Chuyên đề Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Chuyên đề 1
Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị
Hàm Số
§1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
Bài tập 1.1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau
a) y = 2x3 − 3x2 + 1. b) y = −x3 − 3x+ 2. c) y = x3 + 3x2 + 3x.
d) y = x4 − 2x2 + 3. e) y = −x4 + 2x3 − 2x− 1. f) y = √x2 − 2x− 3.
g) y =
2x+ 3
x+ 2
. h) y =
x+ 2
3x− 1 . i) y =
x2 − 4x+ 4
1− x .
Lời giải.
a) Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = 6x2 − 6x; y′ = 0⇔
[
x = 0
x = 1
. Bảng biến thiên:
x − ∞ 0 1 + ∞
y′ + 0 − 0 +
y
− ∞
1
0
+ ∞
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0), (1; +∞) và nghịch biến trên (0; 1).
b) Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = −3x2 − 3 < 0,∀x ∈ R. Do đó hàm số luôn nghịch biến trên R.
c) Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = 3x2 + 6x+ 3 ≥ 0,∀x ∈ R. Do đó hàm số luôn đồng biến trên R.
d) Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = 4x3 − 4x; y′ = 0⇔
[
x = 0
x = ±1 . Bảng biến thiên:
x − ∞ −1 0 1 + ∞
y′ − 0 + 0 − 0 +
y
+ ∞
2
3
2
+ ∞
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) , (1; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (−∞;−1) , (0; 1).
e) Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = −4x3 + 6x2 − 2; y′ = 0⇔
[
x = 1
x = − 12
. Bảng biến thiên:
x − ∞ − 12 1 + ∞
y′ + 0 − 0 −
y
− ∞
− 516
−2
− ∞
1
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
(−∞;− 12) và nghịch biến trên khoảng (− 12 ; +∞).
f) Tập xác định: D = (−∞;−1] ∪ [3; +∞). Đạo hàm: y′ = x− 1√
x2 − 2x− 3 ; y
′ = 0⇔ x = 1. Bảng biến thiên:
x − ∞ −1 3 + ∞
y′ − +
y
+ ∞
0 0
+ ∞
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (3; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞;−1).
g) Tập xác định: D = R\ {−2}. Đạo hàm: y′ = 1
(x+ 2)2
> 0,∀x ∈ D.
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;−2) và (−2; +∞).
h) Tập xác định: D = R\{ 13}. Đạo hàm: y′ = − 7(3x− 1)2 < 0,∀x ∈ D.
Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 13 ) và ( 13 ; +∞).
i) Tập xác định: D = R\ {1}. Đạo hàm: y′ = −x
2 + 2x
(1− x)2 ; y
′ = 0⇔
[
x = 0
x = 2
. Bảng biến thiên:
x − ∞ 0 1 2 + ∞
y′ − 0 + + 0 −
y
+ ∞
2
+ ∞
− ∞
0
− ∞
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (0; 1), (1; 2) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0), (2; +∞).
Bài tập 1.2. Tìm m để hàm số y = x3 + (m− 1)x2 + (m2 − 4)x+ 9 luôn đồng biến trên R.
Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = 3x2+2(m−1)x+m2−4; ∆′ = (m−1)2−3(m2−4) = −2m2−2m+13.
Hàm số luôn đồng biến trên R⇔ y′ ≥ 0,∀x ∈ R⇔ ∆′ ≤ 0⇔ −2m2 − 2m+ 13 ≤ 0⇔
 m ≤ −1− 3
√
3
2
m ≥ −1 + 3
√
3
2
.
Vậy với m ∈
(
−∞; −1− 3
√
3
2
]
∪
[
−1 + 3√3
2
; +∞
)
thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên R.
Bài tập 1.3. Tìm m để hàm số y = −mx3 + (3−m)x2 − 2x+ 2 luôn nghịch biến trên R.
Lời giải. Tập xác định: D = R.
• Với m = 0, ta có: y = 3x2 − 2x+ 2 là một parabol nên không thể nghịch biến trên R.
• Với m 6= 0, ta có: y′ = −3mx2 + 2(3−m)x− 2; ∆′ = (3−m)2 − 6m = m2 − 12m+ 9.
Hàm số luôn nghịch biến trên R⇔ y′ ≤ 0,∀x ∈ R
⇔
{
m < 0
m2 − 12m+ 9 ≤ 0 ⇔
{
m < 0
6− 3√3 ≤ m ≤ 6 + 3√3 ⇔ m ∈ ∅
Vậy không có giá trị nào của m để hàm số luôn nghịch biến trên R.
Bài tập 1.4. Tìm m để hàm số y =
mx− 2
m− x luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Lời giải. Tập xác định: D = R\ {m}. Đạo hàm: y′ = m
2 − 2
(m− x)2 .
Hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y′ > 0,∀x ∈ D ⇔ m2 − 2 > 0⇔
[
m ≥ √2
m ≤ −√2 .
Vậy với m ∈ (−∞;−√2] ∪ [√2; +∞) thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Bài tập 1.5. Tìm m để hàm số y =
mx− 2
x+m− 3 luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
2
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
Lời giải. Tập xác định: D = R\ {3−m}. Đạo hàm: y′ = m
2 − 3m+ 2
(x+m− 3)2 .
Hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y′ < 0,∀x ∈ D ⇔ m2 − 3m+ 2 < 0⇔ 1 < m < 2.
Vậy với m ∈ (1; 2) thì hàm số đã cho luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Bài tập 1.6. Tìm m để hàm số y = x+ 2 +
m
x− 1 luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Lời giải. Tập xác định: D = R\ {1}.
Đạo hàm: y′ = 1− m
(x− 1)2 =
x2 − 2x+ 1−m
(x− 1)2 ; y
′ = 0⇔ x2 − 2x+ 1−m = 0; ∆′ = m.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi và chỉ khi
y′ ≥ 0,∀x ∈ D ⇔ x2 − 2x+ 1−m ≥ 0,∀x ∈ D ⇔ ∆′ ≤ 0⇔ m ≤ 0
Vậy với m ≤ 0 thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Bài tập 1.7. Tìm m để hàm số y =
mx+ 4
x+m
nghịch biến trên (−∞; 1).
Lời giải. Tập xác định: D = R\ {−m}. Đạo hàm: y′ = m
2 − 4
(x+m)2
.
Hàm số nghịch biến trên (−∞; 1) khi và chỉ khi y′ < 0,∀x ∈ (−∞; 1)
⇔
{ −m /∈ (−∞; 1)
m2 − 4 < 0 ⇔
{ −m ≥ 1
−2 < m < 2 ⇔ −2 < m ≤ −1
Vậy với m ∈ (−2;−1] thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Bài tập 1.8. Tìm m để hàm số y =
mx− 2
x+m− 3 nghịch biến trên (1; +∞).
Lời giải. Tập xác định: D = R\ {3−m}. Đạo hàm: y′ = m
2 − 3m+ 2
(x+m− 3)2 .
Hàm số nghịch biến trên (1; +∞)⇔ y′ < 0,∀x ∈ (1; +∞)
⇔
{
3−m /∈ (1; +∞)
m2 − 3m+ 2 < 0 ⇔
{
3−m ≤ 1
1 < m < 2
⇔ m ∈ ∅
Vậy không có giá trị nào của m để hàm số nghịch biến trên (1; +∞).
Bài tập 1.9. Tìm a để hàm số y = x3 + 3x2 + ax+ a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = 3x2 + 6x+ a; ∆′ = 9− 3a.
• ∆′ ≤ 0⇔ a ≥ 3⇒ y′ ≥ 0,∀x ∈ R: Hàm số đồng biến trên R nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
• ∆′ > 0⇔ a < 0, y′ có hai nghiệm x1, x2 (x1 < x2). Theo định lý vi-ét có x1 + x2 = −2;x1x2 = a3 .
Bảng biến thiên:
x − ∞ x1 x2 + ∞
y′ + 0 − 0 +
y
− ∞
y(x1)
y(x2)
+ ∞
Từ bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên [x1;x2].
Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi
|x1 − x2| = 1⇔ (x1 − x2)2 = 1⇔ (x1 + x2)2 − 4x1x2 = 1⇔ 4− 4a
3
= 1⇔ a = 9
4
(thỏa mãn)
Vậy với a = 94 thì hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Bài tập 1.10. Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 +mx+ 2 đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3.
Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = −3x2 + 6x+m; ∆′ = 9 + 3m.
• ∆′ ≤ 0⇔ m ≤ −3⇒ y′ ≤ 0,∀x ∈ R: Hàm số nghịch biến trên R nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
• ∆′ > 0⇔ m < −3, y′ có hai nghiệm x1, x2 (x1 < x2). Theo định lý vi-ét có x1 + x2 = 2;x1x2 = −m3 .
Bảng biến thiên:
3
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
x − ∞ x1 x2 + ∞
y′ − 0 + 0 −
y
+ ∞
y(x1)
y(x2)
− ∞
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên [x1;x2].
Do đó hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi
|x1 − x2| = 3⇔ (x1 − x2)2 = 9⇔ (x1 + x2)2 − 4x1x2 = 9⇔ 4 + 4m
3
= 9⇔ m = 15
4
(thỏa mãn)
Vậy với m = 154 thì hàm số đã cho đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3.
§2. Cực Trị Của Hàm Số
Bài tập 1.11. Tìm cực trị của các hàm số sau
a) y = 2x3 − 3x2 + 1. b) y = −x3 − 3x+ 2. c) y = x3 + 3x2 + 3x.
d) y = x4 − 2x2 + 3. e) y = −x4 + 2x3 − 2x− 1. f) y = √x2 − 2x− 3.
g) y =
2x+ 3
x+ 2
. h) y =
x+ 2
3x− 1 . i) y =
x2 − 4x+ 4
1− x .
Lời giải.
a) Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = 6x2 − 6x; y′ = 0⇔
[
x = 0
x = 1
. Bảng biến thiên:
x − ∞ 0 1 + ∞
y′ + 0 − 0 +
y
− ∞
1
0
+ ∞
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 1 và đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 0.
b) Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = −3x2 − 3 < 0,∀x ∈ R. Do đó hàm số không có cực trị.
c) Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = 3x2 + 6x+ 3 ≥ 0,∀x ∈ R. Do đó hàm số không có cực trị.
d) Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = 4x3 − 4x; y′ = 0⇔
[
x = 0
x = ±1 . Bảng biến thiên:
x − ∞ −1 0 1 + ∞
y′ − 0 + 0 − 0 +
y
+ ∞
2
3
2
+ ∞
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 3 và đạt cực tiểu tại x = ±1; yCT = 2.
e) Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = −4x3 + 6x2 − 2; y′ = 0⇔
[
x = 1
x = − 12
. Bảng biến thiên:
x − ∞ − 12 1 + ∞
y′ + 0 − 0 −
y
− ∞
− 516
−2
− ∞
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = − 12 ; yCĐ = − 516 .
f) Tập xác định: D = (−∞;−1] ∪ [3; +∞). Đạo hàm: y′ = x− 1√
x2 − 2x− 3 ; y
′ = 0⇔ x = 1. Bảng biến thiên:
4
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
x − ∞ −1 3 + ∞
y′ − +
y
+ ∞
0 0
+ ∞
Vậy hàm số không có cực trị.
g) Tập xác định: D = R\ {−2}. Đạo hàm: y′ = 1
(x+ 2)2
> 0,∀x ∈ D. Do đó hàm số không có cực trị.
h) Tập xác định: D = R\{ 13}. Đạo hàm: y′ = − 7(3x− 1)2 < 0,∀x ∈ D. Do đó hàm số không có cực trị.
i) Tập xác định: D = R\ {1}. Đạo hàm: y′ = −x
2 + 2x
(1− x)2 ; y
′ = 0⇔
[
x = 0
x = 2
. Bảng biến thiên:
x − ∞ 0 1 2 + ∞
y′ − 0 + + 0 −
y
+ ∞
2
+ ∞
− ∞
0
− ∞
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 2; yCĐ = 0 và đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = 2.
Bài tập 1.12. Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 3 (2m− 1)x− 2
a) Có cực trị. b) Đạt cực trị tại x = 0. c) Đạt cực đại tại x = 1.
Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = 3x2 − 6mx+ 3(2m− 1); ∆′ = 9m2 − 18m+ 9.
a) Hàm số có cực trị ⇔ y′ có hai nghiệm phân biệt ⇔ 9m2 − 18m+ 9 > 0⇔ m 6= 1.
b) Hàm số đạt cực trị tại x = 0⇒ y′(0) = 0⇔ 3(2m− 1) = 0⇔ m = 12 .
Với m = 12 ⇒ y′ = 3x2 − 3x; y′′ = 6x− 3; y′′(0) = −3 < 0⇒ hàm số đạt cực đại tại x = 0⇒ m = 12 thỏa mãn.
Vậy với m = 12 thì hàm số đã cho đạt cực trị tại x = 0.
c) Hàm số đạt cực đại tại x = 1⇒ y′(1) = 0⇔ 3− 6m+ 3(2m− 1) = 0⇔ 0 = 0 (đúng ∀m ∈ R).
Lại có: y′′ = 6x− 6m; y′′(1) = 6− 6m.
Với y′′(1) > 0⇔ m < 1⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = 1⇒ m < 1 không thỏa mãn.
Với y′′(1) 1⇒ hàm số đạt cực đại tại x = 1⇒ m > 1 thỏa mãn.
Với y′′(1) = 0⇔ m = 1, ta có y′ = 3x2 − 6x+ 3 = 3(x− 1)2 ≥ 0,∀x ∈ R⇒ hàm số không có cực trị.
Vậy với m > 1 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1.
Bài tập 1.13. Cho hàm số y = 13x
3 −mx2 + (m2 −m+ 1)x+ 1. Với giá trị nào của m thì hàm số
a) Đạt cực đại tại x = 1. b) Có cực đại, cực tiểu. c) Không có cực trị.
Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = x2 − 2mx+m2 −m+ 1; ∆′ = m− 1.
a) Hàm số đạt cực đại tại x = 1⇒ y′(1) = 0⇔ 1− 2m+m2 −m+ 1 = 0⇔ m2 − 3m+ 2 = 0⇔
[
m = 1
m = 2
.
• Với m = 1⇒ y′ = x2 − 2x+ 1 = (x− 1)2 ≥ 0,∀x ∈ R⇒ hàm số không có cực trị.
• Với m = 2⇒ y′′ = x2 − 4x+ 3; y′′ = 2x− 4; y′′(1) = −2 < 0⇒ hàm số đạt cực đại tại x = 1.
Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1.
b) Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y′ có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0⇔ m− 1 > 0⇔ m > 1.
c) Hàm số không có cực trị ⇔ y′ không có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ ≤ 0⇔ m− 1 ≤ 0⇔ m ≤ 1.
Bài tập 1.14. Cho hàm số y = x4 − 2 (m+ 1)x2 + 2m+ 1. Với giá trị nào của m thì hàm số
a) Có ba điểm cực trị. b) Đạt cực tiểu tại x = 0. c) Đạt cực trị tại x = 1.
Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = 4x3 − 4(m+ 1)x.
a) y′ = 0⇔
[
x = 0
x2 = m+ 1
. Hàm số có ba điểm cực trị ⇔ y′ có ba nghiệm phân biệt ⇔ m+ 1 > 0⇔ m > −1.
b) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0⇒ y′(0) = 0⇔ 0 = 0 (đúng ∀m ∈ R).
Lại có: y′′ = 12x2 − 4(m+ 1); y′′(0) = −4(m+ 1).
Với y′′(0) > 0⇔ m < −1⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = 0⇒ m < −1 thỏa mãn.
Với y′′(0) −1⇒ hàm số đạt cực đại tại x = 0⇒ m > −1 không thỏa mãn.
Với y′′(0) = 0⇔ m = −1, ta có y′ = 4x3; y′ = 0⇔ x = 0.
5
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
x − ∞ 0 + ∞
y′ − 0 +
y
+ ∞
−1
+ ∞
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Vậy với m ≤ −1 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0.
c) Hàm số đạt cực trị tại x = 1⇒ y′(1) = 0⇔ 4− 4(m+ 1) = 0⇔ m = 0.
Với m = 0⇒ y′ = 4x3 − 4x; y′′ = 12x2 − 4; y′′(1) = 8 > 0⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = 1⇒ m = 0 thỏa mãn.
Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực trị tại x = 1.
Bài tập 1.15. Tìm m để hàm số y = −x4 + 2 (2m− 1)x2 + 3 có đúng một cực trị.
Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = −4x3 + 4(2m− 1)x = 4x(−x2 + 2m− 1). y′ = 0⇔
[
x = 0
x2 = 2m− 1 .
Hàm số có đúng một cực trị ⇔ y′ có đúng một nghiệm ⇔ 2m− 1 ≤ 0⇔ m ≤ 12 .
Bài tập 1.16. (B-02) Tìm m để hàm số y = mx4 +
(
m2 − 9)x2 + 10 có ba điểm cực trị.
Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = 4mx3 + 2(m2 − 9)x = 2x(2mx2 +m2 − 9).
• Với m = 0, ta có y′ = −18x có một nghiệm nên hàm số không thể có ba cực trị.
• Với m 6= 0, ta có y′ = 0⇔
[
x = 0
x2 = 9−m
2
2m
.
Hàm số có ba cực trị ⇔ y′ có ba nghiệm phân biệt ⇔ 9−m
2
2m
> 0. Bảng xét dấu:
m −∞ −3 0 3 +∞
9−m2 − 0 + | + 0 −
2m − | − 0 + | +
VT + 0 − || + 0 −
Từ bảng xét dấu ta có m ∈ (−∞;−3) ∪ (0; 3).
Bài tập 1.17. Xác định giá trị của m để hàm số y =
x2 +mx+ 1
x+m
a) Không có cực trị. b) Đạt cực tiểu tại x = 1. c) Đạt cực đại tại x = 2.
Lời giải. Tập xác định: D = R\{−m}.
a) Đạo hàm: y′ =
x2 + 2mx+m2 − 1
(x+m)2
; y′ = 0⇔ x = −m± 1⇒ hàm số luôn có cực trị.
Vậy không có giá trị nào của m để hàm số không có cực trị.
b) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1⇒ y′(1) = 0⇔ m
2 + 2m
(m+ 1)2
= 0⇔
[
m = 0
m = −2 .
• Với m = 0⇒ y′ = x
2 − 1
x2
; y′ = 0⇔ x = ±1.
x − ∞ −1 0 1 + ∞
y′ + 0 − − 0 +
y
− ∞
−2
− ∞
+ ∞
2
+ ∞
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1⇒ m = 0 thỏa mãn.
• Với m = −2⇒ y′ = x
2 − 4x+ 3
(x− 2)2 ; y
′ = 0⇔ x = 1 hoặc x = 3.
x − ∞ 1 2 3 + ∞
y′ + 0 − − 0 +
y
− ∞
0
− ∞
+ ∞
4
+ ∞
6
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 1⇒ m = −2 không thỏa mãn.
Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1.
c) Hàm số đạt cực đại tại x = 2⇒ y′(2) = 0⇔ m
2 + 4m+ 3
(m+ 2)2
= 0⇔
[
m = −1
m = −3 .
• Với m = −1⇒ y′ = x
2 − 2x
(x− 1)2 ; y
′ = 0⇔ x = 0 hoặc x = 2.
x − ∞ 0 1 2 + ∞
y′ + 0 − − 0 +
y
− ∞
−1
− ∞
+ ∞
3
+ ∞
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 2⇒ m = −1 không thỏa mãn.
• Với m = −3⇒ y′ = x
2 − 6x+ 8
(x− 3)2 ; y
′ = 0⇔ x = 2 hoặc x = 4.
x − ∞ 2 3 4 + ∞
y′ + 0 − − 0 +
y
− ∞
1
− ∞
+ ∞
5
+ ∞
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 2⇒ m = −3 thỏa mãn.
Vậy với m = −3 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2.
§3. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
Bài tập 1.18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) y = 1 + 8x− 2x2 trên [−1; 3]. b) y = x3 − 3x2 + 1 trên [−2; 3]. c) y = 1 + 4x3 − 3x4 trên [−2; 1].
d) y = x3 − 3x2 + 1 trên (1; 4). e) y = x− 5 + 1x trên (0; +∞). f) y = x− 1x trên (0; 2].
g) y =
4
1 + x2
. h) y = x4 + 2x2 − 1. i) y = x+√4− x2.
Lời giải.
a) Ta có: y′ = 8− 4x; y′ = 0⇔ x = 2; y(−1) = −9, y(2) = 9, y(3) = 7.
Vậy max
[−1;3]
y = y(2) = 9; min
[−1;3]
y = y(−1) = −9.
b) Ta có: y′ = 3x2 − 6x; y′ = 0⇔ x = 0 hoặc x = 2; y(−2) = −19, y(0) = 1, y(2) = −3, y(3) = 1.
Vậy max
[−2;3]
y = y(0) = y(3) = 1; min
[−2;3]
y = y(−2) = −19.
c) Ta có: y′ = 12x2 − 12x3; y′ = 0⇔ x = 0 hoặc x = 1; y(−2) = −79, y(0) = 1, y(1) = 2.
Vậy max
[−2;1]
y = y(1) = 2; min
[−2;1]
y = y(−2) = −79.
d) Ta có: y′ = 3x2 − 6x; y′ = 0⇔ x = 0 hoặc x = 2.
x 1 2 4
y′ − 0 +
y
−1
−3
17
Vậy min
(1;4)
y = y(2) = −3; hàm số không có giá trị lớn nhất.
e) Ta có: y′ = 1− 1x2 ; y′ = 0⇔ x = ±1.
x 0 1 + ∞
y′ − 0 +
y
+ ∞
−3
+ ∞
7
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Vậy min
(0;+∞)
y = y(1) = −3; hàm số không có giá trị lớn nhất.
f) Ta có: y′ = 1 + 1x2 > 0,∀x ∈ (0; 2].
x 0 2
y′ +
y
− ∞
3
2
Vậy max
(0;2]
y = y(2) = 32 ; hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
g) Tập xác định: D = R. Ta có: y′ = − 8x
(1 + x2)2
; y′ = 0⇔ x = 0.
x − ∞ 0 + ∞
y′ + 0 −
y
0
4
0
Vậy max
R
y = y(0) = 4; hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
h) Tập xác định: D = R. Ta có: y′ = 4x3 + 4x; y′ = 0⇔ x = 0.
x − ∞ 0 + ∞
y′ − 0 +
y
+ ∞
−1
+ ∞
Vậy min
R
y = y(0) = −1; hàm số không có giá trị lớn nhất.
i) Tập xác định: D = [−2; 2]. Ta có: y′ = 1− x√
4− x2 ; y
′ = 0⇔ x = √2; y(−2) = 0, y(√2) = 2√2, y(2) = 0.
Vậy max
[−2;2]
y = y(
√
2) = 2
√
2; min
[−2;2]
y = y(±2) = 0.
Bài tập 1.19. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau
a) y = x+
√
2 cosx trên
[
0; pi2
]
. b) y = 2 sinx− 43 sin3x trên [0;pi]. c) y = sin4x− 4sin2x+ 5.
d) y = sin4x+ cos4x. e) y = 5 sinx− 12 cosx− 5. f) y = sin2x+ sin 2x+ 2cos2x.
Lời giải.
a) Ta có: y′ = 1−√2 sinx; y′ = 0⇔ sinx = 1√
2
⇔ x = pi4 ; y(0) =
√
2, y(pi4 ) =
pi
4 + 1, y(
pi
2 ) =
pi
2 .
Vậy max
[0;pi2 ]
y = y(pi4 ) =
pi
4 + 1; min
[0;pi2 ]
y = y(0) =
√
2.
b) Đặt sinx = t, t ∈ [0; 1]. Hàm số trở thành y = f(t) = 2t− 43 t3.
Ta có: f ′(t) = 2− 4t2; f ′(t) = 0⇔ t = 1√
2
; f(0) = 0, f( 1√
2
) = 2
√
2
3 , y(1) =
2
3 .
Vậy max
[0;pi]
y = max
[0;1]
f(t) = f( 1√
2
) = 2
√
2
3 ; min[0;pi]
y = min
[0;1]
f(t) = f(0) = 0.
c) Tập xác định: D = R. Đặt sinx = t, t ∈ [−1; 1]. Hàm số trở thành y = f(t) = t4 − 4t2 + 5.
Ta có: f ′(t) = 4t3 − 8t; f ′(t) = 0⇔ t = 0 hoặc t = ±√2 (loại); f(0) = 5, f(±1) = 2.
Vậy max
R
y = max
[−1;1]
f(t) = f(0) = 5; min
R
y = min
[−1;1]
f(t) = f(±1) = 2.
d) Tập xác định: D = R.
Ta có: y = sin4 x+ cos4 x = 1− 12 sin2 2x. Đặt sin 2x = t, t ∈ [−1; 1]. Hàm số trở thành y = f(t) = 1− 12 t2.
Đạo hàm: f ′(t) = −t; f ′(t) = 0⇔ t = 0; f(±1) = 12 , f(0) = 1.
Vậy max
R
y = max
[−1;1]
f(t) = f(0) = 1; min
R
y = min
[−1;1]
f(t) = f(±1) = 12 .
e) Ta có: y = 5 sinx− 12 cosx− 5⇔ 5 sinx− 12 cosx = y + 5.
Phương trình có nghiệm ⇔ 52 + 122 ≥ (y + 5)2 ⇔ y2 + 10y − 144 ≤ 0⇔ −18 ≤ y ≤ 8.
8
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
Vậy max
R
y = 8; min
R
y = −18.
f) Ta có: y =
1− cos 2x
2
+ sin 2x+ 1 + cos 2x = sin 2x+
1
2
cos 2x+
3
2
⇔ 2 sin 2x+ cos 2x = 2y − 3.
Phương trình có nghiệm ⇔ 22 + 12 ≥ (2y − 3)2 ⇔ 4y2 − 12y + 4 ≤ 0⇔ 3−
√
5
2 ≤ y ≤ 3+
√
5
2 .
Vậy max
R
y = 3+
√
5
2 ; minR
y = 3−
√
5
2 .
Bài tập 1.20. Cho parabol (P ) : y = x2 và điểm A (−3; 0). Tìm điểm M ∈ (P ) sao cho khoảng cách AM ngắn
nhất và tính khoảng cách đó.
Lời giải. Ta có: M ∈ (P )⇒M(t; t2)⇒ −−→AM = (t+ 3; t2)⇒ AM = √(t+ 3)2 + t4 = √t4 + t2 + 6t+ 9.
Xét hàm số f(t) = t4 + t2 + 6t+ 9 trên R; f ′(t) = 4t3 + 2t+ 6; f ′(t) = 0⇔ t = −1. Bảng biến thiên:
t − ∞ −1 + ∞
f ′(t) − 0 +
f(t)
+ ∞
5
+ ∞
Từ bảng biến thiên ta có min
R
f(t) = f(−1) = 5.
Suy ra AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng
√
5 khi t = −1⇒M(−1; 1). Vậy M(−1; 1).
Bài tập 1.21. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 −mx− 4 đồng biến trên (−∞; 0).
Lời giải. Ta có: y′ = 3x2 + 6x−m.
Hàm số đồng biến trên (−∞; 0)⇔ 3x2 + 6x−m ≥ 0,∀x ∈ (−∞; 0)⇔ m ≤ 3x2 + 6x, ∀x ∈ (−∞; 0) (1)
Xét hàm số f(x) = 3x2 + 6x trên (−∞; 0] có f ′(x) = 6x+ 6; f ′(x) = 0⇔ x = −1. Bảng biến thiên:
x − ∞ −1 0
f ′(x) − 0 +
f(x)
+ ∞
−3
0
Từ bảng biến thiên ta có min
(−∞;0]
f(x) = f(−1) = −3. Do đó (1)⇔ m ≤ min
(−∞;0]
f(x)⇔ m ≤ −3.
Bài tập 1.22. (BĐT-79) Tìm m để hàm số y = − 13x3 + (m− 1)x2 + (m+ 3)x− 4 đồng biến trên (0; 3).
Lời giải. Ta có: y′ = −x2 + 2(m− 1)x+m+ 3 = m(2x+ 1)− x2 − 2x+ 3.
Hàm số đồng biến trên (0; 3)⇔ m(2x+ 1)− x2 − 2x+ 3 ≥ 0,∀x ∈ (0; 3)⇔ m ≥ x
2 + 2x− 3
2x+ 1
,∀x ∈ (0; 3) (2).
Xét hàm số f(x) =
x2 + 2x− 3
2x+ 1
trên [0; 3] có f ′(x) =
2x2 + 2x+ 8
(2x+ 1)2
> 0,∀x ∈ [0; 3]. Bảng biến thiên:
x 0 3
f ′(x) +
f(x)
−3
12
7
Từ bảng biến thiên ta có max
[0;3]
f(x) = f(3) =
12
7
. Do đó (2)⇔ m ≥ max
[0;3]
f(x)⇔ m ≥ 12
7
.
Bài tập 1.23. Tìm m để hàm số y = mx3 − 3 (m− 1)x2 + 9 (m− 2)x+ 1 đồng biến trên [2; +∞).
Lời giải. Ta có: y′ = 3mx2 − 6(m− 1)x+ 9(m− 2) = 3m(x2 − 2x+ 3) + 6x− 18.
Hàm số đồng biến trên [2; +∞) khi và chỉ khi
3m(x2 − 2x+ 3) + 6x− 18 ≥ 0,∀x ∈ [2; +∞)⇔ m ≥ 6− 2x
x2 − 2x+ 3 ,∀x ∈ [2; +∞) (3)
Xét hàm số f(x) =
6− 2x
x2 − 2x+ 3 trên [2; +∞) có f
′(x) =
2x2 − 12x+ 6
(x2 − 2x+ 3)2 ; f
′(x) = 0⇔ x = 3±
√
6.
Bảng biến thiên:
9
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
x 2 3 +
√
6 + ∞
f ′(x) − 0 +
f(x)
2
3
f(3 +
√
6)
0
Từ bảng biến thiên ta có max
[2;+∞)
f(x) = f(2) =
2
3
. Do đó (3)⇔ m ≥ max
[2;+∞)
f(x)⇔ m ≥ 2
3
.
Bài tập 1.24. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + (m+ 1)x+ 4m đồng biến trên (−∞;−2) và (2; +∞).
Lời giải. Ta có: y′ = 3x2 + 6x+m+ 1.
Hàm số đồng biến trên (−∞;−2) và (2; +∞) khi và chỉ khi
3x2 + 6x+m+ 1 ≥ 0,∀x ∈ (−∞;−2) ∪ (2; +∞)⇔ m ≥ −3x2 − 6x− 1,∀x ∈ (−∞;−2) ∪ (2; +∞) (4)
Xét hàm số f(x) = −3x2 − 6x− 1 trên (−∞;−2] ∪ [2; +∞) có f ′(x) = −6x− 6; f ′(x) = 0⇔ x = −1.
Bảng biến thiên:
x − ∞ −2 2 + ∞
f ′(x) + −
f(x)
− ∞
−1 −25
− ∞
Từ bảng biến thiên ta có max
(−∞;−2]∪[2;+∞)
f(x) = f(−2) = −1. Do đó (4)⇔ m ≥ max
(−∞;−2]∪[2;+∞)
f(x)⇔ m ≥ −1.
Bài tập 1.25. (BĐT-50) Tìm m để hàm số y =
mx2 + 6x− 2
x+ 2
nghịch biến trên [1; +∞).