Chuyên đề Khảo sát hàm số 12

Phần I: Khảo sát hàm số 
I. Lý thuyết:
	Các bước khảo sát hàm số:
Tập xác định
Xét sự biến thiên của hàm số:
 a, Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số. Tìm các đường tiệm cận (nếu có).
 b, Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
 Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng.
Vẽ đồ thị hàm số:
Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).
Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị.
Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục và tâm đối xứng của đồ thị.
II. Bài tập: 
	Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của các hàm số sau:
 * Hàm bậc ba: * Hàm bậc bốn:
 1. y=x3 - 3x2 - 9x – 5 ; 1. y=- x4 + 2x2 + 3
 2. y=- x3 + 3x2 - 4x + 2 ; 2. y= x4 - 2x2 - 3
 3. y=- x3 + 3x2 ; 3. y=- x4 + 2x2 + 2
 4. y=1/3x3 - x2 + 2/3 ; 4. y= x4 - x2 + 1
 5. y=1/3x3 - x2 - x + 1/3 ; 5. y=- x4 + 3x2 - 2
 6. y=- x3 + 3x2 + 1 ; 6. y= x4 + 2x2 + 1
 * Hàm bậc nhất trên bậc nhất:
 1. ; 2. 
	3. ; 4. 
	5. ; 6. 
 * Hàm bậc hai trên bậc nhất:
	1. ; 2. 
	3. ; 4. 
	5. ; 6. 
Phần II: Các bài toán phụ khảo sát hàm số.
Dạng I: Cực trị của hàm số
I. Lý thuyết:
Chủ đề 1: Cực trị của hàm bậc 3 và các bài toán liên quan
 a, Tìm điều kiện để hàm số có cực trị:
	Tổng quát: Cho hàm số bậc ba
	y=ax3 + bx2 + cx + d
 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.
D=R
y’=3ax2+2bx+c; y’=0 Û 3ax2+2bx+c=0 (1)
+, Hàm số không có cực trị Û D’≤ 0
+, Hàm số có cực trị Û (1) có hai nghiệm phân biệt Û 
+, Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện K
Û (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức viet và thỏa mãn điều kiện K.
+, Hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng I Û (1) có hai nghiệm phân biệt trong khoảng I.
+, Hàm số đạt cực tiểu tại x0 Û 
+, Hàm số đạt cực đại tại x0 Û 
 b, Đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số:
	Chia y cho y’ ta được : y=y’.g(x)+h(x)
	ị y=h(x) chính là phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.
Chủ đề 2: Cực trị của hàm số bậc bốn và các bài toán liên quan
a, Tìm điều kiện để hàm số có cực trị:
	Tổng quát: Cho hàm số y=ax4+bx2+c
	D=R
	y’=4ax3+2bx=2x(2ax2+b)
	y’=0 Û 2x(2ax2+b)=0 (1) Û 
+, Hàm số có cực đại, cực tiểu (hoặc có ba điểm cực trị):
Û phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt hay (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0.
+, Hàm số chỉ có một cực trị
 Û (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
+, Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu Û (1) có 3 nghiệm phân biệt và a>0.
+, Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu Û (1) có 3 nghiệm phân biệt và a<0.
+, Hàm số đạt cực tiểu tại x0 Û 
+, Hàm số đạt cực đại tại x0 Û 
b, Đường cong đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số:
	Chia y cho y’ ta được : y=y’.g(x)+h(x)
	ị y=h(x) chính là phương trình đường cong đi qua các điểm cực trị.
II. Các ví dụ và bài tập: 
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số: y=mx3-(m-1)x2+3(m-2)x+. Tìm m để:
	a, Hàm số có cực trị.
	b, Hàm số có cực đại , cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn: x1+2x2=1.
	c, Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ dương.
	d, Hàm số đạt cực đại, cực tiểu và xCĐ<xCT.
	e, Hàm số đạt cực đại tại x=0.
	f, Hàm số đạt cực tiểu tại x=o.
 Ví dụ 2: Cho hàm số: y=1/3x3- mx2- x + m + 1 . Chứng minh rằng: với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu. Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất.
Ví dụ 3: Cho hàm số: y=x3-3x2+m2x+m. Xác định m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng x-2y=5.
Ví dụ 4: Cho hàm số: y=x4+(m+1)x2+1
a, Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu.
b, Xác định phương trình đường cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số. 
Ví dụ 5: Xác định m để hàm số: y=x4- 2mx2+2m+m4 có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều.
* Bài tập:
Câu 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số: y=x3 - x2 - 94x + 95. Đáp số: y=.
Câu 2: Tìm m để hàm số y=x3 - 3mx2+3(m2-1)x + m đạt cực tiểu tại x=2.
Câu 3 Tìm m để các hàm số sau có cực trị:
 a, y=x3 - mx2 + 1
 b, y=(m+2)x3+3x2+mx-5
Câu 4: Tìm các giá trị của m để đồ thị các hàm số sau có cực đại và cực tiểu. Từ đó lập phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.
 a, y=x3 - 3(m+1)x2+2(m2+7m+2)x – 2m(m+2)
 b, y=3x3+3(m-3)x2+11-3m
 c, y=x3+mx2+7x+3
 d, y=x3-3(m-1)x2+(2m2-3m+2)
 e, y=2x3-3(3m+1)x2+12(m2+m)x+1
Câu 5: Cho hàm số y=kx4+(k-1)x2+1-2k . Xác định giá trị của k để hàm số chỉ có một điểm cực trị. (k≥1 và k≤0)
Câu 6: Tìm m để hàm số: y=x4+(m-1)x2+1- m chỉ có một điểm cực trị.
Dạng 2: Các phép biến đổi đồ thị - Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối
I. Lý thuyết:
1. Từ đồ thị hàm số y=f(x) suy ra đồ thị hàm số y=ẵf(x)ẵ:
	Ta có:
Do đó đồ thị y=ẵf(x)ẵgồm:
Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y=f(x)
Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của y=f(x) qua trục hoành
2. Từ đồ thị hàm số y=f(x) suy ra đồ thị hàm số y=f(ẵxẵ):
	Ta có:
và y=f(ẵxẵ) là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là 0y.
Do đó đồ thị y=f(ẵxẵ) gồm:
Phần bên phải 0y của đồ thị y=f(x)
Đối xứng phần đồ thị trên qua 0y
3. Từ đồ thị hàm số y=f(x) suy ra đồ thị hàm số ẵy ờ=f(x):
Phần đồ thị ẵy ờ=f(x) gồm:
Phần đồ thị từ trục hoành trở lên của đồ thị y=f(x)
Đối xứng phần đồ thị trên qua trục hoành được nửa đồ thị còn lại.
II. Bài tập:
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x4-2x2-1. Từ đó suy ra đồ thị hàm số 
y=ẵx4-2x2-1ẵ.
Câu 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x3+ x-1. Từ đó suy ra đồ thị hàm số .
Câu 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . Từ đó suy ra đồ thị hàm số .
Câu 4: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y=x3- 3x2-6. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: .
Câu 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y=1/6 x3+ 3/2 x2+ 5/2 x. Từ đó suy ra đồ thị hàm số .
Câu 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y=- 4x3 + 3 x. Từ đó suy ra đồ thị hàm số .
Câu 7: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: . Từ đó suy ra đths .
Dạng 3: Tương giao của hai đồ thị
1. Số giao điểm của hai đồ thị:
	Tổng quát: Tìm giao điểm của hai đồ thị hai hàm số y=f(x) và y=g(x)
	Bước 1: Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm 
	f(x)=g(x) (1)
	Bước 2: Biện luận (1)
Câu 1: Cho hàm số: y=x3+3x2+1. Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d): y=2x+5 với đồ thị hàm số.
Chú ý: Điều kiện cần và đủ để hàm số y=ax3+bx2+cx+d (aạ0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt là: Hàm số có cực đại, cực tiểu và yCĐ.yCT<0
 Câu 2: Cho hàm số: y=mx3+3x2+1. Tìm m để đồ thị cắt trục 0x tại ba điểm phân biệt.
2. Sự tiếp xúc của hai đồ thị:
	Để hai đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) tiếp xúc nhau thì:
	Û Hệ sau có nghiệm
	Û 
	Khi đó nghiệm của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm.
 Câu 3: Cho hàm số y=(x-1)(x2+mx+m). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành. Xác định toạ độ tiếp điểm trong mỗi trường hợp tìm được.
 Câu 4: Cho hàm số: y=(x+1)2(x-1)2. Xác định a để đồ thị hàm số tiếp xúc với parabol (P): y=ax2-3.
3. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số (C): y=ax3+bx2+cx+d cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng.
Phương pháp: Dùng viét 
	Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
	 ax3+bx2+cx+d=0 (1)
	Bước 2: Điều kiện cần
	+, Giả sử phương trình có 3 nghiệm x1,x2,x3 (x1<x2<x3). Khi đó:
+, Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt với hoành độ lập thành một cấp số cộng thì : x1+x3=2x2Û2x2=- b/a Û x2=- b/3a
	+, Với x2=- b/3a thay vào (1) suy ra tham số m.
	Bước 3: Điều kiện đủ 
	Với tham số m vừa tìm được thử lại vào (1)
 Câu 5: Tìm m để hàm số: y=x3-3x2-9x+m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng. (m=11)
4. Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số (c): y=ax4+bx2+c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng.
	Bước 1: Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 	
	với 0x. ax4+bx2+c=0 (1)
	Bước 2: Đặt t=x2, t≥0 ị (1) có dạng : at2+bt+c=0 (2)
Bước 3: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt dương: 0<t1<t2
	 và khi đó có 4 nghiệm của (1) là: 
	Bước 4: Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng:
	Bước 5: Theo định lý viét ta có:
	Bước 6: Thay (4) vào (1) ta được 
	Kết hợp (6) và (3) để nhận điều kiện của tham số.
Câu 6: Cho hàm số y=x4-2(m+1)x2+2m+1. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng. (m=4, m=- 4/9). 
Câu 7: Cho hàm số: y=x3+mx2-9x-9m (Cm)
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=3.
b, Tìm m để (Cm) cắt 0x tại 3 điểm phân biệt.
Câu 8: Cho hàm số: y=x3-3x+1. Tìm m để đường thẳng y=m(x-1)-1 tiếp xúc với đồ thị hàm số.
Câu 9: Xác định m để đồ thị: y=x3-2x2-(m-1)x-1 tiếp xúc với trục hoành.
Câu 10: Cho hàm số: y=(x+1)2(x-1)2. Tìm b để (P): y=2x2+b tiếp xúc với đồ thị hàm số.
Câu 11: Cho hàm số: y=x4-2mx2+m đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Câu 12: Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y=x3+m(x2-1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Dạng 4: Điểm cố định của đồ thị
1. Bài toán 1: 
	Cho họ (Cm) có phương trình: y=f(x,m) với m thuộc R. Tìm điểm cố định của họ (Cm). 
 Giả sử M(x0,y0) là điểm cố định của họ (Cm). 
 Khi đó: y0=f(x0,m), " m.
 Û Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0.
 Û Suy ra (x0,y0).
2. Bài toán 2: 
	Cho họ (Cm) có phương trình: y=f(x,m) với m thuộc R. Tìm điểm mà họ (Cm) không đi qua với mọi giá trị của m. 
Giả sử M(x0,y0) là điểm mà họ (Cm) không thể đi qua. 
Khi đó phương trình y0=f(x0,m) (1) vô nghiệm với " m.
 Û Nhóm theo bậc của m rồi tìm điều kiện để (1) vô nghiệm.
 Û Suy ra (x0,y0).
Câu 1: Cho hàm số y=x4-(m+1)x+m. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.
Câu 2: Cho hàm số: (H)
 Chứng minh rằng đường thẳng y=mx+m-1 luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.
Câu 3: Tìm điểm cố định mà họ đồ thị hàm số luôn đi qua.
 	 y=x3-(m+4)x2+4x+m
Câu 4: Tìm các điểm cố định mà họ đồ thị hàm số không đi qua:
 	y=(x-2)(x2-2mx+m2-1) 
Câu 5: Tìm các điểm cố định của các họ đồ thị sau:
 a, y=mx2+(m-1)x-2m+1 (m thuộc R)
 b, y=x3-(m+1)x2+2(m2+4m+1)x-4m(m+1)
 c, , m≠±1.
Câu 6: Chứng minh rằng đồ thị các hàm số sau luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi.
 a, y=x4+mx2-(m+1)
 b, y=-x4+2mx2-2m+1
Câu 7: Tìm điểm cố định mà họ đồ thị hàm số luôn đi qua.
 a, y=x4+mx2-(m+5)
 b, y=x3-3mx+2m
Câu 8: Cho họ (Cm) : . Tìm những điểm trên mặt phẳng toạ độ mà đồ thị hàm số không thể đi qua với bất kỳ giá trị nào của m.
Dạng 5: Tiếp tuyến của đồ thị.
Chủ đề 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x0,y0) có dạng: y-y(x0)=k(x-x0), trong đó: k=y’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M. Xét các trường hợp sau:
Biết x0 ị y0 ị k=y’(x0)
Biết y0 thay vào phương trình ban đầu tìm x0 rồi tìm k
Biết k=y’(x0) suy ra x0 rồi suy ra y0
Hai đường thẳng song song với nhau có hệ số góc bằng nhau.
Hai đường thẳng vuông góc với nhau có hệ số góc nhân với nhau bằng (-1).
Câu 1: Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số: tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại điểm đó. 
Câu 2: Cho hàm số: . 
a, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm A của đồ thị với trục tung.
b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho, biết tiếp tuyến đó song song với tiếp tuyến tại A. 
Câu 3: Cho hàm số: y=x3-3x2+2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng: 3x-5y-4=0.
Chủ đề 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết một điểm thuộc tiếp tuyến.
1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua A(xA,yB)
 Cách 1: Giả sử hoành độ tiếp điểm là x=x0. Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): y-y(x0)=y’(x0)(x-x0) (1)
Điểm A(xA,yB) thuộc d Û yA-y0=y’(x0)(xA-x0) (2)
Từ phương trình (2) ta suy ra được x0 . Thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến.
 Cách 2: Phương trình đường thẳng d đi qua A có dạng: y=k(x-xA)+yA
 Tham số k được suy ra từ điều kiện d tiếp xúc với đồ thị.
Câu 4: Cho hàm số: y=x3-3x2+2. Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm A(23/9,-2). (ĐS: y=-2; y=9x-25; y=-5/3x+61/27).
Câu 5: Cho hàm số: y=2x3+3(m-3)x2+11-3m (Cm)
 a, Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị C2, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y=12x+2006.
 b, Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị C2, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 32x-21y=0.
Câu 6: Cho hàm số: y=x3-3x. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm (-1;0) đến đồ thị hàm số.
2. Cho hàm số: y=f(x) (C). Tìm điểm A thoả mãn tính chất I để từ đó kẻ được k tiếp tuyến tới đồ thị (C). 
 Bước 1: Giả sử A(x0,y0).
 Bước 2: Phương trình đường thẳng đi qua A(x0,y0) với hệ số góc k có dạng:
	(d): y=k(x-xA)+yA
 Bước 3: Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm:
 Bước 4: Thay (2) vào (1) suy ra f(x)=f’(x)(x-xA)+yA (3)
 Bước 5: Khi đó số nghiệm phân biệt của (3) là số tiếp tuyến kẻ được từ A tới đồ thị (C). Do đó để từ A kẻ được k tiếp tuyến tới đồ thị (C) Û Phương trình (3) có k nghiệm phân biệt ị Điểm A.
Câu 7: Cho hàm số: y=-x3+3x+2 (C). Tìm những điểm trên trục hoành từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị.
2. Góc giữa hai tiếp tuyến:
 Bước 1: Gọi k1,k2 theo thứ tự là hệ số góc của các tiếp tuyến d1 và d2.
 Bước 2: a là góc giữa hai tiếp tuyến trên thì:
	Nếu d1^d2 thì k1.k2=-1
Câu 8: Cho hàm số: (C).
 a, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
 b, Tìm toạ độ các giao điểm của các đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng: y=x+2010.
Câu 9: cho hàm số: . Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=2x.
Câu 10: Cho hàm số: y=2x3+3(m-3)x2+11-3m (Cm)
 a, Lập phương trình các đường thẳng đi qua A(19/12;4) và tiếp xúc với C2.
 b, Tìm trên đường thẳng y=4 những điểm sao cho từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến đến C2.
 c, Tìm trên đường thẳng y=4 những điểm sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến C2.
 d, Tìm trên đường thẳng y=4 những điểm sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến mà trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau đến C2.
Câu 11: Cho hàm số: y=x3-3x (C) và đường thẳng d: y=mx+1
 Hãy xác định m để d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau.
Câu 12: Cho hàm số: y=x3-3x. Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đồ thị hàm số.
Dạng 6: Khoảng cách
 Sử dụng các kết quả sau:
1. Khoảng cách giữa hai điểm A(xA,yA) và B(xB,yB) được cho bởi:
 AB=
2. Khoảng cách từ điểm M(xM,yM) đến đường thẳng D: ax+by+c=0 được cho bởi: 
 d(M;D)=
3. Khoảng cách ngắn nhất được xác định bằng việc sử dụng bất đẳng thức (côsi, bunhiacôpski,) hoặc sử dụng đạo hàm.
Bài tập: 
Câu 1: Cho hàm số: . Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất.
Câu 2: Cho hàm số: (C). Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài AB ngắn nhất.
Câu 3: Cho hàm số: . Tìm điểm thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ điểm đó đến trục tung.
Câu 4: Cho hàm số: . Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng 3x+y+6=0.
Chương I: ứng dụng của đạo hàm để khảo sát 
và vẽ đồ thị của hàm số
Phần I: Tính đơn điệu của hàm số
I. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số:
1. Phương pháp:
 +, Bước 1: Tìm tập xác định
 +, Bước 2: Tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm và áp dụng định lý sau:	
	. Nếu thì hàm số đồng biến trên khoảng I.
	. Nếu thì hàm số nghịch biến trên khoảng I.
	. Nếu thì hàm số không đổi trên khoảng I. 
Chú ý: 
- Khoảng I trong định lý có thể thay bằng một đoạn hoặc nửa khoảng và khi đó phải bổ sung hàm số liên tục trên đoạn hoặc nữa khoảng đó.
	- Có thể mở rộng định lý với mọi x thuộc I (hoặc với mọi x thuộc I) và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I.
2. Các ví dụ: 
Ví dụ 1: Khảo sát tính đơn điệu (chiều biến thiên) của các hàm số sau:
 ; 
 ; 
Ví dụ 2: Khảo sát tính đơn điệu của các hàm số sau:
 ; 
 ; 
Ví dụ 3: Khảo sát tính đơn điệu của các hàm số sau:
 trên ; trên 
 trên ; trên 
3. Bài tập: 
 Khảo sát tính đơn điệu của các hàm số sau:
II. Xác định tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên miền D:
1. Phương pháp: 
 +, Bước 1: Tính đạo hàm .
 +, Bước 2: áp dụng định lý
	. Nếu hàm số đồng biến trên I thì với mọi x thuộc I.
	. Nếu hàm số nghịch biến trên I thì với mọi x thuộc I.
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số: 
Tìm m để hàm số đồng biến trên .
Ví dụ 2: Cho hàm số: 
 Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó.
Ví dụ 3: Cho hàm số: 
 Tìm m để hàm số đồng biến trên .
Ví dụ 4: Cho hàm số: 
 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng .
Ví dụ 5: a, Cho hàm số: 
Tìm m để hàm số nghịch biến trên .
b, Cho hàm số: 
Tìm m để hàm số đồng biến trên .
3. Bài tập:
Câu 1: Cho hàm số: 
Tìm m để hàm số đồng biến trên .
Câu 2: Cho hàm số: 
 Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó.
Câu 3: Cho hàm số: 
Tìm m để hàm số đồng biến trên .
Câu 4: Cho hàm số: 
 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng .
Câu 5: Tìm m để hàm số đồng biến trên .
Câu 6: Cho hàm số: . 
Tìm m để hàm số nghịch biến trên 1 đoạn có độ dài bằng 3.
III. Chứng minh bất đẳng thức bằng tính đơn điệu:
1. Phương pháp:
	Để chứng minh bất đẳng thức có dạng:
	 (Hoặc ) ta có thể làm như sau:
	Xét sự biến thiên hàm số trên D
 +, Nếu h(x) đồng biến và h(x0)=0 thì 
	+, Nếu h(x) nghịch biến và h(x0)=0 thì:
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a, 
b, 
c, 
d, 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
Bài tập: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Câu 1: 
Câu 2: 
Câu 3: 
Câu 4: 
Phần 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D:
 Phương pháp: 
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
	+, Tính f’(x), tìm các điểm xi của f’(x)=0 hoặc f’(x) không xác định trên (a,b)
	+, Tính giá trị f(a), f(b), f(xi)
	+, So sánh để chọn maxf(x), minf(x)
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
 trên 
 trên 
 trên đoạn 
 trên 
2. Chứng minh bất đẳng thức bằng cách dùng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:
 Phương pháp: 
 Để chứng minh bất đẳng thức dạng: hoặc ta tìm maxf(x), minf(x) trên D.
 +, Nếu thì 
 +, Nếu thì 
Ví dụ 2: a, Chứng minh: 
b, Cho , thoả mãn điều kiện a+b=1. Chứng minh rằng:
Bài tập:
 Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
 trên đoạn ; trên đoạn 
; 
Câu 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
; b, 
c, Cho x, y, z >0 thoả mãn: . Chứng minh rằng: