơn điệu của hàm số. 
• b) Cực trị: kết luận về cực trị của hàm số. 
• c) Giới hạn: 
x
lim y ?
→−∞
= và 
x
lim y ?
→+∞
=
 (Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết)
• d) Bảng biến thiên: 
x -∞ ? +∞
y' ? 
y ? 
 (Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết)
 3) Đồ thị: 
Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ: 
 + Giao điểm với Oy: x 0 y ?= ⇒ =
 + Giao điểm với Ox (nếu có): y 0 x ?= ⇔ =
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
 15
2. Hàm số ( )4 2y ax bx c a 0= + + ≠
1) Tập xác định: D = 
2) Sự biến thiên: 
• a) Chiều biến thiên: 
 + y ' ?=
 = ⇔ =y ' 0 x ?
 + Xét dấu y' 
x −∞ ? +∞
y' ? 
 - Kết luận về các khoảng đơn điệu của hàm số. 
• b) Cực trị: kết luận về cực trị của hàm số. 
• c) Giới hạn: 
x
lim y ?
→−∞
= và 
x
lim y ?
→+∞
=
 (Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết)
• d) Bảng biến thiên: 
x -∞ ? +∞
y' ? 
y ? 
 (Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết)
 3) Đồ thị: 
 Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ: 
 + Giao điểm với Oy: x 0 y ?= ⇒ =
 + Giao điểm với Ox (nếu có): y 0 x ?= ⇔ =
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
16
Sơ đồ chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỷ 
Dựa vào chương trình SGK + đáp án của BGD để biên soạn 
Chương trình Cơ bản + Nâng cao 
3. Hàm số ( )+= ≠ − ≠
+
ax by c 0, ad bc 0
cx d
1) Tập xác định: dD \
c
⎧ ⎫
= −⎨ ⎬
⎩ ⎭

2) Sự biến thiên:
• a) Chiều biến thiên: 
 + ( )2
ad bcy '
cx d
−
=
+
; kết luận y ' 0 với mọi dx
c
≠ −
- Kết luận về các khoảng đơn điệu của hàm số
• b) Cực trị: hàm số không có cực trị
• c) Giới hạn và tiệm cận: 
 +
− +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
→ − → −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= = ⇒ = −
d dx x
c c
dlim y ? vaø lim y ? x
c
 là tiệm cận đứng 
+ 
→−∞ →+∞
= = ⇒ =
x x
a a alim y vaø lim y y
c c c
 là tiệm cận ngang 
(Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết) 
• d) Bảng biến thiên: 
x 
-∞
d
c
− + ∞
y' ? ? 
y ? ? 
(Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết)
3) Đồ thị:
 Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ: 
+ Giao điểm với Oy: x 0 y ?= ⇒ =
+ Giao điểm với Ox: y 0 x ?= ⇔ =
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
 17
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau 
 1) 3 2y x 3x 4= + − 2) 3 2y x 3x 4= − + −
 3) 3 2y x 3x 4x 2= − + − + 4) 3 2y x 3x 4x 2= − + −
 5) 3 2y x 3x 3x 2= − + − 6) 3 2y x 3x 3x 2= − + − +
 7) 32 2 2
3
y x x= − + 8) 3 3 1y x x= − + +
 9) 2 33y x x= − 10) 3 23 3 9y x x x= − + −
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau 
 1) 4 2y x 2x 3= − − 2) 4 2y x 2x 3= − + +
 3) 4 2y x 2x 3= − − + 4) 4 2y x 2x 3= + −
 5) 4 21 1 3
4 2
y x x= − + 6) 
4
2 3
2 2
xy x= − −
 7) ( )22 1y x= − 8) 2 48y x x= −
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau 
 1) 2x 1y
x 1
−
=
−
 2) 1 xy
x 2
−
=
+
 3) 4 1
2 3
xy
x
+
=
−
 4) 1 2
2
xy
x
−
=
− −
 5) 2
2
xy
x
− −
=
−
 6) 3 2
1
xy
x
−
=
−
Bài 4: Cho hàm số ( ) ( )3 2 2y x 2m 1 x m 3m 2 x 4= − + + − + +
 1) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại và điểm cực tiểu. 
2) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía của trục tung. 
Bài 5: Cho hàm số ( ) ( )3 21y x mx m 6 x 2m 1
3
= + + + − +
 Tìm m để đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên 
Bài 6: (TN 2011) 
 18
Chuyên đề 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT 
 VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
A. TÓM TẮT GIÁO KHOA 
I) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số ( )y f x= xác định trên tập hợp D. 
• Số M được gọi là GTLN của hàm số ( )y f x= trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn 
( )
( )0 0
i) f x M x D
ii) x D : f x M
⎧ ≤ ∀ ∈
⎨ ∃ ∈ =⎩
 Ký hiệu: ( )
x D
M Max f x
∈
=
• Số m được gọi là GTNN của hàm số ( )y f x= trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn 
( )
( )0 0
i) f x m x D
ii) x D : f x m
⎧ ≥ ∀ ∈
⎨ ∃ ∈ =⎩
 Ký hiệu: ( )
x D
m min f x
∈
=
Minh họa: 
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
y=f(x)=x3-3x+4
-5/2 3/2
m=33/8
M=6
D=[-5/2;3/2]
• Quy ước: Ta quy ước rằng khi nói GTLN hay GTNN của hàm số f mà không nói