Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học

Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011
GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 1
CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN
Xét hàm số ( )y f x= có đồ thị ( )C .
Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại ( )0 0;M x y : ( )( ) ( )( )0 0 0 0 0' y f x x x y y f x= - + =
Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k 
- Hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm của phương trình: f’(x0) = 0 (*)
- Giải PT (*) tìm được hoành độ tiếp điểm x0 Þ tung độ tiếp điểm y0 Þ bài toán trở về dạng 1
Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C đi qua điểm ( );M a b
Cách 1. (Phương pháp tiếp điểm)
- Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với (C) tại điểm ( )0 0;M x y , suy ra tiếp tuyến D có phương 
trình dạng ( )( ) ( )0 0 0'y f x x x f x= - + ()
- Vì ( );M a b Î D nên ( )( ) ( )0 0 0'b f x a x f x= - + (**)
- Giải phương trình (**) tìm được x0 Þ bài toán trở về dạng 1.
Cách 2. (Phương pháp điều kiện tiếp xúc)
- Đường thẳng D đi qua ( );M a b , với hệ số góc k (chưa biết k ) có phương trình dạng 
( )y k x a b= - + (***)
- Điều kiện cần và đủ để D tiếp xúc với ( )C là hệ 
( ) ( )
( )
 (1)
' (2)
f x k x a b
f x k
ì = - +ï
í
=ïî
 có nghiệm.
- Thế (2) vào (1), giải phương trình tìm được x , sau đó thay x vào (2) tìm được k , rồi thay k vào 
phương trình (***) Þ phương trình tiếp tuyến cần lập.
Chú ý :
a) Đ/k để hai đường cong ( )y f x= và ( )y g x= tiếp xúc nhau là hệ 
( ) ( )
( ) ( )' '
f x g x
f x g x
ì =ï
í
=ïî
 có nghiệm.
b) Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau, vuông góc có tích các hệ số góc bằng -1.
c) Hệ số góc của tiếp tuyến 0'( ), tank f x k j= = (j là góc hợp bởi giữa tiếp tuyến và trục hoành).
d) Tiếp tuyến có hệ số góc k (chưa biết k ) tạo với đường thẳng y ax b= + một góc j thì tan
1
k a
ka
j- =
+
e) Khoảng cách từ điểm ( )0 0;M x y tới đường thẳng : y ax bD = + ( 0ax y bÛ - + = ) là : 0 02 1
ax y b
a
- +
+
. 
f) ABCD vuông tại A khi và chỉ khi . 0AB AC =
 
; ABCD cân tại A khi và chỉ khi AB AC= .
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm
Bài 1. Tìm ,a b để đồ thị hàm số 
ax
1
b
y
x
+
=
-
 cắt Oy tại ( )0; 1A - đồng thời tiếp tuyến tại A có hệ số góc 
bằng 3. Đáp số: 4, 1a b= - =
Bài 2. Cho hàm số ( ) 3 23 1y f x x x mx= = + + + có đồ thị (Cm).
a) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng 1y = tại 3 điểm phân biệt ( )0;1 , ,C D E .
b) Tìm m để các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
Đáp số: 
9 9 65
)0 )
4 8
a m b m
±
¹ < =

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011
GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 2
Bài 3. (ĐH Huế khối D-1998) Chứng minh rằng hàm số 4 22 2 1y x mx m= - + - + luôn đi qua 2 điểm cố 
định A và B . Tìm m để các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. Đáp số: 5 3;
4 4
m m= =
Bài 4. (ĐH khối B-2004) Cho hàm số 3 2
1
2 3
3
y x x x= - + có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của 
(C) tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 
Đáp số: 8 / 3y x= - +
Bài 5. (HV Quân Y 1997) Cho hàm số 3 1 ( 1)y x m x= + - + có đồ thị (Cm). 
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tai các giao điểm của (Cm) với Oy.
b) Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8.
Đáp số: ) 1 b)m=9 4 5; 7 4 3a y mx m m= - + - ± = - ±
Bài 6. Cho hàm số 
2 1
1
x
y
x
-
=
-
 có đồ thị (C). Cho M bất kì trên (C) có Mx m= . Tiếp tuyến của (C) tại M 
cắt hai tiệm cận tại A, B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và 
diện tích tam giác IAB không đổi.
Bài 7. Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
-
 có đồ thị (C). Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận 
của (C) một tam giác có diện tích không đổi.
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
Bài 8. (DB1 ĐH khối B-2002) Cho hàm số ( ) 3 21 1 42
3 2 3
y f x x x x= = + - - có đồ thị (C). Viết phương tình 
tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đương thẳng : 4 2d y x= + .
Bài 9. (ĐH khối D-2005) Gọi (Cm) là đồ thị hàm số 3 2
1 1
3 3 3
m
y x x= - + . Gọi M là điểm thuộc (Cm) có 
hoành độ x = -1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5 0x y- = .
Đáp số: 6m =
Bài 10. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số 
( ) 23 1m x m m
y
x m
+ - +
=
+
( )0m ¹ tại giao điểm giao 
điểm của (C) với trục Ox song song với đường thẳng : 10d y x+ = . Viết phương trình tiếp tuyến.
Đáp số: 
1 3
;
5 5
m y x= - = -
Bài 11. Cho hàm số 
3 2
1
x
y
x
-
=
-
 có đồ thị (C). Viết phương tình tiếp tuyến của (C) tạo với trục hoành một 
góc 450. Đáp số: 2; 6y x y x= - + = - +
Dạng 3: Đ/k tiếp xúc của hai đường
Bài 12. (DB1 ĐH khối D-2008) Gọi (Cm) là đồ thị hàm số ( )3 22 1 1y x m x m= - - + - - . Tìm m để đồ thị 
(Cm) tiếp xúc với đường thẳng 2 1y mx m= - - .
Đáp số: 0; 1/ 2m m= =
Bài 13. Cho hµm sè 3 3y x x m= - + . T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè tiÕp xóc víi trôc Ox
Đáp số: 2m = ±
Dạng 4: Tìm điểm sao cho tiếp tuyến thoả mãn tính chất nào đó
Bài 14. (DB2 DDH khối B-2003) Cho hàm số 
2 1
1
x
y
x
-
=
-
 có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai đường 
tiệm cận của (C), Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với IM.

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011
GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 3
Bài 15. (ĐH khối D-2007) Cho hàm số 
2
1
x
y
x
=
+
 có đồ thị (C). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp 
tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
.
Đáp số: ( ) ( )1/ 2; 2 ; 1;1M M- -
Bài 16. (DB2 ĐH khối D-2007) Cho hàm số 
1
x
y
x
=
-
 có đồ thị (C). Viết phương trình d của (C) sao cho d 
và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
Bài 17. (DB2 DDH khối B-2003) Cho hàm số 
2
2 3
x
y
x
+
=
+
 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của 
đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại 
gốc toạ độ O. Đáp số: 2y x= - -
Bài 18.. (ĐH Công Đoàn 2001) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số 2 22 3 12 1y x x x= + - - sao cho 
tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc tọa độ.
Bài 19. Tìm trên đường thẳng 2y = - các điểm kẻ đến đồ thị (C): 3 23 2y x x= - + hai tiếp tuyến vuông 
góc với nhau. ĐS: ( )55 / 27; 2M -
Bài 20. (ĐHSP Hà Nội II, khối B, 1999) Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) 
của hàm số 3 3 2y x x= - + + . ĐS: 2; 1 2 / 3a a> - ¹ < -
Bài 21. Tìm m để đồ thị (C): 4 3 2
1
3 7
2
y x x x= - - + luôn luôn có ít nhất hai tiếp tuyến song song với 
đường thẳng y mx= .
Bài 22. Tìm m để từ điểm ( )0;A m kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): 2
1
x
y
x
+
=
-
 sao cho 2 tiếp điểm 
nằm về hai phía với trục hoành.
Bài 23. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C): 3 23 1y x x= - + sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song 
song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 . ĐS: A(3; 1) và B(–1; –3)
Bài 24. Cho hàm số 3 23 4= - +y x x có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số 
góc là m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông 
góc với nhau. ĐS: 18 3 35
9
m
±
=
CHUYÊN ĐỀCỰC TRỊ
Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị
1. Hàm bậc ba: y=f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0)
Đạo hàm y’ = f’(x) = 3ax2 + 2bx + c
Hàm số có cực trị (có CĐ và CT) Û f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt. ' 0yÛ D > .
Chú ý: 
+ Hai cực trị CĐ,CT đối xứng nhau qua điểm uốn.
+ Hai giá trị CĐ, CT trái dấu nhau 
( )1 2
'
( )
0
. 0
y
x xy y
D >ìï
í <ïî
 , trong đó 1 2,x x là các nghiệm của ' 0y = .
( Û PT 3 2 0ax bx cx d+ + + = ( 0a ¹ ) có ba nghiệm phân biệt).
2. Hàm trùng phương: y=f(x) = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0)
 Đạo hàm y’ = f’(x) = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b).

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011
GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 4
Hàm số có đúng cực trị 
0
0
0
. 0
a
b
a
a b
é ¹ì
íê =îêÛ ê ¹ìêí >êîë
; Hàm số có đúng 3 cực trị
0
. 0
a
a b
¹ì
Û í <î
Chú ý:
+ Nếu hàm số có 3 cực trị thì 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác cân.
+ Để nhận biết tại điểm 0x là hoành độ của CĐ hay CT, ta có hai dấu hiệu:
1. Dấu hiệu 1 (Xét dấu đạo hàm y’): Lập bảng biến thiên.
2. Dấu hiệu 2 (Xét dấu đạo hàm y”): Dựa vào điều kiện sau
0x là điểm CĐ 
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
y x
y x
ì =ïÛ í
<ïî
0x là điểm CT 
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
y x
y x
ì =ïÛ í
>ïî
Bài 1. Tìm m để hàm số sau có cực đại và cực tiểu
1) ( ) ( )3 21 6 2 1
3
y x mx m x m= + + + - +
2) ( ) 3 22 3 5y m x x mx= + + + - Đáp số: 1) 2
3
m
m
< -é
ê >ë
2) 
2
3 1
m
m
¹ -ì
í- < <î
Bài 2. (ĐH Bách khoa HN-2000) Tìm m để hàm số ( )3 23 1 1y mx mx m x= + - - - không có cực trị.
Bài 3. (ĐH Khối B 2002) Tìm m để hàm số ( )4 2 29 10y mx m x= + - + có 3 điểm cực trị.
Đáp số: 3;0 3m m< - < <
Bài 4. (ĐH cảnh sát-2000) Tìm m để hàm số 4 2
1 3
4 2
y x mx= - + chỉ có cực đại mà không có cực tiểu.
Bài 5. (ĐH kiến trúc-1999) Tìm m để hàm số ( ) ( )4 21 1 2y mx m x m= - - + - có đúng một cực trị.
Bài 6. (ĐH khối A DB1 - 2001) Tìm m để hàm số ( )3 3y x m x= - - đạt cực tiểu tại điểm có hoành 
độ 0x = .
Đáp số: 1m = -
Bài 7. (ĐH khối B - 2002) Tìm m để hàm số ( )4 2 29 10y mx m x= - - + có ba cực trị.
Đáp số: 3m < hoặc 0 3m< <
Bài tập tự luyện
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại và cực tiểu
1) ( ) ( )3 22 3 2 1 6 1 1y x m x m m x= - + + + + .
2) 
2 2
1
x mx m
y
x m
+ - +
=
- +
.
Bài 2. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
1) ( ) ( ) ( )3 2 23 1 2 3 2 1x m x m m x m m- - + - + - - . 2) ( )3 3 1 1y mx mx m x= + - - - .
3) 
( )2 2 3 2
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
. 4) 
( )2 1 1
2
mx m
y
mx
+ + +
=
+
.
Bài 3. Tìm m để hàm số
1) ( )3 2 22 1 2y x mx m x= - + - + đạt cực đại tại 2x = .
2) ( )4 2 2 5y mx m x m= - + - + - có một cực đại tại 1
2
x = .
3) 
2 2 2x mx
y
x m
- +
=
-
 đạt cực tiểu khi 2x = .
4) 
2
1
x x m
y
x
- +
=
-
 có một giá trị cực đại bằng 0 .
Bài 4. Tìm m để hàm số ( )( )21 4 3 1y x x mx m= - - - + có hai giá trị cực trị trái dấu.
Bài 5. Cho hàm số ( ) ( )3 23 1 6 1 1y x m x m x= - + + + + .

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011
GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 5
1) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị dương.
2) Tìm m để hàm số nhận 3 3x = + làm điểm cực tiểu.
Dạng 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1. Phương trình đường thẳng đi qua CĐ và CT của hàm bậc ba 3 2( ) axy f x bx cx d= = + + +
* Chia f(x) cho f’(x) ta được: ( ) ( ). '( ) Axf x Q x f x B= + +
* Khi đó, giả sử ( ) ( )1 1 2 2; , ;x y x y là các điểm cực trị thì: 
( )
( )
1 1 1
2 2 2
Ax
Ax
y f x B
y f x B
ì = = +ï
í
= = +ïî
* Vậy PT đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: y Ax B= + .
Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 23 6 8y x x x= - - + .
Đáp số: 6 6y x= - + .
Bài 2. (ĐH khối A-2002) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 
( )3 2 2 3 23 3 1y x mx m x m m= - + + - + - .
Đáp số: 22y x m m= - + .
Bài 3. Tìm m để hàm số ( ) ( )3 22 3 1 6 2 1y x m x m x= + - + - - có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song 
song với đường thẳng 4 1y x= - + .
ĐS: 1; 5m m= = .
Bài 4. Tìm m để hàm số ( ) ( )3 22 3 1 6 1 2y x m x m m x= + - + - có các điểm cực trị nằm trên đường thẳng 
4y x= - .
ĐS: 1m = .
Bài 5. Tìm m để hàm số 3 2 23y x x m x m= - + + có các điểm cực cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua 
đường thẳng 
1 5
2 2
y x= - . ĐS: 0m = .
Bài tập tự luyện
Bài 1. (ĐH – DB2 khối A 2007) Tìm m để đồ thị hàm số 
2
m
y x m
x
= + +
-
 có cực trị tại các điểm ,A B sao 
cho đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ O .
ĐS: 2m = .
Bài 2. Tìm m để hàm số 3 2 7 3y x mx x= + + + có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với 
đường thẳng 3 7y x= - .
ĐS: 
3 10
2
m = ± .
Bài 3. Tìm m để hàm số 3 23 2y x x mx= - - + có CĐ, CT cách đều đường thẳng : 1y xD = - .
Bài 4. Tìm m để hàm số ( )3 23 1 2y x m x m= - + + + có hai giá trị cực trị trái dấu và đường thẳng đi qua 
hai cực trị đi qua điểm ( )1;4M - .
Bài 5. Tìm tập hợp trung điểm của hai cực trị của hàm số 3 2
1 2
3 3
y x mx x m= - - + + .
Dạng : Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị thỏa mãn một điều kiện nào đó
Bài 1. Tìm m để hàm số ( ) ( ) ( )3 2 32 3 2 6 5 1 4 1y x m x m x m= - + + + - + có hai điểm cực trị nhỏ hơn 2.
Đáp số: 
1
0
3
m- < < .
Bài 2. (ĐH khối B DB2 - 2006) Tìm m để hàm số ( ) ( )3 21 2 2 2y x m x m x m= + - + - + + có hai điểm cực 
đại, cực tiểu đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011
GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 6
Đáp số: 
5 7
1;
4 5
m m< - < < .
Bài 3. (CĐ - 2009) Tìm m để hàm số ( ) ( )3 22 1 2 2y x m x m x= - - + - + có cực đại và cực tiểu đồng thời 
các điểm cực trị của hàm số có hoành độ dương.
Đáp số: 
1
1, 0
3
m m- < < ¹ .
Bài 4. (HV quan hệ quốc tế 1996) Tìm m để hàm số 4 2 42 2y x mx m m= - + + có các điểm cực trị lập 
thành một tam giác đều.
Đáp số: 3 3m = .
Bài 5. Tìm m để đồ thị hàm số 4 2 42 2y x mx m m= - + + có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
Đáp số: 3 3m = .
Bài 6. (ĐH khối A BD1 - 2004) Tìm m để hàm số 4 2 22 1y x m x= - + có ba điểm cực trị là ba đỉnh của 
một tam giác vuông cân.
Đáp số: 1m = ± .
Bài 7. Chứng minh rằng hàm số ( ) ( )3 23 1 3 2 1y x m x m m x= - + + + + luôn có cực đại, cực tiểu. Xác định 
m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương .
Đáp số: 0m > .
Bài 8. (Khối B - 2007) Tìm m để hàm số ( )3 2 2 23 3 1 3 1y x x m x m= - + + - - - có cực đại và cực tiểu và các 
điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O.
Đáp số: 
1
2
m = ± .
Bài 9. Tìm m để hàm số 4 2 22( 2) 5 5y x m x m m= + - + - + có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam 
giác vuông cân. 
Đáp số: m = 1.
Bài 10. Tìm m để hàm số ( ) ( ) ( )3 2 2 22 1 4 1 2 1y x m x m m x m= + - + - + - + đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn 
( )1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = + Đáp số: 1; 5m m= = .
Bài 11. (ĐH Khối A 2005) Tìm m để hàm số 
1
y mx
x
= + có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến 
tiệm cận xiên bằng 
1
2
.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm m để hàm số
1) 3 2
1
1
3
y x mx mx= - + - đạt cực đại tại hai điểm 1 2,x x sao cho 1 2 8x x- ³ .
ĐS: 
1 65 1 65
; ;
2 2
m
æ ù é ö- -
Î -¥ È +¥ç ÷ú êç ÷
è û ë ø
.
2) ( ) ( )3 21 11 3 2
3 3
y mx m x m x= - - + - + đạt cực trị tại hai điểm 1 2,x x sao cho 1 22 1x x+ = .
3) 4 2 4y x mx x m= - + + có 3 cực trị là , ,A B C và tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng 
tâm.
Bài 2. Cho hàm số ( ) ( )3 2 22 1 4 3
3
y x m x m m x= + + + + + Gọi 1 2,x x là các điểm cực trị của hàm số.
1) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1. 
2) Tìm m sao cho ( )1 2 1 22A x x x x= - + đạt giá trị lớn nhất.
ĐS: 1) 5 3 2m- < < - + ; 2) 
9
4 max
2
m A= - = .

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011
GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 7
Bài 3. (ĐH Khối B 2005) CMR với mọi m, đồ thị hàm số 
( )2 1 1
1
x m m
y
x
+ + + +
=
+
 luôn có cực trị và 
khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu bẳng 20 .
Bài 4. (ĐH Khối A 2007) Tìm m để đồ thị hàm số 
( )2 22 1 4
2
x m m m
y
x
+ + + +
=
+
 có cực đại, cực tiểu, đồng 
thời các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O .
ĐS: 4 2 6m = - ± .
Bài 5. Tìm m để hàm số 3 2
1
1
3
y x mx x m= - - + + có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất.
ĐS: 0m = ; khoảng cách = 
2 13
3
.
CHUYÊN ĐỀ TƯƠNG GIAO
1. Phương pháp chung:
· Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:
( ) ( ) ( ) 1f x g x=
· Khảo sát nghiệm của phương trình (1). Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của 
(C1) và (C2).
· Chú ý: * (1) vô nghiệm Û (C1) và (C2) không có điểm chung
* (1) Có n nghiệm Û (C1) và (C2) có n điểm chung
* Nghiệm x0 của (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2). Khi đó tung độ điểm 
chung ( )0 0y f x= hoặc ( )0 0y g x=
2. Xét phương trình ( ) 3 2ax 0f x bx cx d= + + + = (1)
a) Đ/k để (1) có 1, 2, 3 nghiệm
· (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ( )ìïí <ïî
( ) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu
 1
y . 0CÑ CT
f x
y
· (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ( )ìïí =ïî
( ) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu
 2
y . 0CÑ CT
f x
y
· (1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi ( )
é
ê
ìïêíê >ïîë
( ) khoâng coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu
 3( ) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu
y . 0CÑ CT
f x
f x
y
b. Đ/k để (1) có 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng, cấp số nhân
* Đ/k (1) có 3 nghiệm lập thành CSC:
Đ/k cần: G/s (1) có 3 nghiệm 1 2 3, ,x x x lập thành CSC khi đó 2 3
bx
a
= - thế vào (1) à giá trị của 
tham số
Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm được trong đ/k cần vào PT (1) để xem nó có 3 nghiệm lập thành 
CSC hay không.
* Đ/k (1) có 3 nghiệm lập thành CSN:
Đ/k cần: G/s (1) có 3 nghiệm 1 2 3, ,x x x lập thành CSN khi đó 32
dx
a
= - thế vào (1) à giá trị của 
tham số

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011
GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 8
Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm được trong đ/k cần vào PT (1) để xem nó có 3 nghiệm lập thành 
CSN hay không.
Chú ý: Nếu a = 1 ( ) ( )3 332 2 0 0x d f x c b d dÞ = - Þ = Þ = ¹
3. Xét phương trình ( ) 4 2ax 0= + + =f x bx c (2)
Đặt 2t x= đ/k 0t ³ ta được phương 2( ) 0g t at bt c= + + = (*)
a) Đ/k để (2) vô nghiệm, có 1,2, 3,4 nghiệm 
* (2) vô nghiệm khi và chỉ khi (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm 1 2 0t t£ <
* (2) có 1 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm 1
2
0
0
t
t
ì =ï
í
<ïî
* (2) có 2 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm 1 20t t< <
* (2) có 3 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm 1
2
0
0
t
t
ì =ï
í
>ïî
* (2) có 4 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm 1 20 t t< <
b) Đ/k để (2) có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng
(2) có 3 nghiệm lập thành CSC Û (*) có 2 nghiệm 2 11 2
1 22 1
1 2
0
90
. 09
0
t tt t
t tt t
t t
ìD >
ï =ì =ïî ï
ï + >î
4. Xét phương trình ( )ax 3+ = +
+
b
mx n
cx d
- Đưa phương trình về dạng: 2( ) 0 df x Ax Bx C x
c
æ ö
= + + = ¹ -ç ÷
è ø
 (**)
(3) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (**) có 2 nghiệm phận biệt 
0
0
d
dfc
c
ìD >
ï¹ - Û æ öí - ¹ç ÷ï
è øî
Chú ý: Trên đây chỉ là điều kiện trong trường hợp tổng quát, khi giải bài toán cụ thể ta cố gắng nhầm 
nghiệm để phân tích phương trình về dạng tích khi đó điều kiện sẽ đơn giản hơn
5. Bài tập:
Dạng 1: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hoành tại k điểm phân biệt
Bài 1 (DB2 ĐH Khối D -2002) Tìm m để đồ thị hàm số 4 2 1y x mx m= - + - cắt trục hoành tại 4 điểm 
phân biệt.
Đáp số: 1 2m< ¹
Bài 2 (DB1 ĐH Khối B -2003) Tìm m để đồ thị hàm số ( )( )21y x x mx m= - + + cắt trục hoành tại 3 
điểm phân biệt.
Đáp số:
1
4;0
2
m m> < ¹ -
Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số ( )3 23 3 1 1 3y x x m x m= - + - + + cắt trục hoành 
a) tại 1 điểm
b) tại 2 điểm
c) tại 3 điểm
Đá