Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số và Các Bài Toán Liên Quan

KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN
*******
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1)ĐỊNH LÍ MỞ RỘNG VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Định lí : Cho hàm số xác định trên khoảng .
 đồng biến trên K .
 nghịch biến trên K .
(chỉ xét trường hợp tại một số hữu hạn điểm trên khoảng )
2) NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TAM THỨC BẬC HAI
a) Định lí về dấu của tam thức bậc hai :
Nếu D < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a với mọi .
Nếu D = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a với mọi , tại thì .
Nếu D > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a, (trong trái - ngoài cùng).
b) Tam thức không đổi dấu trên 
	F 
c) So sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0:
 	 F 	 F 
3) CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:
	a)	b)	 c)	
Lời giải
a). 
TXĐ . 
BBT: 
 0 
 + 0 - 0 + 0 -
 1 
Vậy hàm số đồng biến trên ; nghịch biến trên 
b)
	Tập xác định: . 
Đạo hàm: 
Do là nghiệm bội 2 nên y' không đổi dấu khi đi qua .
BBT: 
 -1 
 0 - 0 + 
Vậy hàm số nghịch biến trên và đồng biến trên 
c). 
TXĐ . 
Dấu của là dấu của nhị thức . Do đó, ta có bảng biến thiên
 3 4 
 - || ////// 0 /////// || +
 | //////////////////| 
 0 0
Vậy hàm số nghịch biến trên và đồng biến trên 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 	 	với 
Lời giải
BĐT Û với 
a) Ta chứng minh với 
	Xét hàm số . 
 	Ta có: , Þ nghịch biến trong . 
 	Þ	 với Þ với 
b) Ta chứng minh với 
	Xét hàm số . Ta có 
 	 với > 0 Þ đồng biến Þ với 
 	hay với Þ đồng biến Þ với 
	Þ hay < với 
 	Từ a) và b) với 
Ví dụ 3. Cho hàm số . Tìm để hàm số luôn đồng biến trên .
Lời giải
Tập xác định: . Đạo hàm: 
Hàm số luôn đồng biến trên 
Trường hợp 1: Xét 
+ Với , ta có , suy ra thỏa.
+ Với , ta có , suy ra không thỏa.
Trường hợp 2: Xét , khi đó:
Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị cần tìm là .
Ví dụ 3: Cho hàm số . Định để:
a) Hàm số luôn đồng biến trên R.
b) Hàm số luôn đồng biến trên khoảng .
Lời giải
a) Tập xác định . 
Hàm số luôn đồng biến trên 
b) Cách 1: Tập xác định . 
Hàm số luôn đồng biến trên khoảng 
TH1: Nếu thì hàm số đồng biến trên nên hàm số đồng biến trên 
TH2: Nếu (*) thì có hai nghiệm , giả sử 
Vì nên BXD 
 + 0 - 0 +
So với điều kiện (*) ta được 
Kết hợp hai trường hợp: 
Cách 2: Hàm số luôn đồng biến trên khoảng 
	Ta có 
	BBT
 0 1 2 
 + 0 - || - 0 + | +
///////////////////////////////////| 
///////////////////////////////////|
	Dựa vào BBT ta có: 
Ví dụ 4. Cho hàm số . Tìm để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Lời giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: . Dấu của là dấu của biểu thức .
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định , (không có dấu bằng)
Vậy giá trị cần tìm là .
Ví dụ 5. Cho hàm số . Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng .
Lời giải
Tập xác định: 
 Đạo hàm: . Dấu của là dấu của biểu thức .
Hàm số đồng biến trên khoảng , 
	Vậy giá trị cần tìm là .
4) BÀI TẬP RÈN LUYỆN
 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
	a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 	
g) 	h) 	k) 	
l) 	m) 	n) 
Tìm m để hàm số hàm số nghịch biến trên tập xác định.
HD: 
Xác định để hàm số .
a) Đồng biến trên R.	b) Đồng biến trên .
HD: a) 	b)
Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng .
	HD: 
Tìm để hàm số nghịch biến trên khoảng .
HD: .
Cho hàm số .
a) Định để hàm số đồng biến trên khoảng .
b) Định để hàm số đồng biến trên khoảng .
HD: a)	b) 
Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng 
HD: 
Tìm để hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
HD: 
Tìm để hàm số đồng biến trên .
HD: 
Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2).
HD: .
Cho hàm số . Tìm để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
HD: hoặc .
Cho hàm số . Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng 
HD: .
Cho hàm số . Tìm để hàm số nghịch biến trên khoảng 
HD: .
II. CỰC TRỊ HÀM SỐ
1. ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ
Định lí 1: (Bổ đề Fermat)Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng và điểm . 
Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm thì 
Chú ý: Điều ngược lại không đúng. Ví dụ hàm số có nhưng hàm số không đạt cực trị tại .
2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ
Định lí 2: Cho hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm trên các khoảng . Khi đó:
Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm 
Hình vẽ minh họa:
BBT 
 - +
 CT
 + -
 CĐ
Định lí 3: Cho hàm số có đạo hàm cấp 1 trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm . Khi đó:
Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm .
Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm .
Chú ý: Điều ngược lại không đúng. Ví dụ hàm số đạt cực tiểu tại nhưng .
NHẬN XÉT: 
a) Hàm số có hai điểm cực trị
 	 có hai nghiệm phân biệt.
b) Hàm số có ba điểm cực trị
 	 có ba nghiệm phân biệt.
3. CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ.
Dạng 1: Hàm số . 
 Chia y cho y' ta được: 
 Khi đó, là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
Dạng 2 (Nâng cao): Hàm số 
 Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng 
4. CÁC VÍ DỤ : 
Ví dụ 1: Cho hàm số . Tìm để hàm số có hai điểm cực trị.
Lời giải
Tập xác định: . Đạo hàm: 
 Hàm số có hai điểm cực trị có hai nghiệm phân biệt 
Vậy giá trị cần tìm là .
Ví dụ 2. Cho hàm số . Tìm để hàm số có 3 điểm cực trị.
Lời giải
Tập xác định: . Đạo hàm: 
Hàm số có ba điểm cực trị có ba nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
Vậy giá trị cần tìm là .
Ví dụ 3: Cho hàm số . Tìm để hàm số đạt cực tiểu tại .
Lời giải
Tập xác định: . Đạo hàm: 
Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại 
Điều kiện đủ:
Với , ta có: , 
Bảng biến thiên
 Từ BBT ta suy ra không thỏa.
Với , ta có: , 
Bảng biến thiên
 CĐ 
 CT
 Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại . 
Vậy giá trị cần tìm là 
Ví dụ 4: Tìm để hàm số đạt cực trị tại sao cho .
Lời giải
	TXĐ: . Ta có: 
Hàm số có CĐ, CT 	 có 2 nghiệm phân biệt 
 (*)
	Theo định lí Viet: 
Theo giả thiết: 
	Kết hợp (*), ta suy ra 
Ví dụ 5: Cho hàm số . Tìm để đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trịA, B,C đồng thời các điểm A,B,C tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều.
Giải
TXĐ: . Ta có: .Cho . 
Hàm số có 3 cực trị phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Toạ độ 3 điểm cực trị là , 
Ta luôn có AB=AC nên tam giác ABC đều khi:
 (vì )
Ví dụ 6: Cho hàm số (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị đồng thời các điểm tạo thành một tam giác vuông.
Lời giải
Tập xác định: . Đạo hàm: . 
Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị có ba nghiệm phân biệt (*)
Khi đó có ba nghiệm phân biệt là , 
 	Với 
Với 
Tọa độ các điểm cực trị là 
Suy ra: 
Tam giác vuông Tam giác vuông tại 
So với (*) suy ra giá trị cần tìm là .
Ví dụ 7: Cho hàm số . 
a)Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
b)Tìm để 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị cách đều đường thẳng 
Lời giải
a)TXĐ: . Tính .
Hàm số có cực đại và cực tiểucó hai nghiệm phân biệt 
Chia đa thức, ta được 
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là 
b)Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu là 
TH1: (loại)
TH2: Trung điểm của đoạn AB nằm trên . Toạ độ trung điểm AB là E : 
Vì, suy ra 
5) BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Tìm cực trị của các hàm số sau
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
Cho hàm số . Tìm để hàm số có hai điểm cực trị.
HD: 
Cho hàm số . Tìm để hàm số có cực đại, cực tiểu.
HD: và .
Xác định để hàm số 
a)Không có cực trị.	b)Có cực đại và cực tiểu.
HD: a) 	b)
Cho hàm số . Tìm để hàm số có 3 điểm cực trị.
HD: .
Tìm để hàm số 
a) Có ba điểm cực trị	b) Có cực đại mà không có cực tiếu.
HD: a)	b)
Tìm để hàm số: đạt cực tiểu tại 
HD: 
Cho hàm số . Tìm để hàm số đạt cực tiểu tại 
HD: .
Cho hàm số . Định để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.
HD: 
Cho hàm số . Tìm để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.
HD: .
Cho hàm số . Định để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
HD: 
Cho hàm số . Định để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương.
Tìm để có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với đường thẳng d: 
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung.
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung
HD:
Tìm để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng 
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng 
HD: 
Tìm để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn 
HD:
Cho hàm số . Tìm để hàm số có hai điểm cực trị và sao cho .
HD: 
Cho hàm số . Tìm để hàm số có hai điểm cực trị và sao cho .
HD: 
Cho hàm số . Tìm để hàm số có hai điểm cực trị và sao cho .
HD: .
Cho hàm số: . Tìm a để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại và. 
HD:
Cho hàm số . Tìm để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ .
HD: .
Cho hàm số . Tìm để hàm số đạt CĐ, CT tại hai điểm A, B sao cho 3 điểm A, B, C(0; -1) thẳng hàng.
HD:
Tìm để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường tròn 
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu là và đường thẳng đi qua hai điểm tạo với đường thẳng một góc 
HD: 
Cho hàm số: . Xác định để hàm số có ba điểm cực trị và các điểm cực trị này thỏa
	a) Lập thành 1 tam giác đều.
	b) Lập thành 1 tam giác vuông.
	c) Lập thành 1 tam giác có diện tích bằng 32.
HD: 	a)	b)	c)
Tìm để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị sao cho:
 là tam giác vuông
Diện tích bằng 32
Tứ giác là hình bình hành
Diện tích tứ giác bằng 52
HD: 	a) ; 	b) ; 	c) 	d) 
Tìm để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 
HD: 
Cho hàm số . Tìm để hàm số có 3 điểm cực trị và các điểm cực trị của đồ thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông .
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng lần độ dài cạnh bên. 
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm 
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1.
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đạt giá trị nhỏ nhất.
HD: 
Tìm để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 
 tiếp xúc với đường tròn
HD: 
Cho hàm số . Định để có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất.
III. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
1) CÁC BƯỚC KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Tìm tập xác định của hàm số.
Xét sự biến thiên của hàm số:
Tính y¢.
Tìm các điểm tại đó đạo hàm y¢ bằng 0 hoặc không xác định.
Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.
Vẽ đồ thị của hàm số:
Tìm điểm đặc biệt của đồ thị (giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ , các điểm đặc biệt khác...).
Vẽ đồ thị: vẽ tiệm cận, các điểm cực trị, các điểm đặc biệt và cuối cùng vẽ đồ thị
Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.
Chú ý: Đối với hàm bậc ba tìm thêm điểm uốn. Cách tìm như sau:
Tính , giải pt tìm điểm uốn 
2) CÁC DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
a) Hàm số bậc ba 
Tập xác định .
Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Các dạng đồ thị:
có 2 nghiệm phân biệt
y
x
0
I
y
x
0
I
 có nghiệm kép
vô nghiệm
y
x
0
I
y
x
0
I
b) Hàm số trùng phương 
Tập xác định .
Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Các dạng đồ thị:
có 3 nghiệm phân biệt
chỉ có 1 nghiệm
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
d) Hàm số nhất biến 
Tập xác định .
Đồ thị có một tiệm cận đứng là và một tiệm cận ngang là . Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Các dạng đồ thị:
0
x
y
0
x
y
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: 
a)	b) 	c)
Giải
a)
Tập xác định: .
Giới hạn: ; 
	Bảng biến thiên: 
Hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên 
Hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại 
Điểm đặc biệt: 
Điểm uốn: 	
-3
-2
-1
0
1
-4
0
-2
-4
0
Đồ thị:
Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
b) .
Tập xác định: 
Giới hạn: ; 
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên 
	Hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại 
	Điểm đặc biệt:
-2
-1
0
1
-2
5
-4
-3
-4
5
Đồ thị
Nhận xét: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
d) .
Tập xác định 
.
Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định
Giới hạn:	 ; là tiệm cận đứng
; là tiệm cận ngang
Bảng biến thiên:
-∞ -1 +∞
 - -
-1 +∞
 -∞ -1
Hàm số không có cực trị
	Điểm đặc biệt
-3
-2
-1
0
1
-5/2
-4
||
2
1/2
Đồ thị: 
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cậnlàm tâm đối xứng.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
III. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
Cho hai đồ thị hàm số: (có thể chứa tham số)
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của hệ phương trình 
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình .
Do đó, số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Đặc biệt: Để tìm số nghiệm của phương trình bậc ba ngoài cách thông thường là nhẩm nghiệm rồi chia đa thức (sơ đồ hoocne), ta còn hai cách sau:
Cách 1: Biến đổi PT bậc ba về dạng . Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị và đường thẳng .
Cách 2: PT bậc ba có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số phải có cực đại, cực tiểu và .
2. CÁC VÍ DỤ 
Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): và đường thẳng .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: (1)
Điều kiện: . Khi đó: 
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là và 
Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị là (C). Tìm m để đường thẳng (d): cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: (1)
Điều kiện: . Khi đó: 
 (2)
 (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt
	 (2) có hai nghiệm phân biệt khác 
Vậy giá trị cần tìm là 
Ví dụ 3. Cho hàm số có đồ thị là . Tìm m đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: (1) 
 	cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt (1) có ba nghiệm phân biệt
 (2) có hai nghiệm phân biệt khác 
Ví dụ 4. Cho hàm số có đồ thị là . Tìm m đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: (1) 
Đặt 
Phương trình (1) trở thành: (2) 
 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt (1) có bốn nghiệm phân biệt
 (2) có hai nghiệm dương phân biệt 
Ví dụ 5: Cho hàm số có đồ thị là . Tìm m để đường thẳng (d): cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt sao cho .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: (1)
Điều kiện: 
Khi đó: (2)
 (d) cắt tại hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt
	 (2) có hai nghiệm phân biệt khác 
 (*)
 	Đặt với là hai nghiệm của phương trình (2).
 	Theo định lý Viet ta có: 
	Khi đó: 	 
 	 [thỏa mãn (*)] 
Vậy giá trị cần tìm là 
Ví dụ 6: Gọi là đường thẳng đi qua điểm với hệ số góc . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và tam giác OBC có diện tích bằng (O là gốc tọa độ).
Lời giải
Đường thẳng đi qua và có hệ số góc nên có dạng: Û 
	Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và là: 
	 cắt (C) tại 3 điểm phân biệtphương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1
	Khi đó 
	Các giao điểm là .
Ví dụ 7: Cho hàm số có đồ thị là . Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: (1)
Đặt , phương trình (1) trở thành: (2) 
 (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt (1) có bốn nghiệm phân biệt
	 (2) có hai nghiệm dương phân biệt 
 (*) 
Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm. Suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt là 
	 Bốn nghiệm lập thành cấp số cộng 
 (3)
	Theo định lý Viet ta có: 
 Từ (3) và (4) ta suy ra được (6). 
 Thay (6) vào (5) ta được: [thỏa (*)] 
Vậy giá trị cần tìm là 
Ví dụ8: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số với trục hoành:	
Xét hàm số: 
	BBT 
	Đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất .
Nhận xét: Trong bài toán trên, khi lập phương trình hoành độ giao điểm ta được phương trình bậc ba. Do không nhẫm nghiệm được nên ta phải chuuyển vế cô lập m và xét hàm số. 
3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị sau
a) (C): và (C'): 	b) (C): và 
c) (C): và 	d) (C): và 
Tìm để đường thẳng cắt đồ thị (C) của hàm số tại hai điểm phân biệt.
HD: 
Tìm để đồ thị (Cm): cắt tại 3 
điểm phân biệt 
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt.
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số (C) cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt có hoành độ trái dấu.
HD:
Tìm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân.
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt lập thành cấp số cộng.
HD: 
Tìm để đồ thị (Cm): cắt tại 3 điểm phân biệt có hoành độ đều dương.
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa 
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại duy nhất một điểm.
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt.
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt.
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
HD: .
Tìm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt trong đó ít nhất một điểm có hoành độ âm.
HD: 
 Cho hàm số (C): . Tìm để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau.
Gọi là đường thẳng đi qua và có hệ số góc Tìm để cắt đồ thị hàm số tại hai điểm sao cho 
HD: 
Tìm để đường thẳng cắt đồ thị (C) của hàm số tại hai điểm phân biệt sao cho trung điểm của đoạn thẳng nằm trên đường thẳng 
HD: 
Tìm để đường thẳng cắt đồ thị (C) của hàm số tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa .
HD: 
 Gọi là giao điểm của đường thẳng với đồ thị của hàm số .Tìm những điểm thuộc đường phân giác thứ nhất sao cho đạt giá trị nhỏ nhất
HD: 
Cho hàm số có đồ thị (C). Đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Tìm để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt C,D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
HD: 
Tìm để đường thẳng cắt đồ thị (C) của hàm số tại hai điểm phân biệt sao cho tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính 
HD:
Tìm để đường thẳng cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại vuông góc nhau.
HD: 
Cho hàm số (C): . Dùng đồ thị (C), biện luận theo số nghiệm của phương trình 
Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d): cắt đồ thị hàm số (C) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng với điểm K(1; 3).
HD:
Tìm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3.
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ lớn hơn 1 và khoảng cách giữa hai điểm này là lớn nhất
HD: 
Tìm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt lần lượt có hoành độ sao cho tam giác có diện tích bằng , biết rằng 
HD: 
Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt đồ thị (C) của hàm số tại hai điểm phân biệt . Tìm để đoạn ngắn nhất.
HD: 
Tìm để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại đúng hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 8
HD: 
Chứng